Марковские системы массового обслуживания.

Занятие 6
Содержание занятия «Модели массового обслуживания»:
Модели потоков. ............................................................................................................ 1
модели потоков.............................................................................................................. 2
классификация потоков. ............................................................................................... 3
марковские системы массового обслуживания. .......................................................... 4
сети систем массового обслуживания. ........................................................................ 6
вопросы на понимание содержания занятия .............................................................. 8
практическое задание ................................................................................................... 9
Модели потоков.
Во многих областях экономики, финансов, производства и быта важную
роль играют системы специального вида, реализующие многократное выполнение
однотипных задач. Подобные системы называют системами массового обслуживания (СМО). СМО являются предметом изучения теории массового обслуживания. В качестве примеров СМО можно привести системы, представляющие
собой банки различных типов (коммерческие, инвестиционные, ипотечные, инновационные, сберегательные), страховые организации (государственные, акционерные общества, компании, фирмы, ассоциации, кооперативы), налоговые инспекции, аудиторские службы, различные системы связи (в том числе телефонные станции), погрузочно-разгрузочные комплексы (порты, товарные станции),
автозаправочные станции, различные предприятия и организации сферы обслуживания (магазины, справочные бюро, парикмахерские, билетные кассы, пункты
по обмену валюты, ремонтные мастерские, больницы). Такие системы как компьютерные сети, системы сбора, хранения и обработки информации, транспортные
системы, автоматизированные производственные участки, поточные линии, различные военные системы, в частности системы противовоздушной или противоракетной обороны также могут рассматриваться как своеобразные СМО.
Каждая СМО включает в свою структуру некоторое число обслуживающих
устройств, которые называют каналами (приборами, линиями) обслуживания.
Роль каналов могут играть различные приборы, лица, выполняющие те или иные
операции (кассиры, операторы, парикмахеры, продавцы), линии связи, автомашины, краны, ремонтные бригады, железнодорожные пути, бензоколонки и т.д. Системы массового обслуживания могут быть одноканальными или многоканальными.
Каждая СМО предназначена для обслуживания (выполнения) некоторого
потока заявок (требований), поступающих на вход системы большей частью не
регулярно, а в случайные моменты времени. Обслуживание заявок, в общем случае, также длится не постоянное, заранее известное время, а случайное время,
которое зависит от многих случайных, порой неизвестных нам, причин. После обслуживания заявки канал освобождается и готов к приему следующей заявки.
Случайный характер потока заявок и времени их обслуживания приводит к неравномерной загруженности СМО: в некоторые промежутки времени на входе СМО
могут скапливаться не обслуженные заявки, что приводит к перегрузке СМО, в
1
некоторые же другие интервалы времени при свободных каналах на входе СМО
заявок не будет, что приводит к недогрузке СМО, т.е. к простаиванию ее каналов.
Заявки, скапливающиеся на входе СМО, либо "становятся" в очередь (т.е. образуют список объектов подлежащих обработке), либо по какой-то причине невозможности дальнейшего пребывания в очереди покидают СМО не обслуженными.
Закон, определяющий порядок обслуживания входных заявок, называется дисциплиной очереди. Для примера рассмотрим автозаправочную станцию с одной
колонкой. Площадка при станции, на которой машины ожидают заправку, может
вместить не более трех машин одновременно, и если она занята, то очередная
машина, прибывшая к станции, в очередь не становится, а проезжает на соседнюю станцию. В среднем машины прибывают на станцию каждые две мин. Процесс заправки полной машины продолжается в среднем 2,5 мин. Моделью данной
АЗС является одноканальная СМО с ожиданием и ограничением на длину очереди (m=3). Каналом является колонка.
Схема СМО в общем виде изображена на рисунке.
Входящий
поток заявок
1
Поток обслуженных заявок
2
....
Вход
n
Выход
Поток необслуженных
(покинувших очередь) заявок
Таким образом, во всякой СМО можно выделить следующие основные элементы:
1) входящий поток заявок;
2) очередь;
3) каналы обслуживания;
4) выходящий поток обслуженных заявок.
Модели потоков.
Потоком событий (в данном случае заявок) называют последовательность событий, наступающих одно за другим в какие-то заранее неизвестные,
случайные моменты времени . Вид и параметры закона распределения входящего потока определяется характером физических процессов, протекающих в моделируемом объекте. Как показывает опыт, для составления системы моделей в
основном используются следующие распределения входящего потока: показательное, Эрланга к- ого порядка, Релея, нормальное, равномерное. Случайный
характер потока заявок и длительности их обслуживания порождает в СМО случайный процесс.
Случайным процессом (или случайной функцией) называется соответствие, при котором каждому значению аргумента (в данном случае - моменту из
промежутка времени проводимого опыта) ставится в соответствие случайная величина (в данном случае - состояние СМО). Случайной величиной называется
величина, которая в результате опыта может принять одно, но неизвестное заранее, какое именно, числовое значение из данного числового множества.
2
Поэтому для решения задач теории массового обслуживания необходимо
этот случайный процесс изучить, т.е. построить и проанализировать его математическую модель.
Классификация потоков.
Поток событий называется регулярным, если события в нем следуют одно за другим через строго определенные промежутки времени.
Поток называется ординарным, если за бесконечно малый промежуток
времени в систему может поступить не более одного требования.
Поток событий называется стационарным, если вероятность наступления
того или иного числа событий за какой-либо промежуток времени зависит только
от длины этого промежутка и не зависит от момента его начала.
Поток событий называется рекуррентным, если все функции распределения интервалов между заявками совпадают.
Поток называется потоком без последействия, если для двух непересекающихся интервалов времени вероятность появления числа событий на втором
интервале не зависит от числа появления событий на первом интервале.
Каждая СМО в зависимости от своих параметров: характера потока заявок,
числа каналов обслуживания и их производительности, а также от правил организации работы обладает определенной эффективностью функционирования
(пропускной способностью), позволяющей ей более или менее успешно справляться с потоком заявок.
Цель теории массового обслуживания - выработка рекомендаций по рациональному построению СМО, рациональной организации их работы и регулированию потока заявок для обеспечения высокой эффективности функционирования
СМО.
Для достижения этой цели ставятся задачи теории массового обслуживания, состоящие в установлении зависимостей эффективности функционирования
СМО от ее организации (параметров): характера потока заявок, числа каналов и
их производительности и правил работы СМО.
В качестве характеристик эффективности функционирования СМО можно
выбрать три основные группы (обычно средних) показателей:
1. Показатели эффективности использования СМО:
1.1. Абсолютная пропускная способность СМО - среднее число заявок,
которое сможет обслужить СМО в единицу времени.
1.2. Относительная пропускная способность СМО - отношение среднего
числа заявок, обслуживаемых СМО в единицу времени, к среднему числу поступивших заявок за это же время.
1.3. Средняя продолжительность периода занятости СМО.
1.4. Коэффициент использования СМО - средняя доля времени, в течение которого СМО занята обслуживанием заявок, и т.п.
2. Показатели качества обслуживания заявок:
2.1. Среднее время ожидания заявки в очереди.
2.2. Среднее время пребывания заявки в СМО.
2.3. Вероятность отказа заявке в обслуживании без ожидания.
2.4. Вероятность того, что поступившая заявка немедленно будет принята к обслуживанию.
2.5. Закон распределения времени ожидания заявки в очереди.
2.6. Закон распределения времени пребывания заявки в СМО.
2.7. Среднее число заявок, находящихся в очереди.
2.8. Среднее число заявок, находящихся в СМО, и т.п.
3
3. Показатели эффективности функционирования пары "СМО — потребитель", где под "потребителем" понимают всю совокупность заявок или некий их
источник (например, средний доход, приносимый СМО в единицу времени, который рассчитывается по формуле I=c1-c2 где  - среднее число заявок в очереди,  среднее число свободных обслуживающих приборов с1 - стоимость ожидания одной заявки в единицу времени, с2 - стоимость простоя одного прибора в
единицу времени ) и т.п.
Отметим, что третья группа показателей оказывается полезной в тех случаях, когда некоторый доход, получаемый от обслуживания заявок и затраты на обслуживание измеряются в одних и тех же единицах. Эти показатели обычно носят
вполне конкретный характер и определяются спецификой СМО, обслуживаемых
заявок и дисциплиной обслуживания.
Марковские системы массового обслуживания.
Математическое изучение функционирования СМО значительно упрощается, если протекающий в ней случайный процесс является Марковским. В этом
случае работа СМО сравнительно легко описывается с помощью аппарата конечных систем обыкновенных линейных дифференциальных уравнении первого порядка, а в предельном режиме (при достаточно длительном функционировании
СМО) — с помощью аппарата конечных систем линейных алгебраических уравнений, и в результате удается выразить в явном виде основные характеристики эффективности функционирования СМО через параметры СМО, потока заявок и
дисциплины работы СМО.
Случайный процесс, протекающий в СМО, называется Марковским (или
процессам без последействия, или процессом без памяти), если вероятность
любого состояния СМО в будущем зависит только от ее состояния в настоящем и
не зависит от ее состояний в прошлом. Этот процесс назван "Марковским" по
имени математика А.А. Маркова, впервые исследовавшего эти процессы.
Марков Андрей Андреевич (1856 - 1922) - известный русский математик, ординарный академик Петербургской академии наук, заслуженный профессор Петербургского университета. Основные исследования А.А. Маркова относятся к теории чисел, теории вероятностей и математическому анализу.
Чтобы случайный процесс был Марковским, необходимо и достаточно, чтобы все потоки событий, под воздействием которых происходят переходы системы
из состояния в состояние, были пуассоновскими. Поток событий, обладающий
свойствами отсутствия последействия (для любых двух непересекающихся промежутков времени, число событий, наступающих за один из них, не зависит от
числа событий, наступающий за другой) и ординарностью (вероятность наступления за элементарный - малый промежуток времени более одного события пренебрежимо мала по сравнению с вероятностью наступления за этот промежуток
времени одного события), называется пуассоновским.
Пуассон Симеон (1781 - 1840) - французский математик, механик и физик, профессор Политехнической школы в Париже (с 1806 г.), член института
Франции и Бюро долгот (с 1812 г.), член Совета французского университета (с
1816 г.), наблюдатель за преподаванием математики во всех коллежах Франция (с 1820 г.), почетный член Петербургской академии наук (с 1826 г.); получил
выдающиеся результаты в области теории рядов, теории неопределенных
интегралов, вариационного исчисления, теории вероятностей, математической физики, теоретической механики; предложил (названный его именем) один
из важнейших законов распределения случайных величин в теории вероятностей.
4
В СМО потоками событий являются потоки заявок, потоки "обслуживании"
заявок и т. д. Если СМО такова, что хотя бы один из ее потоков не является пуассоновским, то характеристики ее эффективности все же могут быть приближенно
оценены с помощью Марковской теории массового обслуживания. При этом, чем
сложнее СМО, чем больше в ней каналов обслуживания — тем точнее оказываются приближенные формулы, полученные при предположении выполнимости в
СМО Марковских условий. Полезность Марковских моделей мотивируется и тем,
что во многих случаях для обоснованных рекомендаций по практическому управлению СМО совсем не требуется знаний точных ее характеристик, а вполне достаточно иметь в своем распоряжении их приближенные значения.
В зависимости от характера потоков СМО можно разделить на Марковские
и немарковские.
Под марковской СМО будем понимать систему, в которой все потоки событий, переводящие ее из состояния в состояние, пуассоновские. Если хотя бы один
из потоков не является пуассоновским, то СМО будет называться немарковской.
Например, в системах со строго выполняющимся расписанием, с ленточным конвейером и им подобным поток входящих заявок является регулярным и,
следовательно, не является пуассоновским.
Напомним, в пуассоновском стационарном ПОТОКЕ П (называемом в этом
случае простейшим) случайная величина Т, представляющая собой промежуток
времени между любыми двумя соседними событиями, распределена по показательному закону
(t)=e-,
(1)
где  называется параметром этого закона распределения и представляет
собой интенсивность потока П ( Интенсивностью или средней плотностью потока
называется среднее число событий в единицу времени).
Если вывод системы S из какого-то ее состояния si происходит под воздействием нескольких простейших потоков, то непрерывная случайная величина T,
представляющая собой время пребывания системы (подряд) в данном состоянии
si, также распределена по показательному закону (1), в котором  - суммарная
интенсивность всех потоков, выводящих систему S из данного состояния si.
По числу каналов СМО подразделяют, как уже отмечалось ранее, на одноканальные (когда имеется один канал) и многоканальные, (когда количество каналов п 2). Здесь и далее будем полагать, что каждый канал одновременно может обслуживать только одну заявку и, если не оговорено специально, каждая
находящаяся под обслуживанием заявка обслуживается только одним каналом.
Многоканальные СМО могут состоять из однородных каналов, либо из разнородных, отличающихся длительностью обслуживания одной заявки. Практически
время обслуживания каналом одной заявки Тоб является непрерывной случайной
величиной. Однако при условии абсолютной однородности поступающих заявок и
каналов время обслуживания может быть и величиной постоянной ( То6=const).
По дисциплине обслуживания СМО подразделяют на три класса:
1. СМО с отказами (нулевым ожиданием или явными потерями), в которых
заявка, поступившая на вход СМО в момент, когда все каналы заняты, получает
"отказ" и покидает СМО ("пропадает"). Чтобы эта заявка все же была обслужена,
она должна снова поступить на вход СМО и рассматриваться при этом как заявка,
поступившая впервые. Примером СМО с отказами может служить работа АТС:
если набранный телефонный номер (заявка, поступившая на вход) занят, то заявка получает отказ, и, чтобы дозвониться по этому номеру, следует его набрать
5
еще раз (заявка поступает на вход как новая),
2. СМО с ожиданием (неограниченным ожиданием или очередью). В таких
системах заявка, поступившая в момент занятости всех каналов, становится в
очередь и ожидает освобождения канала, который примет ее к обслуживанию.
Каждая заявка, поступившая на вход, в конце концов будет обслужена. Такие
СМО часто встречаются в торговле, в сфере бытового и медицинского обслуживания, на предприятиях (например, обслуживание станков бригадой работников).
3. СМО смешанного типа (ограниченным ожиданием). Это такие системы,
в которых на пребывание заявки в очереди накладываются некоторые ограничения.
Эти ограничения могут накладываться на длину очереди, т.е. максимально
возможное число заявок, которые одновременно могут находиться в очереди.
В качестве примера такой системы можно привести мастерскую по ремонту
автомобилей, имеющую ограниченную по размерам стоянку для неисправных
машин, ожидающих ремонта.
Ограничения ожидания могут касаться времени пребывания заявки в очереди, по истечению которого она выходит из очереди и покидает систему, либо
касаться общего времени пребывания заявки в СМО (т.е. суммарного времени
пребывания заявки в очереди и под обслуживанием).
В СМО с ожиданием и в СМО смешанного типа применяются различные
схемы обслуживания заявок из очереди. Обслуживание может быть упорядоченным, когда заявки из очереди обслуживаются в порядке их поступления в систему,
и неупорядоченным, при котором заявки из очереди обслуживаются в случайном
порядке. Иногда применяется обслуживание с приоритетом, когда некоторые
заявки из очереди считаются приоритетными и поэтому обслуживаются в первую
очередь.
По ограничению потока заявок СМО делятся на замкнутые и открытые
(разомкнутые).
Если поток заявок ограничен и заявки, покинувшие систему, могут в нее
возвращаться, то СМО является замкнутой, в противном случае — открытой.
Классическим примером замкнутой СМО служит работа группы наладчиков в цеху. Станки являются источниками заявок на обслуживание, и их количество ограничено, наладчики — каналы обслуживания. После проведения ремонтных работ
вышедший из строя станок снова становится источником заявок на обслуживание.
По количеству этапов обслуживания СМО делятся на однофазные и многофазные системы. Если каналы СМО однородны, т.е. выполняют одну и ту же
операцию обслуживания, то такие СМО называются однофазными. Если каналы
обслуживания расположены последовательно и они неоднородны, так как выполняют различные операции обслуживания, то СМО называется многофазной.
Примером работы многофазной СМО может служить обслуживание автомобилей
на станции технического обслуживания (мойка, диагностирование и т.д.).
Сети систем массового обслуживания.
В научной и производственной практике встречаются случаи, когда изучаемая система представляет собой совокупность взаимосвязанных элементов,
функционирование каждого из которых можно представить с помощью моделей
СМО. Модель подобной системы называется сетью массового обслуживания.
Применение метода статистического моделирования для описания сетей
массового обслуживания было предложено Н. П. Бусленко.
Будем рассматривать коллективы людей и техники, организованные для
выполнения какой-либо задачи, будь то производство материальных, научных
(информационных) или иных ценностей. При этом процесс производства матери6
альных или информационных ценностей подвергается преобразованию или обработке в ряде производственных и информационных ячеек, каждую из которых
можно, интерпретировать при математическом моделировании посредством системы массового обслуживания. На вход каждой модели поступает входной вектор - совокупность параметров, определяющих состояние перерабатываемой информации в момент поступления, на выходе каждой модели формируется выходной вектор - совокупность параметров, определяющих состояние перерабатываемой информации в момент выхода из модели. В зависимости от структуры описываемой сложной системы информация после выхода из какой-либо ячейки
должна поступать в одну или несколько других ячеек.
Необходимо разработать методы формального описания структуры СМО и
процесса переработки или содержательного преобразования информации, происходящего в системе. Будем называть одну ячейку системы агрегатом (элементом). В общем случае за одним s-м агрегатом могут следовать (с точки зрения порядка преобразования информации) несколько агрегатов. Показанную на рисунке
связь агрегатов (связь типа “расхождение”) можно выразить символически:
frj(s,s+n1) = Ij(s,s+n1)
frj(s,s+n2) = Ij(s,s+n2)
frsj = { . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. .
frj(s,s+n*) = Ij(s,s+n*)
(2)
Ms+n1
Ms+n2
Ms
Ms+n
Ms+n*
Задачей модели каждого s-го агрегата системы является выработка выходного вектора, описывающего обработку продукта или преобразование информации.
Как видно из рисунка и выражения (2), выходной вектор агрегата расчленяется на несколько векторов, каждый из которых представляет последовательность обработки или преобразования информации в системе, а значит и ее структуру. Как правило, они являются специфичными именно для данной задачи, Функционирование каждого отдельного агрегата при решении данной задачи может
также отличаться (а в некоторых случаях и не отличаться) от его функционирования при решении других задач. Изменение функционирования отдельных агрегатов при решении различных задач отображается перестройкой алгоритмов преобразования информации; изменение функционирования систем в целом при решении различных задач отображается перестройкой связей агрегатов системы,
изменением последовательности обработки продукта или преобразованием информации в системе.
7
Наиболее целесообразным методом практического моделирования сетей
массового обслуживания является моделирование выделенных из сети строго
последовательных цепей. Рассмотрим строго последовательную цепь СМО в виде, представленном на рисунке. При рассмотрении этого рисунка следует обратить внимание на одну важную особенность моделирования строго последовательных цепей элементов массового обслуживания. На вход каждого элемента
цепи может поступать несколько входящих потоков заявок, различающихся по номерам приоритетов. Каждый из этих потоков моделирует обычно поступление заявок, относящихся к какой-либо одной содержательной задаче. Строго последовательная цепь связывает элементы, выполняющие последовательное обслуживание одних и тех же заявок или сообщений, т.е. цепь моделирует последовательные операции над одним и тем же продуктом или информационным сообщением.
Среди всех входящих потоков заявок в каждом элементе цепи должен быть
поэтому выделен поток заявок, относящихся к той задаче, моделирование которой осуществляет строго последовательная цепь.
М1
М2
Мr
Mr*
Рисунок строго последовательной цепи СМО.
Эта задача в каждом элементе цепи может иметь свой приоритетный номер. Множество этих номеров {qзад r}, r=1, 2, ..., r*, где r порядковыи номер фазы
(элемента) в строго последовательной цели, определит взаимосвязанную совокупность процессов обработки информации, моделируемую в цепи.
Представляется целесообразным рассмотреть два способа реализации
моделирования строго последовательных цепей: в квазирегулярном и вероятностном представлении.
Квазирегулярной моделью строго последовательной цепи массового обслуживания будем называть такую модель, в которой моделирование каждого
элемента цепи (каждой фазы) осуществляется отдельно с расчетом соответствующих усредненных показателей, после чего рассчитываются общие показатели
цепи элементов (многофазной СМО) через усредненные показатели всех элементов (фаз) системы.
Вероятностной моделью строго последовательной цепи массового обслуживания будем называть такую модель, в которой прослеживается судьба каждой
заявки в процессе прохождения ее через все фазы системы; показатели всей системы рассчитываются не через усредненные показатели фаз, а в результате
усреднения данных, полученных при последовательном прохождении каждой заявки через все фазы системы.
Вопросы на понимание содержания занятия
1. Назовите основные элементы систем массового обслуживания.
2. Какие процессы называются марковскими?
8
3. Назовите основные характеристики эффективности функционирования СМО.
Практическое задание
Рассчитайте средний доход в единицу времени (минута), приносимый системой
массового обслуживания (пейджинговая компания), при следующих значениях параметров:
 среднее число заявок в очереди – 10;
 среднее число свободных обслуживающих приборов – 3;
 стоимость ожидания одной заявки в минуту – 1,5 р.;
 стоимость простоя одного прибора в минуту – 3 р.
9