Н-ТЕОРЕМА И КИНЕТИЧЕСКОЕ УРАВНЕНИЕ ЭВОЛЮЦИИ ТВЕРДЫХ ЧАСТИЦ, РАЗЛИЧАЮЩИХСЯ ПО ФОРМЕ Аджиев С.З.

Н-ТЕОРЕМА И КИНЕТИЧЕСКОЕ УРАВНЕНИЕ ЭВОЛЮЦИИ ТВЕРДЫХ
ЧАСТИЦ, РАЗЛИЧАЮЩИХСЯ ПО ФОРМЕ
Аджиев С.З. 1, Веденяпин В.В.2, Мелихов И.В.1
1
Московский государственный университет им. М.В. Ломоносова, Москва, Россия
2
Институт прикладной математики им. М.В. Келдыша РАН, Москва, Россия
adzhiev@nm.ru
Мы рассматриваем кинетику зарождения и роста твердых частиц (кластеров),
состоящих из исходных частиц (это, например, молекулы, наночастицы), при которой
частицы могут коагулировать посредством парного взаимодействия и могут дробиться.
Задача настоящей работы – рассмотрение кинетических уравнений, моделирующих
эволюцию функций распределения кластеров по формам, и исследование H-теоремы
для них. Это делается с целью создания теории зарождения твердых частиц.
Получены новые простые модели – системы уравнений, имеющие вид
уравнений химической кинетики, на концентрации твердых частиц, различающихся по
массе и форме. В первой простейшей модели мы ограничиваемся исследованием
моделирования эволюции твердых частиц, различающихся по форме, для случая
Беккера–Деринга, т.е. когда присоединяются и отпадают от частицы только отдельные
исходные частицы. Во второй простейшей модели предполагаем, что, наоборот,
преимущественно могут объединяться твердые частицы своими одинаковыми гранями.
Если не различать формы, то первая модель становится известной системой уравнений
Беккера–Дёринга, для которой при любых положительных коэффициентах (сечениях,
частотных функциях) выполняется условие детального баланса, что обеспечивает
выполнение H-теоремы. В случае же форм всегда возникают условия на
коэффициенты, когда выполняется H-теорема. Мы доказываем, что для частных, но
важных случаев сечений, H-теорема все-таки выполняется: существенным здесь
является выполнение закона Аррениуса [1] и аддитивность энергии активации для
взаимодействующих частиц. Для частотных функций, принятых для газов [2, стр. cтр.
152], которые получаются из теории молекулярной кинетики [1], мы доказываем, что
условие детального баланса выполняется.
Следствием Н-теоремы для решения уравнений оказывается сходимость к
экстремалям по Больцману [3] – к аргументу условного экстремума при учете
линейных законов сохранения. Для настоящей задачи мы доказываем, что
единственным линейным инвариантом является концентрация всех исходных частиц. В
совокупности с выполнением условия детального баланса это дает нам H-теорему для
настоящей задачи с формулировкой, аналогичной как для химической кинетики из [3].
Результаты работы намечают путь решения вопроса о построении правильных
(физически обоснованных) кинетических моделей эволюции твердых частиц,
различающихся по форме. Оказалось, что при построении модели надо следить за
выполнением условия детального баланса. Учет же формы твердых частиц в случае
Беккера–Дёринга уже выдавал бы магические числа атомов, а в общем случае
коагуляции-дробления описывал бы образование (и распад) не только агрегатов из
первичных частиц, но и агрегатов, состоящих из агрегатов первичных частиц, и т.д. [2].
Работа выполнена при финансовой поддержке РФФИ (коды проектов 11-0100012-а, 12-01-33007 мол_а_вед, 11-01-00494-а).
1. В. Штиллер. Уравнение Аррениуса и неравновесная кинетика, М.: Мир, 2000.
2. И.В. Мелихов. Наносистемы: физика, химия, математика, 2010, 1, 148-155.
3. В.В. Веденяпин. Кинетические уравнения Больцмана и Власова, М.: Физматлит,
2001.