Дискретная и векторная оптимизация

Министерство образования Республики Беларусь
Белорусский государственный университет
Механико-математический факультет
Кафедра уравнений математической физики
УТВЕРЖДАЮ
Проректор по учебной работе
профессор В.В. Самохвал
________________________
Рег.№ __________________
«____» ____________ 2007 г.
Базовая учебная программа дисциплины
«Дискретная и векторная оптимизация»
для студентов специальности 1-31 03 01 «Математика»
Минск
2007
1
ПОЯСНИТЕЛЬНАЯ ЗАПИСКА
Дискретная оптимизация (часто называется также дискретное программирование,
целочисленное и комбинаторное программирование) – раздел математики, который
занимается нахождением экстремумов на конечных множествах (или на целочисленных
решетках). В терминах дискретной оптимизации формируются многие прикладные
экстремальные задачи, связанные с наличием неделимых факторов, стандартов при
проектировании, условий «логического» типа, фиксированных доплат и т. п. Дискретная
оптимизация является важным звеном математического образования. Наиболее
интенсивно она стала развиваться в середине ХХ века в связи с внедрением компьютеров.
Векторная (часто называется также многокритериальная) оптимизация – раздел
математики и системного анализа. Многокритериальные модели оптимизации
качественно отличаются от традиционных задач скалярной оптимизации, имеют свою
специфику и большой накопленный фактический материал, связанный с результатами
Нобелевских лауреатов Нэша, Купманса, Эрроу, Марковица и др.
Программа
предназначена
для
студентов-математиков
специальности
математическая электроника механико-математического факультета.
2
«ДИСКРЕТНАЯ И ВЕКТОРНАЯ ОПТИМИЗАЦИЯ»
Цель курса – познакомить студентов с узловыми проблемами из двух разделов
прикладной математики.
Рассмотрены: модели дискретной оптимизации, основные методы решения задач
дискретной оптимизации, методы решения многокритериальных задач, классические
теоремы о признаках эффективности решений, вопросы устойчивости векторных задач
дискретной оптимизации.
Тематический план спецкурса "Дискретная и векторная оптимизация"
№ темы
Содержание курса
Количество часов
Лекции Лабораторные КСР
Раздел 1. Дискретная оптимизация
1.1. Модели дискретной оптимизации
1.2. Метод ветвей и границ.
Задача коммивояжера
1.3. Метод потенциалов
1.4. Метод построения последовательности планов
2
2
2
4
2
2
2
2
2
Раздел 2. Векторная оптимизация
2.1. Методы решения, основанные на свертке и др.
2.2. Теорема Купманса
2.3. Теорема Карлина
2.4. Теорема Гермейера
2.5. Вектроные задачи на графах
2.6. Устойчивость векторных задач
Зачет
Всего аудиторных часов
ИТОГО:
2
2
2
2
4
4
2
28
40
12
2
Раздел 1. Дискретная оптимизация.
Предмет дискретной оптимизации. Связь с математической кибернетикой и
проблемой принятия решений с учетом ограниченности ресурсов. Важнейшие методы
решения задач дискретной оптимизации: ветвей и границ, потенциалов, отсечений и др.
комбинаторные методы.
Раздел 2. Векторная оптимизация.
Метод идеальной точки. Метод свертки критериев, метод последовательных
уступок. Метод Парето. Признаки парето-оптимальности. Теоремы Купманса, Карлина,
Гермейера, Подиновского и др. Многокритериальные задачи на графах. Равновесие по
Нэшу. Вопросы устойчивости.
3
ЛИТЕРАТУРА
по спецкурсу "ДИСКРЕТНАЯ И ВЕКТОРНАЯ ОПТИМИЗАЦИЯ"
Основная:
1. Вагнер Г. Основы исследования операций. Том 2. М.: Мир, 1973.
2. Корбут А.А., Финкельштейн Ю.Ю. Дискретное программирование. М.: Наука,
1969.
3. Подиновский
В.В.,
Ногин
В.Д.
Парето-оптимальные
решения
многокритериальных задач. М.: Наука, 1982.
4. Схрейвер А. Теория линейного и целочисленного программирования. М.: Мир,
1991.
Дополнительная:
1. Емеличев В.А., Ковалев М.М., Кравцов М.К. Многогранники, графы,
оптимизация. М.: Наука, 1981.
2. Дубов Ю.А., Травкин С.И., Якимец В.Н. Многокритериальные модели
формирования и выбора вариантов систем. М.: Наука, 1986.
3. Ху Т. Целочисленное программирование и потоки в сетях. М.: Мир, 1974.
4. Ногин В.Д. Принятие решений в многокритериальной среде: количественный
подход. М.: Физматлит, 2002.
5. Саати Т. Целочисленные методы оптимизации и связанные с ними
экстремальные проблемы. М.: Мир, 1973.
6. Ху Т. Целочисленное программирование и потоки в сетях. М.: Мир, 1974.
4
Автор:
Профессор кафедры уравнений математической физики, доктор физ.-мат.наук
В. А. Емеличев
Рецензент:
Доцент кафедры уравнений математической физики, кандидат физ.-мат.наук
Ю. М. Метельский
Одобрена на заседании кафедры
уравнений математической физики
протокол № 7 от 06 июня 2007 г.
Одобрена на заседании Ученого совета механико-математического факультета
протокол № 7 от 20 июня 2007 г.
Ответственный за выпуск
Профессор кафедры уравнений математической физики, доктор физ.-мат.наук
В. А. Емеличев
5
6
7