Выкройка додекаэдра

Муниципальное общеобразовательное учреждение
«Средняя общеобразовательная школа п.Учебный
Ершовского района Саратовской области»
Мир красоты и гармонии
Вид работы: исследовательская
Секция математика и информатика
Автор Палий Елизавета Валентиновна,
9 класс
Руководитель работы Лепёхина Надежда Павловна
Должность учитель
Преподаваемый предмет математика
2011
Оглавление
I Введение...................................................................................................4
II Основная часть
1. Архитектура и математика…………………………………...…5
2. Математика и искусство ………………………………………7
3. Золотое сечение……………………………………………….....8
4. Математика и поэзия…………………………………………….10
5. Математика в жизни музыки……………………………………11
6. Эксперименты с бумагой и практическое применение……..12
III Заключение…………………………………………………………….15
IV Библиография……..……………………………..……………… …....16
2
Аннотация.
Работа «Мир красоты и гармонии» посвящена исследованию
законов математики, которые присутствуют в окружающем мире, управляют этим
миром.
Главной целью данной работы является попытка разобраться в том, что
математика, искусство и красота – понятия неразделимые.
В работе представлены множество исследований ученых, автор предлагает свою
точку зрения по рассматриваемым вопросам.
Интересна практическая часть, где можно научиться и самим творить различные
математические фигуры.
3
Введение
«Потребность красоты и творчества, воплощающего ее, - неразлучна с человеком,
и без нее человек, быть может, не захотел бы жить на свете».
Ф. М. Достоевский
В наслаждении красотою есть
элемент наслаждения мышлением.
Аристотель
Математика – это царица всех наук, её красоте, мудрости, стройности и гармонии можно
только бесконечно удивляться и восхищаться ею. Искусство – это точное соблюдение
законов математики, гармония, пропорциональность, творческое вдохновение,
художественное мастерство. Законы математики действуют даже в тех областях, где их
менее всего ожидалось встретить: в живописи, музыке, скульптуре.
Математика – это не только стройная система законов, теорем, задач, но и уникальное
средство познания красоты. А красота многогранна и многолика. Она выражает высшую
целесообразность устройства мира, подтверждает универсальность математических
закономерностей, которые действуют одинаково эффективно в кристаллах и в живых
организмах, в атомах и во Вселенной, в произведениях искусства и научных открытиях.
Красота помогает с радостью воспринимать окружающий мир, математика даёт
возможность осознать явления и упрочить знания о гармонии всего мира.
4
II Основная часть
1. Математика и архитектура.
Изучая математику, мы открываем всё новые и новые слагаемые красоты, приближаясь к
пониманию, а затем и к созданию красоты и гармонии. Мир науки, несомненно, прекрасен
и значителен, но есть области, в которых математика не менее важна. Например,
архитектура.
Язык пропорций – язык архитекторов. Пропорциональность является наиболее ярким,
зримым, объективным и математически закономерным выражением архитектурной
гармонии. Пропорция – это математическая закономерность, прошедшая через душу
зодчего. Это поэзия числа и геометрии на архитектурном языке. На языке пропорций
говорили зодчие всех времён и архитектурных направлений: древние египтяне и греки,
средневековые каменотёсы и древнерусские плотники, представители барокко и
классицизма, конструктивисты и модернисты.
Архитектура триедина: она извечно сочетает в себе логику учёного, ремесло мастера и
вдохновение художника. «Прочность - польза - красота»- такова знаменитая формула
единого архитектурного целого, выведенная древнеримским теоретиком зодчества Марко
Витрувием. Люди всегда стремились достичь гармонии в архитектуре. Благодаря этому
стремлению на свет появлялись всё новые изобретения, конструкции и стили.
Гармония в природе и гармония в архитектуре обретают одинаковое математическое
выражение в законе золотого сечения.
Конструкция древнеегипетской пирамиды является самой простой, прочной и
устойчивой, её масса уменьшается по мере увеличения высоты над землёй. Форма
пирамиды, подчёркнутая её огромными размерами, придают ей особую красоту и
величие, вызывает ощущение вечности, бессмертия, мудрости и покоя.
Многие исследователи, стремившиеся раскрыть секрет гармонии Парфенона, искали и
находили в соотношениях его частей золотое сечение.
Парфенон является самым ярким примером использования золотой пропорции в
архитектуре.
Парфенон был и остаётся самым совершенным из архитектурных сооружений,
архитектурной скульптурой, мраморным сводом законов античного зодчества.
Многие пытались разгадать секреты пирамиды фараона Хеопса в Гизе. Пирамида
Хеопса, одна из трёх пирамид в Гизе и находится неподалёку от Каира. В отличие от
других египетских пирамид это не гробница, а скорее неразрешимая головоломка из
числовых комбинаций. Изобретательность, мастерство архитекторов пирамиды
указывают на чрезвычайную важность послания, которое они хотели передать будущим
поколениям. В то время символы были единственным средством записи открытий. Ключ к
математическому секрету пирамиды в Гизе, так долго бывшему для человечества загадкой
был передан Геродоту храмовыми жрецами, которые сообщили ему, что пирамида
построена так, чтобы площадь каждой из ее граней была равна квадрату ее высоты. А
также при возведении пирамиды использовались и другие математические отношения.
Собор Парижской Богоматери - имеет пропорциональную основу западного фасада,
которая составляет квадрат, а высота башен фасада равна половине стороны этого
квадрата…
Храм Вознесения является не только гимном расправляющей крылья России, но и
архитектурным гимном геометрии. Геометрия куполов - геометрия горящей свечи.
В русском церковном искусстве проявилось стремление эстетику чувств сочетать с
эстетикой чисел, красоту свободно льющегося ритма с красотой правильного
геометрического тела.
Можно сделать вывод о том, что любая пропорциональная система – это основа
архитектурного сооружения.
5
2. Математика и искусство.
Архитектура тесно связана с другой областью – искусством. Где математика играет
огромную роль. Творчество ряда всемирно известных художников, таких как Леонардо да
Винчи, Дюрер, Дали, Эшер, проникнуто математикой и тесно связано с геометрическими
построениями. Об этом можно судить по геометрической правильности изображения
пространства и подчеркнутой соразмерности фигур и предметов в их работах.
Наука и искусство – два основных начала в человеческой культуре, две дополняющие
друг друга формы высшей творческой деятельности человека.
В истории человечества были времена, когда эти начала дружно уживались, а были
времена, когда они противоборствовали. Но видимо высшая их цель – быть
взаимодополняющими гранями человеческой культуры, потому что даже в самой
сердцевине науки есть элемент искусства, а всякое искусство несёт в себе частицу
научной мудрости.
В природе существует много такого, что не может быть ни достаточно глубоко понято,
ни достаточно убедительно доказано, ни достаточно умело и надёжно использовано на
практике без помощи вмешательства математики.
Гармония означает «согласованность, соразмерность , единство частей и целого,
обуславливающие внутреннюю и внешнюю формы предмета, события, явления, их
совершенство». Внешне гармония может проявляться в мелодии, ритме, симметрии,
пропорциональности.
Математика – царица всех наук, символ мудрости. Красота математики среди наук
недосягаема, а красота является одним из связующих звеньев науки и искусства. Это не
только стройная система законов, теорем и задач, но и уникальное средство познания
красоты.
Красота многогранна и многолика. Она выражает высшую целесообразность устройства
мира, подтверждает универсальность математических закономерностей, которые
действуют одинаково эффективно в кристаллах и живых организмах, в атоме и во
Вселенной, в произведениях искусства и в научных открытиях.
Конечно же, все законы красоты невозможно вместить в несколько формул. Но, изучая
математику, мы открываем всё новые и новые слагаемые «прекрасного», приближаясь к
пониманию, а в дальнейшем и к созданию красоты и гармонии.
«Математика владеет не только истиной, но и высшей красотой - красотой отточенной и
строгой, возвышенно чистой и стремящейся к подлинному совершенству, которое
свойственно лишь величайшим образцам искусства», – говорил Бертран Рассел.
Математик, так же как и художник или поэт, создает узоры, и если его узоры более
устойчивы, то лишь потому, что они составлены из идей.
Легко отыскать примеры «прекрасного», но как трудно объяснить, почему они прекрасны.
Очень важно найти математические закономерности в «прекрасном» - «законы красоты».
Попытки хотя бы приблизиться к ним предпринимались с древнейших времён: это и
математические законы Пифагора в музыке, и геометрическая модель Вселенной Кеплера,
это и система пропорций в скульптуре и архитектуре, и геометрические законы живописи.
В отличие от истины красота понятна человеку даже тогда, когда её внутренние
закономерности остаются непознанными.
Каждый ясно видит разницу между правильными и неправильными чертами
человеческого лица, но до сих пор никто не может точно сформулировать закон, которому
подчинена форма красивого лица.
Струи бьющих фонтанов привлекают правильностью и красотою своих линий, хотя не
каждый знает, что это параболы, и тем более не в состоянии написать их уравнения.
Существуют ли объективные законы «прекрасного»?

Нельзя отрицать заглавную роль симметрии в природе, которая обязана своим
существованием вечному закону природы - закону тяготения.
6

В изобразительном искусстве используется общая теория перспективы (системы
изображения предметного мира на плоскости в соответствии со зрительным восприятием
предметов человеком).

В основе основ музыки и архитектуры - гамме и пропорции – лежит математика, в
частности ряд золотого сечения.
Искусство – это не только содержание, но и форма. Среди ученых возник вопрос: «Но не
убьёт ли знание законов формообразования искусство, не превратит ли его в процесс
изготовления штампов?»
Я считаю, что истинному искусству это не грозит. Леонардо да Винчи, Моцарт и Бах,
Палладио и Ле Корбюзье – все они отдали дань поиску математических законов
искусства, однако это не убило в них художников, а скорее наоборот, помогло стать
великими.
Единство науки и искусства – важнейший залог последующего развития культуры.
7
3. «Золотое сечение».
Известный итальянский ученый, архитектор, теоретик искусства эпохи раннего
Возрождения Леон Баттиста Альберти, написавший много книг о зодчестве, говорил о
гармонии следующее: «Назначение и цель гармонии - упорядочить части, вообще говоря,
различные по природе, неким совершенным соотношением так, чтобы они одна другой
соответствовали, создавая красоту...
Ибо все, что производит природа, все это
соизмеряется законом гармонии». Из многих пропорций, которыми издавна пользовался
человек при создании гармонических произведений, существует одна, единственная и
неповторимая, обладающая уникальными свойствами. Эту пропорцию называли поразному - "золотой", "божественной", "золотым сечением", "золотым числом", "золотой
серединой".
Эта пропорция была известна древним грекам, которые называли ее делением
отрезка в крайнем и среднем отношении, и встречается в «Началах» Евклида, где дан
геометрический метод ее построения с помощью диагоналей двойного квадрата.
По преданию, задолго до Евклида золотую пропорцию знал Пифагор, который в свою
очередь, скорее всего, позаимствовал ее у древних египтян, которых он посетил в своих
странствиях.
Форма, в основе построения которой лежат сочетание симметрии и золотого сечения,
способствует наилучшему зрительному восприятию и появлению ощущения красоты и
гармонии. Целое всегда состоит из частей, части разной величины находятся в
определенном отношении друг к другу и к целому.
Что же такого замечательного скрыто в этой пропорции, что она занимает умы людей
уже много веков?
В золотой пропорции кроются удивительные математические закономерности, но самое
главное — считается, что формы, основанные на золотом сечении, наиболее
привлекательны с эстетической точки зрения и поэтому с давних пор используются
художниками, дизайнерами, архитекторами.
Человек различает окружающие его предметы по форме. Интерес к форме какого-либо
предмета может быть продиктован жизненной необходимостью, а может быть вызван
красотой формы. Форма, в основе построения которой лежат сочетание симметрии и
золотого сечения, способствует наилучшему зрительному восприятию и появлению
ощущения красоты и гармонии. Целое всегда состоит из частей, части разной величины
находятся в определенном отношении друг к другу и к целому.
В математике пропорцией называют равенство двух отношений: a : b = c : d. (a*d=b*c)
Отрезок прямой АВ можно разделить на две части следующими способами:
1) на две равные части – АВ : АС = АВ : ВС;
2) на две неравные части в любом отношении (такие части пропорции не образуют);
3) таким образом, когда АВ : АС = АС : ВС.
Последнее и есть золотое деление или деление отрезка в крайнем и среднем отношении.
Золотое сечение – это такое пропорциональное деление отрезка на неравные части, при
котором весь отрезок так относится к большей части, как сама большая часть относится к
меньшей.
a : b = b : c или с : b = b : а.
(1-х) : х = х : 1
8
Принято считать, что понятие о золотом делении ввел в научный обиход Пифагор,
древнегреческий философ и математик (VI в. до н.э.). Есть предположение, что Пифагор
свое знание золотого деления позаимствовал у египтян и вавилонян. И действительно,
пропорции пирамиды Хеопса, храмов, барельефов, предметов быта и украшений из
гробницы Тутанхамона свидетельствуют, что египетские мастера пользовались
соотношениями золотого деления при их создании.
Леонардо да Винчи также много внимания уделял изучению золотого деления. Он
производил сечения стереометрического тела, образованного правильными
пятиугольниками, и каждый раз получал прямоугольники с отношениями сторон в
золотом делении. Поэтому он дал этому делению название золотое сечение. Так оно и
держится до сих пор как самое популярное.
С историей золотого сечения связано имя итальянского математика монаха Леонардо из
Пизы, более известного под именем Фибоначчи.
Он много путешествовал по Востоку, познакомил Европу с индийскими (арабскими)
цифрами. В 1202 г вышел в свет его математический труд «Книга об абаке» (счетной
доске), в котором были собраны все известные на то время задачи. Одна из задач гласила
«Сколько пар кроликов в один год от одной пары родится». Размышляя на эту тему,
Фибоначчи выстроил такой ряд цифр:
Месяцы 0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
и
т.д.
Пары
0
кроликов
1
1
2
3
5
8
13
21
34
55
89
144
и
т.д.
Ряд чисел 0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55 , … известен как ряд Фибоначчи. Особенность
последовательности чисел состоит в том, что каждый ее член, начиная с третьего, равен
сумме двух предыдущих 2 + 3 = 5; 3 + 5 = 8; 5 + 8 = 13, 8 + 13 = 21; 13 + 21 = 34 и т.д., а
отношение смежных чисел ряда приближается к отношению золотого деления. Так, 21 : 34
= 0,617, а 34 : 55 = 0,618. Это отношение обозначается символом Ф. Только это отношение
– 0,618 : 0,382 – дает непрерывное деление отрезка прямой в золотой пропорции,
увеличение его или уменьшение до бесконечности, когда меньший отрезок так относится
к большему, как больший ко всему.
Принцип золотого сечения - высшее проявление совершенства целого и его частей в
искусстве, науке, технике и природе. Загадка притягательной силы золотого сечения
давно волнует человечество. И неслучайно эту пропорцию великий итальянский
живописец, скульптор, архитектор, ученый и инженер Леонардо да Винчи назвал
«Золотое сечение».
Можно сделать вывод, что «Золотая пропорция» действительно является универсальной
мировой константой.
9
4. Математика и поэзия.
Мы видим, что и искусству не чужды математическая строгость и пропорции.
Что любят, то находят повсюду, и было бы странно не встретиться с математикой в
художественной литературе.
Потому что, как верно заметил А.Блок, сама истинная поэзия, сами настоящие стихи – это
“математика слова”.
Потому что в жизни нет ничего такого, чего не было в романах, рассказах и стихах, а
математика – слишком заметная тема жизни, чтобы не стать темой литературы.
Проанализировав поэзию А.С.Пушкина, можно увидеть, что поэт использует размеры
в 5, 8, 13, 21 и 34 строк (числа Фибоначчи).
В качестве примера рассмотрим следующие строки:
Картину раз высматривал сапожник
И в обуви ошибку указал;
Взяв тотчас кисть, исправился художник,
Вот, подбочась, сапожник продолжал:
"Мне кажется, лицо немного криво ...
А эта грудь не слишком ли нага?
Тут Апеллес прервал нетерпеливо:
"Суди, дружок, не выше сапога!"
Есть у меня приятель на примете:
Не ведаю, в каком бы он предмете
Был знатоком, хоть строг он на словах,
Но черт его несет судить о свете:
Попробуй он судить о сапогах!
Золотое сечение есть и в других произведениях А.С.Пушкина.
10
5. Математика в жизни музыки
Музыка - это радость души, которая вычисляет, сама того не замечая.
Г. Лейбниц
Удивительно, но математика встречается и в таком виде искусства, как музыка!
Настоящее искусство имеет свою теорию. Иногда эту теорию можно выразить с
помощью математических терминов.
Начиная с Пифагора, математики проявляли интерес к музыке. Впервые в школе
Пифагора была создана математическая теория музыки.
Математика и музыка - два полюса человеческой культуры. Слушая музыку, мы
попадаем в волшебный мир звуков. Решая задачи, погружаемся в строгое пространство
чисел. И не задумываемся о том, что мир звуков и пространство чисел издавна
соседствуют друг с другом.
Известно открытие Пифагора в области теории музыки. Необычность его в том, что
сочетание звуков, издаваемых струнами, наиболее благозвучно, если длины струн
музыкального инструмента находятся в правильном численном отношении друг к другу.
Для воплощения своего открытия Пифагор использовал монохорд - полуинструмент,
полуприбор. Под струной на верхней крышке ученый начертил шкалу, с помощью
которой можно было делить струну на части. Было проделано много опытов, в результате
которых Пифагор описал математически звучание натянутой струны.
1.Частота колебания f звучащей струны обратно пропорциональна ее длине l. f= a / l, (а коэффициент, характеризующий физические свойства струны).
2. Две звучащие струны определяют консонанс, если их длины относятся как целые числа,
образующие треугольное число 10=1+2+3+4, т.е. как 1:2, 2:3, 3:4. Причем, чем меньше
число n в отношении n/(n+1) (n=1,2,3), тем созвучнее получающийся интервал.
Эти интервалы – «совершенные консонансы», и их интервальные коэффициенты
получили названия:
Октава l2/l1 =1/2
Квинта l2/l1 =2/3 Кварта l2/l1 =3/4
Простой математический анализ многих музыкальных шедевров позволяет иными
глазами взглянуть на них, увидеть их скрытую внутреннюю математическую красоту,
которую мы только ощущаем, слушая произведение.
Мы находим в произведениях Баха детальную и органическую сплочённость. Закон
золотого деления проявляется в них с поразительной точностью в соотношениях крупных
и мелких частей, как в строгих, так и в свободных формах, что соответствует характеру
этого гениального композитора.
В «Лунной сонате» проявление закона золотого сечения указывает на силу темперамента
Бетховена и в точности совпадает со всеми моментами высшего напряжения чувств .
Простейший математический анализ музыкальных произведений М.И. Глинки убеждает
в применении закона золотого сечения .
До сих пор никому не удавалось найти алгоритм, порождающий простую и красивую
мелодию. Мы просто не знаем, какое волшебство происходит в голове композитора,
создающего неповторимую мелодию.
Гениальное произведение - это результат вдохновения и мастерства его создателя. А еще
и тайна, постичь которую невсегда невозможно.
Решая задачи и слушая великую музыку, мы открываем в ней совершенство, простоту,
гармонию и еще нечто такое, что невозможно высказать словами.
11
6. Эксперименты с бумагой и практическое применение.
Можно ли, отыскивая новые фигуры, продвигаться к пониманию мира и постигать
законы красоты?
В процессе работы над проектом я поставила задачу научиться складывать фигуры
разной сложности, изобретать свои фигуры, познакомится с элементами геометрии,
углублять знания по математике. Это помогло понять красоту и гармонию
математики, геометрии и окружающего мира.
Изготовив первую свою звезду, появилось желание «открыть» и другие. Своим
разнообразием эти геометрические фигуры напоминают фантастические звезды, планеты,
астероиды. Причем среди них, вероятно, есть и такие, которые еще никому не удавалось
рассчитать и построить. Может, это суждено сделать нам? Только надо очень кропотливо
работать над каждой фигурой.
Познакомившись с техникой изготовления простых звездчатых многогранников, можно
украсить рукотворными звездами актовый зал школы для новогоднего бала, свою
комнату, елку. А почему бы не подарить такую звездочку другу, не устроить выставку, где
вы посоревнуетесь с друзьями в фантазии?
С глубокой древности математикам были известны пять выпуклых многогранников,
которые называют Платоновыми телами. Это тетраэдр, гексаэдр, октаэдр, икосаэдр,
додекаэдр. Этим фигурам в древности приписывали магические свойства, они
олицетворяли землю, воздух, воду, солнце, космос. Их только пять. Каждая из этих фигур
образована одинаковыми разносторонними многоугольниками: треугольниками,
квадратами, пятиугольниками. Они и являются основой для построения любых
звездчатых многогранников.
Я привожу примеры чертежей граней многогранников и возможные варианты разверток
для их склейки. Элементы для построения звездчатых фигур такие же, только здесь
каждая звезда может состоять и из разных граней.
Для изготовления звезд я применяла тонкий цветной картон. Для склеивания применяла
клей ПВА. Из инструментов мне понадобились: металлическая линейка, остро заточенный
твердый карандаш, кисть или тонкая вязальная спица для нанесения клея, ножницы.
Из плотной бумаги или картона сначала изготовила шаблон одной грани.
Работая над проектом, я научилась строить звездчатые многогранники. В основе их
лежат строгие математические закономерности.
12
Невыпуклые полуправильные многогранники
Правильные многоугольники
Тела Кеплера-Пуанкаре
Выкройка додекаэдра
13
Тела Архимеда.
Работа по изготовлению звездчатых многогранников.
14
III Заключение
Работая над проектом, я пришла к выводу, что когда раскрывается эффективность
применения математических методов в различных областях науки, культуры, искусства,
выявляется высокое значение математики, процесс изучения её делается интересным и
увлекательным.
Объединение математики с искусством, со всеми сторонами жизни даёт возможность
гармонично развиваться личности, даёт целостное представление об окружающем мире.
Оформление кабинета математики различными красивыми многогранниками важно и для
создания настроения, прикосновения к науке, прикосновения души к «прекрасному».
15
IV Библиография
Литература:
1.А.И.Азевич «Двадцать уроков гармонии» библиотека журнала «Математика в
школе», выпуск 7. Москва «Школа-Пресс», 1998год
2. А.В. Волошинов «Математика и искусство», Москва, «Просвещение»,
1992 ГОД
3. Энциклопедический словарь юного математика Москва 1989 год.
4. И.Ф.Шарыгин, Л.Н. Ерганжиева «Наглядная геометрия 5-6 классы» Москва,
Издательский дом «Дрофа», 1998 год.
http://festival.1september.ru/articles/subjects/20
http://matemkonst.narod.ru/p9aa1.html
http://www.great-philosopher.ru/
16