сопоставление результатов расчетов насосной станции как

УДК 626.83
СОПОСТАВЛЕНИЕ РЕЗУЛЬТАТОВ РАСЧЕТОВ НАСОСНОЙ СТАНЦИИ КАК
СИСТЕМЫ МАССОВОГО ОБСЛУЖИВАНИЯ И МЕТОДОМ
ИМИТАЦИОННОГО МОДЕЛИРОВАНИЯ
Ю.Г. Буркова
ФГОУ ВПО МГУП, г. Москва, Россия
В методах моделирования воспроизводятся лишь наиболее важные и существенные
для требуемого исследования черты и свойства реального объекта и отбрасываются связи,
мало влияющие на интересующий процесс.
Но иногда получается так, что многие свойства, которые остаются неучтенными при
моделировании, пусть даже из-за того, что они неизвестны, могут в корне изменить
картину явления, а сама модель может быть далека от оригинала. Поэтому одна из
наиболее важных проблем - проблема адекватности модели оригиналу. Абсолютная
адекватность - повторение явления во всех подробностях. Так как процессы
функционирования реальных систем необычайно сложны и многообразны, то построить
абсолютно адекватную модель явления невозможно, возникает опасность «утонуть в
подробностях». С другой стороны, появляется и противоположная опасность - слишком
упростить явление.
Часто оказывается, что модель, хорошо решающая один класс задач, оказывается
непригодной для решения другого класса задач. Отсюда следует вывод, что для разных
целей нужны различные модели одного и того же явления, а для его всестороннего
изучения, не ограничиваясь одной моделью, необходимо создавать их комплекс. Этот же
признак лежит в основе конкретного метода оценки адекватности моделей: полезно
сравнивать результаты, полученные на разных моделях, устраивая «спор моделей».
Учитывая вышесказанное, были проведены исследования функционирования
крупных насосных станций перекачки Поволжья как проектируемых, так и действующих
с использованием двух различных моделей системы: системы массового обслуживания
(СМО) и имитационной.
Рассмотрим одну из насосных станций перекачки Комсомольской оросительной
системы (№7). В качестве примера принят следующий вариант НС: на станции
установлено 8 насосов марки 120ВЦ 6.3/100, работающих каждый на свою нитку
напорного трубопровода длиной L = 2374 м и диаметром dнт = 2.2 м. Расчет
производился для периода графика подач с Q50% =50 м3/с, расчетное время 8784 ч.
Отказом системы НС считаем неподачу или недоподачу ею требуемого количества воды.
Рассмотрим данную НС как СМО. Заданные параметры: расчетная подача насоса
Qн=8,3 м3/с, мощность - Nн =7673 КВт, параметр потока отказов насосного агрегата на=
0,000033 ч-1; интенсивность восстановления насосного агрегата на = 0,002 ч-1;
коэффициент дисперсии k = 0,05 (значением k задается среднее квадратичное отклонение
случайной составляющей требуемой подачи НС для расчетного периода). В результате
расчетов получены следующие данные: No =8; Nпост= 5;  =2,353;  = 3,906 . Здесь No
- общее число насосов на станции, Nnост - число насосов, работающих постоянно,  объем заявки, - безразмерная подача насоса. Граф состояний системы [1] для данного
примера показан на рисунке.
Система дифференциальных уравнений Колмогорова, соответствующая графу [2]:
dP15 (t)/dt
 P12(t)на
. . .
dP9(t)/dt = на P8 (t)- на P9(t)
dP8(t)/dt=2
на
P7
+  )P15 (t)
на
P9(t)
-
на
на)
P8(t)
(1)
. . .
dP3 (t)/dt = 5 на P2(t)+  P13(t)+ на P4(t)-( на
. . .
P15 (t) + P14(t)+...+ P2(t)+P1 (t)=1 .
на )P3 (t)
Граф состояний НС при N0= 8, Nпост= 5
Отказными являются состояния Sj : S 4 ...S 9 и S 13 ... S 15 . Вероятность отказа НС
9
Pот =  Pj +
j4
15

Pj ,
(2)
j13
где j - номер состояния (см. рисунок), отмеченный в верхнем левом углу.
Начальными условиями для решения системы дифференциальных уравнений (1)
являются: P1=1; P2 ,...,P15 = 0. Вероятности состояний к концу переходного периода
показаны в таблице.
Вероятности состояний НС к концу переходного периода
Номер
Число
Число
Вероятность
состояния
работающих
ремонтируемых
состояния
насосов
насосов
1
5
0
0,458
2
5
1
0,033
3
5
2
1  10 -5
4
5
3
4  10 -9
5
5
4
6  10 -13
6
5
5
6  10 -18
7
5
6
3  10 -22
8
5
7
1  10 -25
9
5
8
1  10 -30
10
6
0
0,276
11
6
1
0,020
12
7
0
0,166
13
6
2
8  10 -6
14
7
1
1  10 -4
15
8
0
0,100
Анализ результатов расчета показал, что:
вероятность отказа насосной станции к концу переходного периода Pот= 0,1,
причем ее величина, как и вероятности состояний, не зависит от начальных условий;
из отказных состояний наиболее значимым является S15 (см табл.), то есть
состояние с отказом в результате занятости всех исправных каналов СМО (состояние с
максимальным числом заявок, когда требуется подача всех насосов, имеющихся на
станции), что подтверждает свойство эргодичности системы.
Согласно теории дифференциальных уравнений, при t  Tпер (Tпер – длительность
переходного периода, ч) эти величины являются постоянными для расчетного периода и с
учетом эргодичности могут быть найдены как решение системы линейных уравнений,
полученной заменой левой части всех уравнений системы (1) на 0. Так, при решении
такой системы для данного примера получено: P1 = 0,412; P2 = 4,6  10-2 и т.д.
Вероятность работы k насосов Pk вычисляется как сумма состояний НС по
соответствующей строке графа
No  k
Pk =

Pk j,
(3)
j0
где
Nnост и
Ncл - число насосов, работающих постоянно и случайное число
подключаемых к ним насосов в i-й период; No - общее число насосов на станции; Pk j вероятности состояний в i-й период.
Например, PNo = PNo0 - вероятность работы всех No насосов;
No
PNп =

PN п
j
- вероятность работы постоянных Nп насосов.
j0
Для определения затрачиваемого вероятного количества энергии необходимо знать
среднее число насосов i работающих в каждый i-й период графика требуемых подач

No
=
i
 ( Pk  k )
.
k  Nn
(4)
Стоимость энергии, потребляемой станцией за i-й период ее работы, вычисляем по
формуле (руб)
  Q’  Hcp
Зэi
=
Ti

a
 i
,
102  
(5)
где Qн и Нср - подача (м3/с) и средневзвешенный напор насоса, м; Ti - длина i–го
периода графика водопотребления, ч ;  - КПД насосной установки; a - стоимость 1
кВт.ч энергии, руб ;  i - среднее число работающих насосов в i–й период;  - удельная
плотность воды, кг/м3.
Стоимость энергии, потребляемой за год, руб
N
Cэн =
 Ci
,
(6)
i 1
где N - число периодов графика подач.
Зная вероятности состояний в каждый период, вычисляем вероятный обьем воды
3
(м ), недоподанной за год насосной станцией нед
нед
N
=

i 1
(7)
(

i

Qн
i

Рот
i).
Рассмотрим данный пример с применением метода имитационного моделирования.
Указанным выше характеристикам надежности насосных агрегатов соответствуют
величины: средняя наработка на отказ mx = 1263 сут, x = 120; среднее время ликвидации
аварии mx = 21 сут,  x = 4,1.
Коэффициенту дисперсии k = 0,05 соответствует среднее квадратическое
отклонение случайной величины требуемой подачи  x = 10% Q50% = 5.
Подача насоса - 8 м3/с, напор насоса - 72,4 м, КПД - 78%.
В результате имитации процесса функционирования насосной станции получены
следующие показатели, влияющие на выбор оптимального проектного варианта: средний
по реализациям объем недоподанной воды за расчетный срок нед = 140 тыс.м3; среднее
число работающих агрегатов для периода с расчетной подачей  = 6; среднее по
реализациям количество затраченной энергии за расчетный срок Зэ = 396 млн. кВт.
Соответствующие показатели, вычисленные для НС СМО по формулам (7) , (4) и
(5): нед = 154 тыс. м3,  = 5.58, Зэ = 423 млн. кВт.
Расчеты по методике, основанной на теории массового обслуживания, проводились
также для действующей насосной станции перекачки №1 Энгельсской оросительной
системы для двух характерных периодов: в середине и в начале вегетационного периода.
Выводы
1. Получено хорошее соответствие расчетных величин, вычисленных при помощи
разных математических моделей, в пределах инженерной точности.
2. На значение вероятности отказа сложной системы «насосная станция» в большей
степени влияет неравномерность фактических подач НС, чем отказы насосных агрегатов.
Библиографический список
1. Карамбиров С.Н., Буркова Ю.Г. Оценка надежности подачи воды крупной насосной
станцией. /Экологические проблемы водного хозяйства и мелиорации. М.: МГУП, 2000
С.165-166.
2. Вентцель Е.С. Исследование операций. М.: Советское радио, 1972. 552 с.
3. Буркова Ю.Г., Карамбиров С.Н., Манушин А.Т. Выбор насосно-силового оборудования
станций с учетом надежности работы элементов гидроузла. //Вопросы
совершенствования мелиоративных систем. М.: МГМИ, 1985. С.77-81.