Машинный перевод, doc, 1050 kb

1
ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ГИЛЬБЕРТА-ХУАНГА
ДЛЯ ОБНАРУЖЕНИЯ ПОВРЕЖДЕНИЙ В СТРОЕНИЯХ ПЛАСТИН
Сокращенный частично редактированный машинный перевод.
Преобразование Гильберта-Хуанга: http://prodav.narod.ru/hht
Глава 3
Эмпирическая модовая декомпозиция (EMD) и
присоединенный Гильбертов спектральный анализ
3.1 Фундаментальные Понятия
3.1.1 Преобразование Гильберта и аналитический сигнал
Определение и формула
Преобразование Гильберта H[x(t)] действительной функции x(t) , t от -∞ до +∞, - есть действительная функция, определенная как
∫
При [ x(t )]2 dt < ∞, уравнение (3.1) может быть перезаписано как
где P указывает главное значение Коши. Таким образом, y(t) - преобразование Гильберта исходного
процесса x(t). Описание преобразования Гильберта с акцентом на его математической формальности
может быть найдено в Bendat и Piersol [44]. По существу, уравнение (3.2) определяет преобразование
Гильберта как свертку x(t) с оператором 1/t.. Физически, Гильберт-преобразование может быть интерпретировано как естественный  фазовращатель, который при прохождении x(t) через систему
изменяет фазу всех частотных составляющих сигнала на /2. С использованием этого выражения для
y(t) мы можем определить аналитический сигнал z (t), как
z(t) = x(t) + jy(t).
(3.3)
Преимущество этого представления состоит в том, что возникает возможность единственным образом определять истинные различные временные переменныесигнала. Как то – мгновенные параметры амплитуды сигнала как а(t) = (x(t)2 + y(t)2)1/2 и фазы θ(t) = arctan(y(t)/x(t)). Наконец, yравнение
(3.3) может быть перезаписано как
z(t) = a(t) exp(jθ(t)).
(3.4)
В этом уравнении выражение полярной координаты разъясняет локальную природу этого представления. Это - лучший способ амплитудного и фазового локального изменения тригонометрической
функции x(t). Гильбертова трансформанта формирует базис определения аналитического сигнала и
дает единственный способ определить мнимую часть так, чтобы результат был аналитической функцией. В частотной области, у определения аналитического сигнала есть простая интерпретация начиная с TF[z(t)]. Это одностороннее преобразование Фурье, где отрицательные частотные значения
удалены, а положительные удвоены, т.е.:
где X(v) Фурье-спектр x(t), и Z(v) - Фурье-спектр z(t).
Таким образом, аналитический сигнал может быть получен из действительного сигнала, обнулением
2
спектра для отрицательных частот, которые не изменяют объем информации, т.к. для действительного сигнала, X (-v) = X* (v).
Пример преобразования Гильберта.
Простая синусоида и ее преобразование Гильберта (косинусоида) - графики в иллюстрации 3.1.
Иллюстрация 3.1: Преобразование Гильберта синусоиды
Сдвиг фаз /2 ясен. Так как этот сигнал возводит в степень единственную частоту волны, мгновенное
значение частоты является постоянным, и фазовая функция - прямая, как показано в иллюстрации 3.2
Иллюстрация 3.2: Амплитуда и фаза Гильбертовой преобразования синусоиды
3.1.2 Мгновенная Частота
Определение и понятие.
Понятие мгновенной частоты в Гильбертовой трансформанте достаточно спорное, есть значительное
противоречие в определении мгновенной частоты, как нормы фазовращателя
3
Определение мгновенной частоты, представленное здесь, является основным, но не единственным.
Ville [41] предложил другую оценочную функцию для мгновенной частоты, как первый момент распределения относительно частоты. Коэн [45] определил мгновенную частоту, как среднюю частоту,
которая существует во время-частотной плоскости а данном времени. Всестороннее обсуждение по
различным предложенным формулировкам может быть найдено в Boashash [46].
Главная трудность соглашения с идеей мгновенной частоты является определение 'глобальная' частота в традиционном анализаторе гармоник. Частота действительно определена для синуса или косинуса с охватом целой длины данных с константой амплитуды. Как расширение определения, мгновенные частоты должны распространяться на синус и косинус. Таким образом, мы нуждаемся по крайней мере в одном полным колебании синуса или косинуса, чтобы определить локальное частотное
значение. По этой логике ничто короче, чем полная волна не подходит. Но такое определение не
имело бы смысла для неустановившихся данных, для которых частота изменяет значения во времени.
Возникает очевидный парадокс в соединении слов "мгновенный" и "частота". Если понятие мгновенной частоты применить к любой аналитической функции, можно столкнуться с одним из этих четырех парадоксов, обсуждаемых Коэном [47]. Следовательно, некоторые ограничения на данные необходимы, начиная с мгновенной частоты, данной в уравнении (3.6), как единственной функцией значения времени. Определение подразумевает, что в любой момент времени есть только одно частотное значение. Это принуждает Коэна [47] представлять `моносоставную функцию', определенную
как узкая полоса частот. Наконец, одно разумное и значимое определение мгновенной частоты могло
быть представлением частоты сигнала когда-то, без любой информации о сигнале в других случаях.
Иллюстрацией мгновенного частотного понятия для 'моносоставного' сигнала может определение,
что функция мгновенной частоты гармоники является постоянной и совпадает с частотой функции.
Можно извлечь пользу в интуитивной оценке понятия мгновенной частоты, исследуя сигнал щебета.
Линейный щебет определен как y(t) = cos(at(t)). где интерпретация частоты, изменяющейся линейно
со временем, очевидна. График линейного щебета с его мгновенной частотой, вычисленной по уравнению (3.6), приведен в иллюстрации 3.3.
Иллюстрация 3.3: Мгновенная частота линейного щебета
Поскольку можно видеть, что мгновенное частотное определение точно фиксирует изменение времячастота. Тем не менее, когда щебет представлен в области Fourier, результат содержит много компонентов с другими частотами и простая природа сигнала теряется.
Ограничения и сужения.
Как упомянуто выше, понятие мгновенной частоты неявно подразумевает, что в каждый момент
времени в сигнале существует только единственная частотная составляющая. Таким образом, если
это предположение не действительно, что имеет место для большинства многокомпонентных сигналов, использование понятия мгновенной частоты бессмысленно. Для примера, рассмотрим суперпозицию двух линейных частотных модуляций. В каждый момент t, идеальное частотно-временное
представление должно представить две различные частоты с той же самой амплитудой. Результат,
4
полученный с использованием мгновенной частоты - полностью другой, и следовательно несоответствующий, как видно на Рисунке 3.4.
Иллюстрация 3.4: Мгновенная частота многокомпонентного сигнала
Значимая мгновенная частота
Чтобы получить значимую мгновенную частоту, на данные должны быть наложены ограничительные, как предлагают Gabor [48] и Boashash [46]: частота сигнала должна быть положительной. Некоторые простые примеры поясняют это сужение физически.
Иллюстрация 3.5: Материальная интерпретация мгновенной частоты
5
Исследуем функцию x(t) = α + sin(t) для α = 0, 0.5, 1.5 и вычисим фазовую функцию и мгновенную
частоту для каждого значения из α. Фазовая функция sin(t ) является прямой. Фазовый график x-y
плоскости – простой круг радиусом, равным модулю, как показано в иллюстрации 3.5. Если мы изменяем среднее значение сигнала, прибавляя небольшое количество α, фазовый график - все еще
простой круг, независимый от значение α. Однако, центр круга перемещен на значение α.Если α <1 у
спектра Фурье есть член DC, но средняя пересекающая нуль частота тем не менее то же самое. Этот
случай соответствует любой асимметричной форме волны. Если α> 1, и фазовая функциональная и
мгновенная частота примут отрицательные значение, которые бессмысленны. Этот случай соответствует любой стоячей волне.
Эти простые примеры поясняют физически, что для простого сигнала, такого как синус, мгновенная
частота может быть определена, только если мы ограничиваем функцию симметрично локально относительно нулевого среднего уровня.
Заключение
Примеры, представленные выше, приводят к определению класса функций, для которых мгновенная
частота может быть определена всюду. Поэтому новый метод может быть представленным, чтобы
анализировать любой сигнал в суперпозиции компонентов с четкой мгновенной частотой. Этот метод будет устранять локальные стоячие и асимметрию (определенную оболочкой extrema), чтобы
получать серию монокомпонентных вкладов. Этот новый метод был предложен Huang в 1998 [29] и
назван `эмпирической модовой декомпозицией'.
3.1.3 Преобразование Гильберта-Huang
Схема преобразования Гильберта-Huang может быть разделена на две части. В первом шаге,
экспериментальные данные разлагаются в ряд внутренних модовых функций (IMFs). Эта декомпозиция рассматривается как расширение данных в терминах IMFs. Другими словами, эти IMFs представлены как базис преобразования, которое может быть линейным или нелинейным, как диктуется
по условиям. Так как IMFs имеют хорошие Гильбертовы преобразования, то могут быть вычислены
соответствующие мгновенные частоты. Таким образом, в следующем шаге мы можем локализовать
любое явление как во времени, так и на частотной оси. Локальная энергия и мгновенная частота, выведенная из IMFs, дают нам дистрибутивные "энергетические время-частотные" данные, и такое
представление, определяемое как Гильбертов спектр.
Первая часть: Эмпирическая модовая декомпозиция
Внутренняя модовая функция
Внутренняя модовая функция (IMF) является функцией, которая удовлетворяет двум условиям:
--1. В целом наборе данных количество экстремумов и количество нулевых пересечений должно или
быть равным, или отличаться самое большее на единицу.
--2. В любой точке данных среднее значение оболочки, определенной локальными максимумами и
и локальными минимумами, является нулем.
Первое условие подобно узкополосному требованию для стационарного Гауссова процесса. Это гарантирует, что локальные максимумы прогрессии данных всегда положительны, а локальные минимумы соответственно отрицательны. Второе условие определяет глобальное требование к локализации и необходимо, чтобы гарантировать, что у мгновенной частоты не будет нежелательных флуктуаций, являющихся результатом асимметричной формы волны. Пример IMF - график на иллюстрации 3.6. IMFs представляют собой колебательные режимы в составе данных, где каждая IMF включает только один режим колебаний без комплекса стоячих волн. IMF может быть неустановившейся и
любой амплитудой и/или модулированной частотой.
Встроенные модовые функции можно рассматривать как более общий случай простой гармонической функции. Нужно упомянуть что, по определению, встроенные модовые функции всегда имеют
позитивные (вещественные) частоты, потому что колебания в IMFs симметричны относительно локального среднего значения.
6
Иллюстрация 3.6: Пример модовой функции (IMF)
Процесс отсеивания
Вообще, большинство данных не естественные IMFs, и преобразование Гильберта не может дать
полное описание частотного информационного наполнения, если данные представлены больше чем
одним колебательным процессом в данном времени. Следовательно, мы должны определить способ
разложения данных в ряд независимых компонентов IMF.
Huang представил метод разложения сложных данных в компоненты IMF со значимыми мгновенными частотами. Этот новый метод является обладающим интуицией, прямым, и адаптивным. Декомпозиция основана на трех предположениях:
--1. Сигнал имеет по крайней мере два extrema, один максимум и один минимум.
--2. Когда имеется погрешность между extrema шкала характеристического времени определена.
--3. Если данные полностью лишены extrema, но содержат только точки перегиба, то для открытия
extrema может быть использовано дифференцирование одно- или больше раз.
Процесс отсеивания для обнаружения IMFs сигнала состоит из нескольких шагов. Будем описывать
эти шаги, используя обозначение x(t) произвольного сигнала.
--1. Выделите позиции и амплитуды от всех локальных максимумов и минимумов во входном сигнале. Они отмечены зелеными и желтыми точками в иллюстрации 3.7.
--2. Создайте верхнюю оболочку emax(t) сплайновой интерполяцией локальных максимумов и нижнюю оболочку emin(t) сплайновой интерполяцией локальных минимумов. Они показаны как синие и
красные кривые в иллюстрации 3.7.
--3. Для текущих моментов t вычислите среднее значение верхней и нижней оболочки:
Этот сигнал среднего значения оболочек показан черной линией в иллюстрации 3.7.
--4. Вычтите сигнал среднего значения оболочек из входного сигнала (синий график в иллюстрации
3.7).
Это - одна итерация процесса отсеивания. Следующим шагом нужно проверить - является ли сигнал
h1(t) функцией IMF или нет. В первоначальной работе Huang применял ограничитель отсеивания в
виде разности между двумя последовательными отсеиваниями, если она становится меньше чем выбранный порог SD, определенный как
7
Позже мы увидим, что выбор критерия ограничителя крайне важен для получения значимых компонентов IMF.
--5. Если h1(t) не удовлетворяет порогу ограничения, выполните следующую итерацию, повторяя
процесс от шага (1) с сигналом от шага (4). Во втором процессе отсеивания h1(t) обрабатывается как
входной сигнал (вместо x(t)), тогда
Мы можем повторить эту процедуру отсеивания k-раз, пока h1k не будет признана IMF:
Когда критерий ограничителя удовлетворен, IMF определена как
После найденного IMF c1 (синяя кривая в иллюстрации 3.7) определите остаток r1 как результат вычитания этого IMF из входного сигнала
Остаток поясняется синей кривой в иллюстрации 3.7.
--6. Следующий IMF найдем, начиная от шага (1), теперь с остатком r1, как с входным сигналом.
Шаги (1) к (6) могут быть повторены для всех последовательных rj, и результат
EMD закончен, когда остаток, идеально, не содержит extrema точки. Это означает, что остаток - или
константа или монотонная функция. Сигнал может будьте выражены как сумма IMFs и последнего
остатка
Извлеченные IMFs симметричны, имеют уникальные локальные частоты, различные IMFs не показывают ту же самую частоту в то же самое время
8
9
d) Следующий первый IMF
Иллюстрация 3.7: иллюстрация процесса Отсеивания
Шаги декомпозиции основаны на простом предположении, что любые составы данных имеют различные простые встроенные модовые функции колебаний. Каждая функция может или, возможно, не
линейна, и будет иметь тот же самый номер extrema и нулевых пересечений. Кроме того, колебание
также будет симметрично относительно `локального среднего значения'. В любой момент времени,
у данных может быть много различных сосуществующих модовых колебаний, одно нанесенное
на другое. Результат - конечные сложные данные. Функции IMF представляют каждый из эти колебательных режимов. Иллюстрация 3.8 суммирует процедуры EMD. Процесс отсеивания удовлетворяет двум целям: устранить стоячие волны и сделать волновые профили, более симметричные в
сглаживании нечетных амплитуд. В то время как первое условие абсолютно необходимо для того,
чтобы отделить встроенные модовые функции и определить значимые мгновенные частоты, второе
условие также необходимо в случае, если у соседних амплитуд колебаний есть слишком большое неравенство. Другой способ объяснить, как EMD работает, состоит в том, что он в процессе итераций
выбирает самое высокое частотное колебание, которое имеется в сигнале.
10
11
Иллюстрация 3.8 Блок-схема EMD
Таким образом, локально, каждая IMF содержит более низкие частотные составляющие, чем извлеченная перед ней. Множество полученных IMFs является единственным и удельным в течение специфического времени прогрессии, так как основано на выведенных из локальных характеристик данных. Следовательно, процесс отсеивания позволяет анализировать данные в n-эмпирическом режиме,
и остаток.
Вторая часть: Спектральный анализ Гильберта
Преобразование Гильберта IMFs
Эмпирическая декомпозиция дает нам ряд независимых компонентов IMF со значимыми мгновенными частотами. Каждый из компонентов IMF может быть обработан как сигнал, где может быть
применено преобразование Гильберта
После выполнения преобразования Гильберта на каждой IMF, первоначальные данные x(t) могут
быть выражены как вещественная часть (Re) комплексного расширения
Остаток rn опущен, потому что он - или монотонная функция или константа. Здесь, и амплитуда aj(t),
и мгновенная частота j(t) являются функцией от времени t в отличие от постоянной амплитуды и
частоты в Фурье преобразовании
12
Следовательно, IMF представляет обобщенное преобразование Фурье.
Гильбертов спектр
Уравнение (3.17) дает нам возможность представить амплитуду и мгновенную частоту как функции
времени в трехмерном графике, в котором амплитуда может быть очерченный на частотновременной плоскости. Это частотно-временное распределение амплитуд определяется как Гильбертов амплитудный спектр, H (ω, t), или просто спектр Гильберт. Могут быть сделаны различные формы индикаций спектров Гильберта. Первый - схематическое изображение, подчеркнет частотные изменения каждого IMF и используется, если желательно больше количественных результатов. Вторая
форма, обычно используемая для первого просмотра - выровненный Гильбертов спектр. Если мы
применяем взвешенный пространственный фильтр с достаточно большим пространственным усреднением, то получаем выровненный спектр, подобный анализу небольшой волны. Даже если такое
сглаживание ухудшает и частотную, и временную разрешающую способность, оно может дать лучшую физическую интерпретацию. Следовательно, если больше желательны качественные результаты, выровненная индикация является предпочтительной. Обе формаы Гильбертова спектра показаны
в иллюстрации 3.8 для примера, обработанного в разделе процесса отсеивания.
(a) Схематическое изображение
a) Выровненная форма
Иллюстрация 3.9: спектр Гильберта-Huang
Разрешающая способность по времени Гильбертова спектра может быть столь же точной, как частота
дискретизации данных, в то время как частотная разрешающая способность произвольна. Самая низкая извлекаемая частота 1/T, где T представляет продолжительность отчета, и самая высокая частота
1/(nt), где n = 5 является минимальным числом точек, необходимых, чтобы определить частоту точно, а t – интервал дискретизации данных.
3.2 Реализация программы
Для численной реализации метода HHT в этой работе был принят Matlab 7.0. Как определено выше,
алгоритм EMD зависит от ряда параметров, которыми должен управлять пользователь. Подбор
сплайна, критерий останова и концевые эффекты могут воздействовать на полный успех процедуры
анализа и, следовательно, должны быть тщательно исследованны, чтобы избежать противоречий в
декомпозиции.
3.2.1 Критерий останова
Мы должны определить критерий для останова отсеивания, чтобы гарантировать, что компоненты
IMF сохранят физический смысл амплитуд и частотных модуляций. С одной стороны, слишком строгий критерий может создать завышенное разложение данных, давая нематериальные компоненты
JMF. С другой стороны, слабый критерий возможно не откроет фактические компоненты IMF дан-
13
ных. Huang [29] первый представил среднеквадратичное отклонение как критерий остановки. Среднеквадратичное отклонение SD вычисляется от двух последовательных результатов отсеивания как
Типовое значение этого критерия между 0.2 и 0.3. Однако, численное моделирование показывает, что
такой критерий требует большого количества отсеиваний и увеличивать машинное время вычислений каждого IMF. Quek [31] предложил другой критерий, как переменную меру, определенную как
Этот критерий оказывается более эффективным наряду с хорошим выбором критического значения.
Новый критерий рассмотрел Rilling, и др. [49], который принимает во внимание локально большие
отклонения, гарантируя глобально небольшие флуктуации в среднем значении. Этот критерий основан на двух порогах θ1 и θ2 и оценке
Отсеивание выполняется с помощью итераций до σ(t) < θ1 для 95 % полной продолжительности, и
до σ(t) < θ2 для остающихся 5 %. Эти три различных критерия были проверены, и самым эффективным по количеству итераций и машинного времени оказывается последний.
3.2.2 Выбор сплайна
Специальное внимание должно быть обращено на задачу получения истинных оболочек сигнала. Интерполяция по точкам extrema может быть выполнена различными путями и природа выбранной интерполяции имеет важную роль. Как показывает описание процесса отсеивания, выбор сплайна - основной шаг в генерации встроенных модовых функций, базис для спектрального анализа Гильберта..
Обычно используются кубические сплайны, но серьезные проблемы могут возникнуть около концов
сигнала, где у кубического сплайна могут быть большие колебания. Приблизительные оболочки,
полученные кубической сплайновой интерполяцией, не всегда охватывают все точки данных и некоторая утечка может произойти с разрушением сигнала, как замечено в иллюстрации 3.9. У кубического сплайна, принятого здесь, есть и перерегулирование, и задачи об отрицательном выбросе. Эта
задача может быть преодолена при осуществлении выборки дискретного сигнала x(t), обеспечивающей лучшую локализацию extrema. Другой способ избавиться от этих концевых искажений - использование сплайна более высокого порядка, которое является более трудоёмким. Новый метод, представленный Blakely [50], использует в своих интересах теорию безматричной двигающейся аппроксимации наименьших квадратов и создает приблизительные оболочки без потребности решения системы уравнений. Этот метод обеспечивает привлекательную альтернативу для кубического сплайна
и имеет быстрое вычислительное время.
Сплайн может загрязнить IMFs через тысячу отсеиваний. Действительно, когда мы рассматриваем
случай линейной суммы двух косинусоид с очень близкими частотами, EMD не может извлечь эти
две компоненты и мгновенные частоты компонентов становятся наложенными. Ключевая задача
здесь выбор сплайна. Если выбор лучшего сплайна не будет осуществлен, EMD не будет пригодна к
улучшению определения мгновенных частот на такой случай. Таким образом, выбор сплайна, кажется, имеет большое значение в ограничениях Гильбертова спектрального анализа.
14
Иллюстрация 3.10: Сплайн, приспосабливающий утечку
3.2.3 Концевые эффекты
На применение преобразования Гильберта на концевых интервалах сигналов конечной длины оказывает влияние явление Гиббса в области концевых разрывов сигналов (см. иллюстрацию 3.10). Другой тип концевых эффектов – влияние выбора сплайна. В конце у кубических сплайнов могут возникать колебательные процессы. Чтобы уменьшить оба типа концевых эффектов, Huang [29] предложил добавлять две волны начальных условий вначале и в конце сигнала. Другой эффективный метод
- выбирать сигнал так, чтобы концевые эффекты находились вне заданного окна.
Иллюстрация 3.11: иллюстрация концевых эффектов
3.3 Проверка правильности Программы и Сравнение
Для показа эффективности эмпирической модовой декомпозиции и спектра Гильберта в предыдущей
главе был дан обзор и сравнение с другими частотно-времеными методами.
3.3.1 Разложенный сигнал
Позвольте нам сначала проверять правильность реализации преобразования Гильберта-Huang на соответствующем примере. Мы рассмотрим случай простой синусоиды с одной частотой с внезапным
переключением к другой частоте и импульсом Дирака, происходящим в определенное время. Этот
сигнал s(t) определен Уравнением (3.21)
15
Иллюстрация 3.12: сигнал примера s(t)
Этот сигнал был выбран, чтобы продемонстрировать способность EMD к отделению различных частотных составляющих и идентифицикации нерегулярности в сигнале. Представление временного
интервала этого сигнала наряду с его спектром Фурье дано в иллюстрации 3.12. Как ожидается, эти
две частоты, представленные в сигнале, обнаружатся в спектре Фурье в отличие от выбросов, которые остается необнаруживаемыми для FT.
3.3.2 Анализ EMD
Эмпирическая модовая декомпозиция применена к сигналу. Первая часть состава EMD распаковки
встроенных мод показана в иллюстрации 3.12.
В этой декомпозиции мы можем обратить внимание, что первая IMF главным образом составлен из
двух гармоник: f1 = 1000 Гц и f2 = 500 Гц сигнала. Вторая и третья IMF специализирована на описанию выброса. Можно видеть, что на этих IMFs подчеркнута только нерегулярность. Через этот пример показана эффективность EMD, поскольку доказывает свою способность извлечь внедренную и
скрытую особенность в сигнале. IMF#4, #5 и #6 в анализе этого сигнала, кажется, бессмысленны.
При каждой итерации отсеивания EMD выбирает самую высокую частоту колебания сигнала. Каждый IMF симметричен к его локальному среднему значению, что всегда гарантируют получение позитивных частот. Остаток - монотонная функция, из которой больше не может быть извлечено IMF.
Цель процесса отсеивания - получить ряд функций, у которых есть хорошее Гильберт преобразование. Следовательно, вторая часть процесса Гильберта-Huang должна взять Гильберта преобразование
каждого IMF и вычислить их значимые мгновенные частоты. Это теперь возможно, чтобы представить амплитуду и мгновенную частоту как функции частоты-времени в трехмерном графике спектра
Гильберта-Huang (см. иллюстрацию 3.14).
Эмпирическая модовая декомпозиция со спектром Гильберта-Huang дает представление о высокой
частотно-временной разрешающей способности. Двумерный график снабжает мелкие детали о природа этих двух синусоид, так же как и о импульсе. Эти две частоты могут быть точно определенны,
так же как их продолжительность во времени. Разрешающие способности и по частоте, и по времени
превосходны.
16
Иллюстрация 3.13: декомпозиция режима Empirical s(t)
Кроме того, есть немного утечки в частоте в точке включения. Импульс появляется как разрыв в полосе частот. Это может быть сравнено с разрывом для математической функции. Разрыв хорошо локализован во времени и распространен по всему частотному диапазону, поскольку импульс во временном интервале теоретически содержит все частоты. Все эти детали могут быть замечены в 3мерном графике в иллюстрации 3.14.
Иллюстрация 3.14: спектр Гильберта-Huang s(t)
3.3.3 Сравнение с другими частотно-временными методами
После анализа сигнала s(t) с преобразованием Гильберта-Huang, поучительно обработать тот же самый сигнал другими частотно-временными методами. Сравнение с этими методами откроют силу и
слабость других частотно-временных методов. Спектрограмма s(t) (STFT) и scalogram вейвлет-
17
преобразования показаны на графиках в иллюстрации 3.15. Случайный размер окна был выбран для
кратковременного Фурье-спектрометра, и равен одной четвертой от длины сигнала. Большое окно
времени подразумевает хорошую частотную разрешающую способность и неполную разрешающую
способность по времени. Действительно, мы можем обратить внимание, что эти две частотные составляющие накладываются во времени вокруг точки выключателя.
Иллюстрация 3.15: Спектрограмма и scalogram s (t)
Следовательно, мы могли полагать, что обе частоты присутствуют в сигнале во время короткого замыкания период времени, который не истинен. Кроме того, импульс не появляется в спектрограмме.
Преобразование Gabor с этим размером окна не может извлечь присутствие импульса в сигнале.
Главная задача STFT следовательно подчеркнута. Нет никакой гарантии, что принятый размер окна
совпадает со стационарными масштабами времени. Явление импульса локализовано во времени, поэтому должно быть применено узкое окно. Однако, этот выбор подразумевает неполную частотную
разрешающая способность, как показано в иллюстрации 3.16.
Иллюстрация 3.16: Подобие между STFT и PWVD
Импульс теперь виден но спектрограмма дает смазанную среднюю частоту, в которой находится основная энергия волн. STFT оказывается очень ограничена по сравнению с Гильбертом-Huang преобразованием для анализа нестационарных данных. Кроме того, на графике в иллюстрации 3.16 показано псевдо распределение Wigner-Ville. Чтобы избавиться от перекрестных членов и интерференций, время - частотное представление было изменено, сглажено во времени и по частоте. Результат тогда, в основном, - результат анализа STFT. Распределение Wigner-Ville поэтому имеет все ограничения кратковременного Фурье-спектрометра. Вейвлет-анализ - пока лучший доступный анализ не-
18
установившийся данных и может быть конкурентом Гильберта-Huang для нелинейных и неустановившихся сигналов. Стандартная небольшая волна Morlet анализ идентифицирует локальную частоту
и после частотного выключателя так же как расположение частоты включает иллюстрацию 3.15. В то
же самое время, результат также показывает утечку энергии к соседним режимам. В ГильбертеHuang спектре, мы можем видеть намного более острые частотные определения и расположение во
времени частотного выключателя чем те, которым показывают в scalogram. Диапазон изменения незначащий по сравнению с утечкой в результате вейвлет-анализа. Это предлагает то, что преобразование Гильберта-Huang способно к обеспечению более четкой индикации относительно частоты в сигнале.
Другое интересное наблюдение состоит в том, что scalogram показывает смазанное расположение
время-частотного явления выключателя в более низком частотном диапазоне. Если мы смотрим
только в низкочастотном диапазоне, мы не можем сказать точное время импульса, тогда как это хорошо локализовано в высокочастотном диапазоне. Более широко, чтобы искать определение низкочастотного явления, мы должны смотреть на высокочастотный диапазон в спектре вейвлета. Напротив, энергия импульса хорошо локализована во времени и по частоте в спектре Гильберта-Huamg.
Это поясняет единственное свойство Гильбертова спектра в устранении поддельной гармоники компоненты, чтобы представить неустановившиеся данные. Другое преимущество Гильберт - Huang
преобразование - способность видеть модуляцию внутри частоты длины волны, в то время как
вейвлет может только описать модуляцию меж частоты длины волны.. Huang демонстрирует это ясно
через некоторые примеры [29].
3.3.4 Заключение
Этот относительно простой пример использовался, чтобы попытаться подчеркнуть достоинства и
слабости вейвлет-преобразования, кратковременного Фурье-спектрометра и Гильберт-Huang преобразования. Сравнительная таблица суммирует преимущества и недостатки этих различных частотных
временем методов.
19
Таблица 3.1: Мощность и слабости STFT, преобразования небольшой волны и HHT
STFT, кажется, ограничен по сравнению с вейвлетом и HHT в анализе из нелинейных и неустановившихся сигналов. Вейвлет-преобразование было лучшим доступным анализом неустановившихся
данных перед введением Гильберта-Huang преобразования. Однако, анализ сигнала s(t) доказал, что
HHT имеет лучшее временные и частотные разрешающие способности чем вейвлет- преобразовывание, и позволяет лучшую физическую интерпретацию информационного наполнения сигнала. Преобразование Гильберта-Huang оказывается новым революционным методом анализа нелинейных и
неустановившихся данных сигнала.
3.5 Резюме
Комбинация эмпирической модовой декомпозиции и спектрального анализа Гильберта доказала свое
постоянство и устойчивость в анализе нелинейных и неустановившихся данных. Центральный к существующему подходу процесс отсеивания для выявления встроенных мод дает возможность сложные данные привести в такую структуру, что мгновенные частоты становятся значимы. Расширение в
терминах IMF - базиса есть форма обобщенного анализатора гармоник с переменными амплитудами
и частототами. Приложение Гильберт-преобразования на извлеченном IMFs позволяет создавать
время-частотные представления спектра Гильберта-Huang. Однако некоторые задачи, связанные с его
реализацией все еще существуют и нуждаются во внимании. Выбор сплайна имеет перерегулирование и задачи об отрицательном выбросе, критерии в процессе отсеивания должны быть выбранны
рассудительно и концевые эффекты нуждаются в большем количестве уточнений. EMD, комбинированное с Гильбертовым спектральным анализом, дает сильный метод для анализа нелинейных и неустановившихся данных. Это - первый локальный и адаптивный метод в гармоническом анализу
времени.
Примечание: Если Вы использовали этот материал для каких-либо своих нужд и выполнили редактирование перевода, то прошу Вас выслать редактированный текст по E-mail davpro@yandex.ru. С
удовольствием заменю на своем сайте нередактированный перевод Вашим с указанием Вашей фамилии и (если разрешите) электронного адреса.
А.В.Давыдов.