Как правило, при анализе колебаний ПМКС вычисления ξm , ξ`m

Как правило, при анализе колебаний ПМКС вычисления ξm , ξ'm , ξ''m по
формулам (1.8) , (1.9), (1.10) можно заменить приближенными расчетами из
условия, что влияние одного из параметров системы является
преобладающим в данной частотной области. Рассмотрим с этой точки
зрения три характерных случая.
С и с т е м а, у п р а в л я е м а я у п р у г о с т ь ю ( рис. 1.7, зона I )
Рис.1.7 Графики частотных зависимостей колебательных смещения ξm ,
скорости ξ'm и ускорения ξ''m в простой механической колебательной системе
В случае если система управляется упругостью, можно считать, что
упругая составляющая полного механического импеданса преобладает над
двумя другими составляющими, активной и инерционной. То есть
выполняются неравенства
(1/ωс) >> r и (1/ωс) >> ωm.
Эти условия справедливы для области частот ω << ω0. Тогда z ≈ (1/ωс) и
ξm =
ξ'm
ξ''m
Fm
------------ = Fmс
ωz
Fm
= ------- = Fm ωc
z
ω Fm
= -------- = ω2 Fm c
z
Графики частотных зависимостей ξm , ξ'm и ξ''m показаны на рис. 1.7
( зона I)..
К особенностям системы, управляемой упругостью, относятся:
- независимость от частоты амплитуды смещения,
- прямо пропорциональная зависимость от частоты амплитуды скорости,
- квадратичная зависимость от частоты амплитуды ускорения.
Применение систем, управляемых упругостью: по принципу работы и,
следовательно, конструирования это конденсаторные микрофоны,
электростатические громкоговорители и др.
С и с т е м а, у п р а в л я е м а я м а с с о й ( рис. 1. 7, зона III )
В случае, когда система управляется массой, можно считать, что
инерционная составляющая полного механического импеданса преобладает
над двумя другими составляющими, активной и упругой. То есть
выполняются неравенства
ωm >> r и ωm >> (1/ωс)
Эти условия справедливы для области частот ω >> ω0. Тогда z ≈ ωm и
ξm =
Fm
Fm
-------- = -------ωz
ω2 m
ξ'm
Fm
Fm
= ------- = ------z
ωm
ξ''m
ω Fm
Fm
= -------- = -----z
m
Графики частотных зависимостей ξm , ξ'm и ξ''m показаны на рис. 1.7 ( зона
III ).
К особенностям системы, управляемой массой, относятся:
- независимость от частоты амплитуды ускорения,
- обратно пропорциональная зависимость от частоты амплитуды скорости,
-обратно пропорциональная квадрату частоты зависимость амплитуды
смещения.
Применение систем, управляемых упругостью: такими системами по
принципу
работы
и
конструирования
являются
диффузорные
громкоговорители, ленточные микрофоны и др.
С и с т е м а, у п р а в л я е м а я а к т и в н ы м с о п р о т и в л е н и е м (
рис. 1. 7, зона II).
В случае, когда система управляется активным сопротивлением, можно
считать, что активная составляющая полного механического импеданса
преобладает над реактивной, то есть выполняется неравенство
r > /(ωm - 1/ωc) /
Это условие выполняется в области частот вблизи резонансной ω0, то есть
ω ≈ ω0 ± ∆ω. Тогда z ≈ r и
Fm
Fm
ξm =
-------- = -------ωz
ωr
ξ'm
Fm
Fm
= ------- = ------z
r
ξ''m
ω Fm
ω Fm
= -------- = -----z
r
Графики частотных зависимостей ξm , ξ'm и ξ''m показаны на рис. 1.7 ( зона
II ). Нетрудно заметить, что амплитуды ξm , ξ'm и ξ''m на частоте резонанса ω0
определяются величиной активного сопротивления r.
Рассмотрим несколько случаев:
а) r → 0. Тогда амплитуды ξm , ξ'm и ξ''m на частоте резонанса ω0 стремятся
к бесконечности;
б) 0 < r < r0 ( напомним, что r0 – характеристическое сопротивление ). В
этом случае амплитуды ξm , ξ'm и ξ''m имеют резонансный выброс конечной
величины;
в) r = r0 = ω0 m = 1/(ω0 c) = (m / c)1/2. Определим значения ξm0 , и ξ''m0 на
резонансной частоте для этого случая.
Fm
Fm ω0 c
ξm0 = ------ = ------------- = Fm c = ξmн
ω0 r 0
ω0
Fm ω0
Fm ω0
Fm
ξ''m0 = -------- = ------------- = ----- = ξ''mв
r0
ω0 m
m
Полученные соотношения показывают, что при r = r0 амплитуды
смещения ξm0 и ускорения ξ''m0 на резонансной частоте равны соответственно
амплитуде смещения ξmн в области управления ПМКС упругостью и
амплитуде ускорения ξ''mв в области управления массой. Иначе, если r = r0, то
амплитуда смещения в колебательной системе, практически не зависит от
частоты до частоты ω, равной резонансной ω0, а амплитуда ускорения,
практически не зависит от частоты от ω = ω0. Эти факторы являются весьма
существенными при определении конкретных параметров реальных
конструкций электроакустических аппаратов.
Вообще же можно сказать, что в области частот ω < ω0 /2 система
управляется упругостью (зона I, или зона Гука) ; в области частот ω > 2 ω0
система управляется массой ( зона III, или зона Ньютона); при r ≥ r0 система
управляется активным сопротивлением в частотном диапазоне ( зона II ),
ширина которого ∆ω определяется заданной величиной М неравномерности
частотной характеристики колебательной скорости ξ'm ( см. график частотной
зависимости ξ'm на рис. 1.7 ).
М = ξ'm0 / ξ'mгр , где М – коэффициент частотных искажений в
колебательной системе; ξ'm0 – амплитуда колебательной скорости на частоте
резонанса; ξ'mгр – амплитуда колебательной скорости на ωн и ωв ( границах
диапазона управления системы активным сопротивлением).
В качестве примера определим ωн и ωв для случая, когда М = 2, а r = r0 =
= ω0 m = 1/(ω0 c).
Известно, что
ξ'm0
ξ'mн
Fm
= -------, а
r0
= F m ωн c .
Поскольку
М = ξ'm0 / ξ'mн = Fm / r0 Fm ωн c = 2, то ωн = 1/ 2с r0, или
ωн = ω0/ 2 , если принять r0 = 1/(ω0 c).
Известно также, что
Fm
ξ'm = ------ωв m
В этом случае М = ξ'm0 / ξ'mв = Fm ωв m / r0 Fm = 2, откуда ωв = 2ω0 , если
принять r0 = ω0 m.
Таким образом, если в колебательной системе активное сопротивление
r = r0 , то при М = 2 она управляется активным сопротивлением в диапазоне
частот от ωн = ω0/ 2 до ωв = 2ω0. При f0 = 500 Гц ( f0 = ω0/ 2π ) весь диапазон
составит область от 250 Гц до 1000 Гц.
г) r > r0. В этом случае диапазон управления системы активным
сопротивлением расширяется. Однако при этом уменьшается абсолютное
значение
амплитуды
колебательной
скорости,
что
уменьшает
чувствительность системы. Кроме того, следует помнить, что при r = 2r 0 = rкр
в свободных колебаниях системы наступает апериодический режим.
Особенностями системы, управляемой активным сопротивлением можно
считать:
- независимость от частоты амплитуды колебательной скорости,
- прямо пропорциональная зависимость от частоты амплитуды ускорения,
- обратно пропорциональная зависимость от частоты амплитуды смещения.
Системы, управляемые активным сопротивлением, нашли применение в
электродинамических
катушечных
микрофонах,
рупорных
громкоговорителях и др.
Остановимся более подробно на перечне диссипативных факторов ПМКС,
поскольку от их величин в существенной степени зависит ход частотных
зависимостей выходных характеристик электроакустической аппаратуры.
В качестве основного фактора диссипативности колебательной системы
можно считать величину активного механического сопротивления r = Fm / ξ'm.
Другим важным фактором диссипативности является коэффициент потерь
η = r / r0, который показывает, какую долю составляет активное
сопротивление системы от характеристического. Коэффициент потерь η
можно также представить как η = r / ω0m = r ω0 c. При r →0 η→0, при r = r0
η = 1, при r = rкр
η = 2. Реальные значения коэффициента потерь в
электроакустической аппаратуре составляют величины 0,5 – 1,8.
Величина η может также считаться нормированной формой активного
сопротивления системы: r0 – нормирующий коэффициент, позволяющий
выразить полный механический импеданс ПМКС в безразмерной форме z'н :
z'н = z'/ r0 = [ r + j (ωm - 1/ω c)] / r0 = r/ r0 + j ( ω/ω0 – ω0/ω ) =
= η + j ( ν – 1/ν )
(1.16)
В этой формуле ν = ω/ω0 - безразмерная или нормированная частота.
Безразмерный или нормированный модуль полного механического
импеданса ПМКС zн можно выразить так:
zн = [η2 + ( ν – 1/ν )2]1/2
(1.17)
Напомним также, что для отображения диссипативных свойств
колебательной системы используются еще два фактора. Это коэффициент
затухания собственных колебаний ПМКС δ = r / 2m и логарифмический
декремент затухания d = δ T (cм. п.1.2.1).
Все коэффициенты можно выразить один через другой. Например,
η = 2 δ / ω0 ,
d = π η/ ( 1 - η2/4)1/2
(1.18)
1.4 Акустическая колебательная система (АКС). Резонатор Гельмгольца
Акустическая колебательная система принципиально ничем не отличается
от механической. Разница заключается лишь в том, что все ее параметры rв,
mв, св формируются из колеблющегося воздуха.
Рассмотрим один из элементов АКС и определим характер реакции,
создаваемой воздухом, заключенным в объеме V при колебаниях поршня
площадью S.