Конспект урока с практическими заданиями

Зарождение научных знаний по математике в Древнем Египте.
Сегодня у нас необычный урок. Мы постараемся проследить взаимосвязь таких
разных, на первый взгляд, предметов как математика и история.
Цель нашего урока- проследить, как из практических занятий египтян:
земледельцев, ремесленников, строителей
возникают научные знания по
математике и познакомиться с математическими открытиями египтян.
Давайте вспомним, какие памятники Древнего Египта сохранились до наших дней?
-пирамиды
-храмы
-дворцы
Кроме замечательных построек до нас дошли многие записи, и даже рукописи.
-На чём писали египтяне?
-Что такое папирус?
-Как его изготовляли?
-Чем на нём писали?
-В чём трудность египетского письма?
Долгое время, после того как были найдены древне египетские папирусы, учёные
не могли их расшифровать. Однако нашёлся гениальный языковед, который
разгадал эту неразрешённую проблему Его имя-Жан Франсуа Шампольон.
Некоторые из египетских рукописей посвящены математике. Самая древняя из
них - Папирус Ахмеса, написана 4тысячи лет тому назад.
В папирусе Ахмеса даются решения 84 задач на различные вычисления, которые
могут понадобится на практике. Некоторые из этих задач показались бы
сложными ученику старшекласснику нашей школы. Представляете, как трудно
было их решать 4 тыс.лет назад?
Ведь у древних египтян не было ни удобного способа записи чисел, ни таблицы
умножения,
ни наших правил арифметических действий.
Большая часть задач папируса Ахмеса относится к арифметике: задачи на
арифметические
действия,
пропорциональное
деление
и
т.д.Причём
сгруппированы они не по математическому содержанию, а по тому, о чём в них
идёт речь. Но некоторые задачи имеют отвлечённый характер. Например, такая
задача :
В доме 7 кошек,
Каждая кошка съедает 7 мышей,
каждая мышь съедает 7 колосьев,
каждый колос даёт 7 растений,
на каждом растении вырастает 7 мер зерна.
Сколько всех вместе?
Интересно, что в задаче надо ответить на вопрос: сколько всех вместе? Автора
задачи не интересует, о каких вещах или предметах идёт речь, однородны они
или разнородны, важно только их общее количество. Значит, очень давно
египтяне уже представляли себе не число колосьев, или кошек, или мышей, а
именно само по себе число. Но ведь это совсем не просто!!!(На партах перед
каждым листок с предложенной задачей, комментированное решение с
места,ответ:7*7*7*7*7=16807)
Хочется отметить, что эта задача является задачей путешественницей. В 13 веке
итальянский математик Леонардо Пизанский, по прозвищу Фибоначчи, привёл в
своей книге задачу, не отличающуюся от египетской, хотя со времён Ахмеса
прошло несколько тысячелетий.
Семь старух отправились в Рим.
У каждой старухи по семи ослов.
Каждый осёл несёт по семи мешков.
В каждом мешке по семи хлебов.
В каждом хлебе по семи ножей.
Каждый нож в семи ножнах.
Сколько всего предметов?
И на Руси решались похожие задачи! Например,19 век:
Шли семь старцев.
У каждого старца по семи костылей.
На каждом костыле по семи сучков.
На каждом сучке по семе кошелей.
В каждом кошеле по семи пирогов.
В каждом пироге по семи воробьёв.
Сколько всего?
Ведь это та же задача Ахмеса !!! Прожившая тысячелетия, она сохранилась почти
неизменной !
Египетские ученики переходили из класса в класс. И задачи, которые они должны
были научиться решать, становились сложнее. Но все они были связаны с тем,
чем занимались их родители и они сами.
-Для чего писцам нужны были знания по арифметике?
-сбор налогов
-казна.
-Для чего они нужны были простым земледельцам, ремесленникам ?
-рассчитать урожай
-торговля.
Для таких вычислений уже недостаточно было натуральных чисел, стали
использоваться дроби. Египтяне применяли
дроби вида
1
, где n-натуральное число. Такие дроби назывались аликвотными.
n
Единственная неаликвотная дробь, которую “признавали “древние египтяне была
дробь
2
.
3
Итак, задача N33 из папируса Ахмеса:
Некоторое количество, его
1
1
2
, его
,и его
,
3
2
7
сложенные вместе, дают 37.
Каково это количество?
(один ученик у доски, комментирует задачу и решает,
остальные - в тетрадях, ответ16
2
.)
97
В аликвотных дробях это число выглядит так:
16+
1
1
1
+
+
56 679 776
При решении подобных задач использовали специальный иероглиф со значением
“КУЧА”.
В задачах про” кучу”, решаемых единым методом, можно было усмотреть зачатки
алгебры, как науки об уравнениях.
Практическая деятельность египтян способствовала развитию ещё одного раздела
математики-ГЕОМЕТРИИ.
-Как вы думаете, в каких областях древним египтянам
могли пригодиться знания по геометрии?
-строительство
-распределение земельных наделов
-Почему египтянам каждый год приходилось размечать
границы крестьянских наделов ?
-Когда проходили разливы Нила?
-Почему разливы Нила не только не огорчали египтян,но,наоборот,
они им радовались?
Расположенные вблизи Нила земли очень высоко ценились. Так как население
Египта было уже достаточно большим, то вся эта земля была поделена между
крестьянами. Но вот в чём была незадача: поля отделялись друг от друга межами,
а разлив Нила смывал каждую весну эти межи и приходилось проводить их снова.
Поэтому
были
особые
чиновники
,которые
занимались
межеванием
земель(землемеры).Посещавшие Египет греки называли их
ГАРПЕДОНАПТАМИ,т.е. натягивателями верёвок. Понятно, что для проведения
прямой линии надо было туго натянуть верёвку. Но ведь ещё нужно было знать в
каком направлении и между какими точками следовало натягивать верёвки. А для
этого был нужен план полей!!!
Так из практической задачи о межевании полей возникла наука о землемерии.
По-гречески, “геос”- земля, ”метрио”- измеряю.
А поэтому и наука об измерении полей получила название ГЕОМЕТРИЯ.
Как же измеряли землю древние египтяне? Конечно же, при помощи того, что
всегда было под рукой- верёвок , палок.
Если участок прямоугольный или квадратный, то найти его площадь-дело
несложное, нужно перемножить длину и ширину участка. Но участки могут иметь
разную форму. Не всякий участок можно разбить на прямоугольники. А вот на
треугольники- да, если только он ограничен прямыми линиями.
-Как найти площадь прямоугольного треугольника?
-достроить до прямоугольника, найти площадь построенного
прямоугольника и разделить на два.
-А если треугольник не прямоугольный?
-разбить его на прямоугольные треугольники.
Но как же построить могли древние египтяне прямой угол? Ведь без этого нельзя
было разбить землю на треугольники, квадраты. И, следовательно, невозможно
было подсчитать площадь участка. Как известно из древних рукописей, тогда был
известен только один прямоугольный треугольник, у которого стороны были
разделены соответственно на части
3:4:5(такой треугольник мы сегодня называем ЕГИПЕТСКИЙ) .
Следовательно, чтобы получить прямоугольный треугольник, нужно было верёвку
разделить узелками на 12 частей. Самая длинная сторона-ГИПОТЕНУЗА(
натянутая)две другие стороны-КАТЕТЫ( вертикальный шест).Давайте испытаем
себя в роли гарпедонаптов.
Практическая работа на местах: Вычисление площади участка,
ограниченного прямыми линиями.
Но не только в земледелии требовались знания по геометрии.
-Как вы думаете, людям каких профессий в то время
нужны были геометрические знания?
-строители
-Какие самые известные египетские постройки?
-пирамиды
-Что такое пирамиды для египтян?
-Самые известные?
Чтобы узнать, сколько каменных блоков пойдёт на сооружение пирамиды,
египтянам надо было научиться вычислять её объём. Они уже умели вычислять
объёмы прямоугольных брусов. Для этого надо было площадь основания
умножить на высоту бруса, т.е.V=SОСН*h.
Это знакомая нам формула для объёма прямоугольного параллелепипеда.
Следовательно, нахождение объёма колонн любой формы с треугольным,
шестиугольным и другим основанием сводили к нахождению объёма
прямоугольного параллелепипеда.
Самое же удивительное в том, что древние египтяне умели вычислять объём
пирамиды.
Удивительно это потому, что точный вывод формул требует знаний, которым
египтяне не обладали. Но для некоторых пирамид Можно догадаться, как они это
делали.
-По какой формуле можно вычислить объём куба?
-V=a3
-Соедините точки пересечения диагоналей противоположных граней.
Все эти отрезки пересеклись в одной точке.
Эта точка-вершина полученных внутри куба пирамид.
Сколько же их? Как вы думаете, равны ли они?
-6.Да, равны.
-Найдём объём одной такой пирамиды.
VПИР=a3:6.
Итак, мы сегодня проследили, как у древних египтян зарождались основы
арифметики, алгебры, геометрии. Как вы думаете, легко ли было
древнеегипетским детям
учиться?