Лабораторная работа № 51

НАЦИОНАЛЬНЫЙ ИССЛЕДОВАТЕЛЬСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ
МОСКОВСКИЙ ЭНЕРГЕТИЧЕСКИЙ ИНСТИТУТ
КАФЕДРА ТЕОРЕТИЧЕСКИХ ОСНОВ ЭЛЕКТРОТЕХНИКИ
Лабораторная работа № 1П
“Моделирование электростатического поля коаксиального кабеля”
Выполнил:
Группа:
Проверил:
Москва 2014
1
Моделирование электростатического поля коаксиального кабеля полем
стационарных токов в проводящей среде
1. Назначение работы
Целью
работы
исследование
плоскопараллельного
электростатического
поля
коаксиального кабеля методом моделирования полем стационарных токов в проводящей
среде (проводящей бумаге).
2. Теоретическая справка
Расчет
основных
характеристик
электростатического
поля
векторной
E
(напряженности электрического поля) и скалярной  (потенциала) исследуемого объекта
при заданной форме и положения проводников и диэлектриков в пространстве,
проводится при известных величинах потенциалов проводников или распределения
свободных зарядов на проводниках.
Моделирование
плоскопараллельного
электростатического
поля
проводят
посредством экспериментального исследования электрического стационарного поля токов
в проводящей среде (проводящей бумаге), ограниченной металлическими электродами,
имитирующими оболочку и жилу коаксиального кабеля, используя аналогию в их
математическом описании и свойство подобия этих полей. Экспериментальное измерение
распределения потенциала на поверхности проводящего слоя бумаги с помощью
металлического зонда удобно в осуществлении и не вызывает заметного возмущения поля
в проводящей среде. Размеры объекта и модели могут отличаться, подобной должна быть
геометрия системы.
Формальная аналогия полей отражена в следующей таблице:
E
φ

 r 0
[В/м]
[В]
[Кл/м]
[Ф/м]
Электрическое поле
E
φ
I0
γ
G0
постоянных токов в
[В/м]
[В]
[А/м]
[См/м]
[См/м]
Электростатическое поле
C0
[Ф/м]
проводящей среде
Коаксиальный кабель представляет собой симметричную систему проводников (жила
и оболочка) с диэлектрической изоляцией между жилой и оболочкой. Поле кабеля
является плоскопараллельным, распределение потенциала во всех параллельных
плоскостях, нормальных к осевой координате, является одинаковым. При однородной
изоляции между жилой и оболочкой модуль вектора напряженности равен:
2
E (r ) 

[В/м],
2 r 0 r
где  - заряд на единицу длины кабеля [Кл/м], r –расстояние от центра (оси) кабеля до
рассматриваемой точки, r - относительная диэлектрическая проницаемость изоляции, 0 –
электрическая постоянная.
Напряжение между жилой и оболочкой
U

R
ln 2 [В],
2r 0 R1
где R1 и R2 – соответственно радиус жилы и внутренний радиус оболочки (Рис. 1).
Электрическая емкость на единицу длины коаксиального кабеля (удельная емкость):
C0 
 2r 0
[Ф/м].

R2
U
ln
R1
Напряженность электрического поля в любой точки изоляции, находящейся на
расстоянии r от центра (оси) кабеля до рассматриваемой точки, может быть найдена через
напряжение между жилой и оболочкой:
E (r ) 
U
,
R2
r ln
R1
R1  r  R2 .
Рис. 1
Максимальная напряженность, как следует из зависимости E (r ) , наблюдается в точке
M, расположенной на поверхности жилы при r  R1 , таким образом:
Emax  EM  E ( R1 ) 
3

U

.
2 r 0 R1 R ln R2
1
R1
Максимальная напряженность не должна превышать допустимую напряженность
изоляции1 Emax  Eдоп; максимально допустимое напряжение может быть определено из
условия
Emax 
Следовательно, Umax= Eдоп  R1 ln
U max
 Eдоп .
R2
R1 ln
R1
R2
.
R1
В ряде случаев изготовления и применения кабеля возможен технологический сбой –
жила смещается относительно центральной оси. Нарушение симметрии усложняет
решение задачи расчета поля и изменяет характеристики кабеля (например, максимально
допустимое напряжение). Расчет проводится сведением к задаче поля двухпроводной
линии, т.е. к расчету положения электрических осей.
Потенциал поля двухпроводной линии с линейными зарядами (  , ) рассчитывают по
формуле  

r
ln   C , где
2r 0 r
r  - расстояние от рассматриваемой точки до
положительной электрической оси   , r  - расстояние до отрицательной электрической
оси   . Если принять (0)  0 , то С=0.
Определение положения электрических осей (  , ) в поле параллельных цилиндров
с несовпадающими осями (жилы и оболочки радиусами R1 и R2 ) при заданном d –
смещении (расстоянии между центрами цилиндров) позволяет найти положение начала
координат (0), S1 и S 2 - расстояние от центров цилиндров до
начала координат и
расстояние между электрическими осями 2a ( Рис. 2).
R22  R12  d 2
S1 
, S 2  S1  d , a  S12  R12  S 22  R22 .
2d
При условии, что (0)  0 потенциалы точек М и Р, расположенных на поверхности
жилы
и
оболочки
наиболее
близко
друг
от
друга,
можно
определить
как

rM


rP

M 
ln  
ln kM и P 
ln  
ln kP . Для точки М
2r 0 rM 2r 0
2r 0 rP 2r 0
rM  R1  ( S1  a) ,

rM  2a  rM  2a  ( R1  (S1  a))  a  R1  S1 ;
аналогично

рассчитывают rP и rP .
Допустимая напряженность Eдоп или Eпроб для воздуха Eпроб = 30 Кв/см, твердого диэлектрика
Eпроб = 60  200 Кв/см, масла Eпроб =54 Кв/см.
1
4
Напряжение между жилой и оболочкой
U  M  P 



k
ln kM 
ln kP 
ln M ,
2r 0
2 r 0
2 r 0 kP
емкость на единицу длины кабеля со смещенной жилой C0 
Оболочка
R2
Q
d
У
R1
2a
+
N
 2r 0
.

U ln kM
kP
Электрические оси
-
О
Х
P
M

rM
rM
S1
S2
Рис. 2
Напряженность в точках изоляции, расположенных на оси ОХ :
E ( x)  E
(  )
( x)  E
(  )
( x) ,
где модули составляющих вектора напряженности определяют как
E (  ) 

1

1
, E (  ) 
.

2 r  0 r
2 r  0 r 
Таким образом, максимальное значение напряженности будет в точке М, EM  Emax .
Условие EM  Eдоп определяет предельно допустимую линейную плотность заряда  max и
максимальное допустимое напряжение U max 
Изображение
картины
поля
путем
 max
C0
.
нанесения
линий
равного
потенциала
(эквипотенциалей) при неизменной разности потенциалов между соседними линиями,
дает наглядное представление о характере поля. Там, где соседние линии лежат ближе
5
одна к другой, тем больше напряженность поля. Разность потенциалов в направлении
перпендикулярном эквипотенциальным линиям, деленная на расстояние между линиями,
равна средней напряженности поля. Семейство эквипотенциалей представляет собой
концентрические окружности радиуса R0 с положением центра окружности X 0  a ,
переходящие от окружности с радиусом жилы к окружности с радиусом оболочки (Рис. 3).
При расчете положения центра окружности X 0 и радиуса R0 можно использовать
следующие формулы:
k 2 1
2
 r 
2a
2
X0  2
; R0  2
, где k     (для (0)  0 и С=0) .
k 1
k 1
r 
Рис. 3
Для окружности, все точки которой имеют потенциал, равный 0,4U (40% от
приложенного напряжения) необходимо учитывать, что P 

ln kP , для точки А
2 r 0

rA

этой окружности A 
ln  
ln kA  P  0,4U .
2r 0 rA 2 r 0
3. Экспериментальное исследование
Моделирование
плоскопараллельных
электростатических
полей
электрическими
стационарными полями, т.е. полями постоянных токов, применяют в тех случаях, когда
расчет затруднен, а непосредственное экспериментальное исследование объекта требует
применения специальных
измерительных средств.
6
Используя
свойство
подобия,
потенциальное поле моделируют при напряжениях более низких, чем в объекте. Размеры
объекта и модели могут отличаться, одинаковой должна быть геометрия системы.
Аналогия этих полей ([1], стр. 128-130.) позволяет по измеренной величине
проводимости на единицу длины G0 [См/м] в поле проводящей бумаги (модели кабеля)
определить емкость на единицу длины C0 [Ф/м] кабеля той же геометрии, как
C0  G0
 r 0
,

где  - проводимость используемой проводящей бумаги.2
Ток утечки определяют по величине напряжения на измерительном резисторе
Rизм=1 Ом. Точки равного потенциала можно найти, проводя измерения с помощью
электрического вольтметра (или одноштырькового зонда). Средняя напряженность
электрического поля рассчитывается по формуле
E
 1  2
,

l
l
где 1 и 2 – потенциалы ближайших эквипотенциалей, l - кратчайшее расстояние
между ними ([1], стр. 59-60.).
Измерительная установка состоит из моделирующей части (электроды модели,
повторяющие форму жилы и оболочки кабеля в масштабе 10:1, проводящая бумага,
резиновая подложка, источник питания) и измерительной части (электронный вольтметр,
измерительный резистор, зонд).
Замечание Измерения следует проводить, обеспечивая равномерное прилегание
внутренних кромок электродов к проводящей бумаге, но исключая давление на электроды
(возможно деформирование бумаги).
4. Подготовка к работе
1. Полагая, что смещение геометрических осей отсутствует (d=0), рассчитать емкость на
единицу длины коаксиального кабеля R1  3 мм и R2  16,5 мм .
Определить напряженность на поверхности жилы и оболочки (точки М и Р на Рис.1)
при напряжении между ними U  1 кВ . Рассчитать максимально допустимое
напряжение U max . Значение Eдоп, r заданы в Таблице и выбираются в соответствии с
номером бригады.
2
См. Методические указания.
7
2. Рассчитать расположение электрических осей при заданном d –смещении центров
электродов. Сделать соответствующий рисунок с изображением геометрических и
электрических осей, указав расстояния согласно Рис. 2.
Рассчитать емкость на единицу длины кабеля
со смещением жилы. Вычислить
напряженность в точках M, N, P и Q при U=1 кВ. Рассчитать максимально допустимое
напряжение U max .
3. Сравнить результаты расчета п.1 и п.2.
4. Начертить рабочую схему для проведения моделирования электростатического поля
кабеля полем токов в проводящей бумаге. Написать формулу для определения
удельной емкости кабеля по результатам эксперимента.
№ бригады
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
d, мм
4
5
6
7
8
9
9
8
7
6
5
4
r
6
5
4
4
5
6
4
6
6
6
4
5
Eдоп , кВ/см
100
150
200
200
150
100
200
100
100
100
200
150
5. Рабочее задание
Модель кабеля 10:1 (размеры цилиндрических электродов R1  30 мм и R2  165 мм,
d=dтабличное10).
В
качестве
измерительного
сопротивления
выбрать
резистор,
обозначенный на стенде как R1 . Измерить сопротивление резистора с помощью
мультиметра.
1. Установить на листе проводящей бумаги электроды в соответствии с заданной
геометрией коаксиального кабеля (без смещения d=0). Собрать схему для
измерения тока утечки (Рис. 4). Выполнив измерения (см. Методические указания),
рассчитать проводимость
G0 системы и  проводящей бумаги. Определить
емкость C0 коаксиального кабеля, сравнить со значением, рассчитанным в п.1
Подготовки к работе.
8
Рис. 4
2. Измерить напряженность в точке М и Р. Отметить на проводящей бумаге контуры
электродов. Провести эквипотенциаль, соответствующую 40% от приложенного
напряжения3.
3. Установить на листе проводящей бумаги электроды в соответствии с заданной
геометрией кабеля с заданным смещением внутреннего электрода - d и измерить
проводимость G0 системы. Определить емкость C0 кабеля, сравнить со значением,
рассчитанным в п.2 Подготовки к работе.
4. Измерить напряженность в точке М, N, P, Q. Отметить на проводящей бумаге
контуры электродов. Провести эквипотенциаль, соответствующую 40% от
приложенного напряжения3.
5. Дополнить картину эквипотенциалей п. 4 силовыми линиями.
Методические указания
При экспериментальном определении удельной проводимости
следует использовать модель осесимметричной
 проводящей бумаги
систем электродов, измеряя значения
напряженности электрического поля в точках М и Р (рис.1).
Указанные
точки
металлическими
расположены
электродами
(по
на
границе
внутренним
раздела
линиям
проводящей
их
бумаги
с
соприкосновения),
следовательно, объемный ток проводимости J численно равен плотности поверхностного
По указанию преподавателя провести эквипотенциали, отличающиеся от ближайших на 25% от
приложенного напряжения.
3
9
тока Js, определенного в точках М и Р как J M 
I0
I0
и JP 
. С учетом закона
2R1
2R2
Ома J  E можно определить два значение удельной проводимости:
 
JM
I
 0
EM 2R1
R1 ln
R2
R1
U
R2
R
R
R2 ln 2
ln 2
I
J
I0
R1
R1 I 0 R1
 0

,   P 
U 2
EP 2R2 U
U 2
ln
Таким образом,  проводящей бумаги не зависит от ее толщины и может быть
R2
R
ln 2
I
R1
R1
 G0
рассчитана по формуле   0
.
U 2
2
ln
Протокол измерений к работе №1П.
Сопротивление измерительного резистора Rизм =______ Ом.
Без смещения жилы
№ опыта
U, В
URизм, В
I0, А/м
G0 , [См/м]
C0 , [Ф/м]
1
  __________ См/м
C0 теор = __________ Ф/м
№ опыта
U, В
EМ, В/м
EР, В/м
2
Со смещением жилы
№ опыта
U, В
URизм, В
I0, А/м
EМ, В/м
EN, В/м
G0 , [См/м]
C0 , [Ф/м]
3
C0 теор = __________ Ф/м
№ опыта
U, В
4
10
EP, В/м
EQ, В/м
Литература
1. К.С. Демирчян, Л.Р. Нейман, Н.В. Коровкин, В.Л. Чечурин.
Теоретические основы электротехники. Т.3. – СПб.: Питер, 2003 г.
11