формула для определения динамического давления грунта

УДК 624.042; 627/ 627
ФОРМУЛА ДЛЯ ОПРЕДЕЛЕНИЯ ДИНАМИЧЕСКОГО ДАВЛЕНИЯ ГРУНТАЗАПОЛНИТЕЛЯ НА СТЕНКИ ЯЧЕИСТЫХ ГТС В ПРОЦЕССЕ ЕГО
ВЕРТИКАЛЬНЫХ ПОДВИЖЕК
В.П. Шарков
ФГОУ ВПО МГУП, г. Москва, Россия
Дополнительные вертикальные подвижки заполнителя в ячейках ГТС могут
вызываться сейсмическими и другими, например, строительными динамическими
воздействиями. При этом вертикальное и горизонтальное давление грунта-заполнителя,
определяющее устойчивость и прочность сооружения, как показывают опыты, могут
существенно изменяться. В статических условиях работы ячеистых сооружений для
расчета касательных
, горизонтальных
x и вертикальных z
напряжений
используются формулы Янсена, в том числе и в действующем СНиП [1]:
 = о * (1-exp (- k z / R);
(1)
x =  / tg;
(2)
z = x / ,
(3)
где
о = *R – экспоненциальное значение касательного напряжения у стен ячеек;
 и R - объемный вес грунта и гидравлический радиус сечения ячейки;  и k коэффициенты горизонтального и вертикального давления (здесь для простоты
ограничимся случаем шероховатых стен:  = , где  и  - углы внешнего и
внутреннего трения грунта).
В выражении (2), как видно,
взаимосвязъ касательных и нормальных
(горизонтальных) напряжений в условиях предельного состояния грунта у стен
записывается на основе закона Кулона. Обратим внимание, что экспоненциальное
значение касательных напряжений о для ячейки определенной формы и поперечных
размеров, заполненной грунтом заданной плотности, есть величина постоянная для
рассматриваемого статического состояния (о = *R). Опыты показывают, что своих
значений оно достигает на глубинах больших z = (10-14)R.
Нашими опытами [2] и опытами других исследователей установлено, что в процессе
динамического воздействия на сооружение в его ячейках может происходить
перераспределение нагрузок от заполнителя между стенами и основанием, что следует
учитывать в расчетах. Эти опыты показали, что здесь могут иметь место два
взаимосвязанных явления: виброуплотнение грунта (если грунт недостаточно уплотнен)
и дополнительные подвижки-осадки грунтового массива относительно стен (по
аналогии с явлениями, происходящими в силосах при опорожнении заполнителя). Как
известно, опорожнение силосов вызывает существенное повышение давления на стены
[3], что подтверждается и нашими опытами. Эти результаты позволяют предполагать,
что основной закон взаимосвязи касательных и нормальных напряжений, отраженный в
формуле (2), может видоизмениться.
Цель работы - попытка определить максимальное боковое давление заполнителя на
стены ячейки в процессе его осадок.
Для примера представим себе процесс медленного установившегося движения
заполнителя в цилиндрическом силосе при его выгрузке. Можно предполагать, что в
начале вертикальных подвижек и в процессе дальнейших осадок заполнитель у стен
должен развивать все
резервы сил сопротивления. Это должно сопровождаться
появлением дополнительного бокового распора в грунте, а сами динамические (по
своему характеру) касательные силы трения (напряжения) по величине должны
превысить касательные напряжения у стен в статических условиях. И при этом должно
выполняться, например, известное в механике условие постоянства максимального
(экстремального) касательного напряжения при наступлении течения [4].
Для дальнейших рассуждений обратимся к диаграмме Мора (см. рисунок а).
Вначале предположим, что во всех формулах (1), (2) и (3) вертикальная координата z не
влияет на величину напряжений (то есть это случай экспоненциального решения,
имеющего силу при больших глубинах заполнителя). Для этого случая формулы Янсена
приобретают вид:
= о;
(4-а)
x о = o / tg;
(4-б)
z о = x о / .
(4-в)
Динамическое давление x d заполнителя на стенки ячейки на диаграмме Мора:
а – схема ячейки с грунтом; б - система координат.
(Для упрощения в дальнейшем индекс о при  временно опустим)
Допустим, что некоторой заглубленной точке К грунта в цилиндрической ячейке
(рис. б) у ее стенки в статическом предельном состоянии соответствует на диаграмме
Мора ( рис. а ) точка А с координатами о и x , а также z . Как видно, точка А
находится одновременно на круге и на касательной к нему ОА, образующей с
горизонтальной осью (нормальных напряжений) угол . При этом из прямоугольного
треугольника ОАx вытекает геометрическая интерпретация формулы (4-б): x = o /
tg, где отрезок Аx = o = *R.
Предположим также, что такая же картина наблюдается не только в точке К, но и во
всех точках внутреннего периметра ячейки (на данной глубине), а вертикальное давление
по сечению ячейки равномерно.
Далее допустим, что вертикальное напряжение z в рассматриваемом сечении
ячейки из-за подвижек грунта стало одновременно и равномерно уменьшаться, что
действительно имеет место при выгрузке заполнителя. Тогда на диаграмме Мора (рис. а)
это уменьшение выразится поворотом точки
А1, а следовательно, и точки А
1
относительно центра круга О по часовой
стрелке. Этот поворот, как видно,
сопровождается увеличением горизонтального напряжения и ростом касательного. При
перемещении точки А в точку Б величина касательного напряжения принимает
максимально возможное в данной точке грунта значение. На наш взгляд, именно такая
величина касательного напряжения должна развиваться в пристенном слое при
вертикальных динамических подвижках.
Отметим, что для статического состояния точка
Б находится в условиях
допредельного равновесия (ниже линии предельного равновесия ОА - с углом ). В
условиях же динамики она, видимо, должна быть в своем предельном состоянии, то есть
через нее должна проходить предельная линия под некоторым углом к горизонтали,
соответствующим динамическому коэффициенту внутреннего трения грунта. В данном
случае такой прямой является линия ОБ, образующая с горизонталью динамический угол
трения  (см. рис а). На основе этих рассуждений получается, что динамическому
напряженному состоянию должна на диаграмме Мора соответствовать точка Б, имеющая
максимальное по величине касательное напряжение для данного круга. Это максимальное
касательное напряжение (равное радиусу круга Мора) получается на основе
элементарных тригонометрических расчетов из треугольника О1Аx
О1А = d = о/ cos  ,
(5)
где о = Аx , а из треугольника ОАО1 (с учетом АО =x /cos )- соответствующее ему
динамическое боковое давление
ОО1 = d x = x / cos2 .
(6)
Таким образом, для экспоненциального решения величина экстремального
(динамического) касательного напряжения может быть определена из простейшего
выражения (5). Для учета влияния заглубления z рассматриваемой точки от поверхности
заполнителя по аналогии с формулой (1) получим
d = (о/ cos )* (1- exp (- k z / R).
(7)
Горизонтальное (динамическое) давление с учетом заглубления z расчетной точки
определиться по формуле
d x = ( x / cos2)* (1- exp (- k z / R)
(8)
На основании формул (5), (6) можно заключить, что динамические подвижки грунта
могут создать касательные напряжения и горизонтальные давления в ячейке,
превышающие таковые в статических условиях, соответственно, в 1/ cos  и 1/cos2
раза. Так, для  =400 это превышение должно составлять в 1,30 и 1,70 раза, а при  =300
– соответственно, в 1,15 и 1,33 раза. Отметим, что в наших опытах [2] при ( = =37,40)
зарегистрировано увеличение бокового давления в среднем в 1,37…1,66 раза, что
удовлетворительно согласуется расчетными данными (1,55 раз). (Следует отметить, что
здесь речь идет не о знакопеременном изменении давления грунта на противоположные
стенки ячейки в процессе колебаний, а об установившемся повышенном горизонтальном
давлении заполнителя по всему периметру цилиндрической ячейки).
Далее рассмотрим на рис. а прямоугольный треугольник БОО1. Как видно, в нем
отношение катетов БО1 и ОО1 равно тангенсу некоторого угла , величина которого
составляет
tg  = Б О1/ОО1 = АО1/ОО1 =d /d x = sin .
(9)
То есть динамический угол трения  = arctg (sin). Этот угол, как видно из рисунка,
меньше угла внутреннего трения . Таким образом, динамический коэффициент
внутреннего трения в этих условиях равен не тангенсу, а синусу статического угла
внутреннего трения, а их соотношение - tg  / tg = cos .
Интересно, что в опытах такое явление зарегистрировано. Так, во всех
экспериментах в работе [4] и в ряде других зарегистрирован факт уменьшения
коэффициента трения в динамических условиях.
Для оценки точности предлагаемых зависимостей проведем сопоставление
расчетных формул с опытными данными, полученными в работе [4].
Ниже в таблицах 1…4 приведены
значения касательных напряжений и
горизонтальных давлений после заполнения модели (для цилиндрической ячейки с
шероховатыми стенками), а также зарегистрированные в процессе его выгрузки для
различных материалов. В верхней строчке опытных данных (в табл. 1, 2) приведены
результаты, снятые на определенной отметке (глубине) модели, а в нижней (в скобках)
для общего представления даны максимальные значения касательных и нормальных
напряжений, зарегистрированные в данном опыте. Здесь в обоих случаях коэффициенты
трения получены делением касательных напряжений на нормальные давления. Для
облегчения анализа в столбцах 4, 6, 10 таблиц приведены также расчетные соотношения
динамических и статических параметров. При этом расчетные соотношения, как следует
из приведенных формул, составляют, соответственно
d /о = 1/cos  ; x d /x = (1/cos2 ); tg /tg = cos .
Таблица 1
Сопоставление параметров статического и динамического давления, полученных в
опытах в ячейке со средним песком 1…2 мм ( =38,8о)
и по предложенным формулам (5), (6), (9)
Параметры
1
Опыт(140),
Мах
Расчет
*)
Касательные
напряжения
(10кПа)
о
d*)
d /о
2
3
4
21
26
1,24
22,11
Боковое давление
(10кПа)
x
x d
x d/x
5
29
(30)
6
46
7
1,59
(1,54)
1,65
1,28
Коэффициенты
трения
tg 
8
0,73
(0,70)
tg 
9
0,57
tg /tg
10
0,78
(0,81)
0,78
- Индекс d здесь и далее означает динамику.
Как видим, соотношение одноименных параметров опытных и расчетных
отличается, но незначительно: касательных напряжений – 1,28 и 1,24 (3%), бокового
давления -1,65 и 1,59 (4%), а коэффициенты трения совпали.
Таблица 2
Сопоставление динамических и статических параметров давления, полученных в опытах
в ячейке с крупным песком 2…3 мм ( =39,1о) и по предложенным
формулам (5), (6), (9)
Параметры
1
Опыт(196),
Мах
Расчет
Касательные
напряжения (10кПа)
о
d
d /о
2
3
4
19
25
1,32
(20)
(1,25)
22,65
1,29
Боковое давление
(10кПа)
x
x d x d/x
5
6
7
27,5 45,5
1,65
(29)
(1,57)
1,66
Коэффициент
трения
tg 
tg 
tg/ tg
8
9
10
0,69
0,55
0,79
(0,80)
(0,69)
0,78
Для этого песка, как видно, соотношения соответствующих параметров опытных и
расчетных отличаются также незначительно: d /о =1,32 и 1,29 (разница 2,3%), а
отношения боковых давлений (1,65 и 1,66) и коэффициентов трения (0,79 и 0,78)
практически совпали с расчетными данными.
Приведенные результаты позволяют заключить, что расчетная методика, отличаясь
своей простотой, позволяет с высокой точностью оценить давления на стены ячеек,
возникающие в процессе дополнительных подвижек заполнителя. Кроме того, она
правильно отражает физику явлений, происходящих в таких случаях, например, учитывая
уменьшение коэффициента контактного трения грунта в динамических условиях. Для
справедливости следует отметить, что в работе [ 4 ] экспериментально получены и другие
результаты, которые с расчетными расходятся в большей мере. Ниже приведены
аналогичные сравнения для других материалов заполнителя ячейки.
Таблица 3
Сопоставление динамических и статических параметров давления, полученных в опытах
в ячейке с мелким песком 0,7-1,2мм ( =38о) и по предложенным
формулам (5), (6), (9)
Параметры
1
Опыт(112)
Расчет
Касательные
напряжения (10кПа)
о
d*)
d /о
2
3
4
20,0
24
1,20
21,61
1,27
Боковое давление
(10кПа)
x
x d x d/x
5
6
7
32
42
1,31
1,61
Коэффициент
Трения
tg 
tg 
tg/ tg
8
9
10
0,625 0,57
0,91
0,79
Здесь разница в соотношениях опытных и расчетных данных больше, чем у
предыдущих грунтов: по касательным напряжениям (5,8%), по давлению – 23%, а по
коэффициенту трения – 15%. Некоторое занижение экспериментальных данных у
мелкого песка можно объяснить тем, что в опытах, во-первых, замерялись не точечные, а
осредненные по внутренней поверхности кольца высотой 28 см напряжения. Во-вторых,
этот песок по своим свойствам заметно отличался от других: после заполнения ячейки
непосредственно замеренный коэффициент трения грунта стен был практически равен
коэффициенту трения, полученному на лабораторной сдвиговой установке по
стандартной методике (что должно свидетельствовать о
высокой скорости его
консолидации).
Таблица 4
Сопоставление динамических и статических параметров давления, полученных
в опытах в ячейке с зерном ( =32,6о) и по предложенным формулам
(5), (6), (9)
Параметры
1
Опыт(126)
Расчет
Касательные
напряжения (10кПа)
о
d*)
d /о
2
3
4
10,0
11,5
1,15
10,54
1,187
Боковое давление
(10кПа)
x
x d x d/x
5
6
7
18
23,3
1,29
1,41
Коэффициент
трения
tg 
tg 
tg/ tg
8
9
10
0,555 0,494
0,89
0,84
Как видно, в опытах с зерном разница соотношений расчетных и опытных
параметров в целом удовлетворительна: касательных напряжений 3%, давлений - 9,3%, а
коэффициентов трения около 6%.
Следует подчеркнуть, что исследуемое горизонтальное давление грунта,
возникающее в процессе и в результате его вертикальных подвижек, действует
одновременно по всему периметру круглой ячейки на расчетной глубине. После
динамических воздействий эти давления некоторое время, необходимое для релаксации
напряжений, должны, видимо, сохраняться.
Выводы
1. Для расчета горизонтального давления грунта-заполнителя на стенки ячеистой
конструкции, возникающего в процессе дополнительных подвижек от динамических
воздействий, можно использовать зависимость dx = ( x / cos2)* (1- exp (- k z / R).
2. Отличаясь простотой, эта формула учитывает механизм явлений, происходящих в
таких случаях, в том числе и уменьшение коэффициента контактного трения грунта при
динамических воздействиях. Величина динамического коэффициента внутреннего трения
в грунте в таких случаях может быть определена по простейшей формуле
tg  =d /d x = sin .
3. В процессе вертикальных осадок грунта может происходить развитие всех
резервных сил трения в пристенном слое грунта, верхним пределом которых являются
экстремальное касательное напряжение d = (о/ cos ).
4. Приведенные результаты, на наш взгляд, имеют силу в ячейках, в которых грунт
имеет возможность равномерных осадок при динамических воздействиях по всему
поперечному сечению, в том числе и гидротехнических. В силосах расчетные
зависимости также могут быть использованы для верхней их части, за исключением
нижней зоны (конуса), где наблюдается разгружающее влияние на давление выгрузного
отверстия и изменяется траектория движения частиц заполнителя. Эти результаты
могут, видимо, быть также использованы при оценке устойчивости откосов, подпорных
стен и других.
Библиографический список
1. СНиП 2.06.07.87. Подпорные стены, судоходные шлюзы. Рыбопропускные и
рыбозащитные сооружения. 1989. С. 40.
2. Шарков В.П. Некоторые вопросы сейсмостойкости ячеистых гидротехнических
сооружений на скальных основаниях. Аавтореф. дис….канд..техн. наук. М.: МГМИ,
1982. 138 с.
3. Латышев Б.В. Практические методы расчета железобетонных силосных корпусов. Л.:
Стройиздат, 1985. 192 с. изд. 2-е доп. переб.
4. Гольдштейн М Н. Механические свойства грунтов. М.: Стройиздат. С.367. изд. 2-е.