Числовая информация. Системы счисления

www.metod-kopilka.ru
Провела: учитель информатики Мустафаева Гюльжана М
Числовая информация. Системы счисления.
Цель: раскрыть понятие системы счисления, познакомить со способами представления чисел в
позиционных системах счисления.
Ход урока.
1. Оргмомент. Постановка цели.
2. Повторение.
Вспомним как подсчитать количество информации, содержащееся в одном событии или тексте.
№1. В корзине лежат 16 шаров. Все шары разного цвета. Сколько информации несет сообщение о
том, что из корзины достали белый шар?
а) 16 бит;
б) 8 бит;
в) 4 байта;
г) 4 бита;
д) 2 байта.
№2. При угадывании целого числа в диапазоне от 1 до К было получено 7 бит информации. Чему
равно К?
а) 7;
б) 128; в) 16;
г) 49;
д) 392.
№3. Сколько бит информации содержится в сообщении объемом четверть килобайта?
а) 2032;
б) 2048;
в) 250;
г) 2000;
д) 256.
№4. В течение 5 минут со скоростью 20 байт/с вождь племени Мульти передавал информационное
сообщение. Сколько символов оно содержало, если алфавит племени состоит из 32 символов?
а) 9600;
б) 3200;
в) 1200;
г) 1500;
д) 150.
ПРАВИЛЬНЫЕ ОТВЕТЫ: 1-г, 2-б, 3-б, 4-а.
3. Актуализация знаний.
1)Что такое кодирование информации?
2)Что называется алфавитом, мощностью алфавита?
3)Предложите способы записи даты сегодняшнего дня с помощью цифр.
4)Что вы знаете про римские и арабские числа? (Выступления учащихся)
5) Счет появился тогда, когда человеку потребовалось информировать своих сородичей о
количестве обнаруженных им предметов. В разных местах придумывались разные способы передачи
численной информации: от зарубок по числу предметов до хитроумных знаков - цифр. Во многих
местах люди стали использовать для счета пальцы. Одна из таких систем счета и стала
общеупотребительной - десятичная. До сих пор существуют в Полинезии племена с 20-чной
системой счисления (с учетом пальцев на ногах).
Сегодня мы настолько сроднились с 10-чной системой счисления, что не представляем себе иных
способов счета, пока не вспомним о времени. Нас не смущает, что в минуте 60 секунд, а не 10 или
100. И в часе 60 минут, но более удивительно, что в сутках 24 часа, а в году 365 дней. Таким образом,
время (часы и минуты) мы считаем в 60-чной системе, сутки - в 24-чной, недели в 7-чной, месяцы
совсем хитро - каждый по-своему, года в 12-чной, если в месяцах, или в 365-чной, если в днях.
Другими словами, все дело в привычке. Сейчас мы постараемся понять принцип счета.
4. Введение новых знаний и первичное их усвоение.
Система счисления (с.с.) – это определенный способ записи чисел и соответствующие ему
правила действий над числами. С.с бывают непозиционными и позиционными. Зарубки, черточки –
это единичные непозиционные системы счисления. Примером непозиционной с.с. может служить
римская с.с..I=1, V=5, X=10, L=50, C=100, D=500, M=1000. В римской записи числа важно не
собственное положение цифры, а где она стоит относительно другой цифры: сравни записи XII и IX.
Здесь в обоих случаях цифра "I" стоит на 2-ом месте справа, но в одном случае ее нужно прибавлять
к 10, а в другом вычитать! При записи меньшего числа слева от большего оно вычитается, справа –
прибавляется. Пример: XXI=21, XIX=19.
В позиционных системах счисления: основание – количество символов в ее алфавите; разряд –
позиция цифры в числе.
Орфография и форматирование автора
www.metod-kopilka.ru
В позиционных системах каждая цифра независима от другой, а ее вклад в число определяется
разрядом. Например, в числе 53 цифра "5" в разряде десятков дает числу вклад в 50 единиц (5*10).
Десятичная система счисления.
Числа, которыми мы привыкли пользоваться, называются десятичными и арифметика, которой
мы пользуемся, также называется десятичной. Это потому, что каждое число можно составить из
набора цифр содержащего 10 символов - цифр - "0123456789".
Так шло развитие математики, что именно этот набор стал главным, но десятичная арифметика не
единственная. Если мы возьмём только пять цифр, то на их основе можно построить пятеричную
арифметику, из семи цифр - семеричную. В областях знаний связанных с компьютерной техникой
часто используют арифметику, в которой числа составляются из шестнадцати цифр, соответственно
эта арифметика называется шестнадцатеричной.
Возьмём, к примеру, число 246. Эта запись означает, что в числе две сотни, четыре десятка и
шесть единиц. Следовательно, можно записать следующее равенство:
246 = 200 + 40 + 6 = 2 * 102 + 4 * 101 + 6 * 100
свернутая
развернутая форма
форма
В этой записи очень хорошо видна роль десятки. Десятка является основой образования числа.
Двоичная система счисления.
Наиболее простая арифметика получается, если 10 заменить на 2. Полученная система счисления
называется двоичной. В ней любое число образуется только из двух цифр 0 и 1. Понятно, что проще
уже некуда. Примеры двоичных чисел: 10, 111, 101.
10=1*21+0*20
Восьмеричная система счисления: основание=8, знаки- 0-7
4568=4*82+5*81+6*80
Шестнадцатеричная система счисления: основание = 16, знаки: цифры (0-9), латинские
буквы(ABCDEF)
Перевод двоичного числа в десятичное.
Возьмём, к примеру, следующее двоичное число 1011. Разложим его по степеням двойки.
Получим следующее:
1011 = 1 * 23 + 0 * 22 + 1 * 21 + 1 * 20
Выполним все записанные действия и получим:
1 * 23 + 0 * 22 + 1 * 21 + 1 * 20 = 8 + 0+ 2 + 1 = 11. Таким образом, получаем, что 1011(двоичное) =
11 (десятичное). Сразу видно и небольшое неудобство двоичной системы. То же самое число,
которое, в десятичной системе записано одним знаком в двоичной системе, для своей записи требует
четыре знака.
Аналогичным образом можно перевести в десятичную с.с. из любой с.с..
Пример: А8Е16=А*162+8*161+Е*160=10*256+8*16+14*1=2560+128+14=270210
5. Обобщение знаний и оперирование ими.
1)Какие с.с. бывают? (Позиционные и непозиционные)
2)Решение задач.
2.1 Представьте в виде десятичного числа следующие числа.
а) 100102=18 б) 4528 =298 с) 30А16=778
3)Поиграем в пришельцев
Представим себе, что к нам прилетели пришельцы с разных планет, у одних из которых по 6 пальцев на руке, а у
других по 7. Логично предположить, что у одних 6-чная или 12-чная система счисления в обиходе, а у других 7-чная или
14-чная. Как нам с ними объясняться? Таблицу соответствия цифр они, допустим, выучили легко, но для привычного
восприятия чисел им придется их каждый раз переводить, например, в 6-чную и в 7-чную системы. Из вежливости
попробуем сделать это за них.
Осн=10 0 2
3
4
6
7
8
9
0
13 14 16
19 20
21
Осн=16 0 2
3
4
6
7
8
9
А
D
E
10
14 15
1A
Осн=8
0 2
3
4
6
7
10 11
20
23 24
25
Осн=7
0 2
3
4
6
10
11
20
Орфография и форматирование автора
www.metod-kopilka.ru
Осн=2
0
10
11
100
110
111
4) Зачем изучать системы счисления?
Как минимум, потому что интересно понимать, что и как устроено. Если бы человек не был
любопытным (или любознательным?), мы бы до сих пор жили в пещерах и боялись злых духов. Мы,
правда, и сейчас их иногда опасаемся, но не все и не так серьезно.
Кроме того, компьютеры считают для нас (на то он и компьютер - считатель по-английски), а мы
хотим понимать, что они нам насчитали. И это, если честно, главная причина моих рассуждений.
6. Домашнее задание.
П. 4.1.1. – читать, вопросы к §, № 4.1-4.5 письменно
№1 Перевести в десятичную с.с.: 100112,3148, А816
№2 Записать римскими цифрами числа: 99, 150, 24, 1489.
Дополнительный материал
ОБОЗНАЧЕНИЯ ЧИСЕЛ в Древнем Египте. Расшифровка системы счисления, созданной в
Египте во времена первой династии (ок. 2850 до н.э.), была существенно облегчена тем, что
иероглифические надписи древних египтян были аккуратно вырезаны на каменных монументах. Из
этих надписей нам известно, что древние египтяне использовали только десятичную систему
счисления. Единицу обозначали одной вертикальной чертой, а для обозначения чисел, меньших 10,
нужно было поставить соответствующее число вертикальных штрихов. (См. сводную таблицу
обозначений чисел.) Чтобы записанные таким образом числа было легко узнавать, вертикальные
штрихи иногда объединялись в группы из трех или четырех черт. Для обозначения числа 10,
основания системы, египтяне вместо десяти вертикальных черт ввели новый коллективный символ,
напоминающий по своим очертаниям подкову или крокетную дужку. Множество из десяти
подковообразных символов, т.е. число 100, они заменили другим новым символом, напоминающим
силки; десять силков, т.е. число 1000, египтяне обозначили стилизованным изображением лотоса.
Продолжая в том же духе, египтяне обозначили десять лотосов согнутым пальцем, десять согнутых
пальцев – волнистой линией и десять волнистых линий – фигуркой удивленного человека. В итоге
древние египтяне могли представлять числа до миллиона. Так, например, с помощью коллективных
символов и повторений уже введенных символов число 6789 в иероглифических обозначениях
можно было бы записать как
Самые древние из дошедших до нас математических записей высечены на камне, но наиболее
важные свидетельства древнеегипетской математической деятельности запечатлены на гораздо более
хрупком и недолговечном материале – папирусе. Два таких документа – папирус Ринда, или
египетского писца Ахмеса (ок. 1650 до н.э.) и московский папирус, или папирус Голенищева (ок.
1850 до н.э.) – служат для нас основными источниками сведений о древнеегипетских арифметике и
геометрии. В этих папирусах более древнее иероглифическое письмо уступило место скорописному
иератическому письму, и это изменение сопровождалось использованием нового принципа
обозначения чисел. Группа одинаковых символов заменялись более простой по начертанию пометой
или знаком, например, девять записывалось как вместо
, а семьсот как вместо
. В этой
записи число 6789 имело вид
, причем знаки более высокого порядка располагались справа,
а не слева. Иероглифическая запись чисел использовалась преимущественно в официальных
документах и текстах. Еще позднее иератическая система обозначения чисел уступила место
демотическим системам записи.
Введение египтянами цифровых обозначений ознаменовало один из важных этапов в развитии
систем счисления, так как дало возможность существенно сократить записи. Однако их операции с
дробями продолжали оставаться на примитивном уровне, так как они знали лишь аликвотные дроби
(т.е. дроби с числителем 1) и каждую дробь записывали в виде суммы аликвотных дробей, например,
дробь 2/43 они записали бы так: 1/42 + 1/86 + 1/129 + 1/301. В этих системах счисления над
Орфография и форматирование автора
www.metod-kopilka.ru
символом, обозначающим знаменатель, ставился специальный знак. В искусстве оперирования
дробями египтяне значительно уступали жителям Месопотамии.
Орфография и форматирование автора