№1. Решение. а полной поверхности пирамиды.

№1. В правильную треугольную пирамиду вписан шар. Расстояние от центра шара до
вершины пирамиды равно а. Двугранный угол при ребре основания равен α. Найти площадь
полной поверхности пирамиды.
Решение.
S
Обозначим радиус OO1 вписанной сферы
через R. Радиус OC
вписанной в основание
окружности через r.
O1
B
SCD – линейный угол двугранного угла при
ребре AB обозначим через α.
D
O
C
Центр вписанной сферы лежит на
A
пересечении биссекторных плоскостей всех
двугранных углов, тогда СО1 - биссектриса  SCD. В ∆OSC:
Из уравнения связи (1): R  rtg
cos  

2
r
 SC=a
rtg

OO1
a
aOC
.

 SC 
OC SC
OO1
 SC=arctg

.
2
2
OC

 OC=SCcos   OC  actg cos  .
SC
2
O – центр вписанной в основание пирамиды окружности, т.е. точка О - точка
пересечения биссектрис ∆ABD. Поскольку ∆ABD – равносторонний, то биссектрисы
являются медианами. Медианы точкой пересечения делятся в отношении 2:1 от вершины.
Следовательно, OA=2OC  AC  4OC 2  OC 2  OC 3  r 3. AC=a 3ctg

2
cos  .
1
Sполной пов. пир. = SC  P осн. +Sосн. (Pосн. – периметр основания; Sосн - площадь основания).
2
Pосн =6 AC  6 3ctg

2
cos   a
1

Sосн = 3OC 2 3OC  3 3OC 2  3 3a 2 ctg 2 cos 2  .
2
2
S
1




a  ctg  6 3a  ctg cos   3 3a 2 ctg 2 cos 2   3 3a 2 ctg 2 cos  (1  cos  ) 
2
2
2
2
2
 3 3a 2 ctg 2

2
cos   2 cos 2
Ответ: 6 3a 2 ctg 2

2
cos 2

2

2
 6 3a 2 ctg 2
cos  .

2
cos 2

2
cos  .