Элементарное доказательство 1637 года, очевидно, существует

Элементарное доказательство 1637 года,
очевидно, существует.
Аннотация:
реконструирована
удивительно простая
часть
доказательства
Пьером де Ферма его «большой» теоремы - для чётных показателей.
Напишем утверждение «ВТФ» - «великой» теоремы Пьера де Ферма - в виде :
уравнение
Lk = Mk + Nk для натуральных k, L, M, N разрешимо только для k < 3.
Потребуем, не теряя общности :
взаимно просты числа
в паре ( k N ) и в тройке ( L M N ).
Тогда :
Nk = ( L – M ) ( Lk-1 + Lk-2M +… + Mk-1 ) = …
… = (L - M) { (L - M) [ Lk-2 + 2Lk-3M +… + (k-1)Mk-2 ] + kMk-2 }
(L–M)
и
( Lk-1 + Lk-2M +… + Mk-1 )
=>
взаимно просты
{ т.к. Nk делится на (L - M) и не имеет общих множителей с k и M },
и можно положить
N ≡ PQ:
0< P < Q
и
L - M = Pk
=>
Lk - Mk = PkQk , -
и далее рассматривать эту систему двух уравнений с двумя неизвестными L, M,
связанными
взаимно простыми
Для k = 2
l - m = p2
параметрами
k, P, Q.
получаем древний алгоритм вычисления
троек Пифагора :
и
2l = p2 + q2; ... , -
l2 - m2 = p2q2
l + m = q2;
=>
и взаимно однозначное соответствие двух подмножеств натуральных чисел :
- пар квадратов нечётных взаимно простых
{ p2 < q2 } ~ { l-m
- пифагоровых троек, отвечающих уравнению
{l m n}
~
{ (q2 + p2)/2
( q2 - p2)/2
l+m }
l2 = m2 + n2, pq }.
Заметим, что именно и только m чётно :
2m = q2 - p2= (q + p)(q - p).
Если две тройки Пифагора :
( l1 m1 n1 ) = ( (q12 + p12)/2 ( q12 - p12)/2
p1q1 ) ;
( l2 m2 n2 ) = ( (q22 + p22)/2 ( q22 - p22)/2
p2q2 ) , -
имеют ровно два общих элемента, то один из них т.к.
l1 = n2
и
q12 + p12 = 2 p2q2
l2 = n1
плюс
ведёт
M = m1 = m2,
к абсурду :
q22 + p22 = 2 p1q1 => ( q1 - p1) 2 + ( q2 - p2) 2= 0.
и
Т.о., не исключается единственная возможность (с точностью до обмена индексами) :
(L M n1 ) = ( (q12 + p12)/2 ( q12 - p12)/2
p1q1 )
~ ( p12 q12 ) = ( L - M
L+M);
( l2 M L ) = ( (q22 + p22)/2 ( q22 - p22)/2
p2q2 )
~ ( p22 q22 ) = ( l2 - M
l2 + M ), -
и тогда
(L2 - M2)( L2 + M2) = n12l22 = p12q12(q22 + p22)2/4 .
При k = 4
уравнение
отвечает тройке Пифагора ( l m n )0 = ( L2 M2 N2)
( p02 q02) = ( L2 - M2
p1 = P2,
Здесь
в
2F
и
q1 = q211
не
тройку Пифагора
является
с биективной ей парой :
пифагоровы тройки :
с образующими парами
Следовательно, необходимо :
т.е.
L - M = P4
L2 +M2 ), -
и должны бы существовать ещё две
( L M p0) и (q0 M L)
с
L4 - M4 = N4 = P4Q4
( p12 q12) и ( p22 q22).
N4 = P4Q4 = p12q12(q22 + p22)2/4 , q22 + p22 = 4F2.
целым числом,
поскольку не может входить
с меньшими нечётными натуральными.
А не столь простое доказательство для биквадратов
Ферма,
видимо,
дал
«по соседству» лишь (?) для иллюстрации своего изобретения - метода спуска.
Чётность показателя
в
L2k - M2k = N2k = P2kQ2k
( l m n)0 = ( Lk Mk Nk) с порождающей её парой
и при
при
чётных
k = 2j+1 ,
k
j> 0
даёт тройку Пифагора
(p02 q02) = ( Lk - Mk Lk + Mk ),
доказательство сводится к случаю
- к
биквадратов, а иначе -
отсутствию целочисленных решений
L2j+1 - M2j+1 = p02 = P2(2j+1)Qα
уравнений:
и
L2j+1 + M2j+1 = q02 = Q2(2j+1) - α .
Здесь
α - не целое число
в силу взаимной простоты p0
и q0 .
* * *
Дело чести математиков - поставить точки над i ... хотя бы в XXI веке.
Великие Эйлер, Гаусс, ... ... ... искали удивительное доказательство.
Но великий гасконец спрятал своё, детективно,
у всех на виду.