1- семинар, 2016 г. 1. «Гидростатика»

1
1- семинар, 2016 г.
1. «Гидростатика»
Лабораторно-практические занятия: 1)Группа делится на две подгруппы, 2) Расписываемся о технике безопасности, 3)Получаем домашние задания,4) Лабораторные
назначаются заранее, пропускать их нельзя,5) Литература-Задачник, 6) Курсовая будет
выдана, требования к оформлению – сообщены.
На жидкость действуют внешние силы, непрерывно распределенные по ее массемассовые и - поверхностные.
Массовые силы пропорциональны массе жидкости, а для однородной жидкости, ее
объему. К ним относятся сила тяжести и силы инерции переносного движения, действующие на жидкость при относительном ее покое в ускоренно движущихся сосудах или
при относительном движении жидкости в руслах, перемещающихся с ускорением.
Поверхностные силы непрерывно, распределены по поверхности жидкости, при
равномерном их распределении пропорциональны площади этой поверхности.
В общем случае поверхностная сила ΔR, действующая па площадке ΔS , направлена под некоторым углом к ней, и раскладывается на нормальную ΔР и тангенциальную ΔТ
составляющие (рис. 1). Первая называется силой давления жидкости, а вторая - силой
трения жидкости.
Отношение поверхностной силы к площади, на которую она действует, дает
напряжение, которое можно разложить на нормальную и касательную составляющие.
1.Гидростатическим давлением в покоящейся жидкости называется напряжение сжатия
РА  limS 0 P / S ,
где РА - давление в точке А; ΔS - элементарная площадка, содержащая точку А,
ΔР - сжимающая сила, действующая на площадку ΔS.
Величина давления не зависит от ориентировки площадки в пространстве и является функцией координат точек жидкости: Р =f (x,y,z).
2.В международной системе единиц физических величин единицей измерения
2
давления является 1 Н/м2 - паскаль (Па), используются и кратные единицы – килопаскаль, и мегапаскаль
1 Па = 10-3 кПа= 10-6 МПа.
Применяются также системы единиц МКГСС (метр, килограмм0силы, секунда) и
СГС (сантиметр, грамм-массы, секунда). Следует уметь переводить единицы из одной системы в другую.
2.Абсолютное давление - суммарное напряжение сжатия от действия всех
внешних сил (поверхностных и массовых), приложенных к жидкости. Абсолютное
давление, отсчитывают от условного абсолютного нуля и обозначают Рабс.
Торричелли - ученик Галилея открыл, что давление на поверхности земли вызывается весом воздуха. Частицы воздуха притягиваются Землей, если представить атмосферу, окружающую землю слоистой, один слой давит на другой и таким образом создается
давление на поверхности Земли. В опыте Торричелли на уровне моря вес воздуха уравновешивается 760 мм рт. при
t ≈ 20º С и это атмосферное давление
P   gh  13600*9,81*0, 760  101396,160 Па  101,36кПа  0,101МПа
Используя эту величину атмосферного давления на поверхности Земли, найдем
высоту воздушного столба и положение абсолютного нуля в атмосфере относительно
земной поверхности при условии, что мы принимаем плотность среднюю воздуха постоянной и равной ρ = 1,25 кг/м2
hабс0 = Р/ρg = 101396/(1,25*9,81) = 8269 м.
Эта высота над уровнем моря может быть принята нами за условный ноль абсолютного давления.
3. Избыток абсолютного давления над атмосферным называется избыточным
давлением. Избыточное давление отсчитывают от условного нуля, за который принимается давление атмосферного воздуха на поверхности земли.
Поскольку избыточное давление больше атмосферного
Ризб > Ратм,
Ризб = Рабс – Ратм ,
в этом случае абсолютное давление:
Рабс=Ратм + Ризб
Если давление меньше атмосферного, его можно назвать недостаточным (до атмосферного) или вакуумом.
Рнед(в) < Ратм Рнед(в) = Рв =Ратм - Рабс ,
в этом случае абсолютное давление : Рабс(в) = Ратм – Рнед(в).
4. Условие равновесия жидкости в поле силы тяжести в однородной несжимаемой
покоящейся жидкости определяется основным гидростатическим законом (рис.2)
Р = Р0 + ρgh,
3
Р*S=Po*S+ρgh*S
где Р- давление в произвольной точке жидкости h, отсчитанной от свободной поверхности жидкости, над которой давление равно Р0, ρ - плотность жидкости, g - ускорение свободного падения, S – площадь основания, выделенного в жидкости цилиндрического объема.
5.Использование пьезометра.
5.1. Пьезометром называется прибор для измерения давления на основе прозрачной трубки, заполненной жидкостью, один конец которой соединен с измеряемой точкой, а второй соединен с атмосферой. (рис.2).
Рис.2. Использование пьезометра при Ро=Ратм, h’ – пьезометрическая высота точки измерения, точки 1.
В соответствие с законом о сообщающихся сосудах в резервуаре и в трубке, когда
они открыты, жидкость одинаковой плотности под действием атмосферного давления
Ратм устанавливается на одном горизонтальном уровне.
5.2. Свободной поверхностью называется поверхность раздела жидкости и газа. Если над свободной поверхностью давление Ро равно атмосферному, это абсолютное
давление
Ро = Ратм=Рабс,
Величина избыточного давления, измеренная, например, в точке 1 равна
Ризб1   gh1 ,
Величина абсолютного давления в точке 1 равна
Рабс1  Р0  Ризб1  Ратм   gh1.
5.3. Уровни равного давления параллельны свободной поверхности.
5.4. Горизонтальные плоскости, проведенные по уровням равного давления,
называются поверхностями равного давления.
4
Например, это свободная поверхность или поверхность соотвествующая точке измерения -1.
5.5. Пьезометрической высотой называется заглубление точки измерения относительно свободной поверхности, например, высота h’ для точки 1. Высота от
свободной поверхности обозначена на рис.2 – h1.
6. Если резервуар закрыть герметичной крышкой, и создать в нем избыток давления ΔР, например, компрессором накачать воздух под давлением. Давление над свободной
поверхностью и в резервуаре увеличится Ро > Ратм, уровень жидкости в резервуаре
останется почти без изменений, в пьезометре уровень жидкости поднимется выше свободной поверхности. Диаметр трубки и диаметр резервуара D>>d.
Уровень жидкости в пьезометре будет соответствовать атмосферному давлению, и
поднимется над свободной поверхностью жидкости на высоту
h0и  Р /  g  ( P0  Ратм ) /  g .
Рис.3. Использование пьезометра при Ро>ратм.
Атмосферное давление, действовавшее на жидкость до увеличения давления над
свободной поверхностью, будет продолжать действовать, как постоянная величина на
всю глубину сосуда.
6.1. Над свободной поверхностью величина избыточного давления равна
Ризб(сп)=∆Р=Ро-Ратм= ρgh0и.
6.2. Величина абсолютного давления будет суммой атмосферного давления и избыточного давления
Рабс(сп)=Ро=Ратм + Ризб = Ратм+ρgh0и.
6.3. В любой точке под свободной поверхностью, например, в точке 1 на глубине h1
величина избыточного давления равна
Ризб1   gh '  (h0и  h1 )  g ,
5
где h’ – пьезометрическая высота, h – высота от свободной поверхности.
6.4. Величина абсолютного давления
Рабс1  Ратм  Ризб1.
Величина избыточного давления в любой точке отсчитывается от пьезометрической плоскости, соответствующей атмосферному давлению, далее мы будем обозначать ее
П.П. В любом резервуаре или баке имеется контрольный уровень, по которому выполняется залив жидкости или топлива в бак, обычно это уровень и есть свободная поверхность,
уровень контролируется с помощью мерного стекла. Высота, которой измеряется давление, определяется двумя величинами: h0и и h’.
7. Если резервуар закрыть герметичной крышкой и откачать из-под нее воздух,
давление над свободной поверхностью уменьшится на ΔР и станет меньше атмосферного
Ро < Ратм. Уровень жидкости в пьезометре под действием атмосферного давления опустится ниже свободной поверхности жидкости на высоту, соответствующую давлению
ΔР=Ратм-Р0
h0в  Р /  g  ( Ратм  P0 ) /  g.
Начало отсчета для избыточного давления – поверхность (П.П.), соответствующая
атмосферному давлению, расположится ниже свободной поверхности, например, внутри
сосуда, а при большом разряжении может пройти ниже дна сосуда.
7.1. Точки, находящиеся в сосуде выше П.П. находятся в зоне разряжения или вакуума, в том числе и точки над свободной поверхностью. Положение свободной поверхности можно установить, используя мерное стекло.
7.2.Над свободной поверхностью
Ро= Рабс(СП) < Рат.
Вакуум (недостаточное до атмосферного) давление
Рвсп    gh0в .
Абсолютное давление над свободной поверхностью
РабсСП  Р0  Рв  Рат  РвСП  Рат   gh0в .
6
Для вакуума берется знак минус, хотя отрицательных давлений не бывает и минус
указывает только на то, что имеется разряжение и недостаток давления до атмосферного.
7.3. В точке 1, вакуум (недостаток до атмосферного давления)
Рв1    gh '  g (h1  h0в ), при h1  h0в .
Абсолютное давление в точке 1
Рабс1  Ратм  Рв1  Ратм   gh '.
7.4.Для точек, лежащих ниже уровня атмосферного давления(ниже П.П.), в точке 2.
Избыточное давление положительно и равно
Ризб 2   gh "   g (h2  h0в ), h2  h0в .
Абсолютное давление сумма
Рабс 2  Ратм  Ризб 2  Ратм   gh ",
где h1 и h2 – высоты точек, в которых производится измерение относительно свободной поверхности, h’,h” – пьезометрические высоты(расстояния от П.П. до точки измерения давления).
Задачи на определение давления в несжимаемой жидкости могут быть решены с
помощью уравнений, выражающих:
1) условие равновесия жидкости;
2) условие равновесия твердого тела, на которое действует сила давления со стороны жидкости;
3) условие постоянства объемов жидкости в рассматриваемой системе при ее переходе из одного равновесного состояния в другое. При наличии в системе газа, объем которого меняется при изменении равновесия системы, к этим уравнениям добавляется
уравнение состояния газа.
При решении задач гидростатики пользуются гидростатическим законом. При его
применении к различным сосудам обнаруживается гидростатический парадокс, открытие
которого приписывают Паскалю и Стевину, рис.1.2. Гидравлически парадокс заключается
в том, что вес жидкости в сосуде, может отличаться от силы давления на дно сосуда.
В расши-ряющихся сосудах сила давления на дно меньше веса жидкости, а в суживающихся - больше. В цилиндрическом сосуде обе силы одинаковы. Если жидкость
налита на одну высоту в сосуды разной формы с одинаковой площадью дна, сила давления на дно одинакова для всех сосудов и равна весу жидкости
в цилиндрическом сосуде.
Давление покоящейся жидкости зависит только от пьезометрической глубины и от плотности жидкости. Гидростатическое давление нормально к стенкам сосуда,
7
сила давления на наклонные стенки имеет вертикальную составляющую р1, к-рая
компенсирует вес излишнего по сравнению с цилиндром объёма жидкости в сосуде
рис.5в и вес недостающего объёма жидкости в сосуде, рис.5б.
Во всех четырех сосудах, стоящих на опоре, реакция со стороны опорной поверхности равна весу сосуда и жидкости в нем. В сосудах различной формы, следует учитывать наличие двух факторов: силы тяжести жидкости и силы давления жидкости на дно
сосуда. Эти величины совпадают только при цилиндрическом сосуде, рис.5а, в трех других случаях разность между этими величинами составляет усилие в болтах. «Гидравлический парадокс» следует учитывать при цилиндрической и полусферической форме сосуда.
8
Обычно в условиях задачи отмечается какое давление нужно определить: абсолютное, избыточное или недостаточное (вакуум). На примере разобранной ниже задачи видно, что может быть определено любое давление.
Разбор задачи сделан с использованием материалов Борисова Б.П.
9
1.Давление в сосуде – внутренний силовой фактор, для определения давлений
применить РОЗУ.
2. Принцип затвердевания, впервые сформулирован Стевином: если деформируемое тело находится в равновесии, замена его или его отдельных частей, телами в абсолютно твердом состоянии, равновесия не нарушит. Считаем жидкость в сосуде твердым
телом и рассматриваем условия равновесия части при ее вырезании из сосуда. Убираем
стержень, оставляем только сосуд, с затвердевшей жидкостью. На рисунке видно, какая
часть оставлена.
3.Рассмотрим равновесие сосуда под действием внешних и внутренних сил для
трех вариантов: при абсолютном, избыточном давлении и вакууме. Рисуем эпюры распределения нагрузок.
1. Давление абсолютное.
 D2
4
рат 
 (D2  d 2 )
4
( р Х ) аб 
 (D2  d 2 )
4
рат 
 D2
4
( d 2 / 4)( р Х ) аб  ( d 2 / 4) рат  ( D 2 / 4)  ga  mg ,
[( р Х ) аб   ga]  mg  0,
( р Х ) аб  рат 
( D 2 / 4)  ga  mg
d2 / 4
2.Давление избыточное.
 (D2  d 2 )
 D2
( р Х )изб 
[( р Х )изб   ga]  mg  0,
4
4
( D 2 / 4)  ga  mg
( D 2 / 4)  ga  mg
( р Х )изб 


.
d2 / 4
d2 / 4
3.Вакуум
 D2
 (D2  d 2 )
[( р Х ) В   ga] 
( р Х ) В  mg  0,
4
4
( D 2 / 4)  ga  mg
( рХ ) В 
.
d2 / 4
Рv = G/[(π/4)* d2] +ρga*(D2/ d2)=
G
D
50*9,81
0, 4 2

  ga( )2 
 1000*9,81*0,3(
)  15621  11772  27393 Па
2
2
( / 4)d
d
0, 785*0, 2
0, 2
10
R1  Pv *0, 785*( D 2  d 2 )  27,39*0, 785*(0, 4 2  0, 2 2 )  2,58кН
R2  ( Pv   ga ) *0, 785* D 2  [27,39  (1e3*9,81*0,3)]0, 785*0, 4 2 
 [27,39  2,94]*0, 785*0, 4 2  2,58кН  3, 07 кН
Для определения значения давления в точке С необходимо выполнить следующую
последовательность действий.
1. Определить, какое давление определяется: абсолютное, избыточное или вакуум.
2. Из условий задачи определить давление над свободной поверхностью жидкости:
Р0=Ратм, Р0>Ратм, Р0<Ратм.
3. Провести пьезометрическую плоскость П.П., соответствующую атмосферному
давлению, для чего определить положение П.П., используя гидростатический закон и исходные данные. Индекс «0и» указывает, что П.П. расположена выше свободной поверхности, индекс «0в» указывает, что П.П. расположена ниже свободной поверхности и знак
минус перед пьезометрической высотой «- h0в» означает, что над П.П. находится зона разряжения.
Р0=Ратм
Р0>Ратм
Р0<Ратм
Расстояние от свободной поверхности до ПУ с Ратм.
hСП=0
h0и 
Р0  Ратм
g
h0 в  
Ратм  Р0
g
Пьезометрическая высота до измеряемой точки
h’= h1
h’= h1 + h0и
h”=h2-h0в
4.Определить величину пьезометрической высоты точки относительно П.П.
5.Определить величину давления в точке P=ρgh’ или P=ρgh”.
6.Если требуется определить абсолютное давление, прибавить к значению определенного уже избыточного давления, заданное значение Ратм атмосферного давления.
7.Если требуется определить усилие на дно использовать «гидростатический парадокс».