Задача № 3 симметричную систему ЭДС) и симметричную нагрузку Действующие значения

Задача № 3
Дано: Схема трёхфазной цепи, состоящей из генератора (создающий трёхфазную
симметричную систему ЭДС) и симметричную нагрузку Действующие значения
ЭДС фазы генератора ЕА, периода Т, параметры R1, R2, L, C1, C2 даны в условии
задачи. Начальную фазу ЭДС ЕА принять нулевой. Требуется определить:
1. Рассчитать токи,
2. Построить векторную диаграмму токов и напряжений.
3. Определить мгновенное значение напряжений между заданными точками
напряжение UCA.
4. Подчитать активную мощность трехфазной системы.
m
A
ХC1
a
Дано:
ЕА = 200 B
Т = 0,02 с
L = 29,71 мГн
С1 = 367,5 мкФ
R1 = 4,33 Oм
R2 = 8,66 Oм
R1
R2
ХL
0/
0
ХL
C
B
c
R2
R1
ХL
n
b
ХC1
R1
k
R2
ХC1
Решение: Начертили схему и расставили токи. В симметричной цепи комплексные
сопротивления фаз приёмника одинаковы ZA = ZB = ZC и между зажимами фаз
приёмника действует симметричная система линейных напряжений при любой
схеме соединения источника. Для дальнейших расчетов необходимо определить
комплексное сопротивление линий и ветвей приёмника. В симметричной цепи
достаточно провести расчёт одной фазы т.к. токи и мощность во всех фазах
одинаковы, однако для подтверждения правдивости данного утверждения расчет
произведем для всех фаз приёмника.
Произведем расчет комплексных сопротивлений линий и приёмника.
Рассчитаем реактивные сопротивления элементов цепи.
Частота это величина обратная периоду.
f = 1/Т = 1/ 0,02 = 50 Гц
ω = 2π ģ f
1
1
ХC1 =
=
= 8,66 Ом
2ПfC1
2*3,14159*50*367,5*10-6
ХL1 =
2ПfL1
=
2*3,14159*29,71*10-3*50
=
9,33
Ом
Выразим комплексное сопротивление линии. Линия состоит из параллельно
соединённых сопротивлений активного R2 и реактивного ХС1 и последовательно
соединенного активного сопротивления R1
Выразим сопротивления в комплексной форме.
ZR2 = 8,66 + j 0 = 8,66 * e j 0
ZXС = 0 – j 8,66 = 8,66 * e –j 90
Параллельно соединенные сопротивления определяем по следующей формуле.
ZR2 · ZXС
ZПЛа = ZПЛв = ZПЛс =
ZR2 + ZXС
ZПЛа =
8,66 * e j 0 * 8,66,0 * e –j 90
8,66 + j 0 + 0 – j 8,66
=
75 * e –j 90
8,66 – j 8,66
=
75 * e –j 90
12,24 * e –j 45
= 6,1239 * e –j 45 = 4,33 – j 4,33
Комплексное сопротивление линии определяется по следующей формуле.
ZЛа = ZЛb = ZЛс = ZПЛа + ZR1 = 4,33 – j 4,33 + 4,33 + j0 = 8,66 – j 4,33 =
9,682 * e –j 26,57
Комплексное сопротивление линии имеет реактивное (ёмкостное) сопротивление.
Приёмник имеет реактивное (индуктивное) сопротивление.
Выразим данное сопротивление в комплексной форме
ZПра = ZПрb = ZПрс = 0 + j 9,33 = 9,33 * e j 90
Рассмотрим одну фазу: источник – линия – приёмник.
Два последовательных сопротивления ZЛа и ZПра преобразуем в одно сопротивление.
Zа = Zb = Zс = ZЛа + ZПра = 8,66 – j 4,33 + 0 + j 9,33 = 8,66 + j 5 = 10,0 * e j 30
Так как по условию задачи нам задано действующее значение ЭДС фазы, а это
означает что нам дано фазное значение фазы А
Действующее значение ЭДС меньше в √2 раз его амплитудного значения.
еа = √2 * Еa = √2 * 200 = 282,84 В
Так как начальная фаза ЭДС ЕА равна нулю (по условию задачи) то можно записать
еа = 282,84 sin (ωt – 0)
Так как в трехфазной цепи протекает симметричный ток, где смещение каждой фазы
друг от друга составляет 120 0, смещение фазы В от фазы А равно – 120 0, а
смещение фазы С от фазы А равно – 240 0 (или на + 120 0)
Для других фаз можно записать
еb = 282,84 sin (ωt – 120)
ес = 282,84 sin (ωt – 240) = 282,84 sin (ωt + 120)
Запишем значение ЭДС фаз в комплексной форме
Ėа = 282,84 * e j 0 = 282,84 + j 0
Ėb = 282,84 * e – j 120 = – 141,42 – j 244,95
Ėс = 282,84 * e j 120 = – 141,42 + j 244,95
Произведём расчет комплексного значения тока для фаз А, В и С
İa = Ėа /Za = 282,84 * e j 0 /10,0 * e j 30 = 28,284 * e – j 30 = 24,49 – j 14,142
İb = Ėb /Zb = 282,84 * e – j 120/10,0 * e j 30 = 28,284 * e – j 150 = – 24,49 – j 14,142
İc = Ėс /Zc = 282,84 * e j 120/10,0 * e j 30 = 28,284 * e j 90 = 0 + j 28,284
При соединении приёмника в «звезду» фазное значение тока равно линейному.
Равенство нулю суммы линейных токов является общим свойством
трёхфазных трехпроводных цепей при соединении «звездой» и
«треугольником» при симметричной и несимметричной нагрузке.
İa + İb + İc = (24,49 – j 14,142) + (– 24,49 – j 14,142) + (0 + j 28,284) =
24,49 – 24,49 + j 28,284 – j 28,284 = 0
Произведем вычисления падения напряжения на последовательных сопротивлениях
ZЛа и ZПра.
Для фазы А
Ů ZЛа = İa * ZЛа = 28,284 * e – j 30 * 9,682 * e –j 26,57 = 273,85 * e –j 56,57 = 150,87 – j 228,54
Ů ZПра = İa * ZПра = 28,284 * e – j 30 * 9,33 * e j 90 = 263,89 * е j 60 = 131,94 + j 228,54
Сумма падений напряжений на последовательных сопротивлениях равно ЭДС
источника для одной фазы.
Ėа = Ů ZЛа + Ů ZПра = 150,87 – j 228,54 + 131,94 + j 228,54 = 282,81 + j 0,0
≈ 282,84 + j 0,0 = 282,84 * e j 0
Произведем расчет для остальных фаз
Для фазы В
Ů ZЛb = İb * ZЛb = 28,284 * e – j 150 * 9,682 * e –j 26,57 = 273,85 * e – j 176,57 =
–273,36 – j 16,384
Ů ZПрb = İb * ZПрb = 28,284 * e – j 150 * 9,33 * e j 90 = 263,89 * е – j 60= 131,94 – j 228,54
Ėb = Ů ZЛb + Ů ZПрb = –273,36 – j 16,384 + 131,94 – j 228,54 = – 141,42 – j 244,92 ≈
141,42 – j 244,95 = 282,84 * e – j 120
Для фазы С
Ů ZЛс = İс * ZЛс = 28,284 * e j 90 * 9,682 * e –j 26,57 = 273,85 * e j 63,46 = 122,36 + j 244,99
Ů ZПрс = İс * ZПрс = 28,284 * e j 90 * 9,33 * e j 90 = 263,89 * е j 180 = – 263,89 + j 0
Ėс = Ů ZЛс + Ů ZПрс = 122,36 + j 244,99 – 263,89 + j 0 = 141,53 + j 244,99 ≈
141,42 + j 244,95 282,84 * e j 120
3. Определим мгновенное значение напряжений между точками с и а приемника.
Так как точки с и а находятся на концах приемника, а это означает, что необходимо
найти линейное напряжение приемника между фазами а и с.
Ůса = Ů ZПрс – Ů ZПра = (– 263,89 + j 0) – (131,94 + j 228,54) = – 395,83 – j 244,54 =
465,27 * е – j 148,29
еса = 465,27 sin (ωt – j 148,29)
Активная мощность системы определяется произведением комплекса напряжения
на сопряженный комплекс тока. Произведем расчет для каждой фазы системы
отдельно.
Запишем значения сопряженного комплекса тока для каждой фазы.
(İa) = 24,49 + j 14,142 = 28,284 * e j 30
(İb) = – 24,49 + j 14,142 = 28,284 * e j 150
(İc) = 0 – j 28,284 = 28,284 * e – j 90
ŠА = UА (İА) = РА + j QA = (282,84 * e j 0)*( 28,284 * e j 30) = 7999,85 * e j 30=
6928,075 + j 3999,92 ВА
ŠВ = UВ (İВ) = РВ + j QВ = (282,84 * e – j 120)*( 28,284 * e j 150) = 7999,85 * e j 30 =
6928,075 + j 3999,92 ВА
ŠС = UС (İС) = РС + j QС = (282,84 * e j 120)*( 28,284 * e – j 90) = 7999,85 * e j 30 =
6928,075 + j 3999,92 ВА
Активная мощность системы составляет
Р = РА + РВ + РС = 6928,075 + 6928,075 + 6928,075 = 20784,225 Вт
Реактивная мощность системы составляет
Q = QА + QВ + QС = 3999,92 + 3999,92 + 3999,92 = 11999,77 ВАр
Знак плюс указывает на индуктивный характер реактивной мощности
цепи.
Полная мощность трехфазной системы составляет
ŠП = ŠА + ŠВ + ŠС = 6928,075 + j 3999,92 + 6928,075 + j 3999,92 + 6928,075 + j
3999,92 = 20784,225 + j 11999,77 = 23999,55 * e j 30
Векторная диаграмма
Ic
С
ŮZЛc
Ėс
Ů ZПра
Ů ZПрс
А
Ėа
O
ŮZЛb
Ib
Iа
Ėb
ŮZЛа
Ů ZПрb
Масштаб
В
По напряжению в 1 мм 3 В
По току в 1 мм 0,333 А