линейная комбинация, гауссова временная функция

УДК 681. 3:621.301.26
В.Г. СЕМИН
ИССЛЕДОВАВАНИЕ ПОГРЕШНОСТЕЙ МЕТОДА
СТРУКТУРНОГО АНАЛИЗА ЛИНЕЙНЫХ КОМБИНАЦИЙ
ГАУССОВЫХ ВРЕМЕННЫХ ФУНКЦИЙ
В статье приведены результаты исследования погрешностей
метода
структурного
анализа
многокомпонентных
сигналов,
образованных линейным наложением компонент одинаковых по форме,
но различающихся временной длительностью и амплитудой. Подобные
сигналы
часто
встречаются
в
прикладных
дисциплинах
(электротехнике, радиотехникt , физике, химии и т.д.).
Метод структурного
анализа позволяет оценить истинные
значения параметров сигналов, подвергшихся искажению в результате
взаимодействия. Разработанный метод не требует априорной
информации
о
структуре
реализуется,
обладает
линейной
высокой
комбинации,
точностью
и
эффективно
обеспечивает
возможность автоматизации в реальном масштабе времени.
линейная комбинация, гауссова временная функция, структурный
анализ, относительная погрешность
Отличительной
особенностью
предлагаемого
метода
является
отсутствие зависимости геометрических параметров отдельных компонентов
от порядка расположения в линейной смеси.[1,3]. Предельный случай, когда
процесс структурного анализа становится невозможным, имеет место при
полном совпадении
параметров, характеризующих временное положение
максимумов двух однотипных функций, и при отсутствии априорной
информации о количестве функций образующих суперпозицию. Например,
модель линейной комбинации одинаковых гауссовых функций представляет
собой гауссову функцию с удвоенной амплитудой. По мере разнесения по
временной координате максимумов этих функций их линейная комбинация
деформируется и превращается в ассиметричный пик, затем в комбинацию с
наличием точки перегиба и, наконец, в двумодальную кривую времени с
наличием двух максимумов. При этом оценка
истинных значений
параметров отдельных функций, таких как: амплитуда и ее временная
координата,
площадь,
полуширина
на
уровне
0.775
амплитуды,
в
зависимости от степени разнесения по времени, связана с погрешностью
вычислений, которая для различных методов может изменяться в диапазоне
от 10 до 70%.
Другая
отличительная
особенность
разработанного
метода
заключается в возможности вычислений истинных (неискаженных) значений
искомых параметров
функций по значениям результирующей линейной
комбинации при отсутствии априорной информации о количестве функций,
входящих в суперпозицию[2].
Идея метода вычислений
основана на
выявлении в результирующей кривой фрагментов неискаженных значений
искомых параметров однотипных функций.
В данной работе в качестве моделей многокомпонентных сигналов
используется линейные комбинации из двух, четырех и пяти Гауссовых
временных функций с произвольными параметрами отдельных компонент,
входящих в суперпозицию. Точностные характеристики метода исследуются
на
моделях
из
двух
Гауссовых
кривых
с
наибольшей
степенью
взаимовлияния.
Постановка задачи
Известно, что гауссова функция зависят от трех параметров: времени,
временного положения амплитуды и полуширины кривой на уровне 0,775
амплитуды (в вероятностной интерпретации этот параметр характеризует
величину среднеквадратического отклонения нормального распределения).
Пусть отдельный
компонент (временной сигнал) описывается
гауссовым временным импульсом вида
(1)
где: t – текущее время;
А, tM, σ- соответственно амплитуда, временное
положение максимума и полуширина пика. Продифференцируем
по
времени выражение (1), тогда:
.
(2)
Из выражения (2) следует, что:
.
(3)
Используя выражения (2) и
полуширины пика на уровне
(3), вычислим значение величины
)
.
Выражение
(4)
обращается
в
(4)
тождество,
для
всех
точек
принадлежащих усеченной области определения Гауссовой временной
функции, если выполняется условие вида
.
(5)
Так как условие (5) выполняется для всех значений интервала
определения (1), что позволяет определить систему:
(6)
где
,
,
.
Из системы (6) следует, что
.
(7)
Для определения гауссовой функции необходимо составить систему
уравнений, исходя из двух последовательных значений ординат решетки,
элементами которой являются табличные значения аналитической функции в
точке t1 и t2 вычислить соответствующие производные
образом,
условие
(5)
является
критерием
и
. Таким
определения
возможного
существования на результирующей кривой участков, принадлежащих
неискаженным значениям отдельных функций, входящих в линейную
комбинацию.
Алгоритм метода структурного анализа
На первом
шаге
алгоритма по результатам вычислений двух
последовательных производных рассчитывается параметр
и проверяется
система (6). Выражение (7) позволяет вычислить остальные параметры (1).
На втором шаге вычисляется гауссова функция с параметрами, полученными
на предыдущем шаге. На третьем шаге из результирующей кривой
вычитаются значения гауссовой функции, вычисленной на шаге 2.
Далее
в
указанной
последовательности
шагов
аналогичные операции для всех функций, образующих
комбинацию. Рассмотрим реализации алгоритма
производятся
линейную
метода структурного
анализа на моделях многокомпонентных сигналов, образованных линейными
комбинациями из
произвольными
четырех и пяти Гауссовых временных функций с
параметрами
отдельных
компонент,
входящих
в
суперпозицию. На рисунках 1 - 5 приведены результаты структурного
анализа
линейной
комбинации,
функциями, которые
алгоритма.
образованной
четырьмя
Гауссовыми
иллюстрируют основные шаги предложенного
Рис. 1. Модельный пример линейной комбинации из четырех
Гауссовых функций
Рис. 2. Результат вычитания из линейной комбинации первой
выделенной функции
Рис.3. Результат вычитания второй выделенной функции
Рис. 4. Результат вычитания третьей выделенной функции
Рис. 5. Искомые Гауссовы временные функции,составляющие структуры
линейной комбинации, представленной на рис.1
На рисунке 6 представлена модель линейной комбинации из пяти
Гауссовых временных функций с произвольными параметрами.
Рис. 6. Модель линейной комбинации из пяти Гауссовых временных
функций с произвольными параметрами
На рисунке 7 представлены результаты структурного анализа линейной
комбинации представленной на рис.6.
Рис. 7. Результаты структурного анализа линейной комбинации
Таким
образом,
результаты
структурного
моделирования
подтверждают работоспособность предложенного метода.
Для
исследования
точности
вычислений
значений
параметров
отдельных Гауссовых сигналов в работе использованы модели предельных
ситуаций смеси сигналов, когда искажения истинных значений параметров
одиночных сигналов достигают максимальных пределов.
Рассмотрим линейную комбинацию из двух Гауссовых временных
функций, представленную на рис. 8. а также результаты работы алгоритма
структурного анализа
Рис.8.Линейная комбинация в виде одиночного асимметричного пика
Рис.9. Результат структурного анализа в виде двух гауссовых
временных функций
Необходимо отметить,
что модель линейной комбинации из двух
компонентов, в виде одиночного ассиметричного временного сигнала,
представляет наиболее сложный случай решения задачи структурного
анализа в условиях отсутствия априорной информации о структуре сигнала.
Рассмотрим модель линейной комбинации, которая имеет точку перегиба, а
также результаты структурного анализа, представленные на рис.10-11.
Рис. 10. Линейная комбинация с точкой перегиба
Рис. 11. Результаты структурного анализа
Необходимо отметить, что приведенные выше модели линейных
комбинаций
представляют
наиболее
важные
определения точностных характеристик метода
тестовые
случаи
для
из-за высокой степени
взаимного наложения. На рис.12-13 представлены результаты исследования
относительной погрешности вычисления параметров линейной комбинаций
Гауссовых временных сигналов для моделей смесей, представленных на
рис.1 и рис.3,обладающих наибольшей степенью наложения.
Рис. 12. Зависимости относительной погрешности вычисления
параметров линейной комбинации в виде одиночного ассиметричного пика
Рис. 13. Зависимости относительной погрешности вычисления
параметров для линейной комбинации с точкой перегиба на рис.3
На этих рисунках использованы следующие обозначения параметров
моделирования: Т01. Т02 – временное положение максимумов отдельных
функций; А1, А2 значения амплитуд, σ1,σ2 значения полущирин; Nразмерность решетки 80 точек, в которых задаются значения ординат
модельных комбинаций. Из анализа приведенных зависимостей следует, что
относительная погрешность вычисления значений искомых параметров
менее одного процента. При этом, чем меньше степень наложения или
взаимовлияния элементарных компонент, тем больше интервал значений
линейной комбинации, в котором выполняется условие критерия (5).
Таким
образом,
результаты
моделирования
подтвердили
эффективность и работоспособность предложенного метода структурного
анализа линейных комбинаций Гауссовых временных сигналов.
Литература
1. Кон - Сфетку, Смит, Никольс , Генри. Цифровой метод анализа
одного класса многокомпонентных сигналов. ТИИЭР - Том 63.-№10.1975.-С.104-113.
2.
Семин В.Г. Цифровой метод анализ параметров многокомпонентных
сигналов // Измерительная техника.-1992.- №2.- С.18-19.
3. Семин В.Г. Алгебраический метод анализа параметров линейных
комбинаций
однотипных
функций
времени.
Материалы
международной научно-технической конференции
«Инновации в
условиях развития информационно-коммуникационных технологий».
Сочи.-2011.- С. 207-208.
Московский институт электроники и математики Национального
исследовательского университета «Высшая школа экономики» (МИЭМ НИУ
ВШЭ)
Статья поступила
Semin V.
RESEACH ERRORS OF THE METHOD OF STRUCTURAL ANALYSIS
OF LINEAR COMBINATIONS OF GAUSSIAN TEMPORAL FUNCTIONS
The article presents the results of the study of the errors of the method of
structural analysis of multicomponent signals, formed by a linear superposition of
the component identical in form, but different time of duration and amplitude.
These signals are often found in the applied disciplines (electrical engineering,
radio engineering, physics, chemistry, etc.) The developed method does not require
a priori information about the structure of the linear combination, can be
effectively implemented, high accuracy and provides the possibility of automation
in the real time.
linear combination of the Gaussian time function, structural analysis, the
relative error
Moscow Institute of electronics and mathematics of the National research
University «Higher school of Economics» (MIEM NIU HSE)