Матем-анализ

Интегральное исчисление функции нескольких переменных.
§ 1. Двойной интеграл.
1.
Геометрическая
задача,
приводящая
к
понятию
двойного
интеграла.
Пусть на замкнутой области D  R² задана непрерывная функция z = f (x;y),
f (x;y) ≥ 0 для ( x; y )  D . В системе координат 0XYZ функция z = f (x;y)
задает некоторую поверхность. Из каждой граничной точки области D
восстанавливаем перпендикуляры к плоскости 0XY до пересечения с
поверхностью z = f (x;y). При этом в пространстве R³ получаем объемное
цилиндрическое тело, у которого нижним основанием является область D,
верхним – часть поверхности z = f (x;y) и боковая поверхность параллельна
оси 0Z. Такое тело будем называть цилиндроидом.
Ставим задачу: вычислить объем этого цилиндроида (рис. 1).
С этой целью проведем следующие операции:
а) область D разделим на n частей
(произвольно) – D1 , D2 , D3 ,...Dn ;
б) обозначим площади каждой
из этих частей S1 , S2 , S3 ,
, Sn ;
в) на каждой из частей разбиения
рис. 1
области D выберем точку M i ( xi ; yi ) и строим
ряд цилиндрических «столбиков», имеющих основаниями Di и высоты
hi  f ( M i );
г) вычислим объемы полученных «столбиков»:
Vi  f ( xi ; yi )Si
д) в результате построено тело, состоящее из n «столбиков», объем
которого равен:
n
n
V   f ( x ; y )S
i
i 1
i
i 1
i
приближенно равное объему цилиндроида.
n
е) для повышения точности равенства: V   Vi будем уменьшать размеры
i 1
частей разбиения области D, увеличивая их количество, то есть n → ∞, но
при условии стремления к нулю max ∆Si, стягивающегося в точку. Тогда
можно записать точное равенство:
ж) этот предел и дает объем заданного цилиндроида.
2. Определение двойного интеграла.
n
Определение 1. Сумма
 f ( x ; y )S
i 1
i
i
i
, построенная в п. 1 называется
интегральной суммой для функции f (x; y) на замкнутой области D.
Определение 2. Двойным интегралом от функции f (x;y) по замкнутой
n
области D называется предел интегральной суммы
условиях:
а) n → ∞ и max ∆Si → 0 (стягиваясь в точку);
 f ( x ; y )S
i 1
i
i
i
при
б) этот предел существует и не зависит ни от способа разбиения области D
на части, ни от выбора на этих частях точек M i ( xi ; yi )  Di
Обозначение двойного интеграла:
Теорема (достаточное условие существования двойного интеграла).
Если в замкнутой области D  R² функция z = f (x;y) непрерывна, то
двойной интеграл от этой функции по области D существует.
3. Геометрический смысл двойного интеграла.
1) Если z = f (x;y) непрерывна в области D  R² и f (x;y) ≥ 0, то двойной
интеграл от этой функции по области D равен объему цилиндроида, у
которого нижнее основание – область D  OXY , верхнее – часть
поверхности z = f (x;y) и боковая поверхность цилиндроида параллельна
0Z, т.е.
2) Если f ( x; y )  1 для любых ( x; y )  D , то двойной интеграл от z = 1 по
области D равен площади области D:
S D   dxdy
D
4. Основные свойства двойного интеграла.
1) Пусть функция z = f (x;y) непрерывна в области D  R², причем
D  D1
D2 , тогда
D1 D2
Это свойство, как и последующие, можно доказать путем рассмотрения
интегральных сумм и затем перехода к пределам.
2) Постоянный множитель выносится за знак двойного интеграла:
 k  f ( x; y)dS k   f ( x; y)dS
D
D
3) Двойной интеграл от суммы конечного числа функций равен сумме
двойных интегралов от этих функций:
4) Если для двух непрерывных в области D функций f(x;y) и g(x;y)
выполняется неравенство f (x;y) ≤ g (x;y), то
 f ( x; y)ds  g ( x; y)ds
D
D
5) Теорема (о среднем значении двойного интеграла).
Если функция z = f (x;y) непрерывна в замкнутой области D, то внутри
( x0 ; y0 ) , в которой выполняется
области D найдется, хотя бы одна точка
равенство:
 f ( x; y)ds  f ( x ; y )  S
0
0
D,
D
где
SD
– площадь области D.
Доказательство: По свойству непрерывной функции в замкнутой области,
функция z = f (x;y) в области D достигает своих наименьшего (m) и
наибольшего (M) значений.
Значит: m ≤ f (x;y) ≤ M для ( x; y )  D .
( xi ; yi )  D можно записать m  f ( xi ; yi )  M ,
Тогда для всех
где
Умножая последнее неравенство на ∆Si > 0, получим:
m  Si  f ( xi ; yi )Si  M  Si
Суммируем все n неравенств
n
n
n
 m  S   f ( x ; y )S   M  S
i 1
i
i 1
i
i
i
i 1
i
Вынесем m и М за знаки сумм (как постоянные величины) и перейдем к
пределам при n → ∞ и max ∆Si → 0 (стягиваясь в точку):
Ссылаемся на определение двойного интеграла и получаем:
m
 f ( x; y)ds
D
SD
M
По свойству непрерывной в замкнутой области функции, функция z
= f(x;y) в области D принимает все промежуточные значения между
наименьшим (m) и наибольшим (М) значениями.
Следовательно, существует точка ( x0 ; y0 )  D , в которой:
f ( x0 ; y0 ) 
 f ( x; y)ds
D
SD
S D
  f ( x; y)ds  f ( x0 ; y0 )  S D
D
Теорема доказана.
Геометрический смысл теоремы о среднем значении двойного интеграла.
Если
f (x;y) ≥ 0
в области D, то объем цилиндроида V   f ( x; y )dS
D
можно заменить на объем цилиндра, у которого основаниями верхним и
нижним будет область D и высотой f ( x0 ; y0 ) .
5. Вычисление двойного интеграла в декартовых координатах.
Определение 1 Замкнутая область D называется правильной в направлении
оси 0y (или 0x), если любая прямая, проходящая через внутреннюю точку
области D и параллельная оси 0y (или 0x), пересекает границу области D
только в двух точках.
Рис.2
Рис.3
Рис.4
Рис.5
На рисунках:
2 – D правильная в направлении 0y;
3 – D правильная в направлении 0x;
4 – D правильная в направлении 0x, но неправильная в направлении 0y;
5 – D правильная в направлении 0y, но неправильная в направлении 0x.
При вычислении двойного интеграла используют правила сведения этого
интеграла к повторному. При этом область D должна быть правильной в
направлении, например оси 0y и границы ее должны описываться
непрерывными функциями, причем
D и
y  2 ( x ) -
любого
x   a; b .
y  1 ( x) - нижняя граница области
верхняя граница области D, т.е.
1 ( x)  2 ( x)
для
Если эти условия на область D не выполняются, то ее разбивают на части,
на которых эти условия выполняются, и интегрируют по каждой из частей,
а затем результат суммируют.
Далее рассматривают при некотором фиксированном значении x   a; b
интеграл от функции f (x;y) по y 1 ( x);2 ( x) :
Тогда объем цилиндроида, который равен

D
 2 ( x )

f ( x; y )dxdy   S ( x)dx     f ( x; y )dy   dx


a
a  1 ( x )

b
b
2 ( x )
При этом


f ( x; y )dy
вычисляется при фиксированном
1 ( x)
называется внутренним интегралом, а
х.
Он
– внешним интегралом.
интеграл. Его вычисление начинается с вычисления внутреннего интеграла
при х = const, затем от полученной функции S(x) вычисляется внешний
b
интеграл
 S ( x)dx .
a
Рассмотрим случай сведения двойного интеграла к повторному, если
область D правильная в направлении оси 0x и границы ее заданы
непрерывными функциями: x=ψ2(y) - правая граница области D и
x=ψ1(y) - левая граница области D, т.е. ψ1(y) ≤ ψ2(y) для любого y [c;d].
Далее рассматривают при некотором фиксированном значении y  [c;d]
интеграл от функции f (x;y) по x  [ψ1(y);ψ2(y)] :
Тогда объем цилиндроида, который равен:

D
При
 2 ( y)

f ( x; y )dxdy   S ( y )dy     f ( x; y )dx  dy


c
c  1 ( y )

этом
d
d
вычисляется при фиксированном
значении y. Он называется внутренним интегралом, а
внешним интегралом.
Правило вычисления этого повторного интеграла аналогично: сначала
вычисляют внутренний интеграл по х при y = const, затем – внешний
интеграл по y.
Замечание 1. Если область D является правильной в направлении обеих
осей и границы описываются следующим образом:
нижняя граница: y  1 ( x) ; верхняя граница: y  2 ( x) ; x  [a;b];
левая граница: x   1 ( y) ; правая граница: x   2 ( y ) ; y [c;d],
то выполняется равенство:
Общеупотребительна другая запись повторных интегралов:
2 ( x )
b
 2 ( x )

a   ( x ) f ( x; y)dy   dx  a dx ( x ) f ( x; y)dy
1
 1

b
или
Замечание 2. При представлении двойного интеграла в виде повторного,
пределы внешнего интеграла всегда постоянные, а пределы внутреннего
интеграла, как правило, переменные. Только в случае если область D –
прямоугольник и
a xb , c  y  d
, то внешний и внутренний
интегралы имеют постоянные пределы:
b
d
a
c
 f ( x; y)dxdy   dx f ( x; y)dy.
D
Замечание
3.
прямоугольник:
Если
f ( x; y)  f1 ( x)  f 2 ( y)
a xb, c  y  d ,
и
область
D
–
то двойной интеграл от f (x;y)
по такой области D равен произведению определенных интегралов:
 f ( x)  f
1
D
2
b
d
a
c
( y )dxdy   f1 ( x)dx   f 2 ( y )dy
 a  x  b
D : 
 c  y  d



Примеры:
1. Вычислить повторный интеграл:
2 x


2
1
2 x
1
 y

  dx 
0 dx 2 xydy  0  x 

x
2 2 
x 

2
2 2 
1
1
x 
2

x

 4  4 x  x 2 x5 




  x
 x
 dx    x 
   dx 


2
2
2
2
0
0


1
1
1
3
5
2x


x
x
2
2
   2 x  2 x     dx  x 
2 2
0
0
3
1
3

0
x
1
4
8

0
x
6
12
2 1 1 24  16  3  2 27  18 9 3
 1   



3 8 12
24
24
24 8
1
dx
Ответ: 
0
2 x

xydy 
x2
3
8.
2. Расставить пределы интегрирования в одном и другом порядке:
 f ( x; y)dxdy ,
D
если область D ограничена линиями: y = 2x; y = x; x = 1.

0
1) Чертеж области D:
2) Область D правильная относительно 0y для x  [0;1] .
Нижняя граница D : y = x; верхняя граница D : y = 2x.
Поэтому :
1
2x
0
x
 f ( x; y)dxdy   dx  f ( x; y )dy .
D
3) Область D правильная относительно 0X,
но для
y  0;1 левая граница D: x 
y
;
2
правая граница D: x  y ,
y
;
2
а для y  1; 2 левая граница D: x 
правая граница D:
x  1.
Поэтому область D в этом случае разбиваем на две области прямой y=1:
D1 ( y 0;1) и D2 ( y  1; 2) , интеграл по D представляем суммой по D1 и D2 :
1
y
2
1
0
y
2
1
y
2
1
2x
1
y
2
1
0
x
0
y
2
1
y
2
 f ( x; y)dxdy   dy  f ( x; y)dx   dy  f ( x; y)dx
D
Ответ:
 f ( x; y)dxdy   dx  f ( x; y)dy  dy  f ( x; y)dx   dy  f ( x; y)dx
D
3. Изменить порядок интегрирования:
1
1 x
 dx 
0
1 x
f ( x; y )dy .
Чертеж области D: 0  x  1 , нижняя граница области D: y  1  x ,
верхняя – y  1  x. (рис. 6)
Чтобы изменить порядок интегрирования, надо
внешний интеграл взять по y, а внутренний – по
x. Область D относительно 0x правильная, но
для y  0;1 левая граница области D:
х = 1 – у, правая граница х = 1, а для y  1; 2
левая граница D: х = у – 1, правая – та же х = 1.
рис.6
Поэтому область D разбиваем на две области прямой y=1: D1 ( y 0;1) и
D2 ( y  1;2)
и интеграл по области D представляем в виде суммы интегралов по D1 и D2 :
1
1 x
0
1 x
 dx 
f ( x; y )dy   f ( x; y )dxdy   f ( x; y )dxdy 
D1
D2
1
1
2
1
0
1 y
1
y 1
  dy  f ( x; y )dx   dy  f ( x; y )dx
1
Ответ:
1 x
 dx 
0
1 x
1
1
2
f ( x; y )dy  dy  f ( x; y )dx   dy
0
1 y
1
1

f ( x; y )dx
y 1
6. Двойной интеграл в полярной системе координат.
Полярная система координат считается заданной, если заданы:
1) точка 0, называемая полюсом;
2) полуось 0X, называемая полярной осью. На 0X выбрана масштабная
единица.
Тогда положение точки М в этой системе координат определяют две
величины:
 – угол наклона вектора
OM к полярной оси 0X и
 –
величина вектора OM . (рис. 7)
Если
задать
декартовую
систему
координат,
связанную с полярной так, чтобы ось 0X совпадала с
0X – полярной и ось 0Y была перпендикулярна к 0X,
то можно установить связь между
Рис.7
координатами точки М в обеих системах координат:
 x2  y2   2
 x    cos 

 y    sin  или  y  tg ,

 x
где (x;y) – координаты точки М в декартовой системе, ( ;  ) - координаты
той же точки М в полярной системе.
Любую кривую y=f(x), заданную в декартовой системе координат можно
задать в полярной системе уравнением  =  (
 ), которое можно
получить непосредственно, исходя из геометрических свойств этой
кривой, либо с помощью формул перехода от прямоугольных координат к
полярным.
Элементарной областью D в полярной системе координат считают
криволинейный сектор, ограниченный двумя лучами, исходящими из
полюса под углами
 и  к оси 0x (  =  и  =  ), и кривой
 =  (  ) (рис.8)
рис.8
Определение. Область D в полярной системе координат называется
правильной, если любой луч, исходящий из полюса и проходящий через
внутреннюю точку области D, пересекает границу области D только в двух
точках (рис.9)
Рис.9
Замечание 1. Если полюс 0 лежит вне области D, то правильную область
D в полярной системе координат можно описать, как область,
ограниченную двумя лучами
 =  и  =  (  <  ) и кривыми
  1 ( ) и   2 ( ) ( 1 ( )  2 ( ) ) при    ;   )
Замечание 2. Если полюс 0 лежит внутри области D, то правильную
область D в полярной системе координат можно описать неравенствами:
0    2 ; 0     ( ) .
Переход от прямоугольных координат к полярным в двойном интеграле
проводится для упрощения его вычисления в случае, если:
1) функция f (x;y) зависит от x 2  y 2 или от
y
y
, т.к. x 2  y 2   2 и  tg ;
x
x
2) если область D ограничена кривыми, уравнения которых легко
преобразуются в полярные координаты.
Теорема. Пусть выполнены условия:
1. f (x;y) непрерывна в замкнутой области D;
2. Область D является правильной в полярной системе координат, т.е.
область D задана неравенствами:      , 1 ( ) ≤  ≤  2 ( ) ;
3. Функции 1 ( ) и  2 ( ) непрерывны при    ;   .
Тогда справедливо равенство:
2 ( )

 f ( x; y)dxdy   d  
D
1(
f (  cos  ;  sin  )  d 
)
Следует помнить правило этого перехода:
1. Заменить x    cos  и y    sin  в функции f (x;y) и в уравнениях
границ области D;
2. Заменить ds   d  d ;
3. При вычислении двойного интеграла в полярных координатах внешний
интеграл вычисляется по  от
 2 ( ) - если полюс
 до  , а внутренний по  от
0 лежит вне области D. Если полюс 0 лежит внутри
области D, то внешний интеграл по
 от 0 до 2 , а внутренний по 
от 0 до 1 ( ) (граница области D).
Пример. Вычислить

D
2
2

x

y
 2x
ydxdy , если D: 
 yx
Чертеж области D:
x 2  y 2  2 x  x 2  y 2  2 x  0  ( x 2  2 x  1)  y 2  1 
( x  1)2  y 2  1 - круг с центром в точке: (1;0) и радиусом r = 1:
В полярной системе уравнение
1) x  y  2 x преобразуется:
2
1 ( ) до
2
 2 cos 2    2 sin 2   2  cos 
 2  2  cos 
  2cos 
(рис.10)
2) прямая y  x   

4
;


4
4
8
8
  sin    cos3  d 
3
3


2
 sin   cos  d 
3

2


8
3
4
2
4
3
cos


d
cos




cos


3

2

4



2
4
2 
2  2
1
 
  
    cos 4    cos 4        
  
3 
3  2 
6
4
 2 
1

Ответ:
6.
7. Интеграл Эйлера – Пуассона.

x
e
 dx
2
Определение.
Несобственный
интеграл
называется
0
интегралом Эйлера – Пуассона.
Известно, что
не выражается через элементарные функции,
поэтому для вычисления интеграла Эйлера – Пуассона используем
двойной интеграл от функции
e ( x
2
 y2 )
по различным специального вида
областям.
Рассмотрим три области:
D1 – 1-ая четверть круга радиуса R;
x2+y2 ≤ R2(x ≥ 0; y ≥ 0).
D2 – квадрат со стороной R в 1-ой четверти;
D3 – 1-ая четверть круга радиуса
x=R; y=R; x=0; y=0.
R 2 : x2+y2 ≤ 2R2(x ≥ 0; y ≥ 0).
( x
По каждой из этих областей вычислим двойной  e
2
 y2 )
dxdy .
D

2
1 2
  e
20

1
1 e
 R2
d    (e  1)d 
0
20
2
R
2
 R2


2
0


 R2
1 e
2
e
Так как
( x
e

2


2

 ( x2  y 2 )
 y2 )
 (1  e
)
.
4
> 0 при любых (x; y)  D и D1  D2  D3 , то:
dxdy <
D1
 R2
( x
e

D2
2
 y2 )
dxdy <
( x
e

2
 y2 )
dxdy
D3
Следовательно:

4
2

 x2
2
) < (  e dx ) < (1  e 2 R ) .
4
0
R
(1  e
Так
 R2
(1  e R ) , (1  e2 R ) положительные при любых значениях R, то
2
2

2
R
1 e
R
2
x
e
dx <  1  e2 R
<
2
0
2
2
Вычислим пределы:
lim
R 

2

2
R
1 e
R
2

 x2
2 R 2
lim
e

dx
lim
1

e
< R  
< R 
2
0
R
e  x  dx <
1  0 < lim

R 0
2
0

1 0
2


x
По теореме о пределе трех функций:  e  dx  2 .
0
2
8. Некоторые приложения двойного интеграла.
1) Площадь плоской области D:
SD   dxdy
D
2) Объем цилиндрического тела, ограниченного сверху поверхностью
z  f ( x; y ) , снизу областью D на плоскости 0XY, сбоку цилиндрической
поверхностью, параллельной оси 0Z:
V   f ( x; y)dxdy .
D
3) Площадь поверхности z = f (x;y) :
S   1  (
D
f 2 f 2
)  ( ) dxdy ,
x
y
где D – проекция данной поверхности на 0XY.
4) Масса пластинки, занимающей область D плоскости 0XY и имеющей
плотность
 ( x; y ) :
M    ( x; y)dxdy .
D
При этом статистические моменты пластинки, относительно осей 0X
и 0Y:
M x   y   ( x; y)dxdy ; M y   x   ( x; y)dxdy .
D
D
5) Координаты центра тяжести пластинки:
x0 
My
M
;
y0 
Mx
M
.
В случае однородной пластинки
 ( x; y )  Const
координаты центра
тяжести однородной пластинки:
x0 
 xdxdy
D
 dxdy
D
,
y0 
 ydxdy
D
 dxdy
.
D
§ 2. Тройной интеграл.
1. Определение тройного интеграла.
Пусть задана функция u  f ( x; y; z ) на замкнутой области D  R3.
n
Определение 1. Сумма
 f ( x ; y ; z )  V
i 1
i
i
i
i
, где точка ( xi ; yi ; zi )  Di ,
Vi - объем i–той части разбиения области D на
, Dn , называется
D1 , D2 ,
интегральной суммой функции f ( x; y; z ) в области D.
Определение 2. Тройным интегралом от функции u = f (x;y;z)по
n
области D  R называется предел интегральной суммы
3
 f ( x ; y ; z )  V
i 1
i
i
i
i
при условиях:
а)
n  и
max Vi  0 (стягиваясь в точку);
б) этот предел существует и не зависит ни от способа разбиения области D
на части D1 , D2 ,
где
, Dn , ни от выбора точек ( xi ; yi ; zi ) на Di (i  1; n) .
dv  dxdydz - элемент области D  R3.
Теорема (достаточное условие существования тройного интеграла)
Если функция u  f ( x; y; z ) непрерывна в области D  R3, то тройной
интеграл от этой функции по области D существует.
2. Физический и геометрический смысл тройного интеграла.
1) Если f ( x; y; z )  1 при ( x; y; z )  D  R3, то тройной интеграл от такой
функции по области D равен объему тела D:
VD   dxdydz
D
2) Если в каждой точке объемной области D задана плотность
распределения масс  ( x; y; z ) , то тройной интеграл от этой плотности по
области D равен массе тела D:
mD    ( x; y; z )dxdydz .
D
3. Основные свойства тройного интеграла.
1) Пусть u  f ( x; y; z ) непрерывна в объемной области D и D  D1  D2 ,
f ( x; y; z )dv   f ( x; y; z )dv   f ( x; y; z )dv

то
D
D1
D2
2) Если k постоянная величина, то
 k  f ( x; y; z)dv k   f ( x; y; z)dv
D
D
3) Если
f1 ( x; y; z ) и f 2 ( x; y; z ) непрерывны в области D  R3, то
 ( f ( x; y; z)  f ( x; y; z))dv  f ( x; y; z)dv  f ( x; y; z)dv.
1
2
1
D
2
D
4) Если для любых ( x; y; z )  D  R
3
f1 ( x; y; z )  f 2 ( x; y; z ) , то
D
выполняется неравенство:
 f ( x; y; z)dv  f ( x; y; z)dv
1
D
2
D
5) Теорема (о среднем значении тройного интеграла)
Если функция u  f ( x; y; z ) непрерывна в замкнутой области D  R3, то
внутри области D
найдется хотя бы одна точка ( x0 ; y0 ; z0 )  D , для
которой выполняется равенство:
 f ( x; y; z)dv  f ( x ; y ; z ) V
0
0
0
D
,
D
где VD – объем тела D.
4. Вычисление тройного интеграла в декартовой системе координат.
Для вычисления тройного интеграла от функции u  f ( x; y; z ) по
области D  R3 проецируем область D на плоскость 0XY. Обозначим эту
проекцию G(G  ПрOXY D) Пусть область D будет такой, что любая
прямая, проходящая через внутреннюю точку области D параллельно оси
0Z, пересекает поверхность S, ограничивающую область D, только в двух
точках. Пусть z  z1 ( x; y ) и z  z2 ( x; y) – уравнения поверхностей,
ограничивающих область D снизу и сверху соответственно (рис.1). Тогда
можно записать:
z2 ( x ; y )
 f ( x; y; z)dv  dxdy 
D
G
f ( x; y; z )dz
z1 ( x ; y )
Если область G окажется правильной
в направлении, например, оси 0Y, т.е.
a  x  b
G:
, то
 y1 ( x)  y  y2 ( x)
Рис.1
b
y2 ( x )
 f ( x; y; z )dv   dx 
D
a
y1 ( x )
z2 ( x ; y )
dy

z1 ( x ; y )
f ( x; y; z )dz.
Замечание 1. При сведении тройного интеграла к трем повторным
интегралам не обязательно проецировать область D на плоскость 0XY,
можно проецировать либо на 0XZ, либо на 0YZ – как удобнее.
Замечание 2. Следует сначала вычислять внутренний интеграл по z,
считая x и y постоянными, а затем вычислять двойной интеграл от
z2 ( x; y )
 f ( x; y; z)dz по области G, тогда:
полученной функции ( x; y ) 
z1 ( x ; y )
Пример. Вычислить
dxdydz
,
3

(
x

y

z

1)
D
x  y  z  1

где D :  x  0; y  0
 z  0
D: 1) x+ y+ z = 1 – плоскость, пересекает
оси координат в точках (1;0;0), (0;1;0) и (0;0;1).
2) x = 0 – плоскость 0ZY,
y = 0 – плоскость 0XZ,
z = 0 – плоскость 0XY.
рис.2
Итак: D – треугольная пирамида с основанием AOB и вершиной в точке C.
Пр OXY D  G – треугольник AOB.
1 x  y
dxdydz
  dxdy
3

( x  y  z  1)
D
G
1 x  y
 dxdy

G
0
d ( z  x  y  1)

3
( x  y  z  1)

0
dz

3
( x  y  z  1)
1
dxdy

(

G
2( x  y  z  1)2
1 x  y
0
)
  (
G
1
1

)dxdy 
2( x  y  1  x  y  1)2 2( x  y  1) 2
1
1 x
1
1 x
1
1
1
1
  (

)
dxdy

dx
(

)dy 
2
2


2(
x

y

1)
8
2(
x

y

1)
8
G
0
0
G:
1
 (
2
0

0
dy

x  y 1
1 x

0
dy
)dx 
8
рис.3.
1
1
 (
2
0
1 x

0
d ( y  x  1) y

( y  x  1) 2 8
1 x
0
1 x
1
1
1 x
)dx   ( 

)dx 
0
2
y

x

1
8
0
1
1
1
1
1 1
1 x
  ( 
 
  )dx 
2 1 x  x 1 2 x 1 8 8
0
1
1
1 1 1
1 x
1 1
3 x
  (  
  )dx   ( 
  )dx 
4 2 x 1 8 8
2 x 1 8 8
0
0
1
1
3 1 x2
 ln x  1  x 
0
2
8 0 16
Ответ:
1
0

1
1
3 1 1
5
ln 2  ln1    ln 2  ;
2
2
8 16 2
16
1
5
ln 2  .
2
16
5. Вычисление тройного интеграла в цилиндрических координатах.
Переход от декартовых координат к цилиндрическим проводится по
формулам: x    cos ; y    sin  ; z  z . (рис.4)
( 0     ; 0    2 ;   z   )
Тогда тройной интеграл от f ( x; y; z )
по области преобразуется
следующим образом:
рис.4
 f ( x; y; z)dxdydz   f ( cos ;  sin ; z)    d  d dz.
D
D
6. Вычисление тройного интеграла в сферических координатах.
Переход от декартовых координат к сферическим проводится по
формулам: x   cos   sin  ; y   sin   sin  ; z   cos  (рис.5)
( 0     ; 0    2 ; 0     )
Тогда тройной интеграл от f ( x; y; z ) по
области D  R3преобразуется
следующим образом:
z
рис.5
 f ( x; y; z)dxdydz 
D
  f (  cos  sin  ;  sin  sin  ;  cos  )   2  sin  d  d d .
D
7. Некоторые приложения тройного интеграла.
1) Объем тела, занимающего область D  R3:
VD   dxdydz
D
2) Если плотность тела  ( x; y; z ) , то масса тела, занимающего область
D  R3:
M D    ( x; y; z )dxdydz
D
3) Координаты центра тяжести тела, занимающего область D  R3:
Если тело однородное, т.е.  ( x; y; z ) = Const, то координаты его центра
тяжести:
§ 2. Криволинейные интегралы.
1. Криволинейный интегралы I рода (по длине дуги).
Пусть функция z = f (x; y) определена и непрерывна в точках дуги AB
гладкой кривой l, имеющей уравнение y   ( x), (a  x  b) .
Разобьем
дугу
произвольным
AB
образом
на
n
дуг
точками
A  A0 ; A1 ,... An  B, пусть l i – длина дуги Ai 1 Ai . На каждой из n дуг
выберем произвольно точку
M i ( xi ; yi )(i  1; n) и умножим значение
функции f ( xi ; yi ) в этой точке на длину l i .
Определение 1. Интегральной суммой для функции f (x; y) по дуге AB
n
называется сумма вида:
 f ( x ; y )l
i
i 1
i
i
Определение 2. Криволинейным интегралом от функции f (x; y) по
дуге AB (или криволинейным интегралом I рода) называется предел
n
интегральной суммы
 f ( x ; y )l
i 1
1) n   и max li  0
i
i
i
при условиях:
i  1; n
2) этот предел существует и не зависит ни от способа разбиения дуги AB
на части, ни от выбора на каждой из частей точек M i ( xi ; yi )
.
 f ( x; y)dl 
AB
n
lim
 f ( x ; y )l
n
max li 0 i 1
i
i
i
Криволинейный интеграл I рода вычисляется по формуле:

AB
b
f ( x; y )dl   f ( x;  ( x))  1  ( ( x)) 2  dx,
a
если кривая AB задана функцией y   ( x), (a  x  b) .
Если кривая AB задана параметрически: x = x(t), y = y(t), где t1  t  t2 ,
то криволинейный интеграл I рода от функции f (x; y) по такой кривой
вычисляется по формуле:

t2
AB
f ( x; y )dl   f ( x(t ); y (t ))  ( x(t )) 2  ( y(t )) 2  dt.
t1
Аналогично определяется и вычисляется криволинейный
интеграл от
функции u  f ( x; y; z ) , определенной и непрерывной в точках дуги AB
гладкой
пространственной
кривой
l.
Пусть
эта
кривая
задана
параметрическими уравнениями: x = x(t), y = y(t), z = z(t)( t1  t  t2 ),
тогда

AB
t2
f ( x; y; z )dl   f ( x(t ); y (t ); z (t ))  ( x(t )) 2  ( y(t )) 2  ( z (t )) 2  dt.
t1
Если f (x; y)>0, то криволинейный интеграл I рода представляет собой
массу кривой l, имеющей переменную плотность   f ( x; y ) .
Основные свойства криволинейного интеграла I рода.
1) Криволинейный
интеграл I рода не зависит от направления пути
интегрирования:
 f ( x; y)dl   f ( x; y)dl
AB
BA
2) Если дугу l интегрирования разбить на две части l1 и
l2 , то:
 f ( x; y)dl   f ( x; y)dl   f ( x; y )dl.
l
3)
l1
l2
 ( f ( x; y)  f ( x; y))dl   f ( x; y)dl   f ( x; y)dl.
1
2
1
l
4)
l
2
l
 k  f ( x; y)dl  k   f ( x; y)dl ,
l
l
где k=const.
5) Если f ( x; y )  1 для любой точки кривой AB, то
 dl  AB
– длина
AB
кривой AB.
Примеры.
1) Вычислить длину кривой
y 2  x3 от точки A (0;0) до точки B(4;8).
3 12 3 x
( y  x ; y  x 
)
2
2
3

8
8
 ( 103  1) 
 (10 10  1).
27
27
Ответ: AB 
8
(10 10  1)
27
2) вычислить
 ( x  y)dl , если AB – отрезок прямой от точки A (0;0) до
AB
точки B(4;3). Прямая AB: y = kx, при x = 4 и y = 3:
3=4k  k 
3
3
y

x
; т.е. AB:
4
4
4
4
3
3
1
25
AB ( x  y)dl  0 ( x  4x)  1  ( 4 )2  dx  0 4x  16  dx 
4
5
5 x2
  xdx  
16 0
16 2
4
0
5
 .
2
5
.
Ответ:
2
2. Криволинейный интеграл II рода (по координатам)
Пусть в пространстве R3 задана дуга AB гладкой кривой l и на этой дуге
AB задано векторное поле
F ( x; y; z )  P( x; y; z )i  Q( x; y; z ) j  R( x; y; z )k .
Точками A  A0 ; A1 , A2 ,... An  B дуга AB разбита на n произвольных дуг
A0 A1 , A1 A2 ,... An1 An , на каждой из которых произвольно взяты точки
M i ( xi ; yi ; zi )(i  1; n) . Концы дуг соединены отрезками прямых, на
которых
выбрано
направление,
т.е.
l1  A0 A1; l 2  A1 A2 ,...ln  An1 An .
координаты: li  (xi ; yi ; zi ),
образованы
каждый
из
векторы:
которых
имеет
i  1; n
Составим сумму скалярных произведений векторов F (M i )  li (i  1; n)
n
n
 F (M )  l   P(M )  x  Q(M )  y  R(M )  z
i 1
i
i
i 1
i
i
i
i
i
i
n
Определение 3. Сумма
 F (M )  l
i 1
i
i
называется интегральной суммой
3
для векторной функции F ( x; y; z ) по дуге AB кривой l  R .
Определение 4. Криволинейным интегралом II рода от векторной
функции
F ( x; y; z ) по дуге AB кривой l  R3 называется предел
n
последовательности интегральных сумм
1)
 F (M )  l
i 1
i
i
при условиях:
n   и max li  0 (i  1; n) ;
2) этот предел существует и не зависит ни от способа разбиения дуги на
части, ни от выбора на каждой из этих частей точек M i . Этот
криволинейный интеграл II рода обозначается:
то есть:
 F  dl   P( x; y; z)dx  Q( x; y; z)dy  R( x; y; z)dz
AB
AB
Теорема 1 (существование криволинейного интеграла II рода).
Если вектор-функция F ( x; y; z ) непрерывна на дуге AB гладкой кривой l ,
то криволинейный интеграл II рода существует.
Замечание 1. Если вектор-функция F ( x; y )  P( x; y )i  Q( x; y ) j задана на дуге
2
AB гладкой кривой l  R , то криволинейный интеграл II рода
записывается следующим образом:
 
 F  dl 
 P( x; y)dx  Q( x; y)dz
AB
AB
Свойства криволинейного интеграла II рода.
1) Интеграл II рода изменяет знак на противоположный при изменении
направления пути интегрирования:
 
 
F

d
l


F

  dl .
AB
2)
BA
 Pdx  Qdy  Rdz   Pdx   Qdy   Rdz.
AB
AB
AB
AB
Остальные свойства аналогичные свойствам интеграла I рода.
Физический смысл криволинейного интеграла II рода.
 
Интеграл  F  dl равен работе, совершаемой при перемещении
AB
материальной точки единичной массы из точки A в точку B по кривой l в
силовом поле, создаваемом вектором




F  P( x; y; z )i  Q( x; y; z ) j  R( x; y; z )k .
Вычисление криволинейного интеграла II рода.
3
Пусть дуга AB кривой l  R задается параметрически: x = x(t), y = y(t),
z = z(t) и точке A соответствует значение параметра t   , а точке B –
значение t   . Тогда:

 P( x; y; z)dx  Q( x; y; z)dy  R( x; y; z)dz   ( P( x(t ); y(t ); z(t ))  x(t ) 
AB
 Q( x(t ); y(t ); z (t ))  y (t )  R( x(t ); y (t ); z (t ))  z (t ))  dt.
В частном случае плоского задания кривой l  R 2 , например, в виде
функции y   (x ) от точки A( a;  ( a )) до точки B(b;  (b)) , интеграл II
рода вычисляется по формуле:
b
 P( x; y)dx  Q( x; y)dy   ( P( x; ( x))  Q( x; ( x))   ( x))dx.
AB
a
Примеры:
Вычислить:
 ( x  y)dx  ( x  z)dy  ydz 
1)
AB
AB : x  cos t; y  sin t; z  a  t;0  t  2 
2

 ((cos t  sin t )  ( sin t )  (cos t  at ) cos t  sin t  a)dt 
0
2

 ( cos t  sin t  sin
2
t  cos 2 t  at  cos t  a  sin t )dt 
0
cos 2 t

2
2
0

2
2
2
0
0
0
 cos 2tdt  a  t  cos t  dt  a  sin t  dt 
cos 2 2 cos 2 0 1


 sin 2t
2
2
2

2
0
 a(t  sin t  cos t )
2
0
 a cos t
2

0
1 1 1
1
  sin 4  sin 0  a(2  sin 2  0  cos 2  cos 0)  a(cos 2  cos 0)  0.
2 2 2
2
1
 ye dx  xdy   ( x 2 e x  2x 2 )dx 
3
xy
2)
AB
0


AB : y  x 2 ; A(0;0); B(1;1)
1
1
1 x3
1 x3 1 2 3 1 1
1 2
1
3
2
  e d ( x )  2 x dx  e
 x  e    0  (e  1).
30
3
3 0 3
3 3
3
0
0

 
3) Вычислить работу силового поля F  yi  xj при перемещении
x y
a b
2
материальной точки вдоль верхней половины эллипса
2
2
2
A (a;0) в точку B (-a;0).
A
 
F
  dl 
 ydx  xdy 
AB
AB
 1 из точки
 x2 y2

 x  a cos t
 2  2 1 

b
 y  b sin t ,0  t   
a

  (b sin t  (a sin t )  a cos t  b cos t )dt 
0



0
0
   ab(sin t  cos t )dt  ab  dt  ab  t     ab.
2
2
0
Замечание 2. Если кривая l , по которой проводится интегрирование,
является замкнутой, то A= B (начало пути совпадает с его концом). Тогда
путь интегрирования называют контуром и обозначают буквой C. При
этом криволинейный интеграл обозначают:
 Pdx  Qdy  Rdz
C
с указанной стрелкой направления интегрирования. В таком случае

интеграл называют циркуляцией вектора F по замкнутому контуру. Если
стрелки
нет,
то
вычисляют
интеграл
против
часовой
стрелки
(положительное направление).
3. Формула Грина.
Теорема. Пусть C – граница замкнутой области DCR 2 и функции P (x;y),
Q (x;y),
P
Q
( x; y ) и
( x; y ) непрерывны в области D. Тогда справедлива
x
y
формула Грина:
 Pdx  Qdy   (
C
D
Q P
 )  dxdy ,
x y
где обход контура C осуществляется против часовой стрелки.
Доказательство: Считаем область D правильной в направлениях 0X и 0Y
(рис.1).
рис.1
Пусть кривая AMB – график функции y  y1 ( x) – дуга AMB,
кривая ANB – график функции y  y 2 ( x) – дуга ANB,
кривая MAN - график функции x  x1 ( y) – дуга MAN,
кривая MBN - график функции x  x2 ( y) – дуга MBN
2
y2 ( x )
P
P
Вычислим  y dxdy   dx  y dy   dx( P( x; y )) y ( x ) 
1
D
a
y1 ( x )
a
b
y ( x)
b
b
b
b
a
a
a
  dx( P( x; y2 ( x)) P( x; y1 ( x)))   P( x; y2 ( x))dx   P( x; y1 ( x))dx 
   P( x; y )d x 
BNA

P( x; y)dx    P( x; y )dx,
AMB
C
Аналогично вычислим
x ( y)
2
x2 ( y )
Q
Q
D x dxdy  m dy x ( y ) x dx  m dy  Q( x; y) x1 ( y ) 
1
n
n
n
  (Q( x2 ( y ); y ))  Q( x1 ( y ); y ))dy 
m
n
n
m
m
  Q( x2 ( y ); y )dy   Q( x1 ( y ); y )dy 
Вычитаем (1) из (2), получим:
Используя свойства двойного и криволинейного интегралов, можно
записать:
Теорема доказана.
Замечание
1) Условия теоремы Грина обеспечивают существование всех входящих в
нее интегралов.
2) Если область D не является правильной, то ее надо разбить на
правильные части. Тогда:
и для каждого из n слагаемых применяем формулу Грина.
Пример. Вычислить по формуле Грина:
P( x; y )   y  Py  1
Q( x; y )  x  Qx  1
Из полученного результата можно записать формулу для вычисления
площади области D, у которой границей является контур C, с помощью
криволинейного интеграла:
  (e x cos y  e x cos y  m)dxdy   mdxdy  m  dxdy  m  S D 
D
D
a
ma
 m  R 2  m    ( ) 2 
.
2
4
2
Ответ:
ma 2
4
.
D
4. Независимость криволинейного интеграла от пути интегрирования.
(плоский случай)
Определение. Криволинейный интеграл II рода называется независящим
от пути интегрирования, если результат интегрирования будет один и тот
же по любому пути, соединяющему точки A и B, на котором функции P
(x;y) и Q (x;y) непрерывны. Обозначение такого интеграла:
B
 P( x; y)dx  Q( x; y)dy .
A
B
Теорема 1. Криволинейный интеграл
 P( x; y)dx  Q( x; y)dy
не
A
зависит от пути интегрирования в области D тогда и только тогда, когда:
по любому замкнутому контуру C, целиком лежащему в области D.
Доказательство: 1) Необходимость.
Пусть A и B  D . Рассмотрим две произвольные кривые l1 и l 2 ,
соединяющие точки A и B.
Отсюда следует:
 Pdx  Qdy   Pdx  Qdy  0
AmB
AnB
Так как кривые l1 и l 2 взяты произвольно, то и контур C=AmBnA –
произвольный.
Необходимость доказана.
Достаточность.
Возьмем произвольный контур C  D
и на нем две точки A и B (произвольно). (рис. 2)
Тогда по свойству криволинейного
интеграла можно записать:
Поэтому

AmBl1
Pdx  Qdy 
 Pdx  Qdy
AnBl2
То есть результат интегрирования по двум произвольным кривым,
имеющих одно и тоже начало (A) и один и тот же конец (B) одинаковый,
B
следовательно
 Pdx  Qdy
не зависит от пути интегрирования.
A
Достаточность доказана.
Теорема 2. (Критерий независимости криволинейного интеграла от пути
интегрирования)
Пусть
функции
P( x; y ), Q( x; y ),
P
Q
( x; y ),
( x; y )
y
x
односвязной области D  R2. Чтобы интеграл
непрерывны
в
 P( x; y)dx  Q( x; y)dy не
AB
зависел от пути интегрирования в области D, необходимо и достаточно
выполнения равенства:
P
Q
( x; y) 
( x; y ) в любой точке ( x; y )  D .
y
x
Доказательство.
1) Необходимость:
Доказать:
P
Q
( x; y) 
( x; y ) в любой точке ( x; y )  D .
y
x
Предположим, что в точке M 0  D не выполняется равенство, т.е.
P
Q
(M 0 ) 
(M 0 )
y
x
Q
P
(M 0 ) 
( M 0 )  2  0. Построим окружность (C) с центром в
x
y
точке M 0 столь малого радиуса  , чтобы во всех точках круга S,
Пусть
ограниченного этой окружностью, выполнялось неравенство
Q P

 .
x y
Это требование можно выполнить, исходя из непрерывности функции
Q P

. Тогда по формуле Грина:
x y
То есть есть замкнутый контур, принадлежащий области D, по которому
интеграл не равен 0. Это противоречит условию теоремы. Следовательно, в
любой точке ( x; y )  D выполняется равенство:
P
Q
( x; y ) 
( x; y ).
y
x
Что и требовалось доказать.
2) Достаточность:
Рассмотрим любой контур C  D , ограничивающий область S  D (т.к.
область D односвязная). Тогда по формуле Грина:
Так как по условию теоремы
Q
P
( x; y ) 
( x; y ) в любой точке ( x; y )  D , то
x
y
Q P

 0 в области S  D . Следовательно,
x y
 0dxdy  0 
S
Так как контур C произвольный в области D, то
 Pdx  Qdy
в области D
AB
не зависит от пути интегрирования.
Достаточность доказана.
5. Потенциальное поле, потенциальная функция и ее вычисление.

Определение 6.
потенциальным,


Векторное поле F ( x; y )  P( x; y )i  Q( x; y ) j называется
если
 P( x; y)dx  Q( x; y)dy
не
зависит
от
пути,
AB
соединяющему точки A и B.
Если
 P( x; y)dx  Q( x; y)dy не зависит от пути интегрирования, то
AB
 Pdx  Qdy  0  Pdx  Qdy  dU ( x; y)
C
При этом функция U ( x; y ) называется потенциальной функцией поля



F  P( x; y )i  Q( x; y ) j .
Вычисление потенциальной функции.
Если
P
Q
( x; y ) 
( x; y ) , то существует функция U ( x; y ) , для которой
y
x
dU  Pdx  Qdy .
криволинейный
Для
интеграл
вычисления
функции
 Pdx  Qdy,
не
U ( x; y )
зависящий
используем
от
пути
AB
интегрирования. Путь AB выбираем любой, соединяющий точки A( x0 ; y 0 )
и B ( x; y ) ; например, ломаную линию ACB, где C ( x; y0 ) (рис. 3). Тогда:
x
y
x0
y0
Итак, U ( x; y )   P( x; y 0 )dx   Q( x; y )dy.
Пример.
Найти потенциальную функцию U ( x; y ) по ее полному
y
дифференциалу: dU  ( x  y  1)dx  (e  x)dy
Проверим условие полного дифференциала:
P  ( x  y  1)  Py  1
  Py  Q x – выполняется
Q  e y  x  Q x  1 
y
Способ 1. Если dU  ( x  y  1)dx  (e  x)dy , то
 U
x2
 x  x  y  1  U   ( x  y  1)dx   ( y )  2  yx  x   ( y )( y  const ),

 U  e y  x
 y

U
x2
 yx  x   ( y ).
2
U
 x   ( y )  e y  x   ( y )  e y   ( y )   e y dy  e y  C.
y
x2
 yx  x  e y  C
Следовательно, U 
2
Способ 2. выберем в качестве пути интегрирования
ломаную OCB, где O(0;0), C ( x;0), B ( x; y ) (рис. 4)
B ( x; y )
U ( x; y ) 

( x  y  1)dx  (e y  x)dy 
O (0;0)

( x  y  1)dx  (e y  x)dy 
OC
y
(
x

y

1)
dx

(
e
 x)dy 

CB
y
x
x2
x2
y
  x  e  xy   x  e y  xy  1;
2
2
0
0
Итак: U 
x2
 x  e y  xy  C
2
C – произвольная постоянная.
6. Вычисление криволинейного интеграла, независящего от пути
интегрирования.
Интеграл
 Pdx  Qdy
не зависит от пути интегрирования, если Py  Q x .
AB
Тогда значение интеграла будет зависеть от координат начала пути –
точка A и конца пути – точка B. При этом интеграл записывают
( x2 ; y 2 )
следующим образом:
 Pdx  Qdy.
( x1 ; y1 )
Чтобы его вычислить, можно использовать два способа.
( x1 ; y1 )
( x1 ; y1 )
u  u ( x; y ) – потенциальная функция.
Но так как
( x2 ; y2 )
то
( x2 ; y2 )
 Pdx  Qdy   du ,
Способ 1.
где
( x2 ; y2 )

b
b
a
a
 du  u
 u (b)  u (a) ,
du u ( x; y )
( x1 ; y1 )
( x2 ; y2 )
Следовательно:

( x2 ; y2 )
( x1 ; y1 )
 u ( x2 ; y2 )  u ( x1; y1 ).
Pdx  Qdy u ( x2 ; y2 )  u ( x1 ; y1 ).
( x1 ; y1 )
Способ 2.
Можно вычислить интеграл, выбрав путь интегрирования
(любой), соединяющий точки A( x1 ; y1 ) и B( x2 ; y2 ) . Наиболее рационально
выбрать путь ACB – ломаную линию, составляющие которой параллельны
осям координат, т.е. взять точку C ( x2 ; y1 ) или C( x1 ; y2 ) , тогда путь
интегрирования будет состоять из двух отрезков: AC и CB, при этом
интеграл будет равен сумме двух интегралов по AC и CB.
Пример. Вычислить интеграл:
( 2; 2 )
 ( x  2 y)dx  (2 x  y)dy
( 0; 0 )
2
2
x2
  xdx   (4  y)dy 
2
0
0
y2
 4y 
2
0
0
2
2
2
 2  8  2  8.
0
( 2; 2 )
2 способ.

( 2; 2 )
( x  2 y )dx  (2 x  y )dy 
( 0; 0 )

du  u ( x; y )
( 0; 0 )
( 2; 2 )
( 0; 0 )
,
где u ( x; y ) : du  ( x  2 y )dx  (2 x  y )dy.
x2
u   ( x  2 y )dx   ( y ) 
 2 yx   ( y )( y  const ),
u x  x  2 y
2
u   2 x  y 
y2
 y
u y  2 x   ( y )  2 x  y   ( y )   y   ( y )  
2
( 2; 2 )
x2
y2
 2 yx  ;   ( x  2 y )dx  (2 x  y )dy 
Значит: u ( x; y ) 
2
2
( 0; 0 )
x2
y 2 ( 2; 2 )
 (  2 yx  )
 2  8  2  8.
2
2 ( 0; 0 )
Ответ: 8.
§ 4. Поверхностные интегралы.
1. Поверхностный интеграл I рода.
Пусть функция U  U ( x; y; z ) непрерывна на гладкой поверхности S,
заданной функцией z  f ( x; y ) непрерывно дифференцируемой в каждой
точке области D  R2. Поверхностным интегралом I рода от функции
U ( x; y; z ) по поверхности S называется предел интегральной суммы
n
 U ( x ; y ; z )  S
i 1
i
i
i
i
при условиях:
1) n   и max S i  0 (стягиваясь в точку),
2) этот предел существует и не зависит ни от способа разбиения
поверхности S на n частей, ни от выбора точек ( xi ; yi ; z i ) на этих частях,
где S i – площадь i-той части поверхности S (i  1; n), dS – дифференциал
z 2 z 2
dS

1

(
)  ( ) dxdy.
поверхности S, вычисляемый по формуле:
x
y
Если проекция поверхности S на плоскость OXY однозначна и совпадает с
областью D, то поверхностный интеграл I рода вычисляется по формуле:
 U ( x; y; z)ds   U ( x; y; f ( x; y)) 1  (
S
D
z 2 z 2
)  ( ) dxdy.
x
y
Замечание 1. Если прямая, параллельная оси OZ и проходящая через
внутреннюю точку области D, пересекает поверхность S в более чем одной
точке, то поверхность S разбивается на части так, чтобы прямая
параллельная OZ пересекала S только в одной точке. И интегрирование
следует выполнить по каждой из полученных частей.
Замечание 2. Поверхностный интеграл I рода не зависит от того, по какой
стороне поверхности он берется.
Замечание 3. Физический смысл поверхностного интеграла I рода зависит
от физического смысла данного скалярного поля, т.е. от U  U ( x; y; z ) : он
может определять массу, распределенную на данной поверхности,
электрический заряд и т.д.
Замечание 4.
Если функция U  U ( x; y; z ) равна во всех точках
поверхности S единице, то поверхностный интеграл I рода
 ds
равен
S
площади поверхности S.
Следовательно, справедлива формула:
S
S
  ds   1  (
S
D
z 2 z 2
)  ( ) dxdy, где D – проекция поверхности S
x
y
на OXY, z  f ( x; y ) – функция, задающая поверхность S.
2. Поверхностный интеграл II рода.
Гладкая поверхность S  R 3 называется двусторонней, если нормаль к
этой поверхности в любой ее точке при обходе по любому замкнутому
контуру, лежащему на поверхности S и не имеющему общих точек с ее
границей,
возвращается
в
первоначальное
положение.
Выбор
определенной стороны поверхности, т.е. выбор направления нормали к
поверхности, называется ориентацией поверхности.
Пусть S

- гладкая ориентированная поверхность и в каждой точке этой
поверхности задана непрерывная функция U  U ( x; y; z ) . Разобьем
поверхность S на n частей произвольно и каждую часть проецируем на
плоскость, например, OXY. Обозначим площадь каждой проекции
S ixy (i  1; n) . На каждой из частей поверхности произвольно берем точку
n
M i ( xi ; yi ; z i ) и составим сумму:
 U ( x ; y ; z )  S
i 1
i
i
i
ixy
.
Поверхностным интегралом II рода называется предел интегральной
n
суммы
 U ( x ; y ; z )  S
i 1
i
i
i
ixy
при условиях:
1) n   и max Si  0 (стягиваясь в точку),
2)
этот предел существует и не зависит ни от способа разбиения
поверхности S на части, ни от выбора точек M i (i  1; n) на каждой из
частей поверхности, т.е.:
Аналогично можно дать определения поверхностных интегралов IIрода по
другим координатам:
Пусть в каждой точке ориентированной поверхности S

определен
вектор:




F ( x; y; z )  P( x; y; z )  i  Q( x; y; z )  j  R( x; y; z )  k ,
где функции P ( x; y; z ) , Q ( x; y; z ) , R ( x; y; z ) - непрерывные функции на
поверхности S. Тогда можно определить поверхностный интеграл II рода в


F
общем случае от векторной функции ( x; y; z ) по поверхности S :


F
 ( x; y; z)  ds   P( x; y; z)dydz  Q( x; y; z)dxdz  R( x; y; z)dxdy,
S
S



F
(
x
;
y
;
z
)

d
s
F
где
- скалярное произведение вектора ( x; y; z ) и

ds - вектора с координатами:

ds  (dS yz ; dS xz ; dS xy )  (cos   ds; cos   ds; cos   ds)  (dydz; dxdz; dxdy).
Следовательно, поверхностный интеграл II рода в общем случае можно
записать:
 
F
  ds   ( P( x; y; z) cos   Q( x; y; z) cos   R( x; y; z) cos  )ds 
S
S
  P( x; y; z )dydz  Q( x; y; z )dxdz  R( x; y; z )dxdy.
S
То есть в общем случае интеграл можно записать как поверхностный
интеграл I рода или как поверхностный интеграл II рода – по координатам.
Поверхностный интеграл II рода называют потоком векторного поля

F ( x; y; z ) через поверхность S  или S  . Название «поток» связано с
гидромеханической задачей – вычисление количества жидкости или газа,
протекающего за единицу времени в заданном направлении через
поверхность S. Переход к другой стороне поверхности меняет направление
нормали к поверхности, а потому и знак поверхностного интеграла II рода.
Вычисление поверхностного интеграла II рода сводится к вычислению
поверхностного интеграла I рода:
 
 
F

d
s

(
F

  n)  ds 
S
S
 P( x; y; f ( x; y)) cos  Q( x; y; f ( x; y)) cos   R( x; y; f ( x; y)) cos  )ds,
S

где cos  ; cos  ; cos  - направляющие косинусы вектора нормали n ;
z  f ( x; y ) - функция, задающая поверхность S. Или вычисление
поверхностного интеграла II рода сводится к вычислению суммы трех
двойных интегралов:
где ПрyzS, ПрxzS, ПрxyS - проекции поверхности S на OYZ, OXZ и OXY
соответственно, функции x (y;z), y (x;z) и z (x;y) – выражения, полученные
из уравнения
z  f ( x; y ) , задающего поверхность
S, с помощью
разрешения x, y и z относительно соответствующих координат.




F

x
i

y
j

z
k
Пример. Вычислить поток вектора
через внешнюю
1
сторону сферы, лежащей в первом октанте (рис. ):
8
x 2  y 2  z 2  R 2

 x  0; y  0; z  0
Так как в первом октанте внешняя нормаль
сферы со всеми осями координат образует
острые углы, то все три направляющих
косинуса нормали неотрицательны.
Поэтому:
Вычислим первый интеграл, остальные будут по величине такие же.
 
R 3 R 3
Итак:  F  ds 3  6  2 .
S
  R 3
F  ds 
.
Ответ: 
2
S
3. Дивергенция векторного поля. Теорема Гаусса – Остроградского.
Определение. Пусть в пространстве R 3 задан вектор




F ( x; y; z )  P( x; y; z )  i  Q( x; y; z )  j  R( x; y; z )  k ,
P, Q
где
функции
и R дифференцируемые в некоторой области D  R3. Тогда

F
дивергенцией векторного поля ( x; y; z ) называется скалярная величина,

обозначаемая divF и вычисляемая по формуле:
 P Q R
divF 


.
x y z
Теорема Гаусса – Остроградского.
Пусть задана замкнутая поверхность S , ограниченная двумя правильными
по направлению оси OZ поверхностями:
S1 : z  z1 ( x; y) и S2 : z  z2 ( x; y) . Тогда поток вектора




F ( x; y; z )  P( x; y; z )  i  Q( x; y; z )  j  R( x; y; z )  k через поверхность





S с нормалью n  cos   i  cos   j  cos   k , направленной из
поверхности S (наружу по отношению к объему V , ограниченному
поверхностью S), вычисляется по формуле:
 ( P( x; y; z) cos  Q( x; y; z) cos   R( x; y; z) cos  )ds 
S
  (
V
P Q R

 )dxdydz
x y z
Эту формулу можно записать в векторной форме:
 

 F  dS   divF  dV
S
.
V
Формула Гаусса – Остроградского связывает поток вектора

F
через

замкнутую поверхность S, ориентируемую вектором нормали n ,
направленный наружу по отношению к объему V, заключенному внутри

поверхности S, с тройным интегралом по объему V от divF . Если
вектор

F
является вектором скорости жидкости, протекающей через
объем V, то интеграл дает количество жидкости, вытекающей из объема V
через поверхность S в единицу времени. Если жидкость втекает в объем V,

то тройной интеграл получается отрицательным, т.к. divF <0.

div
F
Если
=0 во всех точках объема V, то поток вектора равен 0. Это
означает, что количество втекающей жидкости и вытекающей из объема V
одинаковое.




Пример. Определить поток вектора F  x  i  y  j  z  k через внешнюю
2
2
2
сторону сферы x  y  z  4 .

P
Q
R
 1;
 1;
 1.
Найдем divF ; P  x, Q  y, R  z 
x
y
z

Следовательно: divF  1  1  1  3.
4. Ротор (вихрь) векторного поля. Теорема Стокса.
Определение. Ротором (или вихрем) векторного поля




F ( x; y; z )  P( x; y; z )  i  Q( x; y; z )  j  R( x; y; z )  k называется вектор,

который в каждой точке дифференцируемости поля обозначается rotF и
вычисляется следующим образом:
Теорема Стокса. Пусть в пространстве
R 3 задан замкнутый гладкий
контур C, являющийся границей поверхности S, заданной непрерывно
дифференцируемой функцией. Ориентация поверхности S согласуется с
направлением обхода контура C «по правилу винта»: вектор нормали в
каждой точке поверхности S направлен так, что если смотреть с конца
вектора, то обход контура C наблюдается против часовой стрелки (в этом
случае направление вектора нормали считается положительным). Тогда
справедлива формула:
 Pdx  Qdy  Rdz 
C
  ((
S
R Q
P R
Q P

) cos   (  ) cos   (
 ) cos  )dS
y z
z x
x y
Эта формула устанавливает связь между криволинейным интегралом II

рода по замкнутому контуру (т.е. циркуляцией вектора F ( x; y; z ) ) с

поверхностным интегралом II рода от векторного поля rotF по
поверхности S, ориентированной с обходом контура C «по правилу винта»

(т.е. с потоком вектора rotF по поверхности, натянутой на контур C).
В векторной форме формула Стокса имеет вид:
 F  d l   rot F  n  dS
C
S
Замечание 1. Если рассматривать формулу Стокса в плоском случае (т.е.
если z=0), то получается формула Грина. Значит формула Грина является
частным случаем формулы Стокса.

Замечание 2. Из теоремы Стокса следует, что потоки rotF через любые
две поверхности, имеющие общий «край», равны.
Пример.
2 3
x
y dx  dy  zdz ,
Применяя формулу Стокса, вычислить 
C
x 2  y 2  r 2
если контур C: 
(окружность на плоскости OXY)
z  0
Найдем
x
Итак:
2
2 2
y 3 dx  dy  zdz    3x y dxdy 
S
C
2
  3x
2
y 2 dxdy 
S OXY
2
r
r
 3  d   cos    sin   d  3  cos   sin   d   5 d 
2
0
2
2
2
2
0
0
2
1
6
2
   3  sin 2  d 
4 0
6
r
0
r6
 r6
   (2  0)  
.
16
8
Ответ: 
 r6
8
.
3 r6
 
6 8
2
2
0
2
r6
1
(
1

cos
4

)
d



(


sin
4

)

0
16
4
0