Что я вижу, глядя на равенство x2+px+q=0

Муниципальное общеобразовательное учреждение «Лицей» г. Абакана
Адрес: 655016, Республика Хакасия, г. Абакан, ул. Лермонтова ,12
e-mail: licey-abakan@mail.ru
Директор: Петрук Лидия Андреевна
Телефон: 8(3902) 28-21-49
Геометрия уравнений
Автор: ученица 9 класса «А»
МОУ «Лицей»
Прохорова Анна Евгеньевна
Руководитель: Железнова Наталья Павловна
учитель высшей категории.
Абакан-2008
Содержание
I. Введение……………….…………………………………………….3
II. Геометрия уравнений………….…………………………………3
1. Уравнение x2+px+q=0………………………….……………….3
2. Уравнение x3+px+q=0……...………………………………..….5
3. Отступление о кратных корнях…………………………..…….6
4. Двойственные кривые……………………………………..……8
5. Уравнение x4+px2+qx+r=0 и ласточкин хвост…..………..….11
III. Заключение………….…………………………………………...12
IV. Приложение………………….………..…………………………14
V. Список литературы…………….…….………………………….31
2
I.Введение
Глядя на некоторые картинки, трудно решить, что же именно на них
изображено. Вот перед нами ваза причудливой формы; вдруг вместо вазы мы
видим два профиля, обращенные друг к другу (рисунок 1, указанные далее
рисунки представлены в приложении)... В математике тоже порой удается
взглянуть по-новому на привычную вещь и этот новый взгляд часто оказывается
плодотворным.
Что мы видим, глядя на равенство x2+px+q=0? Ну конечно, квадратное
уравнение с параметрами p и q, то есть семейство квадратных уравнений, по
одному для каждой пары значений p и q. Новый же взгляд на это уравнение
порождает новый метод определения количества его корней, представленный в
работе, который можно использовать как «машину» для решения квадратного
уравнения, если заданы значения p и q.
Возникает вопрос: «А какой в этом смысл? Ведь и так ясно, что число корней
квадратного уравнения зависит от знака дискриминанта!». Дело в том, что
данный метод позволяет исследовать кубическое уравнение, решить которое
гораздо труднее и с его помощью, зная только значения p и q, можно определить
число корней.
Поэтому целью работы является изучение геометрического способа
определения числа корней кубического уравнения и применение его при решении
заданий повышенного уровня сложности.
II.Геометрия уравнений
1.Уравнение x2+px+q=0
Посмотрим на уравнение x2+px+q=0 как на линейное относительно
переменных p и q; x в таком случае будет параметром. Например, при x=-1
3
получится уравнение 1-p+q=0, а при x=2 – уравнение 4+2p+q=0. Вообще, при
каждом значении x получится свое линейное уравнение с переменными p и q.
Линейное уравнение задает на плоскости с координатами (p, q) прямую.
Следовательно, уравнение x2+px+q=0 задает на (p, q)-плоскости семейство
прямых – по одной для каждого значения x.
Нарисуем несколько прямых этого семейства – рисунок 2. Глядя на этот
рисунок, трудно удержаться от соблазна провести кривую, которая касается всех
изображенных прямых. Такая кривая, похожая на параболу, изображена на
рисунке 3. Эта кривая называется огибающей данного семейства прямых. Что
огибающая в данном случае действительно будет параболой, мы увидим позже. А
пока будем рассматривать семейство прямых x2+px+q=0 на (p, q)-плоскости как
семейство касательных к этой огибающей.
Кстати, существование огибающей не является специфическим свойством
семейства прямых, изображенных на рисунке 2. Для любого
однопараметрического семейства прямых общего положения, то есть такого
семейства, в котором прямые с близкими значениями параметра не параллельны и
не проходят по три через одну точку, можно построить огибающую. Более того,
огибающая существует не только у семейства прямых, но и у семейства кривых
на плоскости.
На рисунке 2 на каждой прямой написан ее «номер», то есть то значение x, при
котором уравнение x2+px+q=0 задает именно эту прямую. Удобнее написать
номер прямой на огибающей в точке ее касания с этой прямой. Тогда на
огибающей появится шкала, «нумерующая» прямые нашего семейство
(рисунок 3).
Рисунок 3 можно использовать, как «машину» для решения квадратного
уравнения x2+px+q=0: если заданы значения p и q, нужно провести через точку с
координатами (p, q) касательную к огибающей и прочитать значение корня
уравнения на шкале в точке касания. В частности, число корней, для данных p
и q равно числу касательных, которые можно провести из точки (p, q) к
огибающей (рисунок 4).
4
Ясно, что если точка (p, q) лежит под огибающей, то таких касательных две; а
если выше, то ни одной. А как обстоит дело с точками самой огибающей? Через
эти точки можно провести только одну касательную. Поэтому соответствующие
квадратные уравнения имеют по одному (кратному) корню.
Итак, огибающая нашего семейства прямых – это множество таких точек
(p, q), что уравнение x2+px+q=0 имеет кратный корень. Пора вспомнить, что мы
умеем решать квадратные уравнения; в частности, знаем, что у уравнения
кратный корень бывает в случае p2=4q. Это уравнение квадратичной параболы и
задает огибающую. Поэтому кривая на рисунке 3 – парабола. Окончательный
итог исследования представлен на рисунке 5.
2.Уравнение x3+px+q=0
Рассмотрим уравнение x3+px+q=0. Оно задает на (p, q)-плоскости некоторое
семейство прямых. На рисунке 6 эти прямые построены для x=0, ±1/3, ±½,
±1, ±3/2.
Огибающая этого семейства прямых изображена на рисунке 7. Как видно,
для кубического уравнения огибающая получается не гладкой кривой, а кривой
с острием или «клювом». В остальном же рисунок 7 аналогичен рисунку 3 (как
и выше, на огибающую нанесена шкала значений).
Пусть заданы значения p и q. Как узнать, сколько решений имеет уравнение
x3+px+q=0? Нужно провести через точку (p,q) касательные к огибающей; их
число равно числу корней уравнения, а номера этих прямых равны корням.
Следовательно, рисунок 7 – это машина для решения кубического уравнения.
Рисунок 8 показывает, как зависит число решений от положения точки (p,q). Мы
видим, что в любом случае хотя бы одна касательная к огибающей найдется,
поэтому
Кубическое уравнение имеет хотя бы один корень.
Докажем, что любой многочлен нечетной степени имеет корень.
Пусть f(x)=xn+axn-1=…; n нечетно. Тогда f(x)=xn(1+a/x+…). При больших |x|
выражение в скобках близко к 1, поэтому знак f(x) совпадает со знаком xn.
5
Следовательно, при больших отрицательных x получаем f(x)<0, а при больших
положительных x получаем f(x)>0. Поэтому при некотором x будет f(x)=0.
Окончательный итог исследования представлен на рисунке 9. На этом можно
было бы поставить точку в исследовании кубического уравнения, если бы не одно
обстоятельство: мы так и не знаем, каким уравнением задается кривая на
рисунках 7-9.
3.Отступление о кратных корнях
Кривая, изображенная на рисунках 7-9, состоит из таких точек (р, q), что
уравнение x3+px+q=0 имеет кратный корень. При каких же p и q это происходит?
Если число t - корень, многочлена f(х), то f(х) делится на х-t. Если число t кратный корень, то f(х) делится на (х-t)2. Например, 1 - кратный корень
многочлена х3-3x+2=(x-1)2(х+2).
Запишем равенство f(x)=(x-t)2 ∙g(x) и вычислим производную:
f ́(x)=2∙(x-t)∙g(x)+(x-t) ∙2∙g ́(x).
Если в это равенство подставить x=t, то правая часть обратится в нуль. Значит
f ́(t)=0. Следовательно,
Число t является кратным корнем многочлена тогда и только тогда, когда t
является общим корнем этого многочлена и его производной.
Применим признак кратного корня к многочлену x3+px+q=0. Если число t —
кратный корень, то t3+pt+q=0 и 3t2+p=0. Выражая p из второго, q — из первого
уравнения, мы получим p=-3t2, q=2t3 (t – любое число). Эти уравнения задают
огибающую на рисунках 7-9 параметрически: при изменении t от –∞ до +∞
точка (-3t2, 2t3) пробегает всю кривую с клювом. Если задать кривую одним
уравнением, то надо избавиться от t (возводя первое уравнение в куб, а второе —
в квадрат): 4p3+27q2=0.
Это уравнение тоже задает нашу кривую с клювом. Из уравнения видно, что q
пропорционально р3/2. Поэтому кривая называется полукубической параболой
(если q~p, то парабола кубическая; у нас показатель степени вдвое меньшей
поэтому парабола полукубическая).
6
Выражение 4р3+27q2 называется дискриминантом кубического уравнения. От
знака дискриминанта и зависит число корней уравнения.
Если D>0, уравнение имеет три различных корня (один из них действительный)
D<0, уравнение имеет три действительных и различных корня
D=0, уравнение имеет три корня (два из них равны). Приведем несколько
примеров.
1.Сколько корней у многочлена x3-10x+12?
Найдем D: D=4p3+27q2=4∙(-10)3+27∙122=-4000+3888=-112.
D<0, поэтому корня три.
2. Сколько корней у уравнения x3+x-10=0
Найдем D: D=4p3+27q2=4+27∙100=2704.
D>0, три корня (один из них действительный)
Также можно исследовать геометрически зависимость числа корней
многочлена x5+px2+q=0 (и любого другого) от его коэффициентов.
Условие кратного корня: t5+pt2+q=0, 5t4+2pt=0. Значит, q=0, p – любое или
p=-5/2 ∙t3, q=3/2 ∙t5.
Докажем, что уравнение x1988+px+q=0 имеет не больше двух, а уравнение
x1989+px+q=0 не больше трех корней.
Условие кратного корня для первого многочлена: t1988+pt+q=0, 1988∙t1987+p=0.
Значит, p=-1988∙t1987, q=1987∙y1988.
7
Для второго многочлена: p=-1989∙t1988, q=1988∙t1989.
4.Двойственные кривые
Рассмотрим уравнение l+kp+q=0.
Для каждой пары значений k и l это уравнение задает
невертикальную прямую на плоскости с координатами р и q, причем таким образом получаются все невертикальные прямые. Значит, множество невертикальных
прямых (p, q)-плоскости можно отождествить с множеством пар (k,l), то есть с
точками (k,l)-плоскости. Посмотрим на уравнение l+kp+q=0 еще раз. Для каждой
пары значений p и q уравнение задает невертикальную прямую на (k,l)-плоскости.
Значит, точки (p, q)-плоскости можно отождествить с невертикальными прямыми
(k,l)-плоскости.
Итак, у нас есть две плоскости — с координатами (р, q) и с координатами (k,l).
Точки каждой из них можно воспринимать, как невертикальные прямые другой.
Эти плоскости называются двойственными. На рисунках мы будем изображать
(p, q)-плоскость синим цветом, а двойственную (k,l) — красным.
Точки на синей плоскости обозначаются заглавными буквами, прямые —
строчными буквами. На красной плоскости все наоборот: прямые,
соответствующие синим точкам, обозначаются теми же заглавными буквами, а
точки, соответствующие синим прямым, — теми же строчными буквами.
Посмотрим на рисунок 10. На нем изображены простые фигуры, состоящие из
точек и прямых, и соответствующие им фигуры на двойственной плоскости.
8
Пусть на синей плоскости нарисована кривая γ. Определим соответствующую
ей двойственную кривую на красной плоскости. Точки красной плоскости это
прямые синей; поэтому нужно связать с кривой γ семейство прямых синей
плоскости. Вы, наверно, уже догадались, как это сделать: с кривой γ нужно
связать семейство ее касательных прямых. Итак, определение:
Пусть γ – некоторая кривая. Двойственной кривой (на двойственной
плоскости) называется кривая, состоящая из всех касательных прямых кривой
γ.
Двойственная кривая обозначается через γ*.
Конечно, в этом определении предполагается, что γ не имеет вертикальных
касательных.
Определение дано, но как им пользоваться – не ясно. Например, какие кривые
двойственны квадратичной и кубической параболам? Можно было бы,
конечно, задать параболы уравнениями, выписать уравнения касательных, найти
их угловые коэффициенты k и свободные члены l и построить соответствующие
кривые на и построить соответствующие кривые на(k,l)-плоскости. Однако
такой путь мало привлекателен. Попробуем разобраться в поведении
двойственных кривых без вычислений.
Пусть кривая γ плавно поворачивается в одну сторону (рис. 11,а).
Касательная к γ тоже поворачивается, то есть двойственная кривая движется
в одном направлении. Но вот кривая γ начинает поворачиваться в другую
сторону — в точке возникает перегиб. Что происходит с касательной? До
момента перегиба касательная двигалась в одну сторону, а после перегиба
— в другую. Значит, двойственная кривая γ* меняет в момент перегиба
направление движения на противоположное (рис. 11,6). На двойственной
кривой возникает острие! Этих соображений уже достаточно, чтобы изобразить
кривые, двойственные квадратичной и кубической параболам (рис. 12).
Двойственные плоскости совершенно равноправны — каждая из них
отождествляется с множеством невертикальных прямых другой. А как обстоит
дело с двойственными кривыми? Верно ли, что если построить по синей кривой γ
9
красную кривую γ*, а затем по красной кривой γ* — двойственную ей синюю
кривую (γ*)*, то получится исходная кривая γ? Интуиция подсказывает
утвердительный ответ; чтобы обосновать его, разберемся, как устроена кривая
(γ*)*.
Рассмотрим кривую γ*. Чтобы построить двойственную ей кривую,
нужно рассмотреть касательные к γ*. Вместо касательной мы возьмем на
γ* две близкие точки l и m и проведем через них прямую A - красная часть
рисунка 13. Какая картинка возникает на синей плоскости? Точкам l и m
отвечают прямые l и m — см. синюю часть рисунка 13. Точки l и m на красной
плоскости лежат на кривой γ*. По определению это значит, что прямые l и m на
синей плоскости касаются кривой γ. Если теперь начать сближать точки l и m
справа, то прямая A будет стремиться к касательной к кривой γ*, а точка A слева
будет стремиться к точке кривой γ. Это и значит, что множество касательных
прямых к γ* определяет на синей плоскости исходную кривую γ.
Наше рассуждение закончено. Мы доказали, что
Кривая, двойственная к двойственной, совпадает с исходной: (γ*)*= γ.
Теперь можно «прочитать» рисунок 12 справа налево: кривая, двойственная
параболе,— парабола; кривая, двойственная полукубической параболе,—
кубическая парабола.
А при чем же здесь уравнения x2+px+q=0 и x3+px+q=0? Возьмем второе
уравнение. Оно получается из уравнения l+kp+q=0 при k=x и l=x3. Значит,
кубическое уравнение задает на красной (k,l)-плоскости кубическую параболу
l=k3. Двойственная кривая на синей плоскости – огибающая семейства прямых
x3+px+q=0, то есть полукубическая парабола. Так что наше исследование
кубического уравнения состояло в построении кривой, двойственной кубической
параболе. В частности, появление клюва мы можем объяснить теперь тем, что у
кубической параболы в нуле имеется точка перегиба.
Появление острия у огибающей можно воспринять как «несчастный случай»,
то есть как случайное, редкое явление. Двойственность показывает, что клювы
встречаются столь же часто, сколь точки перегиба. Но ясно, что наличие у кривой
10
точки перегиба,— довольно типичное свойство. Например, если слегка
пошевелить кривую, то точки перегиба не исчезнут. Специальным является,
скорее, случай кривых, не имеющих точки перегиба; такие кривые называются
выпуклыми. Двойственные к выпуклым кривым являются гладкими и не
содержат клювов.
5.Уравнение x4+px2+qx+r=0 и ласточкин хвост.
В дальнейшем при изучении стереометрии я планирую рассмотреть уравнение
x4+px2+qx+r=0, которое задает семейство уравнений с тремя переменными p, q, r,
а каждое такое уравнение задает плоскость. Огибающая семейства плоскостей –
поверхность, похожая на ласточкин хвост.
Рассмотрим уравнение x4+px2+qx+r=0. Это уравнение задает семейство
линейных уравнений с тремя переменными p, q, r — по одному линейному
уравнению для каждого значения х. Каждое линейное уравнение задает в
пространстве с координатами (p, q, r) плоскость, а семейство таких уравнений —
семейство плоскостей, зависящих от х как от параметра. Огибающей этого
семейства служит поверхность, которой касается каждая плоскость семейства.
Эта поверхность состоит из таких точек (p, q, r) что уравнение x4+px2+qx+r=0
имеет кратный корень.
Как же построить огибающую поверхность семейства плоскостей? Выберем
некоторое значение параметра х и возьмем две плоскости нашего семейства,
отвечающие двум значениям параметра, очень близким к х. Эти плоскости
пересекаются в пространстве по некоторой прямой, положение которой
определяется числом х. Значит, каждому значению х соответствует прямая в пространстве; совокупность этих прямых и образует огибающую поверхность
семейства плоскостей. Следовательно, огибающая семейства плоскостей —
линейчатая поверхность. Более того, все построенные прямые касаются
некоторой пространственной кривой. Чтобы построить эту кривую, нужно для
каждого значения параметра х найти точку пересечения трех плоскостей
нашего семейства, которые отвечают трем значениям параметра, очень близким
11
к х. Тогда каждому х будет соответствовать точка в пространстве; совокупность
этих точек и образует нужную пространственную кривую.
Внутри трехгранного пенала лежат точки (p, q, r) для которых наше уравнение
имеет 4 решения. На границе пенала, кроме ребра возврата и линии
самопересечения, уравнение имеет 3 решения. На этих линиях, исключая
вершину, решений 2; столько же решений имеет уравнение для всех (p, q, r)
лежащих выше поверхности (со стороны пенала). На всей поверхности, исключая
границу пенала, но включая вершину, решение одно, ниже поверхности решений
вовсе нет.
Итак, огибающая поверхность семейства плоскостей x4+px2+qx+r=0 состоит из
прямых, которые касаются кривой в пространстве. Построенная поверхность
называется ласточкин хвост (рисунок 14).
III. Заключение
В ходе исследования мы получили метод, позволяющий облегчить решение
уравнений высших степеней. Данный метод привлекателен тем, что позволяет
определять количество корней и не искать «несуществующие» корни. Кроме того
мы доказали, что кубическое уравнение обязательно имеет корень, независимо от
значений p и q. А также мы вывели формулу дискриминанта кубического
уравнения, который без построения позволяет определить количество корней
уравнения.
В практической части работы, было доказано, что с помощью рассмотренного
метода решить все гораздо проще. Например, рассмотрев уравнение x1988+px+q=0
с точки зрения данного метода, мы пришли к тому, что оно имеет не больше двух
решений.
Но ранее мы сталкивались только с уравнениями, имеющими два параметра, в
данной же работе мы коснулись рассмотрения уравнения с четырьмя
параметрами. Было бы нелепо и неудобно искать количество корней уравнения
x4+x2+2x+4=0! А с помощью метода, полученного в ходе исследования, мы
уверено можем сказать, что решения четыре.
12
В работе геометрически исследовано построение двойственной кривой к
данной, а также обосновано появление острия у огибающей.
Материалы данной работы можно использовать при составлении олимпиадных
заданий, а также для заданий повышенного уровня сложности.
13
IV. Приложение
14
15
Рисунок 1
16
Рисунок 2
17
Рисунок 3
18
Рисунок 4
19
Рисунок 5
20
Рисунок 6
21
Рисунок 7
22
Рисунок 8,а
23
Рисунок 8,б
24
Рисунок 8,в
25
Рисунок 9
26
Рисунок 10
27
Рисунок 11
28
Рисунок 12
29
Рисунок 13
30
Рисунок 14
31
V.Список используемой литературы
1. Выгодский М. Я. Справочник по высшей математике.- М.:Наука, 1966.
2. Мантуров О. В., Солнцев Ю. К. Толковый словарь математических
терминов.- М.:Просвещение, 1965.
3. Глейзер Г. И. История математики в школе.- М.:Просвещение,1982.
4. Табачников С. Л. Геометрия уравнений // «Квант».- М.:Наука, 1988.
5. Фукс Д. Б. Геометрия листа бумаги // «Квант».- М.:Наука, 1988.
6. Маркушевич А. И. Числа и фигуры.- М.:Педагогика, 1972.
7. Савин А. П. Энциклопедический словарь юного математика.М.:Педагогика-Пресс, 1999.
8. Башмаков М. И. Уравнения и неравенства.- М.:Наука, 1976.
9. Клейн Ф. Элементарная математика с точки зрения высшей.- М.:Наука,
1987.
10. Понтрягин Л. С. Знакомство с высшей математикой.- М.:Наука, 1980.
32