Ответы заданий Олимпиады учителей физики

Решения заданий Олимпиады учителей физики образовательных
учреждений Калининградской области
в 2011 году
Задача 1. Приведем два способа решения задачи, отличающиеся выбором
системы отсчета.
1. Пусть движение кораблей происходит в той системе отсчета
(связанной с Землей), в которой заданы их скорости. Сначала расстояние
между кораблями будет уменьшаться, затем (если они не столкнутся)—
увеличиваться. Чтобы найти наименьшее расстояние Sмин, применим общий
метод исследования функции на экстремум. Для этого рассмотрим
положение кораблей спустя произвольный промежуток времени t после
начала движения и найдем расстояние между ними как функцию времени. Из
чертежа следует:
s  ( OM )2  ( ON )2  ( OA  v1t )2  ( OB  v2t )2 .
Обозначив a = OA = OB, получим
s  2 a2  2 a( v1  v2 )t  ( v12  v22 )t 2 .
(1)
Чтобы найти минимум функции s = s (t), продифференцируем ее по
времени и приравняем нулю производную:
ds
 2 a( v1  v2 )  2t ( v12  v22 )

 0.
dt 2 2 a2  2 a( v1  v2 )t  ( v12  v22 )t 2
Отсюда время, соответствующее наименьшему расстоянию sмин, равно
t мин = a( v1  v2 ) /( v12  v22 ) .
Подставив это значение времени в (1), получим ответ:
sмин 
a v2  v1
v12  v22

l v2  v1
2( v12  v22 )
.
(2)
Из формулы (2) следует: 1) если v1 = v2 то sмин = 0, т. е., двигаясь с
одинаковыми скоростями, корабли встретятся в точке О (рис. 1);
Из формулы (2) следует: 1) если v1 = v2 то sмин = 0, т.е., двигаясь с
одинаковыми скоростями, корабли встретятся в точке О (рис. 1);
2) если v1 = 0 или v2 = 0 (движется только один корабль), то sмин = а, т. е. s =
sмин, когда корабль окажется в точке О.
2. Воспользуемся системой отсчета, связанной с одним из двух кораблей,
например с первым. В этой системе отсчета первый корабль будет
неподвижен, а движение второго корабля будет сложным: со скоростью v2
относительно Земли и со скоростью v1   v1 вместе с Землей относительно
первого корабля (рис. 2). Скорость результирующего движения выразится
вектором v, причем
ν  ν 1 2  ν 22  v12  v 22 .
Минимальным
расстоянием
между
кораблями
будет
длина
перпендикуляра АС, опущенного на направление вектора v. Расчет,
основанный на подобии прямоугольных треугольников, приводит к ответу
sмин =AC=
l v2 v1 

2 v12  v22

(3)
что совпадает с ответом (2), так как в (3) v2 > v1.
Как видим, второй способ решения, в котором система отсчета привязывается к одному из движущихся тел, значительно проще первого.
Задача 2. . Процесс испарения воды происходит при постоянном давлении,
равном давлению насыщенного пара. К моменту испарения всей воды
А = PП  V
Для определения количества испарившейся воды воспользуемся уравнением
Клапейрона – Менделеева
РП  V = mвRT/M = A
Масса испарившейся воды равна mв = AM/RT = 1 г
Следовательно, начальный объём цилиндра V = 1 л.
Для пара Рп (V – Vв)= mпRT//M, и для массы пара имеем
mп = PMV(RT) = AVM/(RT  V)
Задача 3. Обозначим жёсткость пружины через k, тогда в начальном
состоянии
mg = kx0
Для определения температуры воспользуемся уравнением Клапейрона –
Менделеева
T = PV/ (νR) , где P и V – давление и объём пара.
P = (mg – kx0(1 – α))/S = αmg/S;
V = (H0 + x1) S = (H0 + αx0) S.
Таким образом температура
T = αmg(H0 + αx0)/(νR)
Работа, совершённая паром, идёт на увеличение потенциальной энергии
поршня и на изменение энергии деформированной пружины
A = mgx1 + k(x0 – x1)2/2 – kx02/2 = mgx0/8.
Задача 4. Напряжение на вольтметре в момент замыкания ключа найдем по
законам Ома:
U1  R1 I1 ,
I1 
E
.
R1  r
U1 
ER1
R1  r
(1)
Мы учли, что начальная разность потенциалов на конденсаторе равна нулю.
После полного заряда конденсатора, напряжение на вольтметре будет равно:
U 2  ( R1  R2 ) I1 ,
I1 
E
.
R1  R2  r
U2 
E ( R1  R2 )
R1  R2  r
(2)
Решаем систему (1), (2).
E
R2U1U 2
( R1  R2 )U1  R1U 2
Ответ. 24 В.
Задача 5. Так как радиус каждого шара мал по сравнению с глубиной его
погружения в среду и расстоянием между шарами, то вблизи каждого шара
ток распределён сферически симметрично. Обозначим радиусы шаров через
Rl и R2, удельное сопротивление среды через ρ, её диэлектрическую
проницаемость через ε. Пусть на первом шаре в установившемся режиме
находится положительный заряд q1, а на втором - отрицательный заряд q2.
Окружим первый шар воображаемыми концентрическими сферическими
поверхностями с радиусами r и r + Δr (Δr « r) и найдём напряжение ΔU
между этими поверхностями:
U 
1
40

q1
1
q
q1

 1 
r
r 40 r  r 40 r 2
Сопротивление среды, находящейся между рассматриваемыми
поверхностями, равно
r
R 
4r 2
Значит, в соответствии с законом Ома для участка цепи, не содержащего
ЭДС, сила тока, текущего между рассматриваемыми поверхностями равна
i
q
U
 1
R  0 
Поскольку сила тока вдоль всей цепи одинакова, то из полученной
формулы следует, что заряды на обоих шарах одинаковы по величине:
Следовательно, потенциалы шаров равны
1 
1
40

q1
i

R1
4R1
2 
1
40

q2
i

R2
4R2
Поскольку сопротивление источника и соединительных проводников
пренебрежимо мало, то разность потенциалов между шарами равна ЭДС
источника:
 i 1
1 
 

 1   2 
4  R1 R2 
Отсюда получаем связь между радиусами шаров и силой тока в цепи:
4
i

 1
1 
   
 R1 R2 
ε
ε
По условию задачи, когда погруженные в среду шары одинаковы,
(R1 = R2 = R), в цепи течет ток, сила которого равна.
I1 
2R

ε
Если же один из шаров заменить шаром вдвое меньшего размера
(Rl = R, R2 = R/2),
то в цепи будет течь ток
I1 
4R
3
ε

2
I1
3
Задача 6. Запишем законы сохранения импульса
mnV0  mnV1  mV
(1)
и энергии
mnV02 mnV12 mV 2


W
2
2
2
(2)
Здесь m, V – масса и скорость атома водорода, W – энергия возбужденного
состояния над основным.
Из (1) находим
V0  V1 
m
V
mn
(3)
Учтем, что mn  m . Тогда
V0  V1  V
(4)
Подставим (4) в (2). Получаем:
mVV
W
1
(5)
Согласно теории Н. Бора:
hc

W
Решаем систему (5), (6) относительно скорости атома водорода. Находим
V
hc
 mV1
Ответ: V  6.6 104 м/c.
(6)