Примеры решения задач Задача 1 В сосуде при температуре 100

Примеры решения задач
Задача 1
В сосуде при температуре 1000С и давлении 40 кПа находится 2 м3 смеси
кислорода и сернистого газа (SO2). Масса сернистого газа 0.8 кг. Определить
парциальное давление компонентов смеси и среднюю молярную массу.
Относительная атомная масса серы равна 32.
Решение
Дано:
По закону Дальтона давление смеси газов
t=1000 C
равно
сумме
парциальных
давлений
T=373 K
компонент смеси:
P=40.103 Па
(1)
P  P1  P2 .
V=2 м3
Для парциальных давлений кислорода и
1  0.032кг / моль
сернистого газа
запишем уравнение
m2=0.8 кг
Менделеева-Клапейрона:
3
 2  32  2  16  10 кг / моль 
 0.064кг / моль
Найти:
p1=?
p2=?
μcр.=?
P1V 
m1
P2V 
m2
RT ,
(2)
RT .
(3)
1
2
Сложим почленно (2) и (3) и учтём (1):


P1  P2 V   m1  m2  RT ,
 1  2 
m m 
PV   1  2  RT .
 1  2 
(4)
Запишем уравнение состояния для смеси газов, введя среднюю молярную
массу:
PV 
m
 ср.
RT ,
(5)
где m  m1  m2 – полная масса смеси.
Сравнив (4) и (5), получим выражение для средней молярной масс смеси:
 m1 m2  m1  m2

 
, или

 ср.
 1  2 
 ср. 
m1  m2
.
(6)
 m1 m2 





2 
 1
m2 RT
0.8 8.31  373
Из (3) получаем давление P2: P2 

 19.4  10 3 Па . Из (1) –
2 V
0.064
2
давление P1: P1  P  P2  40  103  19.4  103  20.6  103 Па . Уравнение (2) позволит
1 P1V
0.032  20.6  10 3  2
 0.425кг . Теперь по (6) можно
RT
8.31  373
0.425  0.8
рассчитать среднюю молярную массу  ср. 
 0.0475кг / моль .
0.8 
 0.425



 0.032 0.064 
Ответ: P1  20.6  10 3 Па , P2  19.4  10 3 Па ,  ср.  0.0475кг / моль .
найти массу m1: m1 

Задача 2
Найти число молекул хлора в одном кубическом миллиметре при t=500°С
и давлении 105 Па, компоненты скорости которых заключены в следующих
интервалах: vх=(200÷205) м/с; vу=(100÷110) м/с; vz=(100÷105) м/с.
Относительная атомная масса хлора 35.45.
Решение
Дано:
t=500°С
Воспользуемся законом распределения молекул по
T=773 K
компонентам
скоростей:
P=105 Па
1
  0.0709кг / моль
vх=200м/с;
vу=100м/с;
vz=100м/с.
Δvх=5 м/с;
Δvу=10 м/с;
Δvz=5 м/с
V=1 мм3=10-6 м3
Найти:
ΔN=?
 m v2
dN ( v x )
 m 2
  v x    0  exp   0 x
Ndv x
 2kT 
 2kT

 ,

откуда
получим
вероятность того, что проекция скорости на ось OX
лежит в интервале от vх до vх+Δvх равна:
p x 
N ( v x )
N
1
 m v2
 m 2
  v x v x   0  exp  0 x
 2kT 
 2kT

  v x .


Аналогично,
для проекций скорости vу и vz:
1
1
2
 m0 v 2y 


 m 2
  v ; p   m0  2 exp  m0 v z   v .
p y   0  exp 
y
z
z
 2kT 
 2kT 
 2kT 
 2kT 




Здесь было использовано то, что Δvx<<vx, Δvy<<vy,
Δvz<<vz.
По закону умножения вероятностей вероятность того, что молекула
одновременно имеет все три проекции скоростей в указанных интервалах, равна
произведению вероятностей:
N
3


 m 2
 m

p 
 p x p y p z   0  exp  0 v x2  v y2  v z2   v x  v y  v z , откуда искомое
N
 2kT 
 2kT

3


 m 2
 m

число молекул N  N   0  exp  0 v x2  v y2  v z2   v x  v y  v z . Здесь N –
 2kT 
 2kT

полное число молекул в объёме V: N  n  V , n – концентрация молекул. Она
может быть найдена из уравнения Менделеева-Клапейрона P  nkT . Тогда
3


P
 m 2
 m

N 
 V   0  exp  0 v x2  v y2  v z2   v x  v y  v z .
kT
 2kT 
 2kT

2
В последнем выражении остаётся неизвестной только масса одной
молекулы; её найдём из закона Авогадро: m0 

N Ав.

0.0709
 1.18  10 25 кг .
23
6.02  10
Теперь можно найти искомую величину:

3

2
 1.18  10  25  200 2  100 2  100 2
10 5  10 6
1.18  10  25

 exp 
N 


1.38  10  23  773  2  3.14  1.38  10  23  773 
2  1.38  10  23  773

N  5.3  1012 .
Ответ: N  5.3  1012 .
  5  10  5 ,


Задача 3
Найти среднее число всех соударений, которое происходит в течение 1 с
между всеми молекулами в 4 мм3 водорода при нормальных условиях.
Эффективный диаметр принять 0.23 нм.
Решение
Дано:
 v
Если N – полное число молекул, а  z 
–
t=1 с



V=4 мм3=4.10-6 м3
среднее число соударений в секунду одной
P=105 Па
молекулы, то искомое полное число соударений в
T=273 К
секунду между всеми молекулами равно: Z  1  z  N .
d=0.23 нм=0.23.10-9 м
2
μ=0.002 кг/моль
1
Коэффициент
учитывает, что в каждом
2
Найти:
Z=?
соударении участвуют две молекулы. Средняя
арифметическая скорость молекул  v 
средняя длина свободного пробега –   
сечение молекулы,
n
1
2n
P  nkT
через
N  n V 
концентрацию:
, а
. Здесь     d 2 – эффективное
:
n
PV
kT
P
.
kT
.
Полное число молекул также выразим
Таким
образом,
1  v
1 8RT
P
PV
  RT
 P

N
2
  d 2
 2 V  
d 
2  
2  
kT
kT
kT



2
6 

– концентрация молекул. Её можно найти из уравнения
Менделеева-Клапейрона
Z
8 RT
для
Z
получаем:
. Подставим численные
2
5
 10 9 
3.14  8.31  273
 
значения: Z  2  4  10  10  0.23
 5.6  10 29 .
 23

0.002
 1.38  10  273 
Ответ: Z  5.6  10 29 1 .
с
Задача 4
Найти коэффициент диффузии газа, если в объеме 1 л находится 1022
молекул трехатомного газа. Коэффициент теплопроводности 0.02 Вт/м.К.
3
Дано:
V=1 л=10-3 м3
N=1022
i=6
τ=0.02 Вт/м.К
Решение
Коэффициент
диффузии
связан
со
средней
арифметической скоростью молекул газа и средней длиной
1
3
свободного пробега молекул формулой: D   v  ; а для
коэффициента теплопроводности газа имеем:   1   cV  v  ,
Найти:
D=?
3
тогда
    cV  D .
Здесь
cV
(1)
– удельная теплоёмкость газа:
cV 
CV


i R
2
,
(2)

m
V
– плотность газа. Поскольку число молей вещества можно записать как

m


N
, то m   N , и
N Ав.
NA
m
 N

 .
V N Ав. V
  2  N Ав.  V


D


N iR
  cV
N i  R

N Ав.  V 2 

Из (1), (2) и (3) получим:
  2  N Ав.  V
(3)
. Подставим
0.02  2  6.02  10 23  10 3
 4.8  10 5
22
N i  R
10  6  8.31
Вт
1
Дж 2
3

м
м
Вт  м 2
м2
размерность: D  м  К моль
.

 с

Дж
Дж
Дж
с
11
моль К
2
Ответ: D  4.8  10 5 м .
с
численные значения:
D

и вычислим
Задача 5
Кислород массой 200 г занимает объем 100 л и находится под давлением
200 кПа. При нагревании газ расширяется при постоянном давлении до объема
300 л, а затем его давление возросло до 500 кПа при неизменном объеме. Найти
изменение внутренней энергии газа, совершенную им работу и количество
теплоты, переданной газу.
Решение
P
Дано:
График процесса в
m=0.2 кг
T3
осях (P, V) дан на рис.1.
P3
μ=0.032 кг/моль
Процесс 1→2 изобарный;
V1 =100 л=0.01 м3
работа при изобарном
V2 =300 л=0.03 м3
процессе
равна
T1
P1=2.105 Па
T2
P1=P2
A12  P1 V12  P1  V2  V1  .
.
5
P3=5 10 Па
Процесс 2→3 изохорный,
i=5
и в этом процессе работа
V1
V2 =V3 V
Найти:
Рис.1
ΔU=?
4
ΔA=?
ΔQ=?
не совершается. Таким образом, полная работа
A13  P1  V2  V1  .
(1)
Найдём приращение внутренней энергии при переходе газа из состояния 1
в состояние 3: U13    i  R  T13    i  RT3  T1  . Преобразуем это выражение и
2
2
используем уравнение Менделеева-Клапейрона
конечного состояний газа:
U 13
PV  RT для
i
i
 RT3  RT1   P3V3  P1V1  .
2
2
начального и
И, наконец,
получим:
U 13 
i
P3V2  P1V1  .
2
(2)
Количество теплоты, переданной газу, найдём из первого начала
термодинамики:
Q  A  U .
(3)
Подставим в (1), (2) и (3) численные значения: A13  2  10 5 0.03  0.01  4000 Дж ,
U 13 


5
5  10 5  0.03  2  10 5  0.01  32500 Дж , Q  4000  32500  36500 Дж .
2
Ответ: A  4кДж , U  32.5кДж , Q  36.5кДж .
Задача 6
Идеальный газ совершает цикл, состоящий из двух изохор и двух изобар.
При этом объем газа изменяется от 25 cм3 до 50 cм3, а давление от 100 кПа до
200 кПа. Найти работу в рассматриваемом цикле, а также работу в цикле
Карно, изотермы которого соответствуют наибольшей и наименьшей
температурам рассматриваемого цикла, если при изотермическом расширении
объем возрастает в 2 раза. Во сколько раз работа в таком цикле меньше работы
в цикле Карно?
Решение
Дано:
Цикл, состоящий из двух изохор и двух изобар,
V1 =25 см3=25.10-6 м3
изображён на рисунке 2 в осях (P, V). Работа A в
3
.
-6 3
V2 =50 см =50 10 м
этом цикле равна сумме работ изобарического
.
5
P1=1 10 Па
расширения и изобарического сжатия, поскольку
.
5
P2=2 10 Па
при изохорных процессах работа не совершается:
VT 2
A  P2 V2  V1   P1 V1  V2   P2  P1 V2  V1  .
(1)
2
VT 1
Максимальная и минимальная температуры
рассматриваемого цикла будут в точках с
Найти:
параметрами
(P1, V1) и (P2, V2)
P
А=?
соответственно, как следует из уравнения
АК=?
Tmax
Менделеева-Клапейрона, записанного для
AК
P2 ?
этих двух точек:
A
P1V1  RTmin
(2)
P2V2  RTmax .
(3)
Tmin
По условию температуры нагревателя
P1
и холодильника в другом цикле – цикле
V1
Рис.2
V2
V
5
Карно – равны соответственно максимальной и минимальной температуре
данного цикла:
TН  Tmax 
Работа
же
изотермического
VК 2
VК 1
, а с учётом (3)
Aрасш.  RTН ln
расширения
Aрасш.  P2V2 ln
P2V2
R
,
TХ  Tmin 
P1V1
R
.
(4)
Карно
равна
в
цикле
VK 2
VK1
. Поскольку процесс
расширения в цикле Карно – изотермический, то внутренняя энергия при этом
процессе не изменяется: U    i
2
 R  T  0 ,
и по первому закону термодинамики
количество теплоты, полученной рабочим телом от нагревателя при этом
процессе, равно
QН  A расш.  U  А расш.  P2V2 ln
A
,
QН
A
К  К ,
QН
Далее, КПД любого цикла равен  
VK 2
VK1
.
(5)
и, в частности, для цикла Карно:
(6)
где АК – искомая полная работа в цикле Карно. С другой стороны,
К 
TН  T Х
T
1 Х
TН
TН
, а с учётом (4)
К 1 
P1V1
P2V2
.
(7)
Из (5), (6) и (7) получим:

PV
АК   К  QН  1  1 1
P2V2


V
  P2V2 ln К2
VК1

.
(8)
В (1) и (8) подставим численные значения:
A  P2  P1 V2  V1   2  10 5  1  10 5  50  10 6  25  10 6   2.5 Дж ;

10 5  25  10 6
АК  1 
5
6
 2  10  50  10

  2  10 5  50  10 6 ln 2  5.2 Дж .


A
Найдём отношение работ: К  5.2  2.08 .
A 2.5
A
Ответ: A  2.5 Дж ; АК  5.2 Дж ; К  2.08 .
A
Задача 7
Найти суммарное изменение энтропии при погружении 100 г нагретого до
0
300 С железа в воду при температуре 50С. Температуру воды считать
постоянной, удельная теплоемкость железа 500
Дано:
Дж/(кг.К).
m=100 г=0.1 кг
Решение
t0=50С
Суммарное изменение энтропии воды и железа
T0=278К
равно: S  S1  S 2 , где S1  Q - изменение энтропии
t1=3000С
T0
T1=573 К
с=500 Дж/(кг.К)
Найти:
ΔS=?
6
для воды, поскольку её температура T0 остаётся неизменной. Количество
теплоты, полученное водой, равно теплоте, отданной железом при охлаждении:
Q  cmT  cm T1  T0  ,
cmT1  T0 
.
T0
то есть S1 
Температура железа непостоянна, поэтому изменение энтропии для него
S 2 
Т0

Т1
S 2 
Т0

Т1
S 
dQ
.
T
Подставим
T
T
cmdT
 cm  ln 0  cm  ln 1
T
T1
T0
cmT1  T0 
T
 cm ln 1
T0
T0
S  500
и
dQ  cmdT
.
вычислим
Полное
 T1
T
 1  ln 1
T0
 T0
, или S  cm

 .

интеграл:
изменение
энтропии:
Подставим численные значения:
Дж
573 
Дж
 573
.
 0.01кг  
 1  ln
  11.7
кг  К
278 
К
 278
Ответ: S  11.7 Дж .
К
Задача 8
В сосуде объемом 10 л находится 0.25 кг азота при температуре 270С. 1)
Какую часть давления газа составляет давление, обусловленное силами
взаимодействия молекул? 2) Какую часть объема сосуда составляет
собственный объем молекул?
Решение
Дано:
В модели Ван-дер-Ваальса
m=0.25 кг
молекулы
можно
считать
0
t=27 С
абсолютно твёрдыми шариками с
T=300 К
диаметром,
равным
μ=0.028 кг/моль
эффективному диаметру dэфф.
3
V=0.01 м
Собственный
объём
одной
.
5
. 4
2
. 4
2
3
а=1.36 10 Н м /кмоль =0.136 Н м /моль
4  d эфф 
 .
молекулы равен: V1   
b=3.85.10-2 м3/кмоль=3.85.10-5 м3/моль
3  2 
Суммарный собственный объём
всех N молекул, содержащихся
в
сосуде,
будет
Найти:
ΔS=?
P
?
P
Vмолек.
?
V
Vмолек.
4  d эфф
 N   
3  2




3
. Поправка b
на собственный объём молекул в
уравнении
Ван-дер-Ваальса
равна учетверённому собственному объёму молекул, содержащихся в одном
моле вещества:
отношение
4  d эфф
b  4 N A  
3  2
3

 .

То есть
Vмолек. 
Vмолек.
mb
0.25  3.85  10 5


 8.6  10 3 .
V
4   V
4  0.028  0.01
N
m b
b  .
4  N Ав.
 4
Давление,
Искомое
обусловленное
7
силами взаимодействия молекул, равно
P 
a
Vm2
, где
Vm 
V


V
m
– молярный
объём. Давление реального газа P найдём из уравнения Ван-дер-Ваальса

P  a

Vm2


Vm  b   RT : P  RT  a . Их отношение:

Vm  b  Vm2

a
Vm2
P
1
1
1
.




2
RT
a
RT  V
RTVm
P
V
RT
m

1
1
Vm  b  Vm2 Vm  b   a  1
 bm

b 

m  a  1 

a  1 
V 

 Vm 
Подставим численные значения:
P

P
1
1
1


 0.049 .
RT  V
8.31  300  0.028  0.01
0.698
1
1
1
0.0328
 bm
 3.85  10 5  0.25 


m  a  1 
0.25  0.136  1 
V 
0.028  0.01 


Проанализируем полученные величины. Собственный объём молекул
занимает менее 1% объёма сосуда:
Vмолек.
 0.86% ,
V
следовательно, в уравнении
Ван-дер-Ваальса для данного газа можно было бы пренебречь поправкой b.
Поправкой же a пренебрегать не следует, так как давление, обусловленное
силами взаимодействия молекул, составляет около 5% давления газа:
Ответ:
V
P
 0.049 ; молек.  0.0086 .
P
V
P
 4.9% .
P
Задача 9
Пространство между двумя стеклянными параллельными пластинами
площадью поверхности 100 см2 каждая, расположенными на расстоянии 20 мкм
друг от друга, заполнено водой. Определить силу, прижимающую пластинки
друг к другу. Считать мениск вогнутым с диаметром, равным расстоянию
между пластинами. Коэффициент поверхностного натяжения для воды равен
0.073 Н/м.
Решение
Дано:
Мениск
имеет
форму
S=0.01 м2
цилиндра (рис. 3), поэтому в
d=20.10-6 м
формуле Лапласа для избыточного
α=0.073 Н/м
давления
под
искривлённой
поверхностью
жидкости
Найти:
 1
1 
 один из радиусов
p    
F=?
 R1
R2 
кривизны поверхности в точке О
R1→∞, а второй равен половине расстояния между
пластинами, поскольку смачивание полное. Таким
Рис.3
8


 1 1  2 
образом, p      
. Силу найдём по определению давления p  F
 d 
d
S


2


2 
. Подставим численные значения: F  0.01  2  0.073
 73Н .
F  S  p  S 
d
20  10 6
Ответ: F  73Н .
:
Задача 10
Пользуясь классической теорией теплоемкости, найти, из какого материала
сделан металлический шарик массой 25 г, если для его нагревания от 10 0С до
300С потребовалось 117 Дж теплоты.
Дано:
m=0.025 кг
t1=100С
T1=283 К
t2=300С
T2=303 К
Q=117 Дж
Найти:
μ=?
Решение
Количество теплоты, необходимой для нагрева
Q  cmT  cm T2  T1  ,
шарика, равно
где удельная
теплоёмкость с связана с молярной С соотношением:
c
C

. По закону Дюлонга и Пти молярная теплоёмкость
равна C  3Rz , где z – число атомов в молекуле и для
металла равно 1. Таким образом, получим:
3R 3R  m  T2  T1 
. Подставим

c
Q
3  8.31  0.025  20

 0.107 кг / моль . По
117

численные
c
3R

,
значения:
таблице Менделеева
находим металл с относительной атомной массой 107: это серебро.
Ответ: шарик сделан из серебра (   0.107 кг / моль).
Задача 11
Медная проволока натянута горячей при температуре 1500С между двумя
прочными неподвижными стенами. При какой температуре, остывая,
проволока разорвется? Считать, что закон Гука выполняется вплоть до разрыва
проволоки.
Решение
Длина нагретой проволоки при температуре t1
Дано:
0
l1  l0 1    t1  ; при этом проволока не деформирована ( не
t1=150 C
.
10
E=11.8 10 Па
натянута). Длина остывшей до искомой температуры
α=1.7.10-5 К-1
ненатянутой проволоки l 2  l0 1    t 2  . Но, поскольку
σпр=2.4.108 Па
проволока закреплена между неподвижными стенами,
она оказывается растянутой на l  l1  l 2  l0    t1  t 2  .
Найти:
По закону Гука ε=‫ ׀׀‬ , где ε=‫ ׀׀‬ l – относительное
t2=?
E
l2
9
удлинение, σ=σпр. – механическое напряжение. Тогда l  l 2
или l0 1    t 2 
Далее,
t2 
 пр.
E
 l 0 t1  t 2  , откуда 1    t 2 
t2 
t1 
 пр.
  E .Подставим
 пр. 

1 

E 

 пр.
E
 пр.
E
 l 0 1    t 2 
  t1  t 2  , и t 2 
численные
  t1 
 пр.
E
;
 пр.
E
  пр. 

  1 
E 

.
значения:
2.4  10 8
1.7  10 5  11.8  1010  30.30 С .

2.4  10 8 
1 

10 
11
.
8

10


150 
Ответ: t 2  30.30 С .
10