1. Основные физические свойства жидкостей и газов: плотность

1. Основные физические свойства жидкостей и газов: плотность, удельный вес,
удельный объем, сжимаемость, температурное расширение, вязкость, поверхностное
натяжение, смачивание.
Плотность-это распределение массы жидкости по занимаемому объему
  m /V
. [кг/м3 ]
Удельный вес- это вес жидкости в занимаемом объеме. определяется как отношение
веса жидкости (газа) G к занимаемому объему V: 
 G /W .
Учитывая, что G  m  g , получим зависимость между плотностью и удельным
весом, используемую в расчетах.
 
G mg

 g ,
V
V
  g
то есть
Единицы удельного веса в системе СИ: Н / м .
3
Удельный объем-это объем, занимаемый единицей массы жидкости(величина обратная
1
V

m

Сжимаемость - свойство жидкостей изменять свой объем при изменении давления
плотности)  
- характеризуется коэффициентом объемного сжатия (сжимаемости), представляющим
относительное изменение объема жидкости, при изменении давления
p  
P на единицу:
1 V
V P
Знак (-) указывает на то, что положительному приращению давления (увеличению)
P соответствует отрицательное приращение (уменьшение) объема V .
Величина, обратная объемному коэффициенту сжатия, называется объемным
модулем упругости жидкости.
Закон Гука для идеальной жидкости:
Eж 
1
p
,
Температурное расширение - это свойство жидкостей изменять свой объем при
изменении температуры. Характеризуется температурным коэффициентом объемного
расширения (температурного расширения), представляющим относительное изменение
объема жидкости при изменении температуры на единицу и при постоянном давлении:
T 
1 V
,
V T
[ 0 C 1 ]
Вязкость - представляет собой свойство жидкости сопротивляться сдвигу (или
скольжению) ее слоев. Вязкость проявляется в том, что при относительном перемещении
слоев жидкости на поверхности их соприкосновения возникают силы сопротивления,
1
называемые силами внутреннего трения, или силами вязкости. Происходит взаимное
"торможение" и "ускорение" соседних слоев.
Закон Ньютона-Петрова:
T  S
где
U
,
n
T - сила внутреннего трения слоев жидкости,
S - площадь соприкасающихся слоев,
 - динамический коэффициент вязкости,
U - разность скоростей двух соседних слоев жидкости, расположенных на
расстоянии n друг от друга по нормали.
Динамический коэффициент вязкости

имеет физический смысл - это сила
трения возникающая при единичных площади S и градиенте скорости U / n .
кинематическая вязкость т.к. в размерность входят только кинематические, а не
динамические величины). Динамическая
собой следующим соотношением: 

и кинематическая вязкость
 связаны между
 / 
Жидкости, для которых справедлив закон Ньютона, называются ньютоновскими.
К неньютоновским жидкостям можно отнести многие пищевые жидкости: кефир,
сметана, сгущенное молоко, томатные пасты и т. п.
2. Поверхностное натяжение. Смачивание.
Поверхностное натяжение-это свойство обуславливающееся силами взаимного
притяжения, возникающими между частицами поверхностного слоя жидкости и
вызывающими напряженное его состояние.
Система, находящаяся в равновесии, занимает то из возможных для нее
положений, которое соответствует минимуму энергии. Эти силы направлены по
касательной
и
называются
силами
поверхностного
натяжения.
Коэффициент
поверхностного натяжения можно выразить:
  R / L ,
где
R - сила поверхностного натяжения,
L -длина линии, ограничивающая поверхность раздела.
Сила поверхностного натяжение оказывает на жидкость дополнительное давление,
нормальное к её поверхности, и может быть определена по формуле:
  2 / r ,
где
 - коэффициент поверхностного натяжения,
2
r - радиус трубки, в которой находится жидкость.
Размерность - СИ [Н/м]. Для системы вода-воздух при t= 20º С
ртуть-воздух -
 =0,073 Н/м,
 =0,48 Н/м.
Благодаря действию поверхностного натяжения объем жидкости, на который не
действуют никакие другие силы, принимают сферическую форму. С этим свойством
связана способность жидкости образовывать капли.
Полное смачивание
 0
θ
Частичное
  /2
θ
Частичное несмачивание
 /2  
Полное несмачивание
 
θ
Давление насыщенных паров. Давлением насыщенных паров (pн.п), или
упругостью паров, называют давление, при котором пары жидкости находятся в
равновесии с жидкостью и число молекул, переходящих из жидкости в пар, равно числу
молекул, совершающих обратный переход. Оно в значительной степени зависит от
температуры и, как правило, увеличивается с ее повышением.
Растворимость газов в жидкостях происходит при всех условиях, но различна
для разных жидкостей и изменяется с увеличением давления. Она характеризуется
количеством растворенного газа в единице объема жидкости.
3. Силы, действующие в жидкостях. Абсолютный и относительный покой жидких сред.
Гидростатикой называется раздел гидравлики, рассматривающий равновесие
жидкостей и их взаимодействие с твердыми стенками.
Жидкость, находящаяся в покое, характеризуется свойствами, очень близкими к
свойствам идеальной жидкости, т.к. в ней не проявляются силы вязкости. Она может
находиться в абсолютном или относительном покое, при этом на нее действуют массовые
и поверхностные силы. Массовые силы пропорциональны массе жидкого тела или ее
объему (для однородных жидкостей), к ним относятся силы тяжести, инерции.
3
Поверхностные силы распределены по поверхности и пропорциональны величине этой
поверхности - силы давления.
Абсолютный покой жидкости - это ее покой относительно земли. Например, сосуд,
наполненный жидкостью, стоит на столе и на жидкость действует только сила тяжести
(см. рис 6а).
Относительный покой - это равновесие жидкости в движущемся сосуде, когда помимо
силы тяжести действует еще одна сила - сила инерции, постоянная во времени.
4. Гидростатическое давление и его свойства.
Предел отношения приращения силы к площади, при стремлении последней к
нулю, называется гидростатическим давлением.
F
  0 
P  lim
Свойства гидростатического давления.
1. Гидростатическое давление направлено всегда по внутренней нормали к
площадке, на которую это давление действует.
  0 , то жидкость находится
в движении и стремится занять положение, при котором   0 (точка В), т.к.
Если касательное напряжение (см. рис.8) в точке (А)
растягивающие и касательные напряжения проявляются лишь при движении жидкости.
По этой причине внешние силы, действующие на покоящуюся жидкость, могут быть
только сжимающими.
S
τ А
N
В
2. Гидростатическое
Р
S
=
N
давление действует
P
одинаково по всем направлениям, т.е. не
зависит от угла наклона площадки, на которую оно действует.
Для доказательства выделим точку А и примем ее за начало прямоугольных
координат. Построим бесконечно малый тетраэдр со сторонами dx , dy , dz . Кроме сил
давления на тетраэдр действует массовая сила, равная: G   dx dy dz / 6
4
z
Fy
dz
Fx
Fn
A
dx
x
dy
y
Fz
Массовой силой можно пренебречь, т.к. она на порядок меньше поверхностных.
Силы давления можно выразить следующими зависимостями:
Fx  p x dy dz / 2
Fy  p y dz dx / 2
Fz  p z dx dy / 2
Fn  pn d
где p x ,
p y , p z , p n - средние гидростатические давления, действующие на
соответствующие грани
Если тело находится в равновесии, то суммы проекций на оси всех действующих
сил равны 0.
Px 
dy  dz
 Pn  d  cos(Fn ^ x)  0;
2
d  cos( Fn ^ x)  dy dz / 2;
Py 
dz  dx
 Pn  d  cos(Fn ^ y)  0;
2
d  cos( Fn ^ y )  dx dz / 2;
Pz 
dx  dy
 Pn  d  cos(Fn ^ z )  0;
2
d  cos( Fn ^ z )  dy dx / 2;
где:
d - площадь наклонной грани;
dy dz / 2 - проекция площади d на плоскость ZoY ;
dx dz / 2 - проекция площади d на плоскость XoZ ;
dy dx / 2 - проекция площади d на плоскость YoX .
5
После подстановки
d  cos( Pn , i ) в исходные уравненная и преобразования,
получим Px  Py  Pz  Pn . Что и требовалось доказать.
3. Гидростатическое давление в точке зависит от ее координат в пространстве, т.е.
р  f ( x, y, z ) . Очевидно, что с увеличением глубины погружения точки давление в ней
возрастает.
z
A
B
x
5. Уравнения Эйлера для покоящейся жидкости.
Рассмотрим равновесие жидкости (рис.11). Возьмем точку
А и выделим около нее
параллелепипед со сторонами dx , dy , dz . Обозначим внешние силы, отнесенные к
единице массы через
X ,Y , Z . Внешними силами здесь будут:
- объемные, пропорциональные массе параллелепипеда;
- силы гидростатического давления, действующие на грани параллелепипеда со
стороны окружающей жидкости.
z
dz
Fxв
Pв
В
С
А
Pс
Fx
c
dy
dx
x
dx/2
y
x
y
6
Рассмотрим сначала силы, действующие на жидкий параллелепипед по оси X.
Проекция объемных
сил dQx на ось X будет равна:
dQ x  X dM ;
dM   dx dy dz.
Следовательно,
проекции объемных сил на все оси:
dQ x  X dx dy dz  ;
dQy  Y dx dy dz  ;
dQ z  Z dx dy dz  .
Гидростатическое давление в точке В обозначим p в , а в точке С - через p с . Если
давление изменяется по линейному закону и непрерывно, тогда:
PB  P 
где
dx p
dx p


; PC  P 
2 x
2 x
p
- градиент гидростатического давления;
x
Р - давление в точке А.
Силы, действующие на грани равны:
1 p


FXB  dy  dz P    dx  ;
2 x


1 p


FXC  dy  dz P    dx 
2 x


Составим уравнение равновесия исследуемого нами жидкого объема относительно
оси X:
FXB  FXC  dQ x  0
1 p
1 p




dy  dz P    dx   dy  dz P    dx   X  dx  dy  dz    0
2 x
2 x




Уравнение равновесия после подстановки и преобразования сможем записать в
виде:

p
dx  dy  dz  X  dx  dy  dz    0
x
Окончательно уравнение равновесия относительно оси X будет иметь вид:
7
p
   X  0;
x

Аналогично получим уравнение равновесия относительно осей Y и Z и запишем
полную систему уравнений, которые называются уравнениями Эйлера.

p
   X  0;
x

p
   Y  0;
x

p
   Z  0.
x
Впервые они были выведены в 1775 г. и выражают закон распределения
гидростатического давления в дифференциальной форме.
Для дальнейшего преобразования, умножим каждое из уравнений системы на dx ,
dy , dz , соответственно

p
 dx  X  dx  0;
x

p
 dy  Y  dy  0;
y

p
 dz  Z  dz  0;
z
6. Основное уравнение гидростатики
Рассмотрим наиболее важный для практики частный случай равновесия жидкости,
находящейся под действием только сил тяжести. Давление на поверхности будем считать
известным и равным Р0 , отличным от атмосферного.
Так как на жидкость действует только сила тяжести то:
X
U
 0;
x
Y
U
 0;
y
Z
U
 g
z
(ускорения по осям X и Y отсутствуют, а то оси Z, ускорение свободного падения
направлено вниз, поэтому Z   g ).
Подставим
X, Y, Z
в уравнения Эйлера (первые два уравнения обращаются в
нуль) и получим:
8
dp   g  dz;
После интегрирования
z
dp
 dz  0 .
g
p
C.
g
Для вычисления постоянной интегрирования С, подставив граничные условия
Z  Z 0 , P  P0 и получим её значение:
C  Z0 
P0
,
g
а подставив С в полученное выше уравнение, запишем:
Z
P
P
 Z0  0 .
g
g
Уравнение выражает закон сохранения энергии в покоящейся жидкости. Сумма
удельной потенциальной энергии положения Z и удельной потенциальной энергии
давления P / g
жидкости.
есть величина постоянная во всех точках данной покоящейся
z
Po
h
A
zo
z
o
x
7. Распределение давления в покоящейся жидкости и газе (закон Паскаля).
z
Po
h
A
zo
z
o
x
9
P  P0  g Z 0  Z  .
А если учесть, что Z 0  Z  h , то P  P0  gh ,
где: h - глубина погружения точки в жидкости.
Это уравнение выражает закон Паскаля: давление, возникающее на граничной
поверхности жидкости передается всем частицам жидкости по всем направлениям и
без изменения.
Закон Паскаля используется при проектировании гидростатических машин,
например, гидравлического пресса.
8. Эпюры гидростатического давления
Эпюры гидростатического давления - графическое изображение распределения
ГСД на плоские фигуры.
Рассмотрим распределение нормальных напряжений (ГСД) на плоскую стенку
резервуара с жидкостью (рис. 16). Пусть на поверхности жидкости действует атмосферное
давление.
А
В
hC
С
hD  hE
E
D
Рисунок 16 - Эпюра гидростатического давления.
Давление на контур АВСДЕ справа будет равно атмосферному.
10
Слева на контур АВ действует атмосферное давление, а на контур ВСДЕ действует
заполняющая резервуар жидкость и атмосферное давление, которое уравновешивается
Ратм справа.
Тогда эпюру ГСД можно представить в следующем, рассчитав избыточные
давления в точках В, С, Д, Е.
РВ  0 ; РС  ghC ; РD  PE  ghD  ghE .
Представив избыточные давления в каждой точке векторами в определенном
масштабе, с учетом второго свойства ГСД строим эпюру, откладывая значения давлений в
точках по нормали к стенке.
Эпюра ГСД на стенку ВС представляет собой треугольник, т.к. изменение давления
по глубине линейно. Эпюра давления на стенку СД будет представлять собой трапецию,
т.к. в точке С давление РС  ghC , а давление в точке Д РD  PC . Эпюра давления на
дно ЕД будет прямоугольником, т.к. Р D  PE .
Рассмотрим более сложный случай, когда плоская стенка подвержена давлению
жидкости с двух сторон. С левой стороны глубина равна H1 , а с правой - H 2 (рис. 17). В
этом случае эпюры будут представлять собой два треугольника: слева - высотой H1 с
основанием gH 1 , справа высотой H 2 , с основанием gH 2 .
А
М
В
Н1
Н2
N
С=С′
Рис.17. Эпюры гидростатического давления
Суммарная эпюра получится графическим вычитанием эпюр. На рисунке 17 она
представлена в виде трапеции АМNС.
11
9. Виды давления и приборы для его измерения.
Гидростатическое давление делится на полное или абсолютное, избыточное
(манометрическое) и недостаточное (вакуумметрическое).
Полное или абсолютное гидростатическое давление в любой точке или сечении
жидкости равно внешнему давлению на ее свободной поверхности Р0 , сложенному с
давлением столба жидкости
gh , у которого основание равно единице площади, а высота
- глубине погружения точки или сечения в жидкость.
P  P0  gh
Разность между абсолютным гидростатическим и атмосферным давлением
называется избыточным или манометрическим давлением, характеризующим избыток
давления по сравнению с атмосферным.
Рабс  Ратм  Ризб ,
Т.е.
Ризб  Рабс  Ратм .
Если на поверхности жидкости давление больше атмосферного, то избыточное
давление в рассматриваемом случае будет равно:
Ризб  Р0  Ратм  gh
таким образом, избыточное давление в ном случае создается как за счет веса столба
жидкости
gh , так и за счет разности давлений P0  P0  Pатм .
Вакуумом
(вакуумметрическим
давлением)
называется
разность
между
атмосферным и абсолютным давлением, характеризующая недостаток давления до
окружающего атмосферного:
Рвак  Ратм  Рабс .
Вакуумом
(вакуумметрическим
давлением)
называется
разность
между
атмосферным и абсолютным давлением, характеризующая недостаток давления до
окружающего атмосферного:
Рвак  Ратм  Рабс .
Для измерения давления применяют различные приборы, которые можно
подразделить на две основные группы: жидкостные и механические.
Простейшим прибором является пьезометр, измеряющий давление в жидкости
высотой столба той же жидкости. Он представляет собой стеклянную трубку, открытую с
одного конца (трубка на рис. 14а). Пьезометр - очень чувствительный и точный прибор,
12
однако он удобен только при измерении небольших давлений, в противном случае трубка
получается очень длинной, что осложняет его применение.
Ратм
Pизб=P0-Pатм
h
Pизб
g
Ро
а) пьезометр
Ратм
ртут
ь
Ро
h
Pизб   а

g
 рт
а
вода
А
В
б) манометр
13
вода
Р1
Р2
h
A
h
B
P
g (  рт   )
ΔР=Р1-Р2
ртуть
в) дифференциальный манометр
Рисунок 14 – Жидкостные приборы для измерения давления
Для уменьшения длины измерительной трубки применяют приборы с жидкостью
большей плотностью (например, ртутью). Ртутный манометр представляет собой Уобразную трубку, изогнутое колено которого заполняется ртутью (рис. 14б). Под
действием давления в сосуде уровень ртути в левом колене манометра понижается, а в
правом - повышается.
Дифференциальный манометр применяют в тех случаях, когда необходимо
измерить не давление в сосуде, а разность давлений в двух сосудах или в двух точках
одного сосуда (рис. 14 в).
Применение жидкостных приборов ограничивается областью сравнительно
небольших давлений. Если необходимо измерять высокие давления, применяют приборы
второго типа -механические.
Пружинный манометр является наиболее распространенным из механических
приборов. Он состоит (рис.15а) из полой тонкостенной изогнутой латунной или стальной
трубки (пружины) 1, один конец которой запаян и соединен приводным устройством 2 с
зубчатым механизмом 3. На оси зубчатого механизма располагается стрелка 4. Второй
конец трубки открыт и соединен с сосудом, в котором замеряется давление. Под
действием давления пружина деформируется (распрямляется) и через приводное
устройство приводит в действие стрелку, по отклонению которой определяют значение
давления по шкале 5.
14
3
5
3
4
5
1
2
4
2
1
Р
P
а) пружинный манометр
б) мембранный манометр
Рисунок 15 - Механические приборы для измерения давления.
Мембранные манометры также относятся к механическим (рис. 15б). В них
вместо пружины устанавливается тонкая пластина-мембрана 1 (металлическая или из
прорезиненной материи). Деформация мембраны посредством приводного устройства
передается стрелке, указывающей значение давления.
Механические манометры имеют по сравнению с жидкостными некоторые
преимущества: портативность, универсальность, простоту устройства и эксплуатации,
большой диапазон измеряемых давлений.
Для измерения давлений меньше атмосферного применяют жидкостные и
механические вакуумметры, принцип работы которых тот же, что и у манометров.
10. Определение сил гидростатического давления покоящейся жидкости на
плоские стенки.
Определим как рассчитывается сила гидростатического давления на плоскую стенку,
которая наклонена под углом
 , при одностороннем воздействии жидкости (рис. 18).
Одну координатную ось направим вдоль стенки, а другую по линии пересечения стенки со
свободной поверхностью. Для удобства развернем проекцию стенки в плоскость чертежа.
Выделим на ней фигуру площадью
 . Между любой координатой у и глубиной
погружения h существует следующая связь: h  y  sin  .
15
h
dF
hC
hD
x
y
yD
F
yC
C
d
D
C
y
D
Рисунок 18 - К определению силы давления на плоскую стенку.
На каждый бесконечно малый элемент площади d действует элементарная сила
dF  p  d , но давление в центре тяжести d равно P  gh  gy  sin  .
Тогда элементарная сила dF  gy  sin   d .
Суммарная
сила
давления
интегрированием по площади
на
всю
площадь
со
может
быть
получена
:
F   dF g  sin   y  d ,

где
 y  d

- статический момент площади относительно оси ОХ.

Известно, что статический момент площади равен произведению координаты
центра тяжести на площадь фигуры:
 y  d  yc    S x ,

откуда можно записать, что суммарная сила гидростатического давления равна:
F   g yC  sin    или F  pC   ,
где p C - давление в центре тяжести.
Таким образом, сила гидростатического давления на плоскую поверхность равна
произведению гидростатического давления в центре тяжести этой поверхности на ее
площадь.
16
Центром
давления
называется
точка
приложения
полной
силы
гидростатического давления, действующей на данную поверхность.
Для определения положения центра давления воспользуемся известной теоремой
статики: момент равнодействующей силы равен сумме моментов сил ее составляющих.
F  y D   dF  y .
Т.е.

Из этого выражения можно найти искомую координату центра давления (точки D):
 dF  y g  sin   y  d J

yD 


 x,
F
g  sin   y  d S x
2

где J x - момент инерции площади относительно оси ОХ.
Но момент инерции относительно любой оси может быть выражен через момент
инерции относительно центральной оси J 0 (оси, проходящей через центр тяжести
фигуры).
J x  a2   J 0 ,
где а - расстояние между осями (в нашем случае a  yc )
Тогда
yD 
yC    J 0
yC  
или
y D  yC 
J0
.
yC  
Используя уравнение связи между глубиной h и координатой y, получим
уравнение для определения глубины погружения центра давления:
hD  hC 
J0
.
hC  
Это выражение показывает, что центр давления лежит всегда ниже центра
тяжести (кроме давления на горизонтальную плоскость, когда они совпадают).
17
11.Определение сил гидростатического давления покоящейся жидкости на криволинейные
стенки.
Рассмотрим цилиндрическую поверхность АВ, на которую слева действует
жидкость (рис. 19). Ширина ее равна единице длины. Выделим на этой поверхности
элементарную площадку dω.
•
0
x
A
ω
dωz
h
hc
dω
C
•
dωx
dFx
φ
dFz
dF
•
B
единица длины
z
Рисунок 19 – Сила давления на криволинейную поверхность.
Определим силу избыточного гидростатического давления на эту площадь.
Разложим силу dF на горизонтальную и вертикальную составляющие dFx и dFy .
dFx  dF  cos   gh  d  cos  .
где
d x  d  cos  - проекция
элементарной
площадки на плоскость
перпендикулярную оси ОХ.
Просуммировав все элементарные силы по всей площади, получим
18
 dFx  g  h  d x ,

где

 h  d x - статический момент площади  x относительно оси
x

Преобразуем это уравнение (аналогично рассмотренному уравнению для плоской
стенки) и в результате получим:
Fx  ghc   x .
Горизонтальная
составляющая
силы
гидростатического
давления
на
криволинейную поверхность равна силе давления на ее вертикальную проекцию  x .
Вертикальная составляющая силы давления равна:
dFz  dF sin   gh  d  sin  .
Произведение
d  sin  равно площади проекции d на горизонтальную
плоскость d z .
Тогда dFz  gh  d z .
Произведение h  d z представляет собой элементарный объем жидкости dV ,
лежащей между площадкой d и свободной поверхностью жидкости.
Просуммировав элементарные силы получим:
Fz   dFz   gdV  gV .

где V - объем тела давления;

Fz  gV .
gV - вес тела давления
Т.е. вертикальная составляющая Fz равна весу жидкости, заключенной в теле
давления.
Величина
результирующей
силы
может быть
найдена сложением векторов
составляющих или по теореме Пифагора:
F  Fx2  Fz2 .
Направление результирующей силы гидростатического давления определяется
углом наклона

к горизонту, тангенс которого находят из силового треугольника:
tg 
Fz
.
Fx
Следует помнить, что вертикальная составляющая может быть направлена либо
вверх, либо вниз, в зависимости от положения поверхности по отношению к жидкости.
19
Правило знаков:
B
- если объем тела давления реален (жидкость
расположена сверху),то направление силы
вниз (сила положительна) и численно равна
весу жидкости в объеме так называемого
Fz
A
положительного
(действительного)
тела
давления;
Fz
- если объем тела давления фиктивный (жидкость
находится снизу),
то
направление силы вверх
(сила отрицательна) и численно равна весу жидкости в объеме так называемого отрицательного
(фиктивного) тела давления.
12. Центр давления.
Для определения положения центра давления воспользуемся известной теоремой
статики: момент равнодействующей силы равен сумме моментов сил ее составляющих.
F  y D   dF  y .
Т.е.

Из этого выражения можно найти искомую координату центра давления (точки D):
 dF  y g  sin   y  d J
yD  


 x,
F
g  sin   y  d S x
2

где J x - момент инерции площади относительно оси ОХ.
Но момент инерции относительно любой оси может быть выражен через момент
инерции относительно центральной оси J 0 (оси, проходящей через центр тяжести
фигуры).
J x  a2   J 0 ,
где а - расстояние между осями (в нашем случае a  yc )
Тогда
yD 
yC    J 0
yC  
или
y D  yC 
J0
.
yC  
20
Используя уравнение связи между глубиной h и координатой y, получим
уравнение для определения глубины погружения центра давления:
J0
.
hC  
hD  hC 
Это выражение показывает, что центр давления лежит всегда ниже центра
тяжести (кроме давления на горизонтальную плоскость, когда они совпадают).
12.Закон Архимеда, плавание тел.
Закон Архимеда о силе, действующей на погруженное в воду тело, был
сформулирован Архимедом за 250 лет до н.э.
На погруженное в жидкость тело действует выталкивающая сила, равная весу
жидкости, вытесненной этим телом.
Рассмотрим силы, действующие на погруженное в жидкость тело А (рис. 21):
- сила давления сверху F1  gH 1 ,
- сила давления снизу F2  gH 2  ,
H1
- сила давления со стороны Fn ,
H2
- сила веса тела G .
Сумма сил давления со стороны боковых
граней равна нулю (т.к. они равны по
H Fn
F1
G
Ω
Ω
Fn
величине, но направлены в разные
F2
стороны).
Рисунок 21 - К выводу закона Архимеда
Суммарная сила давления на погруженное тело - выталкивающая сила (сила
Архимеда) равна:
F  F2  F1  gH 2  H1   gH ,
где
H   - объем тела V
Тогда сила Архимеда
Fapx  gH  gV .
Из закона Архимеда следует, что на тело, погруженное в жидкость, в конечном
счете действуют две силы: сила тяжести (вес тела) G и выталкивающая архимедова сила
Fapx . При этом могут иметь следующие основные случаи (рис. 22).
21
1. Если плотность жидкости и тела одинаковы
   тела  ,
то наблюдается
безразличное равновесие, т.к. G  Fapx , т.е. тело можно поместить на любую глубину и
оно не будет ни всплывать, ни тонуть.
2. Если плотность жидкости меньше плотности тела
   тела  ,
то сила веса
больше выталкивающей силы G  Fapx и их равнодействующая направлена вниз. Тело
будет тонуть.
3. Если плотность жидкости больше плотности тела
   тела  ,
вес меньше
выталкивающей силы G  Fapx . Погруженное в жидкость тело будет всплывать до тех
пор, пока вследствие выхода части его над поверхностью жидкости архимедова сила не
уравновесит вес тела. Тело будет плавать на поверхности.
Fарх
3
G
Fарх
1
Fарх
G
2
G
Рисунок 22 – Плавание тел
13.Два метода описания движения жидкости и газа.
Гидродинамика - это раздел гидравлики, в котором изучаются общие законы
движения реальной жидкости и ее взаимодействие с твердыми стенками.
Благодаря текучести жидкой среды отсутствуют жесткие связи между ее
отдельными частицами, и общий характер движения оказывается более сложным, чем
характер движения твердого тела.
22
Изучение движения представляет значительные сложности в силу того, частицы
обладают большой подвижностью и, в общем случае, в различных точках пространства и
в различные моменты времени имеют различные скорости по величине и направлению.
При исследовании движения жидкости применяют два основных метода: Лагранжа
и Эйлера.
При исследовании по методу Лагранжа рассматривается движение отдельных
частиц вдоль их траекторий. Для этого замечают координаты a, b, c в начальный момент
времени t 0 . Все последующие координаты точки x, y, z и составляющие скорости
Vx , V y , Vz будут зависеть от начальных координат, называемых переменными Лагранжа:
X  f a, b, c, t 0 ,
Y  f a, b, c, t 0 ,
Z  f a, b, c, t 0 ,
где a, b, c, t 0 - переменные Лагранжа.
Если параметры a, b, c зафиксированы, то приведенное выражение устанавливает
кинематические характеристики конкретной жидкой частицы, аналогично тому, как
определяют соответствие характеристик материальной точки.
При изменении a, b, c осуществляется переход от одной жидкой частицы к другой
и таким образом можно охарактеризовать движение всей конечной массы жидкости.
Метод Эйлера состоит в определении скорости и давления жидкости в той или
иной точке неподвижного пространства, т.е. изучаются поля скоростей и давлений в
некоторые последующие моменты времени. Таким образом, движение описывается
уравнениями:
Vx  f  x, y, z , t ,
V y  f  x, y, z , t ,
Vz  f  x, y, z , t ,
p  f  x, y, z , t .
В гидравлике обычно применяется метод Эйлера, т.к. он относительно более прост, чем
метод Лагранжа (решение уравнений по Лагранжу сложны и трудноразрешимы).
23
14.Основные понятия гидродинамики: линии и трубки тока, траектория частицы, поток
жидкости, живое сечение потока, смоченный периметр, гидравлический радиус,
гидравлический диаметр, расход.
При рассмотрении движения жидкости пользуются следующими понятиями и
определениями:
1
4
2
5
линия тока
•6
Линией тока (рис. 25)называется
кривая,
3
проведенная
в
жидкости, касательные к которой в
В
каждой точке совпадают с
А'
В'
траектория
А
dω
dω
трубка тока
направлением векторов скоростей
частиц, лежащих в данный момент на
этой кривой, причем каждая
последующая частица расположена на
направлении вектора скорости
предыдущей.
Рисунок 25 – Линия тока и
траектория, трубка тока.
ω
Траекторией частицы называется
ω
χ
χ
путь, описанный частицей в пространстве.
Выберем в жидкости
замкнутый
ω
контур и проведем через каждую его точку
ω
χ
линию тока и получим трубку тока.
Трубкой тока называется трубчатая
χ
поверхность, образованная линиями тока,
проходящими через все точки конечно
Рисунок 26 – Живое сечение
потока,
гидравлический радиус и
малого замкнутого контура, причем все его
диаметр,
смоченный периметр
точки принадлежат различным линиям тока. Жидкость, движущаяся внутри трубки тока,
называется элементарной струйкой (элементарная струйка абсолютно непроницаемая).
Потоком жидкости называется совокупность элементарных трубок, текущих в
заданных границах.
Живым сечением
 называется поверхность , проведенная в границах потока и
нормальная ко всем линиям тока (рис.26).
24
Смоченным периметром

называется часть периметра живого сечения,
соприкасающегося с ограждающими стенками.
Гидравлический диаметр представляет собой отношение учетверенной
площади живого сечения к смоченному периметру
D
4

.
Гидравлический радиус - это отношение площади живого сечения к смоченному
периметру, он равен R 

1
и соответственно R 
.

4D
Количество жидкости, проходящее через живое сечение в единицу времени,
называется расходом. Расход может быть объемным, массовым, весовым.
Объемный: Q  V ,
Массовый:
M  Q  V ,
Весовой:
G   Q   V ,
где: V - средняя скорость,
 - площадь живого сечения,
 - плотность,
 -удельный вес.
Т.к. скорости различных струек реального потока в общем случае различны, то
объемный расход всего потока равен:
Q   Vd .

Фиктивная скорость, с которой должны двигаться все частицы жидкости для
обеспечения расхода Q называется средней скоростью.
Q  Vd  Vcp ,

откуда
Vcp 
Q

 Vd


тогда телом расхода, построенным на средней скорости, будет цилиндр с высотой Vcp и
основанием, равным площади сечения потока
.
25
15. Уравнение постоянства расхода (уравнение неразрывности)
ω1
ωn
V1
Vn
ω2
dω1
dωn
V2
Основываясь на законе
сохранения
вещества,
на
предположении о сплошности
течения и на свойстве трубки
dω2
тока
(ее
непроницаемости)
можно утверждать, что расход
во
всех
сечениях
элементарных струек один и
тот же (рис. 27).
Рисунок 27 – К уравнению
неразрывности.
dQ  V1d1  V2 d 2  const
Это и есть уравнение неразрывности (сплошности) для элементарной струйки,
которое формулируется так: элементарный расход жидкости при установившемся
движении есть величина постоянная для всей элементарной струйки.
Аналогичное уравнение составим и для потока конечных размеров, введя среднюю
скорость.
Q  V11  V2 2  V33  .....  Vn n  const .
Уравнение неразрывности для потока жидкости читается так: расход жидкости
через любое сечение потока при установившемся движении есть величина постоянная.
Из уравнения неразрывности потока для двух сечений можно написать:
V1  2

.
V2 1
Из этого уравнения следует, что средняя скорость обратно пропорциональна
площади сечения.
26
16.Установившееся и неустановившееся, равномерное и неравномерное, напорное и
безнапорное движение жидкости.
Движение жидкости определяется скоростью в отдельных точках, давлениями,
возникающими на различных глубинах, глубинами, а также общей формой потока.
Указанные величины являются функциями координат f  x, y , z  а также могут изменятся
во времени t 0 , в связи с чем различают:
- установившееся движение жидкости (рис. 23а), при котором скорости, давления,
глубины не меняются с течением времени, а зависят только от положения в потоке
жидкости рассматриваемой точки, являясь функцией координат
V  f  x, y , z ,
p  f  x, y, z ,
h  f  x, y , z ,
где
V - скорость движения;
p - гидродинамическое давление;
h - глубина потока.
-
неустановившееся
движение
жидкости
(рис.
23б),
при
котором
все
перечисленные выше компоненты являются функцией не только координат, но и времени
(т.е. изменяются с течением времени)
V  f  x, y, z , t ,
p  f  x, y, z , t ,
h  f  x, y, z , t .
а)
б)
h=const
h1
h2
баки
V, p = Var
V, p = const
при постоянном уровне
при переменном уровне
V, p = Var
V, p = const
V=Var
насосы
ω= const
центробежный
27
поршневой
Рисунок 23 - Примеры установившегося и неустановившегося движения
Установившееся в свою очередь подразделяется на равномерное и неравномерное.
Равномерным
V
V
V
называется
такое
установившееся движение, при котором
живые сечения вдоль всего потока не
изменяются, в этом случае V  const и
V1
V2
V3
  const (рис 24).
Неравномерным называется такое
движение, при котором распределение
скоростей
неодинаково
в
различных
поперечных сечениях; при этом средняя
скорость и площадь сечения могут быть и
постоянными.
Рисунок 24 – Примеры равномерного,
неравномерного, напорного и
безнапорного движения.
Напорным называется
такое
движение жидкости, при котором
поток полностью заключен в твердые стенки и не имеет свободной поверхности.
Движение происходит за счет разности давлений  р и под действием силы тяжести.
Безнапорным называется поток, имеющий свободную поверхность. Движение - за
счет силы тяжести и начальной скорости.
Еще один вид движения жидкости - свободная струя, не ограниченная твердыми
стенками. В этом случае движение жидкости происходит по инерции и под действием
силы тяжести.
28
17.Два режима движения жидкостей и газов. Опыты Рейнольдса, критерий Рейнольдса.
При исследованиях вопроса о механизме самого движения жидкостей пришли к
заключению о существовании двух различных, резко отличающихся режимов движения.
Это было известно еще в первой половине XIX века, физиком Рейнольдсом на основе
весьма простых и наглядных опытов.
a)
7
Б
б)
3
1
4
6
5
w
Рисунок 31 – Схема установки Рейнольдса
Рейнольдс пропускал жидкость из бака Б, в котором с помощью перелива 7
поддерживался постоянный уровень, через стеклянные трубки различного диаметра,
регулируя скорость движения жидкости в них кранами 1 и 5. По тонкой трубке 3 с
заостренным концом ко входу в стеклянную трубку 4 подводилась окрашенная
жидкость из сосуда 2. Средняя скорость V в трубке 4, имеющей площадь сечения со
определялась по объему жидкости W, поступившей в мерный сосуд 6 за время t (рис .31).
Как показывают исследования, структура потока при различных скоростях течения
различна.
При малых скоростях течения в потоке жидкости появляются окрашенные струйки.
Они движутся прямолинейно, без пульсаций, не перемешиваясь с соседними слоями
жидкости (рис. 31а). Такое параллельно-струйное, спокойное движение жидкости без
поперечного перемешивания и при отсутствии пульсации скорости и давления называют
ламинарным (слоистым) режимом движения жидкости.
При постепенном увеличении скорости движения жидкости при некоторой
скорости течения параллельно-струйное движение нарушится, окрашенные струйки
29
станут пульсирующими, появятся разрывы. А при дальнейшем увеличении скорости
окрашенные струйки исчезнут, перемешавшись с потоком жидкости (рис. 316). Движение
станет беспорядочным вследствие пульсации скоростей и давления, что и приводит к
перемешиванию частиц жидкости. Движение жидкости, во время которого происходит
пульсация скоростей и давления, называют турбулентным (беспорядочным) режимом
движения.
Обобщив результаты своих опытов, Рейнольдс нашел общие условия, при которых
возможны существование того или иного режима или переход одного режима к другому.
Он установил, что основными факторами, определяющими характер режима, являются:
средняя скорость движения жидкости V, внутренний диаметр трубы d, плотность
жидкости р, динамическая вязкость rj.
Для характеристики режима движения Рейнольде ввел безразмерный параметр
Re, учитывающий влияние перечисленных факторов, называемый числом (или
критерием) Рейнольдса.
тогда Re  Vd / .
Re  Vd  /  но  /    ,
Границы
существования
того
или
иного
режима
движения
жидкости
определяются двумя числами Рейнольдса, которые называются критическими: нижним
ReKP.H.=2320 и верхним ReKp.B.=13800 (сам Рейнольдс получил несколько иные значения
ReKP.H.=2000 RCKP.B.=12000). Значения скоростей, соответствующие этим значениям
числа Рейнольдса, также называют критическими (нижней критической VH.K. И верхней
критической VB.K.)Таким образом, при Re < RCKP.H ( соответственно , V< VH.K) возможен только
ламинарный
режим,
при
Re>
Reкр.н.B
(V>
Vв.к)
-
турбулентный,
а
при
Re КР.Н  Re  Re КР.В ,или VН .К  V  VВ.К .) наблюдается неустойчивое состояние потока.
Тогда, для определения характера режима движения жидкости необходимо в каждом
отдельном случае вычислять число Рейнольдса Re=Vd/v и сравнивать результат с
критическими значениями.
В настоящее время при расчетах принято исходить только из нижнего значения
критического числа Рейнольдса Reкp.=2320 и считать режим ламинарным при Re <
2320, а турбулентным при Re> 2320. При этом движение в неустойчивой зоне
исключается из рассмотрения, что приводит к некоторому запасу и большей надежности в
гидравлических расчетах.
С физической точки зрения критерий Re есть отношение сил инерции потока к
силам трения при его движении.
30
Определение режима движения жидкости в практических расчетах имеет очень
важное значение. Опыты показали, что потери напора по длине потока при ламинарном
режиме движения пропорциональны средней скорости в первой степени:
h  k лV ,
где: h - потери напора по длине потока;
кл -коэффициент пропорциональности;
V - средняя скорость течения потока
Для турбулентного режима движения потери напора по длине потока
пропорциональны средней скорости в степени n:
h  k лV n
где: n – показатель степени, изменяющийся от 1,75 до 2 .
Покажем на графике (рис. 32) соотношение между потерями напора h и числом Re. Как
видно, с увеличением числа Рейнольдса показатель степени увеличивается. При развитой
турбулентности
n=2. Следовательно, при определении потерь напора надо знать характер
режима движения, а затем уже выбрать соответствующую формулу для определения потерь
напора.
h
h
Vn
C
B
h
V1
Vкрn
VкрB
A
Re
Н
кр
B
Reкр
V
Re
Рисунок 32 - Зависимость h  f (Re)
31
18.Особенности ламинарного и турбулентного режимов. Эпюры распределения
скоростей.
При выводе этого уравнения принято, что скорости движения отдельных частиц
жидкости в пределах живого сечения одинаковы и равны средней скорости. Однако, если
обратиться к потоку реальной жидкости, то необходимо учесть, что скорости в разных
точках живого сечения потока не одинаковы, вследствие действия сил трения, за счет
чего происходит торможение жидкости у стенок и поле скоростей изменяется (рис. 29).
Идеальная жидкость
Ламинарный режим
Турбулентный режим
Рисунок 29 - Распределение скоростей в живом сечении идеальной и реальной
жидкости
Ламинарный режим характерен четким выделением отдельных струек.
Распределение скоростей. Касательные напряжения при ламинарном режиме
можно выразить из закона вязкого трения Ньютона:
  
dV
dr
Приравняем два выражения

dV
r
 I
dr
2
Из этого выражения, произведя преобразования и интегрирование, получим
скорость:
 I r2
V
 C
2 2
Постоянную интегрирования C,определим из
условий нулевой скорости на
стенках трубы (U=0 при r=0),откуда
C    I  r02 /(4 )
Окончательно закон распределения скоростей имеет вид
32
V  I 
r02  r 2
r2
; при r=0; Vmax    I  0
4
4
Эпюра скоростей в живом сечении представляет собой парабалоид вращения.
Скорость изменяется от нуля в прилипшем слое у стенок трубы до Vmax на оси.
Особенности течения при турбулентном режиме
Для турбулентного движения характерно перемешивание жидкости, пульсации
скоростей и давлений в процессе течения.
Траектории частиц, проходящих через данную неподвижную точку пространства в
разные моменты времени, представляют собой кривые линии различной формы несмотря
на прямолинейность трубы. Характер линий тока в трубе в данный момент времени также
отличается большим разнообразием.
Таким образом, строго говоря, турбулентное течение является неустановившимся
течением, т.к. величины скоростей и давлений, а также траектории частиц меняются по
времени. Однако его можно рассматривать как установившееся при условии, что
осредненные по времени значения давлений и скоростей, а также величина полного
расхода потока не меняются с течением времени. Такое течение встречается довольно
часто.
Ввиду того, что при турбулентном течении отсутствует слоистость потока и
происходит перемешивание жидкости, закон Ньютона в этом случае неприменим.
Благодаря перемешиванию жидкости и непрерывному переносу количества движения в
поперечном направлении, касательное напряжение на стенке трубы в турбулентном
потоке значительно больше, чем в ламинарном.
Распределение скоростей может быть выражено приближенной степенной
формулой Альтшуля-Калицуна
V  Vmax ( y / r )0.9  .
При турбулентном режиме непосредственно на стенке трубы обычно имеется
ламинарный слой. Это весьма тонкий слой жидкости, движение в котором является наиболее
замедленным, слоистым и без перемешивания, т.е. ламинарным. Непосредственно за
ламинарным слоем располагается тонкий слой жидкости, который представляет переходную
зону от ламинарного к турбулентному режиму.
33
За переходной зоной лежит турбулентное ядро, в котором частицы перемещаются по
сложным траекториям, вихреобразно (рис 35).
Vл
δ
Турбулентное
ядро

Ламинарный слой
Рисунок 35 - Структура потока при турбулентном режиме
В пределах ламинарного слоя скорость круто нарастает от нуля на стенке до
некоторой конечной величины на границе слоя. Этот участокназывается пограничным
ламинарным слоем. Толщина ламинарного слоя 5 может быть выражена следующей
зависимостью:
  64, 2 
d
.
Re7 / 8
Интересно отметить, что число Рейнольдса, подсчитанное по толщине ламинарного
слоя, скорости \л есть величина постоянная подобно критическому числу Рейнольдса:
V  / v  const .
34
19.Уравнения Эйлера для движущейся среды.
Воспользуемся основным законом механики, а именно:
Равнодействующая всех сил, действующих на данное тело, равна массе тела,
умноженной на ускорение, с которым движется это тело.
Полная сила инерции равна: I = - m(dV/dt). Будучи отнесенной к единице массы,
полная сила инерции даст единичную силу инерции.
Ее проекции на координатные оси будут равны :
ix  dVx / dt ,
iz  dVz / dt .
i y   dVy / dt ,
Теперь необходимо внести эти составляющие в уравнения Эйлера дл
гидростатики и получим уравнения всех
единичных сил, действующих движущейся
жидкости.
Преобразуем уравнения Эйлера к следующему виду:
1p
1p dVx
 ix  X 

0
x
x dt
1p
1p dVy
 iy  Y 

0
аY 
x
y dt
1p
1p dVz
Z
 iz  Z 

0
z
z dt
X
Или после преобразований
1p dVx

x
dt
1p dVy

аY 
x
dt
1p dVz
Z

z
dt
X
Эти уравнения носят название дифференциальных уравнений Эйлера для
движущейся идеальной жидкости. Они устанавливают связь между проекциями
объемных, массовых сил и скоростей, давлением и плотностью жидкости и являются
основой для изучения некоторых вопросов гидродинамики.
Уравнения не учитывают ни сил трения, ни сил сцепления (вязкости), т.к. уравнения
получены из уравнений статики, а в статических уравнениях данные величины не
фигурируют.
35
20. Уравнение Бернулли для идеальной жидкости.
Рассмотрим уравнения живых сил, для чего умножим уравнения у Эйлера на dx,
dy, dz соответственно, и сложим их почленно:
Xdx  Ydy  Zdz 
1 p
p
p
x
y
z
( x  y  z )  Vx  Vy  Vz .
 x
y
z
t
t
t
Для установившегося движения в скобках слева стоит полный дифференциал
давления dp. Справа будем иметь:
dx/dt = Vx;
Тогда
dy/dt = VY;
VxdVx = d(Vx2/2);
VydVy = d(VY2/2);
dz/dt = Vz
VzdVz = d(Vz2/2).
Но сумма полных дифференциалов трех составляющих скорости по осям х, у, z
равна полному дифференциалу скорости:
d(Vx2/2) +d(VY2/2) +d(Vz2/2) =d(V2/2) Окончательно получим закон живых сил в
следующем виде:
d(V2/2) = Xdx + Ydy +Zdz -dp/p
Закон живых сил можно сформулировать в следующем виде: дифференциал
кинетической энергии частицы идеальной жидкости при установившемся движении равен
сумме элементарных работ сил тяжести и сил давления.
Рассмотрим наиболее важный для практики случай движения жидкости: Расположим
в несжимаемой жидкости, находящейся под действием силы тяжести в установившемся
движении, оси координат так, что ось z была направлена вверх параллельно направлению
действия силы тяжести. Тогда X=Y=0, Z=-g (знак «минус» поставлен, т.к. ось Z
направлена вверх, а ускорение g вниз) и уравнение живых сил перепишется в следующем
виде:
d(V2 /2)=-gdz-dp/ = 0 .
Перенеся все составляющие в левую часть, получим:
d(V2 /2)+gdz+dp/ = 0 .
Разделим каждый член на g и сумму дифференциалов заменим дифференциалом суммы:
d(
V2
p

 z)  0 .
2g  g
После интегрирования получим уравнение Бернулли для элементарной струйки
жидкости в установившемся движении:
36
V2
p

 z 0.
2g  g
Дифференциал равен нулю, если под знаком дифференциала стоит
постоянная величина.
Все три члена уравнения Бернулли представляют собой механическую энергию,
поэтому можно сделать следующее заключение: вдоль линии тока несжимаемой и невязкой
жидкости запас механической энергии, отнесенный к единице массы, веса или объема остается
постоянным.
Механическую энергию жидкости, отнесенную к единице веса, называют полным
напором; суммы энергии сил давления и положения, отнесенную к единице веса статическим напором. Вдоль данной линии тока (в установившемся движении жидкости)
сумма скоростного и статического напоров остается постоянной.
Если вспомним, что P/pg пьезометрический напор, a z геометрический, а также введя
понятие скоростного (динамического) напора V2/2g , то можно сказать, что сумма
скоростного, пьезометрического и геометрического напоров вдоль линии тока есть
величина постоянная.
Так как сумма z+P/pg представляет собой удельную потенциальную энергию
жидкости, a V2/2g- удельную кинетическую энергию, то уравнение Бернулли устанавливает
постоянство полной энергии (суммы кинетической и потенциальной энергии) и является
частным случае/закона сохранения энергии.
Получим теперь уравнение Бернулли для потока идеальной жидкости, для чего
подсчитаем полную энергию жидкости в живом сечении, умножив все составляющие на
весовой расход элементарной струйки  gVd  и проинтегрировав по площади живого
сечения  :
V
 gVd    ( z  p /  g )  gVd  .
 2g

E
Т.к. давление распределяется по закону гидростатики, то z+P/pg =const и может
быть вынесено за знак интеграла. Кроме того, скорости всех элементарных трубок
одинаковы, поэтому также выносится за знак интеграла. Тогда получим:
E
V
 gV  d   ( z  p /  g )  gV  d  .
2g


Возвратясь теперь к размерности удельной энергии, получим уравнение Бернулли
для потока идеальной жидкости:
37
V
p

 z  const .
2g  g
Уравнение не учитывает потерь напора и неравномерности распределения
скоростей по сечению потока, возникающих при движении • реальной жидкости.
Рассмотрим построение пьезометрической и напорной линии для случая движения
идеальной жидкости (рис. 28).
21. Геометрическая интерпретация уравнения Бернулли.
Уравнение Бернулли для потока имеет вид:
1
V12 p1
V2 p

 z1   2 2  2  z2  hn .
2g  g
2g  g
Уравнение Бернулли имеет геометрический и энергетический смысл.
Геометрический смысл:
в геометрическом смысле каждый из членов уравнения выражает высоту (напор),
что легко доказать проанализировав размерность каждого члена,
• z - геометрический напор [z] ="м
• p/ρg - пьезометрический напор [ p/ρg] = (Н/м2) / (Н/м3) = м
• z +p/ρg - гидростатический напор
• V2/2g - скоростной напор [ V2/2g] = (м2/с2)/ (м/с2) = м
• hn - потери напора [ hn] = м
Сумма всех составляющих - полный напор.
22. Энергетическая интерпретация уравнения Бернулли.
Уравнение Бернулли для потока имеет вид:
1
V12 p1
V2 p

 z1   2 2  2  z2  hn .
2g  g
2g  g
Энергетический смысл:
в энергетическом смысле каждый из членов уравнения выражает величину удельной
энергии потока, т.е. энергию, приходящуюся на единицу массы движущейся жидкости,
• z - удельная потенциальная энергия положения
• p/ρg - удельная потенциальная энергия давления
• z +p/ρg - удельная потенциальная энергия
38
• V2/2g - удельная кинетическая энергия
• hn - потери удельной энергии
Сумма всех составляющих - полная удельная энергия. Следовательно, энергетический
смысл можно выразить так: при установившемся движении потока реальной жидкости
сумма четырех удельных энергий остается неизменной вдоль потока.
23.Уравнения Бернулли для реальной жидкости.
В отличие от идеальной жидкости при движении реальной жидкости часть
энергии , которой она располагает,, расходуется на преодоление гидравлических
сопротивлений.
Поэтому
начальная
общая
энергия
жидкости
не
остается
постоянной по длине струйки или потока, а уменьшается от сечения к сечению. При
этом происходит необратимое преобразование гидромеханической энергии в тепловую.
Тогда уравнение Бернулли для реальной жидкости должно учитывать энергию,
затраченную на преодоление гидравлических сопротивлений hn. Эту составляющую вносят в
правую часть уравнения. Уравнение запишется в виде:
V12
p
V2
p
 1  z1  2  2  z2  hn .
2g  g
2g  g
24.Применение уравнения Бернулли для расчета трубопроводных систем.
Общим методом решения задач является составление уравнения Бернулли для двух
сечений трубопровода, расположенных последовательно по направлению движения
потока:
2
2
p1  1 v1
p2  2 v2
z1 

 z2 

 hn1 2
g
2g
g
2g
(1)
В этом уравнении:
z
– геометрический напор, т.е. расстояние по вертикали от центра тяжести
сечения до произвольно выбранной горизонтальной плоскости, взятой в качестве
плоскости сравнения;
p/g – пьезометрический напор, т.е. отношение давления в данном сечении к
удельному весу жидкости g;
v2/2g – скоростной напор в данном сечении;
v – средняя скорость жидкости в указанном сечении;
39
 - коэффициент неравномерности распределения местных скоростей по сечению
потока, выбираемый в зависимости от режима движения жидкости;
hп1-2 – потери напора между выбранными сечениями.
Расчеты с использованием уравнения Бернулли делятся на ряд характерных этапов:
3.1.1 Выбор положения плоскости сравнения
Обязательным требованием при выборе положения плоскости сравнения является
ее горизонтальность, т.е. она должна быть перпендикулярна линии действия сил тяжести.
Для упрощения расчетов и исключения возможных ошибок при определении
геометрических напоров плоскость сравнения 0-0 выбирают таким образом, чтобы z2 = 0.
Но иногда целесообразно выбирать и другие положения плоскости сравнения, например,
вдоль оси горизонтальной части трубопровода. Пример выбора плоскости сравнения
приведен на рисунке 1.
3.1.2 Выбор расчетных сечений
Часто уравнение Бернулли применяют для определения разности пьезометрических
напоров, под действием которых жидкость с заданным расходом Q движется в напорных
трубопроводных системах. Если же напор известен, то по уравнению определяют расход
жидкости или необходимый диаметр трубопровода. Для сокращения числа неизвестных
величин, входящих в уравнение (1), целесообразно сечения 1-1 и 2-2 выбирать таким
образом, чтобы наибольшее количество членов уравнения было известно, или же легко
определялось. Величины давлений выбирают как в абсолютных, так и в относительных
значениях, но в идентичных значениях для обоих сечений. Если в сечении 1-1 выбрана
величина избыточного давления, то и в сечении 2-2 тоже должно быть указано
избыточное давление. В тех случаях, когда в одном из сечений давление равно
атмосферному, давления удобно выбирать в избыточных значениях.
25.Гидравлические сопротивления, их физическая природа и классификация.
При движении жидкости часть напора расходуется на преодоление различных
сопротивлений. Гидравлические потери зависят главным образом от скорости движения,
поэтому напор выражается в долях скоростного напора
V2
h  
,
2g
Потери напора при движении жидкости вызываются сопротивлениями двух видов:
сопротивлениями
по
длине,
определяемыми
силами
трения,
и
местными
40
сопротивлениями, обусловленными изменениями скорости потока по направлению и
величине.
Местные
потери
энергии
обусловлены
так
называемыми
местными
сопротивлениями: местными изменениями формы и размеров русла, вызывающими
деформацию потока. При протекании жидкости через местные сопротивления, изменяется
ее скорость и обычно возникают вихри.
Примерами местных сопротивлений могут служить следующие устройства: задвижка,
диафрагма, колено, вентиль.
V2
Местные потери выражаются формулой Вейсбаха. h  
2g
Потери на трение или линейные сопротивления вызываются силами трения,
возникающими по всей длине потока жидкости при равномерном движении, поэтому они
возрастают пропорционально длине потока. Этот вид потерь обусловлен внутренним
трением в жидкости, а поэтому он имеет место не только в шероховатых, но и в гладких
трубах.
Потерю напора на трение (по длине) можно определить по формуле:
hTP   TP
V2
.
2g
 TP    L / d ,
Формулу обычно называют формулой Дарси-Вейсбаха
41