МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РФ НОВОСИБИРСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ Физический факультет Кафедра теоретической физики

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РФ
НОВОСИБИРСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ
Физический факультет
Кафедра теоретической физики
СТАТИСТИЧЕСКАЯ ФИЗИКА
(Программа курса)
Новосибирск
2010
Учебный курс «Статистическая физика» является частью профессионального цикла
подготовки бакалавра физики.
Дисциплина изучается студентами третьего курса
физического факультета. Программа курса подготовлена в соответствии с требованиями
образовательного стандарта третьего поколения.
Цели курса – дать представление об основных законах и явлениях статистической
физики, обучить применению современных методов термодинамики, статистической
механики и кинетики в работе с физическими системами, научить студентов решать
элементарные задачи и делать несложные оценки, и наконец, сформировать общекультурные
и профессиональные навыки физика-исследователя. Односеместровый курс
«Статистическая физика» состоит из лекционных и практических занятий, сопровождаемых
регулярной индивидуальной работой преподавателя со студентами в процессе сдачи
семестровых домашних заданий, консультаций, а также самостоятельных занятий. В конце
каждого семестра проводится экзамен.
Общая трудоемкость дисциплины составляет 4 зачетные единицы, 144 академических
часа (из них 96 аудиторных). Программой дисциплины предусмотрены 48 часов лекционных
и 48 часов практических занятий, а также 48 часов самостоятельной работы.
Автор
докт. физ.-мат. наук, проф. В. Ф. Дмитриев
Программа учебного курса подготовлена в рамках реализации Программы развития
НИУ-НГУ на 2009–2018 г. г.
 Новосибирский государственный
университет, 2010
2
Приложение № 2.
Примерная программа учебного курса (учебной дисциплины)
Программа курса «Статистическая физика» составлена в соответствии с требованиями к
обязательному минимуму содержания и уровню подготовки дипломированного специалиста
бакалавра по профессиональному циклу дисциплин (Б.3) по направлению «011200 Физика», а
также задачами, стоящими перед Новосибирским государственным университетом по реализации
Программы развития НГУ.
Автор (авторы) Дмитриев Владимир Федорович, д.ф.-м.н, с.н.с, профессор кафедры.
Факультет: физический
Кафедра: теоретической физики
1. Цели освоения дисциплины (курса)
Дисциплина (курс) «Статистическая физика» имеет своей целью: дать набор сведений о
методах и подходах статистической физики и научить пользоваться этими методами в широком
круге приложений; от классической механики газов и жидкостей, до квантовых статистических
эффектов в электронном газе, фононном газе и других явлениях в физике твердого тела, а также в
атомном ядре и в равновесном излучении тел.
2. Место дисциплины в структуре образовательной программы
Курс относится к циклу фундаментальных общефизических дисциплин. В результате
прохождения курса у студентов физического факультета должно сформироваться представление о
фундаментальных принципах, на которых базируется эта дисциплина, о статистических методах и
подходах, используемых при описании макроскопических систем как в классической, так и в
квантовой областях. Необходимыми предпосылками для успешного освоения курса являются
следующие. В
цикле математических дисциплин: знание математического анализа,
функционального анализа, методов математической физики и умение применять эти знания при
решении задач. В цикле физических дисциплин: знание термодинамики, классической механики.
Необходимо также быть знакомыми с основами механики и электродинамики сплошных сред, а
также основ квантовой механики. Необходимость владения указанными выше математическими
дисциплинами обусловлена тем обстоятельством, что они составляют основу теоретического
аппарата для перечисленных выше физических дисциплин. Выбор физических дисциплин, знание
которых необходимо для освоения курса, обусловлен универсальностью методов статистической
физики, применимых для любой системы содержащей макроскопическое число частиц. Сюда
относятся как классические газы и жидкости, так и квантовые системы, такие как электронный газ
в металлах, колебания кристаллической решетки. В последние десятилетия бурное развитие
получили исследования двумерных систем (графен, квантовые точки, двумерный эффект Холла),
понимание которых требует знания нерелятивистской квантовой механики и умения решать
квантовые задачи. Изучение физики твердого тела также требует знания и применения методов
статистической физики. Методы статистической физики используются и при описании
мезоскопических систем, в которых число частиц уже достаточно велико, но термодинамический
предел еще не достигнут. Типичными примерами таких систем являются атомное ядро, квантовые
точки, атомные кластеры.
2. Компетенции обучающегося, формируемые в результате освоения дисциплины
«Статистическая физика».
3

общекультурные компетенции: ОК-1, ОК-5, ОК-17, ОК-18, ОК-20, ОК-21;

профессиональные компетенции: ПК-1 –ПК-4 , ПК-5, ПК-10.
В результате освоения дисциплины обучающийся должен:
 Знать: основные принципы лежащие в основании статистической физики, что такое
статистический ансамбль, общие свойства и различия между микроканоническим,
каноническим и большим каноническим ансамблями. Круг явлений, в которых возможно
применение методов статистической физики.
 Уметь: зная законы поведения частиц, из которых построена система (молекулы, атомы, ионы,
кванты и т. д.), устанавливать законы поведения макроскопического количества
вещества.
 Владеть методами нахождения термодинамических характеристик вещества пользуясь
статистическими ансамблями и законами взаимодействия отдельных частиц.
4. Структура и содержание дисциплины «Статистическая физика»
Общая трудоемкость дисциплины составляет 4 зачетные единицы, 144 часа.
№
п/п
Раздел
дисциплины
С
е
м
е
с
т
р
1
Статистический
6подход к описанию й
сложных
систем.
Статистические
ансамбли.
Статистический вес
макроскопического
состояния системы.
2
6-
Н
е
д
е
л
я
с
е
м
е
с
т
р
а
1я
2-
Виды учебной работы, включая
самостоятельную работу студентов и
трудоемкость (в часах)
4 часа 2 часа
лекци семин
й
аров
2 часа 4 часа
4
Самостоят
ельные
занятия (в
том числе
решение
семестров
ых
домашних
заданий и
их
индивидуа
льная
сдача),
4 часа
4 часа
Разбор
решений у
доски на
каждом
семинаре.
Формы
текущего
контроля
успеваемости
(по неделям
семестра)
Форма
промежуточно
й аттестации
(по
семестрам)
В начале
каждого
очередного
занятия
проверка
задач,
заданных на
дом.
3
4
5
6
7
Микроканоническое
распределение.
Энтропия. Условие
теплового
равновесия. Вывод
равенства dE=TdSPdV.
Каноническое
распределение
Гиббса.
Распределение по
энергиям для тела в
термостате.
Статистическая
сумма и свободная
энергия.
Вывод
равенства dF=-SdTPdV
из
канонического
распределения.
Эквивалентность
ансамблей
в
термодинамическом
пределе.
Химический
потенциал. Большое
каноническое
распределение. Ω потенциал.
Химическое
равновесие. Закон
действующих масс.
Теплота
реакции.
Степень ионизации
плазмы.
Идеальный Фермигаз. Статистика
электронов в
металлах.
Теплоемкость
электронного газа в
металле. Статистика
электронов и дырок
в полупроводниках.
Идеальный бозегаз.
Конденсация
Бозе–Эйнштейна.
Распределение
Планка.
Неидеальный
газ.
Второй вириальный
коэффициент. Газ
Ван-дер-Ваальса.
й
я
лекци семин
й
аров
6й
3я
4 часа 2 часа
лекци семин
й
аров
4 часа
6й
4я
2 часа 4 часа
лекци семин
й
аров
4 часа
6й
5я
4 часа 2 часа
лекци семин
й
аров
4 часа
6й
6я
2 часа 4 часа
лекци семин
й
аров
4 часа
6й
7я
4 часа 2 часа
лекци семин
й
аров
4 часа
5
Опрос по
пройденно
му
материалу.
8
9
10
11
12
13
Условия
равновесия
фаз.
Примеры диаграмм
состояния. Тройная
точка.
Tеория
ферромагнетизма
Вейсса.
Модель
Изинга.
Приближение
молекулярного
поля.
Теория
Ландау
фазовых
переходов второго
рода.
Квазистатические
флуктуации.
Флуктуации
параметра порядка.
Границы
применимости
теории
фазовых
переходов Ландау.
Критические
индексы, понятие о
флуктуационной
теории
фазовых
переходов второго
рода.
Рэлеевское
рассеяние
света.
Дублет
Мандельштама
Бриллюена.
Броуновское
движение.
Уравнение
Ланжевена.
Корреляционная
функция скоростей.
Средний
квадрат
смещения
броуновской
частицы.
Корреляционная
функция случайных
сил.
Корреляция
флуктуаций
во
времени.
Связь
флуктуаций
и
диссипации.
Спектральное
разложение
6й
8я
2 часа 4 часа
лекци семин
й
аров
2 часа
6й
9я
4 часа 2 часа
лекци семин
й
аров
2 часа
6й
10
-я
3 часа 4 часа
лекци семин
й
аров
4 часа
6й
11
-я
4 часа 3 часа
лекци семин
й
аров
2 часа
6й
12
-я
4 часа 4 часа
лекци семин
й
аров
2 часа
6й
13
-я
4 часа 3 часа
лекци семин
й
аров
2 часа
6
14
15
флуктуаций.
Корреляция
компонент
Фурье
флуктуаций.
Уравнение
диффузии.
Кинетическое
уравнение для газов.
Учет
взаимодействия
молекул при малом
радиусе
сил
(интеграл
столкновений). H теорема Больцмана.
Электронный газ в
металлах. Интеграл
столкновений
для
рассеяния
электронов
на
примесях.
Учет
тождественности
электронов.
Приближение
времени релаксации
в
кинетическом
уравнении.
Электропроводност
ь
электронного
газа в металле при
рассеянии
на
примесях.
Теплопроводность
электронного газа в
металле
при
рассеянии
на
примесях.
Термоэлектрические
эффекты.
6й
14
-я
3 часа 4 часа
лекци семин
й
аров
3 часа
6й
15
-я
4 часа 4 часа
лекци семин
й
аров
3 часа
48
часов
48
часов
Ит
ого
48
часов
Экзамен
Примерный план семинарских занятий (6-й семестр).
1.Термодинамика
(повторение)
Энергия, энтропия, энтальпия, свободная энергия. Теплота, поглощаемая при зарядке
конденсатора. Теплота, при удалении заряда от диэлектрика.
2-4. Микроканоническое и каноническое распределения.
7
Больцмановский газ. Энергия и теплоемкость осциллятора - из микроканонического
распределения. Двухуровневая система - модель резины. Теплоемкость при высоком вырождении
верхнего уровня. Газ в объеме с потенциальной ямой. Диэлектрическая проницаемость газа
диполей.(Классические диполи, высокие температуры). Охлаждение методом размагничивания
парамагнитных солей: цилиндрический образец на оси соленоида, теплоемкость в отсутствие
магнитного поля C=VaT3. Молекулярные пучки - опыт Штерна. Заполнение откачанного сосуда
(при разных соотношениях размера отверстия и длины свободного пробега). Эффект Кнудсена.
Скоро ли появится в комнате молекула с энергией 2, 3, 4 эВ? Теплоемкости H 2O, CO2 в
зависимости от температуры. Поправки к теплоемкости двухатомного газа, вызванные
ангармоничностью колебаний. Об учете в статистической сумме дискретных уровней атома
водорода. Атмосфера планеты.
5. Химическое равновесие
Степень диссоциации молекул двухатомного газа (AB → A+B). Зависимость степени
диссоциации от температуры при постоянном объеме. Теплота реакции, теплоемкости при
постоянных объеме и давлении.
6-9. Квантовые газы
Оценки для электронного газа в металле. Ферми-газ в осцилляторном поле.
Полупроводник n-типа. Оценка примесного уровня (как водородоподобного). Число электронов
в примесном состоянии с учетом кулоновского отталкивания. Бозе-газ в поле тяжести.
(Конденсация Бозе-Эйнштейна). Белый карлик, нейтронная звезда (Оценка радиуса - с
применением теоремы вириала.) Оценка размера «плотной» части атома по Томасу – Ферми
(учитываем только взаимодействие электронов с ядром).
10-11. Неидеальные газы. Фазовые переходы
На сколько сместится тройная точка воды P0=4.62 мм Hg, T0=273,15 K из-за наличия в сосуде
воздуха под давлением 1 атм.? Скачок теплоемкости при упорядочении сплава CuZn в
приближении молекулярного поля. Теплота испарения, давление насыщенного пара в зависимости
от температуры. Пар над искривленной поверхностью. Критический радиус зародыша, заряд на
капле.
12-13. Флуктуации.
Оценки для броуновского движения. За какое время капля радиуса 1 мкм в разреженном газе
приобретет тепловую скорость? Каков коэффициент диффузии таких капелек? Доля полной
интенсивности рэлеевской линии, приходящаяся на дублет Мандельштама - Бриллюена. Шумы в
электрических цепях. Корреляционная функция токов в RC цепочке.
14-16. Кинетическое уравнение.
8
Эффект Холла. Пространственная дисперсия диэлектрической проницаемости плазмы (при
  kv и при   0 ). Закон дисперсии ионного звука (при условии, что температура газа
электронов много больше температуры газа ионов, вклады в проводимость - от эпектронов
статический, от ионов (-Li2/2)). В окрестности точки встречи пучков ускорителя распределения
частиц по поперечному сечению пучков и по углам независимы. Найти распределение по
поперечному сечению пучков и по углам на расстоянии z от точки встречи. Выразить светимость,
получаемую при соударении. Затухание поперечного ультразвука в металле при условии, что
длина свободного пробега электронов мала по сравнению с длиной волны звука.
5. Образовательные технологии
Материал лекционного курса увязывается с передовыми исследованиями всюду, где это
допускается уровнем знаний и подготовки студентов. Специально указываются темы, активно
обсуждающиеся в текущей профессиональной научной литературе. Все семинарские занятия
проводятся в интерактивной форме. Во время семинарских занятий поощряется система
соревнования. Первый, решивший задачу, излагает ее для всей группы. Существенным элементом
образовательных технологий является не только умение студента найти решение поставленной
задачи, но и донести его до всей аудитории. Умение сходу отвечать на вопросы сокурсников и
преподавателя развивает профессиональные навыки, которые будут незаменимы в дальнейшей
профессиональной деятельности.
Важнейшим элементом образовательного процесса является сдача семестровых заданий,
проходящая в специально отведенное для это время в виде личной беседы преподавателя с
каждым студентом. В процессе этой сдачи студент рассказывает преподавателю ход решения
задачи, а также отвечает на 1-2 простых вопроса по тематике задачи.
6. Оценочные средства для текущего контроля успеваемости, промежуточной
аттестации по итогам освоения дисциплины и учебно-методическое обеспечение
самостоятельной работы студентов
Домашние задания по курсу «Статистическая физика» (6-й семестр)
Задание № 1 (февраль)
1. Конденсатор заполнен диэлектриком, для которого D=((T)+(T)E2)E.
Сколько тепла выделится при изотермической зарядке конденсатора? На сколько изменится
температура конденсатора, если считать его теплоизолированным? Теплоёмкость конденсатора Č.
Изменение температуры можно считать малым.
2. Зависимость эффективного сечения столкновения молекул газа от скорости их
относительного движения =0(1+v02/vотн2). Найти число столкновений в единице объёма за
секунду в зависимости от температуры газа.
3. В «ногах» П-образной стеклянной трубки находится этанол (C2H6O). Разность уровней
жидкости составляет 10 см. Спустя какое время разность уровней уменьшится вдвое? Над
жидкостью находятся только пары этанола. Температура равна 35ºC, при такой температуре
давление насыщенных паров равно P=200 мм рт.ст., плотность жидкого этанола =0,78 г/см ³.
Считать, что каждая молекула газа, столкнувшаяся с поверхностью жидкости, прилипает к ней
(коэффициент аккомодации равен 1).
4. N шаров движутся на наклонном плоском биллиарде, испытывая упругие столкновения друг
с другом и с бортиками. Определить распределение шаров по высоте (полагая, что верхнего
бортика шары не достигают и что размеры шариков достаточно малы). Для замкнутой системы
9
шаров справедливо микроканоническое распределение.
5. В баллоне с углекислым газом поддерживается температура T0=300oC и давление P0=1.5 атм.
Из баллона вытекает в атмосферу струя газа. Найти её скорость и температуру газа в струе. Время
разгона газа велико по сравнению со временем  релаксации колебаний молекул CO2. Частоты
колебаний молекулы CO2 - изгибн./c =1272 см-1, симм. /c=2555см-1, антисимм. /c=4532см-1. На
сколько мы ошибёмся, если не учтём колебаний молекул?
6. Примесь дейтерия (D) в естественном водороде (H) составляет 0,015%. Найти отношение
концентраций D2 и HD при комнатной температуре.
Задание № 2 (март)
7. Идеальный ферми-газ при низкой температуре помещен в поле тяжести. Вычислить высоту
центра тяжести столба газа и его теплоемкость. Найти зависимость плотности газа от высоты при
нулевой температуре и температуре, близкой к нулевой.
8. Найти вклад в теплоёмкость от электронов и дырок в чистом полупроводнике.
9. Идеальный бозе-газ в поле тяжести находится в сосуде, имеющем форму конуса. Найти
температуру Tk бозе-эйнштейновской конденсации, зависимость от температуры теплоёмкости C
газа и высоты h его центра тяжести при температурах ниже точки конденсации и скачки C и dh/dT
в точке Tk.
10. В модели Дебая найти средний квадрат отклонения от равновесного положения <u2> атомов
углерода в решетке алмаза при комнатной температуре (TD=20000K). Oпределить отношение u/d в
точке плавления калия (TD=1300K, Тпл=3360K). Среднее расстояние между ближайшими соседями
в решетке калия равно d=4,5 10-8см.
Задание № 3 (апрель)
11. Оценить время испарения капельки воды радиуса 0,1 мм, находящейся в атмосфере
насыщенного водяного пара при 200С и воздуха (давление насыщенного пара, который находится
в контакте с плоской поверхностью воды равно 18 мм рт. ст.). Коэффициент диффузии водяного
пара в воздухе равен D=0,2 см2/c. Коэффициент теплопроводности воздуха λ=0,025 Вт/Км,
скрытая теплота испарения воды q=40,7 кДж/моль. Насколько капелька холоднее окружающего
воздуха?
12. Найти скачок теплоёмкости латуни состава Cu1+kZn1-k в точке упорядочения сплава.
Кристаллическая решетка кубическая объёмноцентрированная. Использовать приближение
молекулярного поля, учитывая лишь взаимодействие ближайших соседей.
13. Водород, имевший комнатную температуру, быстро охладили до температуры T 0 << Trot =
2/2I, так что соотношение чисел молекул орто– и параводорода осталось равно 3:1. Затем
происходит переход к соотношению, равновесному при низкой температуре. Какова будет в итоге
температура водорода, если принять, что он теплоизолирован и объём его неизменен? (Уравнение
придется решать численно).
Задание № 4 (май)
1
0
14. Электрическая цепь составлена из соединённых последовательно (кольцом) сопротивлений
R1, R2 и индуктивности L. Сопротивления R1 и R2 поддерживаются при температурах T1 и T2.
Найти средние квадраты напряжений на сопротивлениях и автокорреляционную функцию
напряжения на индуктивности.
15. Хорошо сколлимированный электронный пучок радиуса 1 мм выпускают в воздух. Энергия
электронов 5 МэВ. Оценить поперечный размер пучка на расстоянии 1 м.
16. Рассматривается бесстолкновительная плазма с вырожденной электронной компонентой и
невырожденной ионной. Найти закон дисперсии продольных волн, скорость которых много
больше тепловых скоростей ионов, но много меньше скоростей электронов (ионный звук).
∂P
2
Сравнить скорость волн со скоростью звука, определяемой соотношением v s = ∂ ρ , где давление
обеспечивается электронным газом, а плотность - ионами.
Дополнительные задачи по курсу «Статистическая физика»
1. Повторение вопросов термодинамики
1.1. Найти сумму внутренней энергии идеального газа под поршнем в стоящем вертикально
цилиндре и потенциальной энергии поршня. Найти теплоёмкость газа под поршнем. Найти теплоёмкость столба атмосферы. Найти высоту центра тяжести столба атмосферы.
1.2. Из сосуда откачан воздух. Приоткрыв на короткое время кран, сосуд заполняют атмосферным
воздухом. Какой будет температура вошедшего в сосуд воздуха, если теплообмен со стенками
сосуда не успевает произойти. Каким будет давление воздуха в сосуде, когда температура его за
счет теплообмена сравняется с температурой атмосферного воздуха?
1.3. Один раз конденсатор, заполненный диэлектриком, присоединён к источнику напряжения , а
другой раз - заряжен до такого же напряжения, а затем отключён от источника. Найти разность
значений теплоёмкости конденсатора в этих двух случаях.
1.4. Конденсатор ёмкости С, заполненный диэлектриком, диэлектрическая проницаемость
которого зависит от температуры: ε(Т), заряжают в условиях тепловой изоляции до напряжения U.
На сколько изменится температура конденсатора. Принять, что теплоёмкость его велика и
практически не зависит от напряжения.
2. Микроканоническое и каноническое распределения
2.1. Цепочка состоит из N звеньев длины а. Каждое звено может свободно поворачиваться,
ориентируясь по или против оси х направленной вверх. Верхний конец цепочки закреплён, к
нижнему − подвешен груз веса f. Найти зависимость среднего значения длины цепочки от
температуры. (Это примитивная модель молекулы каучука. Она «улавливает» необычную
зависимость длины молекул от температуры.)
 l 
Резинка длины l, на которой подвешен груз f, при нагревании укорачивается: 
  0 . Как
 T  f
изменится её температура при адиабатическом растягивании?
2.2. Для системы, состоящей из большого числа N одинаковых гармонических осцилляторов,
найти статистический вес состояния с энергией E  (3N / 2  L)  (первое слагаемое 1
1
уровень нулевых колебаний). Найти зависимость энергии и теплоёмкости системы от
температуры.
2.3. Найти форму энергетического спектра электронов при  -распаде атомного ядра
( A Z  A ( Z  1)  e   ) , считая, что все квантовые состояния системы электрон+антинейтрино при
заданной их суммарной энергии ( e    E ) равновероятны .
Энергией отдачи ядра можно пренебречь.
2.4. Для получения низких ("гелиевых") температур T0  1 K используют контакт тела с кипящим
при низком давлении гелием. Для получения еще более низких температур часто используют
метод адиабатического размагничивания. Кристалл, в который введена примесь парамагнитной
соли, намагничивают при температуре T0 1 K , теплоизолируют, а затем медленно выключают
внешнее магнитное поле. Происходит адиабатическое размагничивание кристалла, и он
охлаждается.
При низких температурах теплоёмкость кристалла C  AT 3 .
Найти температуру кристалла после выключения магнитного поля. Считать, что атомы примеси
имеют спин 1/2.
2.5. Газ находится в объёме V, в малой части которого V1 имеется „потенциальная яма" глубины
U 0 . Найти теплоёмкость газа.
2.6. N шаров движутся на плоском бильярде, испытывая упругие столкновения друг с другом и со
стенками. Определить распределение шаров по компоненте скорости vx . Принять, что для
замкнутой системы шаров справедливо микроканоническое распределение.
3. Больцмановский газ
3.1. Оценить температуру в центре Солнца. (Радиус Солнца ~1 млн. км, его масса ~ 2  1033 г.)
Указание: удобно воспользоваться теоремой о вириале.
3.2. Два различных идеальных газа, находившиеся в объёмах V1 и V2 , имели одинаковые
температуры и давления и были разделены перегородкой. Перегородку убирают, и газы
смешиваются (путем диффузии), равномерно заполняя весь объем V1  V2 . На сколько изменится
суммарная энтропия газов? Числа частиц в указанных объёмах были равны N1 и N 2 .
3.3. В гравитационном поле звезды массы М и радиуса R находится разреженный
больцмановский газ, состоящий из частиц массы m. Температура газа Т, плотность его на большом
удалении от звезды n. Найти число частиц газа, падающих на звезду за одну секунду. Считать, что
длина свободного пробега частиц газа велика по сравнению с радиусом звезды.
3.4. Оценить время, за которое планета может потерять свою атмосферу. (Принимая, что
атмосфера изотермическая).
3.5. На цилиндр, который может свободно вращаться вокруг своей оси, вдоль направления оси
падает N электронов, поляризованных вдоль той же оси. Электроны застревают в цилиндре и
частично деполяризуются. Вследствие сохранения проекции момента импульса на ось, цилиндр
приходит во вращение. Первый вопрос: откуда взялась энергия вращения?
Главный вопрос: какой угловой скорости достигнет цилиндр?
4. Идеальный ферми-газ
1
2
4.1. Молекулы газа могут оседать (адсорбироваться) на поверхности сосуда. Имеется
определённое количество мест на поверхности, на которые может быть адсорбирована молекула.
Каждое из них может принять не более одной молекулы. Какая доля возможных мест окажется занята
молекулами? (Эта доля называется степенью адсорбции). Газ больцмановский, давление его равно
Р, температура Т. Энергия адсорбированной молекулы равна -ε.
4.2. Найти давление вырожденного электронного ультрарелятивистского газа в зависимости от
концентрации.
4.3 В атомах с большим числом Z электронов большая часть из них движется вблизи ядра в объёме
с характерным размером R. В модели Томаса - Ферми эти электроны рассматриваются как
вырожденный электронный газ, температура которого равна нулю. (Один-два электрона движутся
вблизи наружной части атома, где поле ядра почти полностью экранировано. Поэтому размеры
всех атомов близки друг к другу.) Пренебрегая кулоновским взаимодействием электронов друг с
другом, оценить величину R.
4.4. Найти магнитный момент и магнитную восприимчивость вырожденного электронного газа,
связанные с магнитным моментом электрона.
4.5. Когда в обычной звезде выгорает заметная часть водорода (превращаясь в гелий),
термоядерная реакция прекращается и звезда, излучая, будет сжиматься. С повышением
плотности газ электронов становится вырожденным. Сжатие останавливается благодаря тому, что
гравитационные силы такой звезды будут компенсироваться давлением вырожденного
электронного газа. Такая звезда, называется белым карликом. Оценить радиус белого карлика,
масса которого равна M ~ M , где M ~ 2  1033 г. — масса Солнца.
4.6. Если звезда на начальной стадии имела массу, заметно большую массы Солнца, или масса
белого карлика может увеличиваться за счет захвата окружающего вещества, то энергия Ферми
электронного газа может достичь порога реакции e  p   n ( m  mn  m p  1.3 МэВ),
электронный газ при этом становится релятивистским, ( me = 0,511 МэВ). Газы электронов и
протонов почти совсем исчезают, нейтрино улетают. Звезда становится нейтронной (возможно,
пульсаром). Оценить радиус нейтронной звезды, масса которой по порядку величины совпадает с
массой
Солнца.
4.7. Если в полупроводник IV группы (Ge, Si) ввести в небольшом количестве атомы V группы (P,
As, Sb), то четыре электрона каждого из них образуют валентные связи с Ge, Si, а один электрон
остается слабо связанным; энергия связи  d ~ 01 - 0, 03 эВ, и он легко может перепрыгнуть в зону
проводимости уже при температуре Т ~ 300 К. Легированные таким образом полупроводники
называют донорными или полупроводниками n-типа. Энергия электрона, связанного с ионом
донорной примеси, равна  d .
Считая известным химический потенциал электронов, найти, какая доля атомов донорной
примеси будет ионизирована.
4.8. Атом примеси в полупроводнике имеет уровень энергии, близкий к потолку валентной зоны:
 a   / 2   a ;  a  (отсчёт энергии от середины запрещённой зоны; такая примесь называется
акцепторной). На этом уровне может оказаться один электрон, причем он может находиться в
одном из двух спиновых состояний. Выразить вероятность того, что электрон окажется в таком
состоянии, через химический потенциал электронов.
1
3
4.9. Кусок металла представляет собой катод в электровакуумном приборе. Для
электронного газа этот кусок металла представляет собой потенциальную яму с крутыми
стенками. Расстояние от уровня Ферми электронного газа до верхнего уровня ямы А — работа
выхода. Катод нагрет до температуры Т, такой что A T , так что лишь небольшая доля
электронов может
покидать металл. К металлу приложено напряжение, мало изменяющее эту потенциальную яму,
но достаточное для того, чтобы все электроны, покинувшие катод достигали анода (образуется
ток насыщения).
Определить зависимость тока насыщения от температуры.
5. Идеальный бозе-газ
5.1. Для бозе-газа в центральном поле U (r )  Ar n ,(n  6) найти скачок величины теплоёмкости
при температуре конденсации Бозе-Эйнштейна.
5.2. Изобразить изотермы бозе-газа на PV плоскости.
5.3. Найти соотношение между концентрациями электронов, позитронов и фотонов и соотношение
между их энергиями при температуре T mec 2 . (Такая высокая температура была в малые доли
секунды после Большого взрыва; в этих условиях можно принять, что концентрации электронов и
позитронов одинаковы).
6. Неидеальный газ. Фазовые переходы
 T 
6.1. Выразить величину 
 , характеризующую изменение температуры при эффекте Джоуля P  H
Томсона, через теплоёмкость и уравнение состояния для газа ван-дер-Ваальса.
6.2. Выразить температуру, давление и молярный объём в критической точке через постоянные,
входящие в уравнение ван-дер-Ваальса.
6.3. Газ ван-дер-Ваальса находится в однородном поле тяжести. Определить зависимость
плотности газа от высоты, считая температуру постоянной.
6.4. Насыщенный водяной пар находится в теплоизолированном сосуде. Объём сосуда
уменьшают. Станет ли пар пересыщенным?
6.5. Найти скачок теплоёмкости латуни состава CuZn в точке упорядочения сплава.
Кристаллическая решетка кубическая объёмноцентрированная. Использовать приближение
молекулярного поля, учитывая лишь взаимодействие ближайших соседей.
7. Флуктуации
7.1. Найти квазистатические флуктуации ( S ) 2 , ( P ) 2 , S P в заданном объёме.
1
4
7.2. Найти квазистатические флуктуации энергии в объёме V, если объём тела и число частиц в
нем фиксированы ( E )2V , N , если объём может флуктуировать ( E ) 2 N , а число частиц
фиксировано, в случае, если фиксирован объём, но переменно число частиц
7.4. Найти отношение флуктуации
 V  S
2
/  V 
2
 E  V
2
.
(определяющее отношение интенсивности
рассеянного света в „крыльях" дублета Мандельштама - Бриллюена к полной интенсивности
рассеянного света).
7.14. Контур состоит из двух сопротивлений R1 и R2 , температуры которых равны T1 и T2 , и
катушки индуктивности L, соединённых последовательно (кольцом). Найти, какая энергия
передаётся от одного сопротивления к другому за счёт флуктуации тока в цепи.
8. Кинетическое уравнение
8.1. Получить из кинетического уравнения вид равновесного распределения по скоростям в газе в
отсутствие внешних полей.
8.2. Рассматриваем фотонный газ с очень малой примесью вещества. Пусть рассеяние фотонов на
этой примеси приводит к длине пробега фотонов l. В таком фотонном газе волны, в которых
концентрация фотонов оказывается переменной, могут распространяться, если длина волны их
велика по сравнению с l. Найти скорость таких волн.
8.3. Вдоль отрезка проволоки, к которому приложена постоянная разность потенциалов, течёт ток.
Как изменится ток, если включить постоянное однородное магнитное поле, перпендикулярное проволоке? Воспользоваться т - приближением для интеграла столкновений. (Задача
об эффекте Холла).
8.4. Найти изменение сопротивления проводника при включении магнитного поля В
перпендикулярного электрическому полю Е если есть два типа носителей заряда, например,
электроны
и дырки.
8.5. Выразить коэффициент затухания поперечного звука в металле, обусловленный вязкостью
электронного газа, при условии, что длина волны звука много больше длины свободного пробега
электронов ( kv 1 ), причём главную роль в рассеянии электронов играют примеси.
Экзаменационные билеты по курсу «Статистическая физика»
Билет №1
1. Статистический вес макроскопического состояния системы. Микроканоническое
распределение. Энтропия.
2. Вычислить число столкновений со стенкой в 1 сек. частиц релятивистского вырожденного
ферми-газа.
Билет №2
1. Условия термодинамического равновесия.
2. Решить уравнение кинетического баланса для двухуровневой системы, рассмотрев частные
случаи изолированной системы и системы в термостате.
1
5
Билет №3
1. Формула Эйнштейна для флуктуаций основных термодинамических величин.
2. Применить соотношение симметрии кинетических коэффициентов к системе, в которой
возможны электрический ток и поток тепла под действием электрического поля и
градиента температуры.
Билет №4
1. Большой канонический ансамбль.
2. Проверить формулу Найквиста для классического газа электронов в проводнике.
Билет №5
1. Эквивалентность ансамблей в термодинамическом пределе.
2. Построить изотермы бозе-эйнштейновского газа.
Билет №6
1. Вывод канонических распределений из экстремальности энтропии.
2. Возможна ли бозе-конденсация в двумерном или одномерном газе частиц со степенным
законом дисперсии?
Билет №7
1. Квантовое вырождение и условия применимости классической статистики.
2. Вывести барометрическую формулу из стационарного решения уравнения ФоккераПланка.
Билет №8
1. Классическое равнораспределение энергии по степеням свободы.
2. Сколько тепла выделится в реакции 2O 3  3O2 при температуре 27˚ С и давлении 1 ат.?
(Энергия диссоциации O2 равна 5.12 эВ, энергия разрыва связи O3  O2  O равна 1.04 эВ.
Билет №9
1. Классическое равнораспределение энергии по степеням свободы.
2. Как зависит от времени временная корреляционная функция компонент Ei (t ) Ek (t   )
электрического поля равновесного электромагнитного излучения?
Билет №10
1. Вывод свойств классического идеального газа из микроканонического ансамбля.
2. Найти изменение химического потенциала вырожденного электронного газа,
обусловленное ориентацией спинов электронов при включении слабого магнитного поля.
Билет №11
1. Вывод свойств классического идеального газа из канонического ансамбля.
2. Принцип минимального производства энтропии для стационарных состояний открытых
систем.
Билет №12
1. Вывод свойств классического идеального газа из большого канонического ансамбля.
2. Вычислить разность c p  cv для газа ван-дер-Ваальса.
Билет №13
1. Распределение Максвелла-Больцмана.
1
6
2. Найти коэффициент диффузии заряженной броуновской частицы в среде с коэффициентом
трения  , температурой Т при наличии постоянного магнитного поля Н.
Билет №14
1. Газ ван-дер-Ваальса.
 при r<a

2. Найти теплоемкость больцмановского газа в поле U ( r )  
r
U 0 ln при r>a

a

Билет №15
1. Учет колебательных степеней свободы молекул газа.
2. Вычислить спектральную плотность флуктуаций координаты гармонического осциллятора
(собственная частота 0 , коэффициент трения  , температура среды Т.)
Билет №16
1. Учет вращательных степеней свободы молекул газа.
2. Вычислить равновесное число электронов и позитронов в газе с T
mc 2 .
Билет №17
1. Статистическая сумма гармонического осциллятора.
2. Вычислить теплоемкость пара вдоль кривой его равновесия с жидкостью.
Билет №18
1. Функция распределения Бозе-Эйнштейна.
2. Вычислить скачок теплоемкости в точке фазового перехода 2-го рода по теории Ландау.
Билет №19
1. Функция распределения Ферми-Дирака.
2. Вычислить среднеквадратичную флуктуацию энергии для системы в термостате при
постоянном объеме и при постоянном давлении.
Билет №20
1. Свойства идеального ферми-газа при нулевой температуре.
2. Вычислить изменение энтропии при смешении классического идеального газа,
находившегося до этого в двух сосудах при одинаковых температурах Т и давлениях P1 и
P2 .
Билет №21
1. Низкотемпературные свойства идеального ферми-газа.
2. Вычислить число столкновений со стенкой в 1 сек. частиц классического идеального газа.
Билет №22
1. Конденсация в идеальном газе Бозе-Эйнштейна.
2. Оценить флуктуации заряда, протекающего в цепи, содержащей сопротивление R и
индуктивность L, за время t.
Билет №23
1. Термодинамика газов волновых квантов со степенным законом дисперсии.
2. Найти связь средних значений потенциальной и кинетической энергий классической
частицы в центральном поле U  r  при температуре Т.
1
7
Билет №24
1. Статистика черного излучения.
2. Вычислить число столкновений молекул со стенкой в вырожденном ферми-газе.
Билет №25
1. Флуктуации основных термодинамических величин.
2. При каких значениях показателя степени в степенном законе дисперсии частиц возможна
бозе-конденсация.
Билет №26
1. Гауссов ансамбль малых флуктуаций.
2. Оценить радиус дебаевского экранирования в невырожденном газе заряженных частиц.
Билет №27
1. Описание броуновского движения с помощью уравнения Ланжевена.
2. Вычислить энергию газа во вращающемся вокруг продольной оси цилиндрическом сосуде.
Билет №28
1. Принцип детального равновесия, Н – теорема.
2. Найти теплоемкость N гармонических осцилляторов.
Билет №29
1. Химическое равновесие и закон действующих масс.
2. Найти уравнение адиабаты для газа квантов со степенным законом дисперсии.
Билет №30
1. Каноническое распределение Гиббса.
2. Оценить, за какое время капелька, первоначально покоившаяся в газе, достигнет тепловой
скорости.
Билет №31
1. Статистический смысл второго начала термодинамики.
2. Найти температуру конденсации Бозе – Эйнштейна для бозе-газа в поле U ( r )  ar 4 .
Билет №32
1. Закон
1
для относительных флуктуаций.
N
2. Найти энергию вырожденного ферми-газа в поле U ( r ) 
1 2
kr .
2
Билет №33
1. Равновесие фаз и правило фаз Гиббса.
2. Вычислить магнитную восприимчивость газа заряженных частиц низкой плотности в поле
1
U ( r )  kr 2 и постоянном однородном магнитном поле.
2
Билет №34
1. Уравнение Клапейрона – Клаузиуса и классификация фазовых переходов.
2. Броуновская частица находится в момент t = 0 в точке x  x0 . Вычислить
среднеквадратичную флуктуацию ее координаты как функцию времени.
1
8
Билет №35
1. Теория Ландау фазовых переходов второго рода.
2. Слабо вырожденный газ находится в поле тяжести. Найти теплоемкость газа и закон
изменения плотности с высотой.
Билет №36
1. Экстремальные свойства термодинамических потенциалов.
2. Определить адиабатическую скорость звука в газе нагретом до температур, при которых
давление равновесного излучения сравнимо с давлением самого газа.
Билет №37
1. Дебаевское экранирование в электронной плазме.
2. Найти квантовую поправку к теплоемкости слабовырожденного ферми-газа.
Билет №38
1. Термодинамика газа невзаимодействующих магнитных моментов.
c
2. Вычислить скачок v при температуре бозе-конденсации.
T
Билет №39
1. Статистические свойства ферми-газа при низких температурах.
2. Вычислить среднеквадратичную флуктуацию полной энергии системы, находящейся в
термостате при наличии обмена частицами с термостатом.
Билет №40
1. Модель Дебая, теплоемкость твердых тел.
2. Вычислить спиновую парамагнитную восприимчивость электронного газа.
Билет №41
1. Внутренние степени свободы двухатомного газа. Вклад в теплоемкость.
2. Найти флуктуации числа частиц идеального газа в 1 см3 при нормальных условиях.
Билет №42
1. Классический неидеальный газ. Вириальное разложение.
2. Найти давление ферми-газа при нулевой температуре.
Билет №43
1. Второй вириальный коэффициент. Уравнение Ван-дер-Ваальса.
2. Найти квантовую поправку к теплоемкости слабовырожденного бозе-газа.
Билет №44
1. Ферромагнетизм. Теория молекулярного поля.
2. Найти вклад электронов в теплоемкость металлов.
Билет №45
1. Кинетическое уравнение Больцмана.
2. Найти химический потенциал классического идеального газа.
Билет №46
1. Интеграл столкновений в приближении времени релаксации. Электропроводность
электронного газа.
1
9
2. Показать, что в большом каноническом ансамбле корреляция флуктуаций
 E 
E N  T 
 .
  T
Билет №47
1. Шумы в электрических цепях. Формула Найквиста.
2. Найти зависимость плотности от высоты для вырожденного ферми-газа в поле тяжести.
Билет №48
1. Интеграл столкновений в приближении времени релаксации. Теплопроводность
электронного газа.
2. Сколько молекул содержится в 1 мм3 кислорода при давлении 100 ат. и температуре 300 К,
если считать кислород а) идеальным газом, б) газом ван-дер-Ваальса с
а  1.40 ат. м6 / кмоль2 , b  0.032 м3 / кмоль .
Билет №49
1. Каноническое распределение Гиббса. Определение свободной энергии.
2. Найти кривую равновесия пар – жидкость вдали от критической точки.
Билет №50
1. Распределение Планка. Свойства равновесного излучения.
2. Найти работу производимую над газом при адиабатическом сжатии.
7. Учебно-методическое и информационное обеспечение дисциплины
а) основная литература:
1. Ю. Б. Румер , М. Ш. Рывкин, Термодинамика, статистическая физика и кинетика. М.: Наука,
1977.
2. Г.Л. Коткин, Лекции по статистической физике. Новосибирск: НГУ, 2003.
3. Л. Д. Ландау ,Е. М. Лифшиц, Статистическая физика. Ч.1, 1978.
б) дополнительная литература:
1. Ч.Киттель, Статистическая термодинамика. М.: Наука, 1977.
2. Р.Кубо, Статистическая механика. М.: Мир, 1967.
3. Е. М. Лифшиц , Л. П. Питаевский, Физическая кинетика. М.: Наука, 1979.
4. Е. М. Лифшиц , Л. П. Питаевский, Статистическая физика. Ч.2. М.: Наука, 1978.
5. А.И. Ахиезер, С.В. Пелетминский, Методы статистической физики. М.: Наука, 1977.
в) программное обеспечение и Интернет-ресурсы:
1. Веб-страница корнеллского архива препринтов по физике http://arxiv.org/physics ,
содержащая работы по всем разделам физики.
2. Веб-страница Particle Data Group http://pdg.lbl.gov/ где можно узнать новейшие значения
фундаментальных физических постоянных.
2
0
8. Материально-техническое обеспечение дисциплины
Не требуется
Рецензент (ы) _________________________
Программа одобрена на заседании ____________________________________________
(Наименование уполномоченного органа вуза (УМК, НМС, Ученый совет)
от ___________ года.
2
1