Машинный перевод, doc, 560 kb
advertisement
ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ГИЛЬБЕРТА-ХУАНГА ДЛЯ ОБНАРУЖЕНИЯ ПОВРЕЖДЕНИЙ В СТРОЕНИЯХ ПЛАСТИН Частично редактированный машинный перевод. Преобразование Гильберта-Хуанга: http://prodav.narod.ru/hht Глава 2 Частотно-временные методы обнаружения повреждений Сигнал временного интервала, вместе с его Фурье-преобразованием, не предоставляет достаточно информации для приложений, которые требуют понимания того, как частота сигнала изменяется как функция времени. Фурье-преобразование ограничено стационарными сигналами, имеющими фиксированное частотное информационное наполнение. Напротив, неустановившиеся сигналы требуют методов обработки, которые могут количественно оценивать изменения в частотном информационном наполнении, как функции времени. Частотно-временной анализ сигналов - одна из последних разработок, которая дает соответствующие инструментальные средства для анализа неустановившихся сигналов во многих областях, таких как передача данных, анализ вибрации, и биомедицина. Ville [41] заметил, что есть два основных подхода к гармоническому временному анализу. Первое должно разделить сигнал на секторы времени и получить частотное информационное наполнение каждого из этих секторов отдельно. Второй подход должен сначала отфильтровать сигнал в различных полосах частот и затем отобразить полосы частот в секторы времени, чтобы получить их энергосодержание как функцию времени и частоты. Первый подход - кратковременной Фурье-спектрометр, также известный как спектрограмма, а второй – преобразование Wigner-Ville. Другие методики определения частотновременных характеристик включают, но не ограничены, вейвлетное преобразование и эмпирическую модовую декомпозицию, комбинированную с Гильбертовым спектральным анализом. В этой главе дается краткий обзор частотно-временных методов, отмеченных выше, за исключением эмпирической модовой декомпозиции, которая будет описана подробно в следующей главе. 2.1 Кратковременный Фурье-спектрометр (STFT) 2.1.1 Описание Метода Когда спектральное информационное наполнение сигнала изменяется во времени, ни временное, ни частотное представление сигнала не достаточны, чтобы точно описать его свойства. Для преодоления этого недостатка предпринималось много попыток. Первой важной разработкой является оконное преобразование Фурье (ОПФ). Идея ОПФ состоит в том, чтобы получить частотное информационное наполнение сигнала в пределах временного окна, которое перемещается со временем вдоль сигнала, как изображено на рис. 2.1. Сигнал разделяется на временные сегменты прежде, чем будет применен анализатор гармоник. Предполагается, что сигнал является стационарным в пределах каждого сегмента. Различные позиции окна покрывают весь временной интервал сигнала. Таким образом, сигнал окна xw(t) кодирует положение окна τ и время t. Если ОПФ применен к такому сигналу, то результат - новое представление сигнала F(t,f), функция времени и частоты. Этот анализ приводит к кратковременному Фурье-спектрометру. Самое большое ограничение этого подхода – взаимосвязь между временной и частотной разрешающей способностью анализа. Хорошая разрешающая способность по времени подразумевает небольшое окно времени, которому соответствует плохая частотная разрешающая способность и наоборот. Оптимум, полученный для гауссова окна, назван преобразованием Gaborа. В то время как компромисс ОПФ между временной и частотной информацией может быть полезным, недостаток состоит в том что, как только Вы выбираете специфический размер для окна времени, то это окно - то же самое для всех частот. Много сигналов требуют более гибкого подхода, чем тот, где мы можем изменять размер окна, чтобы определять более точно или время или частоту. Рис. 2.1: Процесс кратковременного Фурье-спектрометра Как объяснено выше, интуитивное решение представить зависимость сигнала x от времени в составе окна ОПФ вокруг специфического времени t, вычисляя его спектр в течение каждого момента t. При этом ОПФ определяется выражением: где h(t) - окно, центрированное во время t = 0. Действительно, умножение h(u−t) подавляет сигнал вне окружения вокруг точки времени u = t и ОПФ этого окна сигнала дает локальный спектр сигнала x вокруг t. 2.1.2 Пример Преобразование Фурье (ПФ) анализирует сигнал по его временной продолжительности. Следовательно, это приводит к информации по законченному спектру сигнала. Спектр частот сигнала, данного на рис. 2.2 (f1 = 15 Гц и f2 = 4 Гц.), может использоваться, чтобы решить, что две частоты присутствуют в сигнале, но не может сказать нам, накладываются ли эти две частотные составляющие во времени или нет. ПФ проектирует сигнал в частотную область, но полностью теряет связь с временным интервалом. Рис. 2.2: Пример приложения STFT Применим ОПФ с гауссовом окном и составим график спектрограммы. Рис. 2.3: Спектрограмма примера сообщает о s(t) По результату ОПФ (рис. 2.3) мы можем легко решить, какие гармонические составляющие и на каких интервалах присутствуют в сигнале. У этих узлов есть конечное продолжительность и мы можем обратить внимание на небольшое перекрытие во времени между узлами. Это перекрытие определяется размером окна h(t). Действительно, правило неопределенности воздействует на разрешающую способность нашего анализа. Простой пример показывает влияние размера окна на частотно-временную разрешающую способность ОПФ. Если мы рассматриваем линейную частотную модуляцию с гауссовой амплитудной модуляцией и последовательно применяем окно импульса Дирака и постоянное окно, мы получаем существенные результаты, которые показаны на рис. 2.4. Когда окно h(t) выбрано как импульс Дирака, ОПФ отлично локализован вовремя, но не имеет частотной разрешающей способности. С другой стороны, если используется постоянное окно, ОПФ приводит к Фурье-спектру и не имеет разрешающей способности по времени как поясняется на рис. 2.4. Так что частотное разрешение ОПФ пропорционально эффективной ширине полосы частот анализа окно. Рис. 2.4: Иллюстрация влияния окна Гауссово окно - оптимальный выбор, чтобы получить хорошую разрешающую способность. Об этом свидетельствует пример на рис. 2.5. частотно-временную Рис. 2.5: STFT s(t) с гауссовом окном 2.13 Заключение Gabor сформулировал фундаментальный метод для декомпозиции сигналов в терминах атомных форм волны. Его подход стал одной из стандартных моделей для частотно-временого анализа сигнала. ОПФ (или трансформанта Gabor, или оконный Фурье-спектрометр) и позволяет выполнять анализ сигналов со множественными частотными составляющими, которые происходят в различных и накладывающихся интервалах времени. Однако, так как это преобразование полагается на традиционный анализатор гармоник, мы должны предполагать, что данные являются кусочностационарными, а это не всегда приемлимо для неустановившихся данных. Кроме того, необходимо принятие компромиссных решений между временной и частотной разрешающими способностями. С одной стороны, хорошая разрешающая способность по времени требует короткого окна h(t). С другой стороны, хорошая частотная разрешающая способность требует длинного окна h(t). Это ограничение - следствие Гейзенберговского-Gabor неравенства [42]. Мы возвратимся к этому понятию позже, так как снятие этой неопределенности определяет главное различие между вейвлетпреобразованием и ОПФ. 2.2 Трансформанта Небольшой волны (вейвлетное преобразование) 2.2.1 Описание метода Чтобы преодолеть недостаток установленного окна размера, анализ небольшой волны был представлен как методика работы с окнами с установленными по размеру к переменной областями. Анализ небольшой волны представляет следующий логический шаг и был одним из самых важных и самых быстрых инструментальных средств обработки сигналов развития прошлых двадцати лет. Декомпозиция небольшой волны представляет понятие масштаба как вариант к частоте, и отображает сигнал в плоскость шкалы времени как показано в иллюстрации 2.6. Это эквивалентно частотной временем плоскости, используемой в STFT. Каждый масштаб в плоскости шкалы времени соответствует определенному диапазону частот в частотной временем плоскости. Иллюстрация 2.6: процесс трансформанты Небольшой волны Трансформанта небольшой волны может быть тематическими категориями как непрерывными или дискретными. Вообще, непрерывные небольшие волны лучше для гармонического анализа времени, и дискретные небольшие волны являются более соответствующими для декомпозиции и сжатия. Это - причина, почему только непрерывная трансформанта небольшой волны будет обработана в этой главе. Определение небольшой волны Небольшая волна члена означает небольшую волну. Небольшая волна - форма волны ограниченной продолжительности. Небольшие волны - локализованные волны, которые простираются для конечной продолжительности времени, сравниваются с синусоидами, которые простираются от минуса до положительной бесконечности, как показано в иллюстрации 2.7. Иллюстрация 2.7: Разность между волной и небольшой волной Сравнение с Анализатором гармоник теперь ясно. Анализ небольшой волны - декомпозиция сигнала в сдвинутые и масштабируемые версии первоначальной небольшой волны, тогда как Анализатор гармоник - декомпозиция сигнала в синусоиды различные частоты. Математически, непрерывная трансформанта небольшой волны функции f(t) определена как интегральное преобразование f(t) с семьей функций небольшой волны ψa,b(t) [42]: Другими словами, непрерывная трансформанта небольшой волны (CWT) определена как сумма сигнала, умноженного на масштабируемые и сдвинутые версии функции небольшой волны ψ: Функцию ψ(t) обычно называют родительской нeбольшой волной, а семьейство функций ψa,b(t) называют дочерними небольшими волнами. Дочерние небольшие волны выведены масштабированием и сдвигом родительской небольшой волны, как замечено в иллюстрации 2.8. Масштабный коэффициент a представляет масштабирование функции ψ(t), а b - коэффициент сдвига представляет временную трансляцию функции. Если |a|<1, небольшая волна - сжатая версия (меньшее основание во временном интервале) родительской небольшой волны и соответствуют главным образом более высоким частотам. С другой стороны, когда |a|> 1, ψa,b(t) есть большая ширина времени чем ψ(t) и соответствует более низким частотам. Константа нормализации выбрана таким образом, что норма каждой функции ψa,b(t) - константа. Результаты CWT - много коэффициентов небольшой волны C, которые являются функцией из масштаба и позиции. Основание времени ∆t Иллюстрация 2.8: Масштабирование небольших волн Процесс Непрерывный процесс трансформанты небольшой волны может быть получен в итоге в пяти шагах [43]. (1) Первый шаг состоит в выбирании небольшой волны и сравнить это с разделом начала первоначального сигнала, как изображено в иллюстрации 2.9. (2) Вычислите C, который представляет, как близко коррелированна небольшая волна с этим разделом сигнала. Сигнал C = 0.1536 Небольшая волна Иллюстрация 2.9: Корреляция небольшой волны и раздела начала первоначального сигнала (3) Сдвиньте небольшую волну направо и повторите шаги (1) и (2), пока целый сигнал не был покрыт. (см. иллюстрацию 2.10), Сигнал C = 0.3968 Небольшая волна Иллюстрация 2.10: Корреляция небольшой волны и второй раздел первоначального сигнала (4) Масштабируйте небольшую волну и шаги повторените 1 - 3 (см. иллюстрацию 2.11), Сигнал C = 0.22.07 Небольшая волна Иллюстрация 2.11: Корреляция сдвинутой небольшой волны и раздела начала первоначального сигнала (5) Шаги повторения (1) до (4) для всех масштабов. Scalogram Ряд коэффициентов, соответствующих различным разделам в различных масштабах, поэтому создан. Двумерный график может быть составлен график, на котором ось X представляет позицию вдоль сигнала (то есть время), ось Y представляет масштаб, и цвет в каждой точке x-y представляет величину коэффициента небольшой волны C. Важно упомянуть, что мы получаем представление шкалы времени с трансформантой небольшой волны, сравниваются с STFT, где мы получаем частотное временем представление. Однако каждый масштаб в плоскости шкалы времени соответствует определенному диапазону частот в частотной временем плоскости. 2.2.2 Пример Позвольте нам считать сигнал составленным косинусом в частоте на 500 Гц и ударе в t = 0.125s как показано в иллюстрации 2.12 и позволяют нам применять непрерывную небольшую волну преобразуйте к этому сигналу с небольшой волной Morlet. Анализатор гармоник сначала применен и показывает своим ограничениям как замечено в спектре частот иллюстрации 2.12 scalogram составлен график в иллюстрации информационное наполнение сигнала. 2.13 и позволяет лучшую интерпретацию частотное Иллюстрация 2.12: пример приложения Wavelet – Сигнал s(t) Иллюстрация 2.13: Scalogram примера сообщают о s(t) От этого частотно-временого представления мы можем заключить что частота на 500 Гц присутствует в течение всего времени и что удар происходит в t = 0.125s. разрешающая способность оказывается также очень хорошая. Способ получить частотно-временное представление вместо представления шкалы времени должно вычислить центр частотный Fc из небольшой волны и использовать это соотношение: , где а - масштаб, Fa - псевдочастота и ∆ период осуществления выборки. Идея состоит в том, чтобы фиксировать главное колебание небольшой волны и присоединять просто периодический сигнал частоты Fc. Эта частота соответствует максимуму быстрого преобразования Фурье небольшой волны, то есть доминирующая частота. Так если Fc частота небольшой волны, затем когда небольшая волна расширена коэффициентом a, эта средняя частота становится Fc/а. Если ∆ производя выборку периода, мы естественно получаем эту зависимость между масштабом a и частота: Соответствующее частотно-временное представление scalogram составлено график в иллюстрации 2.13. Этот тип представления полезен, чтобы сравнить эффективность STFT и трансформанты небольшой волны в терминах времени и частотных разрешающих способностей. 2.2.3 Заключение В случае Фурье-спектрометра множество функций базиса было получено, манипулируя периодическую функцию. Анализатор гармоник поэтому идеален для периодических функций. В случае трансформанты небольшой волны функции базиса получены, сдвигая и масштабируя одну специфическую функцию. Это - главная причина для успеха небольшие волны в обработке сигналов и гармоническом анализе времени. Когда мы смотрим на небольшую волну и синусоиду (иллюстрация 2.7), мы можем интуитивно видеть, что сигнал с резкими изменениями мог бы быть лучше разложен с неправильной небольшой волной чем с гладкой синусоидой. Главное преимущество непрерывных трансформант небольшой волны должно раскрыть к разрывам и крутым переходным процессам. Трансформанта небольшой волны была революционным инструментом обработки сигналов прошлых пятидесяти лет и широко использовалась на обнаружении повреждения. 2.3 Распределение Wigner-Ville 2.3.1 Описание Метода В основном, есть два вида частотно-временных представлений. Кратковременной Фурьеспектрометр и трансформанта небольшой волны - линейные трансформанты сигнала. Эти представления частоты-времени анализируют сигнал в элементарные узлы, хорошо локализованные во времени и по частоте. Один другой подход должен разработать совместную функцию времени и частоты, известной как гистограмма времени, которая может описать энергетическую плотность сигнала одновременно и во время и по частоте. В этом случае энергетические гистограммы времени получены и являются естественно квадратными трансформантами сигнала. Распределение WignerVille (WVD) или трансформанта Wigner-Ville (WVT) играют большую роль в гармоническом анализе времени и имеют много желательных свойств как инструмент обработки сигналов. Первый способность снабдить представление с высокой разрешающей способностью и во время и по частоте для неустановившихся сигналов. Второй, у этого есть специальные свойства удовлетворения времени и частоты marginals в терминах мгновенной мощности вовремя и энергетического спектра в частоте и полной энергии сигнала во время и частотную плоскость. В-третьих, первый условный момент частоты в установленный срок - дериват фазы сигнала тогда. Недостатки WVD - то, что это непозитивный, это билинейно, и у этого есть поперечные члены. Общий класс гистограмм времени для данного сигнала времени x(t) может быть определенный как распределение Коэна [14]: где (2.4) φ(θ,τ) произвольная функция, названная зерном. Различные зерна могут быть выбраны, чтобы получить различные свойства. Самое известное, распределение Wigner-Ville было предложено Ville в 1948 [41] и может быть получено из Уравнения (2.4) беря φ(θ,τ) = 1, который следует, Это распределение удовлетворяет большое количество желательных математических свойств. В частности WVD всегда действителен, он сохраняет время, и частота сдвигает и удовлетворяет критические свойства. Цель этой главы не состоит в том, чтобы иметь дело с математическими формулами, но больше понять снадобье под этой гистограммой времени, различные свойства и математические формулировки WVD могут быть найдены в книге [14] Debnath. 2.3.2 Пример Позвольте нам рассматривать для этого первого примера, которому моделируемый сигнал показывал слева иллюстрации 2.14. Ясно, это - колеблющийся сигнал, частота которого меняется в зависимости от времени. Однако, трудно заключить от этого представления, какая зависимость существует между частотой и время. Иллюстрация 2.14 приводит пример распределения Wigner-Ville и показывать этому, частота сигнала модулирована линейно. Иллюстрация 2.14: пример приложения Wigner Ville Если мы выбираем 3-мерный график, чтобы представить это, мы можем видеть, что WVD может взять отрицательные значения, и что локализация, полученная в частотно-временной плоскости для этого сигнала, почти совершенна, как показано в иллюстрации 2.15. Этот пример поясняет отлично способность Wigner-Ville снабдить частотно-временное представление с высокой разрешающей способностью. Однако, интерфереционные члены могут казаться должными к bilinearity WVD. Позвольте нам рассматривать теперь Доплеровский сигнал и его распределение WVD в иллюстрации 2.16. Иллюстрация 2.15: трехмерное представление Wigner-Ville s(t) Когда мы смотрим на гистограмму времени, мы обращаем внимание, что энергия не распространена, поскольку мы могли ожидать для этого сигнала. Действительно, многочисленные другие члены присутствуют в позициях вовремя и частоте, где энергия должна быть пустым указателем. Энергетическая спектральная плотность ясно показывает этому, только две частоты присутствуют в Доплеровский сигнал и выключатель между этими двумя частотами происходят в t = 125 s, как показанный в сигнале временного интервала. Эти интерфереционные члены исходят из bilinearity WVD. Распределение Wigner-Ville является квадратным в x, так, если x - сумма (а+b), распределение Wigner-Ville x содержит интерфереционный член 2ab в суммирование к желательному количеству (a2+b2). Эта интерференция называет результат в увеличенный уровень помех распределения Wigner-Ville относительно спектрограммы. Они неприятны, так как они могут наложиться с членами сигнала и таким образом сделать это трудный визуально интерпретировать изображение WVD. Однако, кажется, что эти члены должны присутствовать, или хорошие свойства WVD не могут быть удовлетворены. Фактически, есть принятие компромиссных решений между количеством интерференций и номером хороших свойства. Иллюстрация 2.16: трансформанта Wigner-Ville Доплеровского сигнала Практически, сглаживание вовремя и частота может драматично привести эти интерфереционные члены. Результат - выровненный - псевдо распределение Wigner-Ville (SPWVD), определенный где ⊗ определяет свертку относительно времени t. Функция г(t) сглаживание функции вовремя и h () ограничивает диапазон интеграла в τ. Ограничивание диапазона в τ эквивалентно сглаживанию в частоте. SPWVD приводит к условному распределению Wigner-Ville когда h () = 1 и г (t) = Дирак (t). 2.3.3 Заключение Распределение Wigner-Ville - один из фундаментальных методов, которые были разработаны за эти годы для гармонического анализа времени. Ввиду его замечательных математических структур и свойств, распределение Wigner-Ville хорошо распознано как эффективный метод за частоту времени (место wavenumber) анализ неустановившихся сигналов (формы волны). Несмотря на его врожденные слабости как bilinearity и перекрестные члены, распределение Wigner-Ville запускает центральную роль в поле билинейных/квадратных частотных временем представлений и может быть немного изменено, сглаживая в одной или двух размерностях, чтобы преодолеть его недостатки. В последние годы, это распределение служило полезным инструментом анализа во многих иных полях и в структурной дозиметрии в частности. 2.4 Резюме Обзор самых общих частотно-временных методов, используемых в структурной дозиметрии, установлен в этой главе. Внимание было обращено, чтобы описать эти различные методики физически больше чем математически через примеры. Стандартный Кратковременной Фурьеспектрометр показал некоторым ограничениям точно опишите нелинейные и неустановившиеся временные ряды. Его неполная частотно-временная разрешающая способность, его зависимость Фурье и ее кусочное стационарное предположение мешают использовать несмотря на ее простую реализацию. Распределение Wigner-Ville обладает примечательной математической структурой и некоторыми интересными свойствами в течение времени - гармонический анализ. Однако, это распределение страдает от тех же самых ограничений как Кратковременной Фурье-спектрометр, когда его недостатки (bilinearity, перекрестные члены) преодолены временем и частотным сглаживанием. Трансформанта небольшой волны в настоящее время - самый популярный частотный временем метод и используется во многих иных полях для анализа нелинейных и неустановившихся сигналов. Сдвинутые и масштабируемые функции базиса - главная причина для успеха небольших волн в обработке сигналов. Однако, одна трудность анализа небольшой волны - своя неадаптивная природа. Как только основная небольшая волна выбрана, нужно будет использовать ее, чтобы разложить все данные. Чтобы преодолеть этот недостаток, Huang [29] представляет новый адаптивный метод для того, чтобы анализировать нелинейные и неустановившиеся данные. Примечание: Если Вы использовали этот материал для каких-либо своих нужд и выполнили редактирование перевода, то прошу Вас выслать редактированный текст по E-mail davpro@yandex.ru. С удовольствием заменю на своем сайте нередактированный перевод Вашим с указанием Вашей фамилии и (если разрешите) электронного адреса. А.В.Давыдов.
