7 Тепловое излучение и квантовые свойства света

ТЕПЛОВОЕ ИЗЛУЧЕНИЕ И КВАНТОВЫЕ СВОЙСТВА СВЕТА
Длительность: 180 минут
Навыки и умения: умение применять формулы излучения абсолютно
черного тела для расчета излучательных свойств тел; навык использования
формул для импульса и энергии фотонов; умение использовать представление о
свете как о потоке фотонов для решения задач.
Аудиторные задания: 264; 267; 272; 278; 280; 294
Домашние задания: 269; 281; 293
Основные формулы и понятия
Энергетическая светимость
c
Mэ  u ,
4
(1)
где u – объемная плотность энергии теплового излучения.
Закон смещения Вина
m 
b
T
(2)
Закон Стефана-Больцмана
M э  T 4
(3)
здесь b = 0,0029 мград, σ = 5,6710–8 Втм–3град4.
Формула Планка
3
u  2 3
c e
Здесь
1
 / kT
1
,
(4)
 1,054  1034 Дж  с – постоянная Планка.
Формула Эйнштейна
m2max
 A
2
(5)
Импульс и энергия фотона
121
h
p
p  k  ; E    h 

c
(6)
Аудиторные задания
5.264. Энергетическая светимость абсолютно черного тела Мэ = 3,0
Вт/см2. Определить длину волны, отвечающую максимуму испускательной
способности этого тела.
Решение.
Из (3) можно найти температуру тела
1/ 4
M 
T  э 
  
.
После подстановки в (2) находим длину волны, на которую приходится
максимум излучения
1/4
 max
  
b
  b

T
 Mэ 
1/4
 5,67  108 
 0,0029  

4
3

10


 3,4  106 м
5.267. Медный шарик диаметра d = 1,2 см поместили в откачанный сосуд,
температура стенок которого поддерживается близкой к абсолютному нулю.
Начальная температура шарика Т0 = 300 К. Считая поверхность шарика
абсолютно
черной,
найти,
через
сколько
времени
его
температура
уменьшится в η = 2,0 раза.
Решение.
По своему определению светимость – это энергия излучаемая телом с
единицы площади за единицу времени. Поэтому, за время dt шарик излучит
энергию
dW  S  M эdt  d 2T 4dt .
Но излучение энергии приводит к уменьшению количества теплоты в шарике,
что проявляется в уменьшении температуры шарика
dQ  CdT  dW ,
122
где теплоемкость шарика С выражается через удельную теплоемкость меди cCu
и плотность меди ρCu
d 3
С
cCuCu .
6
Таким образом, изменение температуры шарика со временем описывается
следующим дифференциальным уравнением:
d 3
cCuCu
dcCuCu dT
6
.
dt  
dT


6 T 4
d 2T 4
Если считать, что температура шарика за время tx изменится от Т0 до Т0/η, то это
время
dc 
t x   Cu Cu
6
T0 / 

T0


dT dcCuCu 3

  1  10584 c  3ч .
T4
18T03
5.272. Считая, что спектральное распределение энергии теплового излучения
подчиняется формуле Вина u (, T )  A3e /T , где α = 7,64 псК, найти для
температуры Т = 2000 К наиболее вероятную:
а) частоту излучения;
б) длину волны излучения.
Решение.
а) Наиболее вероятная частота – частота, на которую приходится максимум
излучения. Поэтому для ее определения нужно найти при какой частоте имеет
место максимум функции u(ω,T) в формуле Вина:
du 

3T
6000
  3    2 Ae/T  0;  вер 

 785,4  1012 Гц .
12
d 
T
 7,64  10
б) Наиболее вероятную длину волны излучения можно найти также, как и в
предыдущей задача, но для этого необходимо знать функцию спектрального
распределения,
выраженную через длины волн. Частота и длина волны
связаны соотношением
123

2c

поэтому, учитывая, что интервал частот dω приходится такая же плотность
энергии, как и на соответствующий ему интервал длин волн dλ, можно записать
следующее равенство
u (, T )d   u (, T )
2c
d   u (, T ) d  ,
2
из которого находим выражение для спектрального распределения через длины
волн:
 2 c
4
2c   T

u (, T )  A
e
5
.
Для нахождения значения λ, при котором имеет место максимум этой функции,
используем стандартную процедуру, находим
 2c
 5 2c 
 1,44  106 м .
   2  u (, T )  0;   вер 
5T
  T 
5.278. Точечный изотропный источник испускает свет λ = 589 нм. Световая
мощность источника Р = 10 Вт. Найти:
а) среднюю плотность потока фотонов на расстоянии r = 2,0 м от
источника;
б) расстояние от источника до точки, где средняя концентрация
фотонов n = 100 см-3.
Решение.
а) средняя плотность потока фотонов – это количество фотонов, проходящих
через единицу площади в единицу времени. Количество фотонов, излучаемых в
единицу времени, можно найти как отношение мощности излучения к энергии
одного фотона, поэтому:
 (r ) 
N P/ 
P


 5,8  1017 м 2  c1
2
2 2
S
4r
8 cr
124
б) В условии дана объемная концентрация фотонов, но она связана с
плотностью потока. Действительно, поток или количество фотонов, прошедших
через единицу площади в единицу времени, равно количеству фотонов в
объеме параллелепипеда, основание которого единица площади, а высота равна
скорости света, умноженной на 1 секунду. Если ввести плотность фотонов в
единице объема n(r), то
(r )  n(r )  c  1c  1м2 ;  n(r ) 
(r )
P
.

c
82c 2r 2
Из последнего выражения можно найти r, на котором объемная плотность
фотонов равна n0:
r
P
 8,87м .
82c 2n0
5.280. Лазер излучил в импульсе длительностью τ = 0,13 мс пучок света с
энергией Е = 10 Дж. Найти среднее давление такого светового импульса, если
его сфокусировать в пятнышко диаметром d = 10 мкм на поверхность,
перпендикулярную к пучку, с коэффициентом отражения ρ = 0,50.
Решение.
Давление – это импульс, передаваемый в единицу времени единице площади.
Импульс, передаваемый в единицу времени, на единицу площади, равен
импульсу P0, передаваемому одним фотоном, умноженному на число N
фотонов, падающих на единицу площади в единицу времени. Число фотонов в
единицу времени можно найти, поделив мощность излучения на энергию
одного фотона. Следовательно
p
P E
P Po
k (1  ) E
4(1  ) E
 N o


 5,0МПа .
S
S
S  
d 2  
d 2c
4
5.294. До какого максимального потенциала зарядится удаленный от других
тел медный шарик при облучении его электромагнитным излучением с длиной
волны λ = 140 нм?
125
Решение.
При облучении шарика потоком фотонов, они вырывают с поверхности
шарика электроны, в результате шарик приобретает положительный заряд.
Заряд шарика препятствует вылету электронов и при некотором заряде сила
притяжения шарика становится такой большой, что даже электроны с
максимальной кинетической энергией, возможной при данной длине волны
излучения, не могут преодолеть ее. Этот заряд и соответствует максимальному
потенциалу шарика, его еще называют задерживающим потенциалом.
Из формулы Эйнштейна (5), в которой максимальная кинетическая
энергия заменена энергией задерживающего потенциала
  A  e;   
 A
2c /   A

 4,39 В ,
e
e
где А – работа выхода для меди (см. справочник)
Домашние задания
5.269. Имеются две полости с малыми отверстиями одинаковых диаметров
d = 1,0
см
и
абсолютно
отражающими
наружными
поверхностями.
Расстояние между отверстиями l = 10 см. В полости 1 поддерживается
постоянная
температура
Т1 = 1700
К.
Вычислить
установившуюся
температуру в полости 2.
Указание. Иметь в виду, что абсолютно черное тело является
косинусным излучателем.
Решение.
Установившаяся
температура
имеет
место,
когда
количество
энергии
полученной в единицу времени равно количеству энергии излученной в
единицу времени. Пусть S 
d 2
– площадь отверстий. Если установившаяся
4
температура во второй полости – Т2, то энергия, излучаемая этой полостью в
единицу времени
126
W2  S T24 .
Найдем количество энергии, которое передается из первой полости во вторую в
единицу времени. Пусть
S d 2
  2  2 –
l
4l
телесный угол, под которым отверстие во второй полости видно из отверстия в
первой полости, тогда поток, энергии, который попадает из первой полости во
вторую
  I1 ,
где (с учетом, что отверстия расположены напротив друг друга) сила света из
первой полости
I1  L1S .
Поскольку излучение первой полости можно считать косинусным, т.е.
источник ламбертовский, то можно записать связь между ее яркостью L1 и ее
светимостью M1:
M 1  L1 .
Таким образом, для потока, попадающего в отверстие второй полости можно
записать следующее выражение
M1
M1 d 2 T14 d 2
  I1    L1  S   
S   
S

S 2 .

 4l 2

4l
Из условия установившегося равновесия находим температуру во второй
полости:
W2  ; 
T24 S 
T14 d 2
d
S 2 ;  T2  T1
 380 K .

2l
4l
5.281. Короткий импульс света с энергией Е = 7,5 Дж в виде узкого почти
параллельного пучка падает на зеркальную пластинку с коэффициентом
отражения
ρ = 0,60.
Угол
падения
θ = 30.
Определить
корпускулярных представлений импульс, переданный пластинке.
127
с
помощью
Решение.
P1
q q
P2
-P2
P
P1
Из закона сохранения импульса, импульс, переданный поверхности
P1  P  P2 ;
 P  P1  P2 ;
P2   P1 ;
P1 
E
.
c
Поскольку требуется, найти величину импульса, то требуется найти длину
вектора Р:
P

P1  P2

2
2

2


P1  P2  2 P1  P2 
E
1  2  2 cos 2q  3,5 108 Н  c
c
5.293. При поочередном освещении поверхности некоторого металла светом с
длинами волн λ1 = 0,35 мкм и λ2 = 0,54 мкм обнаружили, что соответствующие
максимальные скорости фотоэлектронов отличаются друг от друга в η = 2,0
раза. Найти работу выхода с поверхности этого металла.
Решение.
Запишем для этих двух случаев формулы (5)
2c
m
 A  2 2max ;
1
2
2c
m
2
 A   max  .
2
2
Из второго уравнения можно выразить кинетическую энергию и подставить ее
в первое уравнение
 2c

2c
 A  2 
 A .
1
 2

Решением этого уравнения будет выражение

2c  2  21

1 2 1  
2

  3,0 10
128
19
Дж .