Document 3829223

ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ
РИ(ФИЛИАЛ) АлтГУ В Г. РУБЦОВСКЕ
«Утверждаю»
Директор РИ (филиала) АлтГУ
_____________ К.Г. Анисимов
«_____» _____________2009 г.
Учебно-методический комплекс
«Математика»
для студентов среднего профессионального образования
специальностей «Финансы»,
«Автоматизированные системы обработки информации»
Рубцовск 2009
Математики и
прикладной информатики
Математика
Кафедра
шифр и наименование
дисциплины
Статус дисциплины
Специальности
Объём дисциплины
общепрофессиональная
«Финансы»,
«Автоматизированные
системы обработки
информации и управления»,
294ч, .,
И.о. зав. кафедрой
математики и прикладной информатики
________________ Жданова Е.А.
Зам. директора по учебной работе
_________________Жданова Е.А.
Автор:Шмидт Н.М., к.п.н., старший преподаватель
кафедры математики и прикладной информатики
2
Содержание УМК
1. Программа курса дисциплины «Математика» ..................... 5
2.1 Тематический план дисциплины «Математика» ........... 5
2.2 Содержание учебной дисциплины (дидактические
единицы) ............................................................................................. 7
2.3 Планы семинарских занятий .......................................... 15
2.Материалы к промежуточной и итоговой аттестации......... 31
Вопросы к экзамену по математике .................................... 38
3. Методические рекомендации по освоению учебной
дисциплины…………………………………………………………..42
4. Литература………………………………………………….43
3
Пояснительная записка
Математика является универсальным языком, широко
используемым во всех сферах человеческой деятельности; она
обеспечивает изучение других дисциплин. Основной задачей курса
математики на базе 9-летней школы является прочное и
сознательное усвоение студентами математических знаний и
умений, необходимых для продолжения образования. Студенты
должны приобрести ряд общих умений, необходимых для
успешного усвоения математики, использовать полученные знания
при изучении смежных дисциплин; обосновывать решения задач;
самостоятельно изучать материал по учебникам и пособиям; уметь
пользоваться
справочной
литературой
и
электронновычислительной техникой.
При разработке данного курса особое внимание было
уделено следующим функциональным блокам:
Функции, их свойства, графики
Тригонометрические
функции,
тригонометрические
уравнения
Производная. Применение производной
Параллельность и перпендикулярность в пространстве
Многогранники, их поверхности, объемы
Тела вращения, их поверхности, объемы.
4
2. Программа курса дисциплины «Математика»
ДЕ II
13 часов
ДЕ I
19 часов
ДЕ 3
11 часов
Промежуточный контроль
3.Предел
и
непрерывность
функции
ДЕ 4
22 часа
Промежуточный контроль
Показательная,
логарифмическая,
степенная функция
ДЕ 5
22 часа
Промежуточный контроль
Тригонометрические
функции
Промежуточный контроль
4
5
6
Самост. работа
Семи
нары
Количество
аудиторных
часов при очной
форме обучения
Лекц
ии
Наименование тем
1
2
1.Уравнения,
неравенства.
Системы уравнений,
неравенств
Промежуточный контроль
2.Функции.
Свойства функций.
Графики функций
Максимальная
учебная
нагрузка
студента,
час
3
Всег
о
Дидактические
единицы
2.1 Тематический план дисциплины «Математика»
специальности «Финансы», «Автоматизированные системы
обработки информации и управления»
7
19
18
18
1
Письменная контрольная работа
13
12
12
1
Письменная контрольная работа
11
10
10
1
Письменная контрольная работа
22
20
20
2
Письменная контрольная работа
22
20
20
2
Письменная контрольная работа
5
ДЕ 6
15 часов
Тригонометрические
уравнения
и
неравенства
ДЕ 7
19 часов.
Промежуточный контроль
Прямые и плоскости
в пространстве
ДЕ 8
18 часов
Промежуточный контроль
Итоговый контроль
Векторы
и
координаты
в
пространстве
ДЕ 9
24 часа
Промежуточный контроль
Производная,
физический
и
геометрический
смысл производной
19
18
18
1
Письменная контрольная работа
Экзамен
18
16
16
2
Письменная контрольная работа
24
22
22
2
Письменная контрольная работа
ДЕ 11
14 часов.
ДЕ 10
21 час
Промежуточный контроль
Применение
производной
к
исследованию
функций
и
построению
графиков функций
Промежуточный контроль
Интеграл.
Приложения
интеграла
15
14
14
1
Письменная контрольная работа
ДЕ 12
22 часа
Промежуточный контроль
Многогранники,
поверхности
многогранников.
Тела вращений
Промежуточный контроль
21
20
20
1
Письменная контрольная работа
14
12
Коллоквиум
-
12
2
22
20
20
2
Письменная контрольная работа
6
ДЕ 13
22 часа
Объемы
геометрических тел
ДЕ 14
14 часов
Промежуточный контроль
Системы уравнений,
методы их решения
Промежуточный контроль
Итоговый контроль
ИТОГО
22
20
20
2
Письменная контрольная работа
14
12
12
2
Письменная контрольная работа
Экзамен
256
234
234
22
2.2 Содержание учебной дисциплины (дидактические единицы)
ДЕ I (19 часов)
Тема 1. Уравнение. Равносильность уравнений.
Неравенства. Системы уравнений, неравенств.
Требования к знаниям: Студент должен знать виды
уравнений, неравенств, систем неравенств, методы их решения.
Требования к умениям: Студент должен уметь решать
линейные, квадратные, иррациональные уравнения; неравенства с
одной переменной; системы с двумя переменными.
Содержание учебного материала (дидактические единицы):
Аудиторное
изучение:
Уравнения.
Равносильность
уравнений.
Линейные
уравнения.
Неравенства,
свойства
неравенств. Линейные неравенства. Системы линейных уравнений
и
неравенств.
Квадратные
уравнения
и
неравенства.
Иррациональные неравенства, методы их решения.
Самостоятельное изучение: Решение задач по теме
7
ДЕ II (13 часов)
Тема 2. Функции. Свойства функций, графики функций.
Требования к знаниям: Студент должен знать способы
задания функции, свойства функций, преобразования графиков
функций.
Требования к умениям: Студент должен уметь находить
область определения функции, исследовать функцию на четность,
нечетность, строить графики элементарных функций.
Содержание учебного материала (дидактические единицы):
Аудиторное изучение: функция, способы задания, область
определения, множество значений. Свойства функции: четность,
нечетность, периодичность. Преобразования графиков функций.
Самостоятельное изучение: Преобразования графиков
функций (сжатие к оси Оy); кусочные функции, их графики.
ДЕ III (11 часов)
Тема 3. Предел и непрерывность функции.
Требования к знаниям: Студент должен знать определение
непрерывной функции, формулировать свойства предела суммы,
произведения, частного функций.
Требования к умениям: Студент должен уметь вычислять
простые пределы функций, определять точки разрыва функции.
Содержание учебного материала (дидактические единицы):
Аудиторное изучение: Предел функции в точке. Теоремы о
пределах. Непрерывность функции, точки разрыва функции.
Самостоятельное изучение: Бесконечно малые, бесконечно
большие величины. Односторонние пределы.
ДЕ IV (22 часа)
Тема 4. Показательная, логарифмическая, степенная
функции.
Требования к знаниям: Студент должен знать определение,
свойства
логарифмов;
определения
показательной,
логарифмической, степенной функций; свойства этих функций
8
Требования к умениям: Студент должен уметь строить
графики показательной, логарифмической, степенной функций;
решать показательные, логарифмические уравнения, неравенства.
Содержание учебного материала (дидактические единицы):
Аудиторное изучение: Показательная функция, её свойства.
Логарифмы, их свойства. Показательные, логарифмические
уравнения, неравенства.
Самостоятельное изучение: Степенная функция, её
свойства.
ДЕ V (22 часов)
Тема 5. Тригонометрические функции.
Требования к знаниям: Студент должен знать определения
тригонометрических функций; свойства тригонометрических
функций; основные тригонометрические формулы.
Требования к умениям: Студент должен уметь вычислять
значения тригонометрических функций; выполнять тождественные
преобразования тригонометрических выражений; строить графики
тригонометрических функций.
Содержание учебного материала (дидактические единицы):
Аудиторное изучение: Синус, косинус, тангенс, котангенс
числового аргумента. Графики тригонометрических функций.
Тригонометрические формулы сложения, формулы двойного
аргумента, половинного аргумента. Формулы суммы и разности
одноименных тригонометрических функций.
Самостоятельное изучение: Свойства тригонометрических
функций. Преобразования графиков тригонометрических функций.
ДЕ VI (15 часов)
Тема 6. Тригонометрические уравнения и неравенства.
Требования к знаниям: Студент должен знать формулы для
решения простейших тригонометрических уравнений; типы
тригонометрических уравнений и методы их решения.
Требования к умениям: Студент должен уметь решать
тригонометрическое уравнения разных типов; решать простейшие
тригонометрические неравенства.
Содержание учебного материала (дидактические единицы):
9
Аудиторное
изучение:
Аркфункции.
Простейшие
тригонометрические
уравнения.
Методы
решения
тригонометрических уравнений. Простейшие тригонометрические
неравенства.
Самостоятельное изучение: Аркфункции. Гармонические
колебания. Графики гармонических колебаний.
ДЕ VII (19 часов)
Тема 7. Прямые и плоскости в пространстве.
Требования к знаниям: Студент должен знать основные
понятия и аксиомы стереометрии; теоремы о параллельности и
перпендикулярности прямых и плоскостей.
Требования к умениям: Студент должен уметь применять
теоремы при решении задач, для доказательства других теорем.
Содержание учебного материала (дидактические единицы):
Аудиторное изучение: Аксиомы стереометрии и следствия
из них. Взаимное расположение прямых в пространстве.
Параллельность
прямых
и
плоскостей.
Ортогональное
проектирование.
Двугранные
углы.
Перпендикулярность
плоскостей.
Самостоятельное изучение: Параллельное проектирование,
его
свойства;
изображение
фигур
при
параллельном
проектировании. Перпендикуляр и наклонная.
ДЕ VIII (18 часов)
Тема 8. Векторы и координаты в пространстве.
Требования к знаниям: Студент должен знать определение
вектора; признаки коллинеарности векторов, действие над
векторами, формулы длины вектора и угла между векторами;
уравнение прямой, уравнение окружности, эллипса, гиперболы.
Требования к умениям: Студент должен уметь выполнять
линейные операции над векторами; разлагать вектор на
составляющие; находить скалярное произведение векторов;
составлять уравнения прямой, окружности.
Содержание учебного материала (дидактические единицы):
10
Аудиторное изучение: векторы в пространстве, действия над
векторами. Скалярное произведение векторов. Угол между
векторами. Уравнение прямой.
Самостоятельное изучение: Уравнение окружности,
эллипса, гиперболы.
ДЕ IX (24 часа)
Тема 9. Производная. Физический и геометрический
смысл производной.
Требования к знаниям: Студент должен знать определение
производной функции в точке; правила дифференцирования;
физический и геометрический смысл производной; производные
показательной,
логарифмической,
степенной
функций;
производные высших порядков.
Требования к умениям: Студент должен уметь находить
производные элементарных функций, записывать уравнение
касательной; находить скорость и ускорение; находить вторую
производную функции.
Содержание учебного материала (дидактические единицы):
Аудиторное изучение: Определение производной функции.
Правила вычисления производной. Уравнение касательной.
Скорость и ускорение. Производная сложной функции.
Производная показательной, логарифмической функции. Вторая
производная.
Самостоятельное
изучение:
Производные
тригонометрических функций. Производная степенной функции.
Производные высших порядков.
ДЕ X (21 час)
Тема 10. Применение производной к исследованию
функций и построению графиков.
Требования к знаниям: Студент должен знать признаки
возрастания, убывании функций; признаки максимума, минимума
функции; общую схему исследования функции; понятие
дифференциала функции.
Требования к умениям: Студент должен уметь применять
производную при исследовании функций на монотонность и
экстремумы; строить графики функции; находить наибольшее и
11
наименьшее значения функций на отрезке; решать несложные
прикладные задачи; находить дифференциал функции.
Содержание учебного материала (дидактические единицы):
Аудиторное изучение: Возрастание, убывание функции.
Экстремумы функции. Применение производной к исследованию
функции и построение графика функции. Наибольшее, наименьшее
значение функции на отрезке.
Самостоятельное изучение:
Прикладные задачи на экстремум. Дифференциал.
Простейшие дифференциальные уравнения.
ДЕ XI (14 часов)
Тема 11. Интеграл. Приложения интеграла.
Требования к знаниям: Студент должен знать определение
первообразной, неопределенного интеграла; находить площадь
криволинейной трапеции.
Требования к умениям: Студент должен уметь находить
неопределенные интегралы; вычислять определенные интегралы;
находить площадь криволинейной трапеции; решать простейшие
прикладные задачи.
Содержание учебного материала (дидактические единицы):
Аудиторное изучение: Первообразная. Неопределенный
интеграл. Определенный интеграл, формула Ньютона-Лейбница.
Площадь криволинейной трапеции.
Самостоятельное
изучение: приложения
интеграла:
площади фигур, объемы тел вращения. Приложения интеграла:
работа силы, давление жидкости.
ДЕ XII (22 часа)
Тема 12. Многогранники, поверхности многогранников.
Тела вращения, площади их поверхностей.
Требования к знаниям: Студент должен знать определения
призмы, параллелепипеда, пирамиды, цилиндра, конуса, шара,
сферы; формулы поверхностей многогранников и тел их вращения;
правильные многогранники.
Требования к умениям: Студент должен уметь вычислять
основные элементы многогранников и тел вращения; строить и
12
вычислять площади простейших сечений многогранников;
вычислять площади поверхностей тел.
Содержание учебного материала (дидактические единицы):
Аудиторное изучение: Призма. Параллелепипед. Пирамида.
Их свойства, площадь поверхности. Тела вращения: цилиндр,
конус, шар, сфера, площадь их поверхности.
Самостоятельное
изучение:
Усеченная
пирамида,
усеченный конус, правильные многогранники.
ДЕ XIII (22 часа)
Тема 13. Объемы геометрических тел.
Требования к знаниям: Студент должен знать формулы
объемов многогранников и тел вращения; применять эти формулы
при решении задач.
Требования к умениям: Студент должен уметь находить
объем призмы, параллелепипеда, пирамиды, цилиндра, конуса,
шара и многогранников.
Содержание учебного материала (дидактические единицы):
Аудиторное изучение: объем параллелепипеда, призмы,
пирамиды. Объем цилиндра, конуса, шара.
Самостоятельное
изучение:
Объем
частей
шара.
Комбинации шара и многогранников.
ДЕ XIV (14 часов)
Тема 14. Системы уравнений. Методы их решения.
Требования к знаниям: Студент должен знать методы
решения систем линейных уравнений с двумя, тремя переменными
– правило Крамера, метод Гаусса.
Требования к умениям: Студент должен уметь решать
системы линейных уравнений с двумя, тремя переменными; уметь
находить определители второго, третьего, четвертого порядка.
Содержание учебного материала (дидактические единицы):
Аудиторное изучение: Определители второго, третьего
порядка. Систем линейных уравнений с двумя, тремя
неизвестными. Методы решения: правило Крамера, метод Гаусса.
13
Самостоятельное изучение: Определитель 4-го порядка.
Исследование решения систем линейных уравнений.
14
2.3 Планы семинарских занятий
Тема 1. Уравнения, неравенства. Системы уравнений,
неравенств.
Семинарское занятие .
План.
Линейное уравнение. Корень уравнения.
Равносильность уравнений. Теоремы о равносильности.
Линейные неравенства с одной переменной. Свойства
неравенств.
Системы двух линейных уравнений с двумя
неизвестными. Методы решения.
Системы двух линейных неравенств с двумя
неизвестными.
Квадратные уравнения. Уравнения, приводимые к
квадратным. Методы решения.
Квадратные неравенства. Методы решения.
Иррациональные
уравнения.
Простейшие
иррациональные неравенства.
Примерные задачи и упражнения.
Решить уравнение
1
3
x 0
3
4
x  2 3x  2

1
б)
4
2
а)
Решить неравенство
37  2 x
3x  8
x
9
3
4
2
2
2
б) 8 x  ( x  1)  (2  3x)  4
а)
Решить систему уравнений
3x  5 y  14
2 x  4 y  20
а) 
15
б)
3x  5 y x  2 y

 10
3
6
4. Решить уравнение
2
2
а) 3 x  6 x  8 x  9 x
б) 5 x  26 x  24  0
2
x(2 x  3) (3x  1) 2 ( x  3) 2


1
2
5
5
6
13  x
3
2



0
г) 2
x 9 3 x x 3 3 x
2
2
д) 4 x  65 x  16  0
в)
Решить неравенство
2
а) x  8 x  20  0
б)  4 x  13x  12  0
2
в)
5x  8
0
7  3x
Решить уравнение
а)
x 1  x  3  0
б)
x2  x4
x 2  5x  1  2 x  1
г) 5 x  20  x  8  2
2x  5
д)
x  2  x  2
в)
Решить неравенство
2x  3  3
б) 1  4 x  5
в) x  3  x  1
а)
Составить квадратное уравнение с корнями:
16
а) -2
б)
1
; -1
2
Тема 2. Функции. Свойства функций. Графики функций.
Семинарское занятие.
План:
Определение функции. Область определения, область
значений функции.
Способы задания функции.
Свойства функции: четность, нечетность, периодичность.
Возрастание, убывание функции.
Обзор элементарных функций:
Линейная функция
Функция y=k/x
Квадратичная функция
График функции. Элементарные преобразования графиков
функций.
Примерные задачи и упражнения.
Найти область определения функции
а) y 
2x  3
3x  4
б) y 
x 2  2x
Построить график функции
y = 4x + 3
1
x2
y  2x  1
y
y  x 2  2x  3
Исследовать на четность, нечетность функцию
4
x 1
f ( x)  x 4  x 2  5
f ( x) 
2
17
f ( x)  x 5  x 3
В одной и той же системе координат построить графики
функций
y  x2
y  x 2 -2
y  3x 2
y  ( x  2) 2  1
y  ( x  2) 2  1
Тема 3 Предел и непрерывность функции.
Семинарское занятие .
1. Предел функции в точке.
2. Теоремы о пределах.
3. Непрерывность функции.
4. Точки разрыва функции.
5. Бесконечно большие, бесконечно малые величины.
Односторонние пределы.
Примерные задачи и упражнения.
1. Найдите предел функции
а)
( x 3  2 x  7)
lim
x 1
б)
lim
x 1
x 1
x3
в) lim 2
x 3 x  9
x 2  7 x  10
г) lim 2
x 5 x  9 x  20
x4
2. Является ли функция непрерывной в точках x1= 0; x2 = -1;
если
4
а) f ( x)  x  x  1
18
б)
x  1
f ( x)   2
x  x
3. Найдите промежутки непрерывности функции
а) f ( x)  x 3  2 x
б)
в)
x 3  10
f ( x) 
3x  x 2
x 2  5x  6
f ( x) 
x3  8
Тема 4. Показательная, логарифмическая, степенная
функции.
Семинарское занятие.
План:
Показательная функция, её свойства.
Логарифмы. Свойства логарифмов.
Логарифмическая функция, ее свойства.
Показательные,
логарифмические
уравнения,
неравенства. Методы их решения.
Степенная функция, ее свойства.
Примерные задачи и упражнения.
1. Перечислите свойства функции и постройте ее
график
а)
y=0.7x
б)
y  2.5 x
г)
y  log 3 x
y  log 1 x
д)
yx
в)
3
3
2. Упростите выражения
a.
1,7 log1.7
б)
3 2  log3
4
5
19
1
в)  
2
4 log 1 3
2
3. Прологарифмируйте по основанию 10, где a>0, b>0,
c>0.
а) 100 ab 3 c 4
1
0.001a 5
б)
1
3
b c4
4. Решите уравнение
2 x  2 x0.5  4 2
x 1
x
б) 2  3  3  15
x
x
в) 49  8  7  7  0
г) log 1 2 x  4   2
2
а)
2
lg x  9  lg 2x  1  2
2
е) log 3  2 log 3 x  3  0
д)
5. Решите неравенство
2 x 3
1
2  
2
x2
3  3 x 1  28
lg 2x  3  lg x  1
log 22 x  log 2 x  6
2x  3  x
x2
6. Решите систему уравнений
log 1 x  y   2
 3

log 3 x  y   2
20
3 x  2 y  576

log 2  y  x   4
Тема 5 Тригонометрические функции
Семинарское занятие .
План
1.
Радианное измерение углов. Синус, косинус, тангенс,
котангенс числового аргумента.
2.
Свойства тригометрических функций.
3.
Графики тригонометрических функций
4.
Тригонометрические формулы сложения.
5.
Формулы двойного угла, половинного угла.
6.
Формулы
суммы
и
разности
одноименных
тригонометрических функций.
7.
Формулы приведения.
Примерные задачи и упражнения
1.
Найдите значения
функций, если
остальных
тригонометрических
15 3
,
   2
17
2
1
3
ctg  ,    
2
2
sin   
а)
б)
2.
Определить знак выражения
а) sin100°·cos200°· tg300°
б) cos210° · sin41°·ctg265°
3.
Упростите выражение
а). sin   cos   tg  ctg 
б). 1  tg   1  tg 
2
в)
4.
2
sin 2   1
 tg 2
4
cos 
Докажите тождество
21
tg
´sin 2 
tg  ctg
2 sin   sin 2

 ctg 2
б)
2 sin   sin 2
2
в) 8 sin 10  sin 50  sin 70  1
а)
5.
Построить график функции
а) y=2 sin x
б)
в)
г)
д)
1
cos x
2
y  sin 2 x
x
y  cos
2
1 

y  sin  x  
2 
4
y
Тема 6. Тригонометрические уравнения и неравенства.
Семинарское занятие.
План:
Аркфункции.
Простейшие тригонометрические уравнения.
Методы решения тригонометрических уравнений.
Простейшие тригонометрические неравенства.
Примерные и задачи и упражнения.
1. Вычислите
а)
б)

3
2
  arctg  1  arccos
2 arcsin  

2
 2 
1
 1 
3 arcsin  4 arccos 
  arcctg  3
2
2


2. Решите уравнение
22

а)
б)
в)
г)
2
2
sin x  
3
3
1
cos 3 x 
2
x
tg  1
2
ctgx 
д)
sin( x 
е)
tg ( 2 x 

6
) 1

3
)0
3. Решите уравнение.
3
4
2
sin x  sin x  2  0
6 sin 2 x  5 cos x  2  0
tgx  2ctgx  3
3sin x  2 cos x  0
3 sin 2 x  4 sin  cos x  cos 2 x  0
sin 2 x  2 sin x  cos x  0
sin x  cos x 
4. Решите неравенство
1
2
а)
sin x 
б)
cos x  
в)
tgx  1
2
2
Тема 7. Прямые и плоскости в пространстве.
Семинарское занятие.
План:
1. Аксиомы стереометрии и следствия из них.
23
2.
3.
4.
5.
Параллельные прямые в пространстве.
Параллельность плоскостей в пространстве.
Перпендикулярность прямых и плоскостей.
Перпендикуляр
и
наклонная.
Ортогональное
проектирование.
Примерные задачи
Через концы отрезка АВ и его середину М проведены
параллельные прямые, пересекающие плоскость в
точках А1 , В1 и М1. Найдите длину отрезка ММ1, если
отрезок АВ не пересекает плоскость, и если АА1=8,3
см, ВВ1=4,1 см.
Через конец А отрезка АВ проведена плоскость. Через конец
В и точку С этого отрезка проведены параллельные
прямые, пересекающие плоскость в точках В1 и С1.
Найдите длину отрезка ВВ1, если АВ=6 см,
АС:СС1=2:5.
Через вершину А прямоугольника АВСД проведена прямая
АК, перпендикулярная его плоскости. Расстояние от
точки К до других вершин прямоугольника равны 6 см,
7 см, 9 см. Найти длину отрезка АК.
Из точки к плоскости проведены две наклонные, равные 10
см и 17 см. Разность проекции этих наклонных равна 9
см. Найдите проекции наклонных.
Стороны равностороннего треугольника равны 3 дм. Найдите
расстояние до плоскости треугольника от точки, если
точка находится на расстоянии 2 дм от каждой из его
вершин.
Тема 8. Векторы и координаты в пространстве.
Семинарское занятие.
План:
1. Векторы в пространстве.
2. Действия над векторами.
3. Прямоугольная система координат. Действия над
векторами, заданными в координатной форме.
4. Скалярное произведение векторов, угол между
векторами.
5. Уравнение прямой.
24
Примерные задачи и упражнения.
Даны точки А (-3;2; -1), В (2;-1;-), С (1;-4;3), Д (-1;2;2).
Найдите / 2 АВ  3СД /
Найдите косинус угла между векторами АД и
ВС
При
каком
значении
К
векторы
а (6-К; К; 2) и
в(3;5  5К ;9) перпендикулярны ?
При каком значении а векторы АВ и СД коллинеарны,
если А (-2;-1;2), В (4;-3;6), С (-1; а-1;1), Д (-4;-1;а) ?
 
Дано: / а /  4 ; / в /  1 ,  а;в  60 . Найдите соs α, где α
– угол между векторами а  в и в .
Тема 9. Производная. Физический и геометрический
смысл производной.
Семинарское занятие.
План:
Приращение функции. Определение производной.
Правила вычисления производной.
Уравнение касательной. Геометрический смысл производной.
Скорость и ускорение. Физический смысл производной.
Производная сложной функции.
Производные тригонометрических функций.
Производные степенной, показательной, логарифмической
функций.
Вторая производная, производные высших порядков.
Примерные задачи и упражнения.
Найдите производные функций
f x   2 x 3  4 x 2  5 x  3
f  x    x  1  x  1
f x  
x 1
x
25
f x   l 4 x 3
x 1
f  x   ln 2
x 1
Составьте уравнение касательной к параболе y=2x2-12x+20 в
точке с абсциссой x=4.
Скорость точки, движущейся прямолинейно, задана
уравнением V=2t2-5t+6. В какой момент времени
ускорение точки будет равно 2 м/с2?
Тема 10. Применение производной к исследованию
функций и построению графиков функций.
Семинарское занятие.
План:
Возрастание, убывание функции.
Экстремумы функции.
Общая схема исследования функции.
Применение производной к исследованию функций и
построению графиков функций.
Наибольшее и наименьшее значения функции.
Примерные задачи.
Найти промежутки
y=x3+3x2+4
Исследовать
возрастания
y
функцию
и
убывания
функции
2 3
x  4 x 2  10
3
на
монотонность,
экстремумы.
Построить
график
функции.
Исследовать функцию y=x3-6x2+6x-2 на выпуклость и точки
перегиба.
Найти наибольшее и наименьшее значение функции y=x44x+4 на отрезке [0;5]
В равносторонний треугольник со стороной 12 см вписан
прямоугольник наибольшей площади. Найти длины
сторон прямоугольника.
Тема 11. Интеграл. Применение интеграла.
Семинарское занятие.
26
План:
1. Первообразная.
2. Неопределенный интеграл.
3. Определенный интеграл. Формула Ньютона-Лейбница.
4. Площадь криволинейной трапеции.
Примерные задачи.
Найти первообразную функции
f  x   4 x 3  3x 2  2 x  5
x
f x   cos 2 x  sin
4
4
f x  
cos 2 3 x
Найти неопределенный интеграл
4
3 2

x  8 dx
2

 2 dx
  3 x
 e
 sin
2x
2
3

cosxdx
Вычислить интеграл
 4 x
2
а)
3
 6 x 2  2 x  1dx
1

4
б)

1
  cos

2

 sin x dx
x

4
Вычислить площадь фигуры, ограниченный линиями
y=-x2+9, y=0
y=x2; y=4x-3
Тема 12. Многогранники. Поверхности многогранников.
Тела вращения.
Семинарское занятие.
План.
27
Многогранник
Призма. Поверхность призмы
Параллелепипед, его свойства.
Пирамида. Поверхность пирамиды
Тела вращения. Цилиндр, конус. Поверхность цилиндра,
конуса.
Сфера и шар.
Правильные многогранники.
Примерные задачи.
1. В прямой треугольной призме все ребра равны. Площадь
боковой поверхности равна 12 м2. Найти высоту призмы.
2. Ребра прямоугольного параллелепипеда относятся как
3:7:8, площадь поверхности равна 808 см2. Определить
длины ребер параллелепипеда.
3. Диагональ основания правильной 4-угольной пирамиды
равна 6 см, ее боковая грань образует с плоскостью
основания угол 30°. Найти поверхность пирамиды.
4. Осевое сечение цилиндра – квадрат, площадь которого 80
см2. Найти площадь сечения, проведенного параллельно
оси цилиндра, если его диагональ равна 10 см.
5. В шаре на расстоянии 17 см от центра проведена секущая
плоскость. Найти площадь сечения, если радиус шара 25
см.
6. Площадь основания конуса 9π см2, площадь полной
поверхности его 24π см2. Найти высоту конуса.
Тема 13. Объемы геометрических тел.
Семинарское занятие.
План:
1. Объем параллелепипеда.
2. Объем призмы.
3. Объем пирамиды.
4. Объем цилиндра, конуса.
5. Объем шара и его частей.
Примерные задачи.
28
Измерение прямоугольного параллелепипеда 15, 50 и 36 м.
Найти ребро равновеликого ему куба.
В правильной 4-угольной пирамиде высота 3 см, боковое
ребро 5 см. Найти объем пирамиды.
Осевое сечение цилиндра – прямоугольник со сторонами 8 дм
и 12 дм. Найти объем цилиндра.
Образующая конуса наклонена к плоскости основания под
углом 30°, радиус основания равен 3 дм. Найти объем
конуса.
Радиус шара равен 4 м. Найти объем шарового сегмента
высотой, равной 3 м.
Тема 14. Системы уравнений. Методы их решения.
Семинарское занятие.
План.
1. Системы двух и трех линейных уравнений с двумя и
тремя переменными.
2. Определитель второго, третьего порядка.
3. Правило Крамера.
4. Метод Гаусса.
Примерные задачи.
Решить систему уравнений
4 x  9 y  11
2 x  y  11
а) способом сложения 
4 x  9 y  22
11x  5 y  1
б) способом подстановки 
5 x  8 y  22
3x  2 y  22
в) по правилу Крамера 
Решить систему уравнений
5 x  3 y  2 z  19

а) по правилу Крамера 4 x  5 y  3z  31
3x  7 y  4 z  31

29
2 x  y  2 z  3
б) методом Гаусса x  2 y  z  4
3x  y  3z  3
30
2. Материалы к промежуточной и итоговой аттестации.
ДЕ I
Письменная контрольная работа.
Вариант I.
1. Решить уравнение:
а)
б)
в)
г)
д)
е)
x  9 x 1

2
3
5
5 x 2  3x  2  0
2x 2  x  0
x 4  2x 2  8  0
16
x
2


2
x  16 x  4 x  4
3x  1  x  1
2. Решите неравенство:
а) 19-7x<20-3(x-5)
б) x2+3x+2<0
2x  4
0
3x  9
г) x  1  3
в)
ДЕ II
Письменная контрольная работа.
Вариант I.
Найдите область определения функции:
x2
а) f ( x) 
2x  5
б) f ( x)  4 x  8  2  x
в) f ( x) 
3x 2  4 x  15
Постройте график функции
31
а) y   x 2  x  12
б) y  ( x  5)
в) y 
2
2x  3
x 1
ДЕ III
Письменная контрольная работа
Вариант I
Найдите пределы
1. lim (2 x  3x  1
2
x 2
x2
x  3 5 x  1
x 2  25
3. lim
x 5 x  5
x 2  2x  3
4. lim
x 3
x2  9
1 x 1
5. lim
x 0
x
2
4x
6. lim 2
x  x  1
x2  4
7. lim
x  2 x 3  x  3
2. lim
ДЕ IV
Письменная контрольная работа.
1. Решите уравнение:
8  2ч  4
ч
ч 3
 22
б) 2  3  2
2ч
ч
в) 3  4  3  3  0
а).
32
г) log 3 (1  4 x)  2
д) log 3 x  log 2 ( x  1)  1
е) log 3 x  log 9 x  log 1  1
3
2. Решите неравенство:
а) 3
ч 2 4
 243
ч2
ч2
2
3
б)     
3
2
ч
2ч
x
2x
в) 25  49  5  9  17  3
г) log 5 (2 x  3)  2
д) log 1 (1  3 x)  log 1 ( 4 x  5)
2
2
ДЕ V
Вопросы к коллоквиуму:
Радианное измерение углов
Единичная окружность
Определение синуса, косинуса, тангенса, котангенса
числового аргумента
Основные тригонометрические тождества
Формулы приведения
Формулы сложения
Формулы двойного аргумента
Формулы половинного аргумента
Формулы
суммы
и
разности
одноименных
тригонометрических функций
Графики тригонометрических функций
Свойства тригонометрических функций
ДЕ VI
Письменная контрольная работа.
Вариант I.
Решите уравнение:
33
3
2


cos 3x    0
4



tg  x    3
6

2
sin x  sin x  cos x  0
2 sin 2 x  3 sin x cos x  cos 2  0
cos 2 x  cos x  2  0
sin x  cos x  1
1. sin 2 x  
2.
3.
4.
5.
6.
7.
ДЕ VII
Письменная контрольная работа.
Вариант I.
1.
2.
3.
Плоскость α пересекает стороны МР и КР треугольника
МРК в точках N и E соответственно, причем МК//α.
Найдите , NE если МК=12 см, MN:NP=3:5.
Расстояние от середины отрезка АВ до плоскости α
равно 7 см. Найдите расстояние от точки А до
плоскости, если точка В лежит в этой плоскости.
Из точки не принадлежащей данной плоскости,
проведены к ней две наклонные, сумма длин которых
равна 28 см. Проекции этих наклонных на плоскость
равны 6 см и 8 см. Найдите длины наклонных.
ДЕ VIII
Письменная контрольная работа.
Вариант I
Даны точки А (2;3;-1), В (1;-1;0). Найдите длину вектора АВ


Даны векторы а (1;-14;2), в (3;0;-2). Найдите:


а) а  в
34

б) / а /


в) 2 а  3 в


г) / 2 а  3 в /
 
д) а  в
 
е) cos( a; b )

А (-2;-1;-3),
n (4;1;-2). Напишите уравнение плоскости,

проходящей через точку А перпендикулярно вектору n .
ДЕ IX
Письменная контрольная работа.
Вариант I.
Найдите производную функции:
а) f ( x)  2 x  4 x
7
3
, f (1)
x
x3
, f `( 2)
2x  5
10
100
в) f ( x)  100 x  10 x ; f `( 1)
б) f ( x) 
Решите неравенство
f `( x)  0, если f ( x)  6 x  3x 2
Напишите уравнение касательной к графику функции
f ( x)  6 x  3x 2 в точке с абсциссой x0  3
Тело движется по закону S (t )  16t  2t . Найдите скорость
и ускорение тела в момент времени t=2с.
3
ДЕ X
Письменная контрольная работа.
Вариант I.
35
Исследуйте функцию на монотонность, экстремумы, точки
перегиба
и
постройте
ее
график
y
2 2
x  4 x 2  10
3
Найдите наибольшее и наименьшее значение функции
f ( x)  2 x 4  8 x на отрезке [-2;1].
ДЕ XI
Вопросы к коллоквиуму:
Первообразная. Основное свойство первообразной.
Три правила вычисления первообразных.
Неопределенный интеграл.
Свойства неопределенного интеграла.
Определенный интеграл.
Свойства определенного интеграла.
Площадь криволинейной трапеции.
Формула Ньютона-Лейбница.
ДЕ XII
Письменная контрольная работа.
Вариант I.
Основание прямой треугольной призмы – прямоугольный
треугольник с катетами 0,7 см и 2,4 см. Боковое ребро
призмы 10 см. Найдите площадь боковой и полной
поверхности призмы.
В прямоугольном параллелепипеде высота равна 8 см, а
стороны основания 7 см и 24 см. Найдите площадь
диагонального сечения призмы.
Высота правильной четырехугольной пирамиды равна 7 см, а
сторона основания 8 см. Найти площадь боковой
поверхности пирамиды.
ДЕ XIII
Письменная контрольная работа.
36
Вариант I.
Диагональ куба равна 12 см. Найдите объем куба.
Стороны основания прямого параллелепипеда равны 1 дм и
2 2 дм, угол между ними 45°. Найдите объем
параллелепипеда,
если
площадь
его
меньшего
2
диагонального сечения равна 45дм .
Объем цилиндра равен 63πсм3, а площадь осевого сечения 18
см2. Найдите радиус цилиндра.
Радиус шара 15 см. Найдите площадь сечения шара
плоскостью, проведенной на расстоянии 9 см от центра
шара.
ДЕ XIV
Письменная контрольная работа.
Вариант I.
1. Решите систему двумя способами:
4 x  2 y  10
2 x  y  1
а) 
4 x  y  6
10 x  2.5 y  15
б) 
2. Решите систему по правилу Крамера и методом Гаусса:
 x  y  z  1

3x  2 y  4 z  9
2 x  3 y  2 z  1

3. Решите систему уравнений с параметром:
mx  y  1

 x  my  1
37
Вопросы к экзамену по математике
1 курс
1 семестр.
Функция. Способы задания функции.
Область определения, множество значений функции.
Обратная функция.
Возрастание, убывание функции.
Четность, нечетность функций.
Преобразование графика y = f(x) + a
Преобразование графика y = f(x – a).
Предел функции в точке. Свойства предела.
Теоремы о пределах.
Линейная функция, ее свойства, график.
Квадратичная функция, ее свойства, график.
Непрерывность функции. Точки разрыва.
Применение непрерывности, метод интервалов.
Показательная функция, ее свойства, график.
Логарифм. Основное логарифмическое тождество.
Свойства логарифмов.
Десятичный логарифм. Логарифмирование и потенцирование.
Логарифмическая функция, ее свойства, график.
Тригонометрические функции числового аргумента. Основные
тригонометрические тождества.
Знаки тригонометрических функций.
Функция y = sinx, ее свойства, график.
Функция y = cosx, ее свойства, график.
Функция y = tgx, ее свойства, график.
Взаимное расположение прямых в пространстве, угол между
прямыми.
Существование плоскости, проходящей через данную прямую и
данную точку.
Пересечение прямой и плоскости.
Существование плоскости, проходящей через три данные
точки.
Параллельность прямых в пространстве.
Признак параллельности прямой и плоскости.
Аксиомы стереометрии.
Свойства параллельных плоскостей.
Признак параллельности плоскостей.
38
Перпендикулярность прямых в пространстве.
Признак перпендикулярности прямой и плоскости.
Перпендикулярность прямых и плоскостей.
Теорема о трех перпендикулярах.
Перпендикуляр и наклонная.
Двугранный угол. Угол между плоскостями.
2 семестр.
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.
16.
17.
18.
19.
20.
21.
Приращение
функции.
Геометрический
смысл
приращения функции.
Определение производной. Алгоритм нахождения
производной по определению.
Производные функций y = C (C – const), y = x, y = kx + b
(по определению).
Производная суммы.
Правила
вычисления
производных:
производные
произведения, частного, степенной функции.
Производные тригонометрических функций (cos/x – с
выводом).
Производные тригонометрических функций (ctg/x – с
выводом).
Возрастание, убывание функции.
Касательная к графику функции. Геометрический смысл
производной.
Уравнение касательной.
Признаки максимума и минимума функции.
Применение производной к исследованию функции и
построению графиков.
Наибольшее и наименьшее значения функции на отрезке.
Вторая производная.
Применение второй производной при исследовании
функции на экстремум.
Применений второй производной при исследовании
функции на выпуклость, вогнутость, перегиб функции.
Асимптоты графика функции.
Производные функций y = ex, y = ax.
Производная логарифмической функции.
Число е.
Производные тригонометрических функций (tg/x – с
выводом).
39
22.
23.
24.
25.
26.
27.
28.
29.
30.
31.
32.
33.
34.
35.
36.
37.
38.
39.
40.
41.
42.
43.
44.
45.
46.
47.
48.
49.
50.
51.
Правило Крамера при решении системы линейных
уравнений с двумя переменными.
Геометрическая
интерпретация
решения
систем
линейных уравнений с двумя переменными.
Определитель
3
–
го
порядка.
Главный
и
вспомогательный определители системы линейных
уравнений с тремя переменными.
Правило Крамера при решении систем линейных
уравнений с тремя переменными.
Определитель
2
–
го
порядка.
Главный и
вспомогательный определители системы линейных
уравнений с двумя переменными.
Первообразная. Основные свойства первообразных.
Три правила вычисления первообразной.
Неопределенный интеграл, его свойства.
Физический смысл производной. Скорость и ускорение.
Векторы в пространстве.
Коллинеарные и компланарные векторы.
Скалярное произведение векторов.
Многогранники, определение, элементы, виды.
Призма, определение, элементы, виды призм.
Поверхность призмы. Теорема о боковой поверхности
прямой призмы.
Параллелепипед,
определение,
элементы,
виды
параллелепипеда.
Теорема о противоположных гранях параллелепипеда.
Теорема о диагонали прямоугольного параллелепипеда.
Теорема о боковой поверхности наклонной призмы.
Теорема о диагоналях параллелепипеда.
Двугранный угол, измерения двугранных углов.
Трехгранный угол, многогранные углы.
Пирамида, определение, элементы, виды пирамид.
Поверхность пирамиды. Теорема о боковой поверхности
правильной пирамиды.
Многогранник, вписанный в шар.
Многогранник, описанный около шара.
Правильные многогранники.
Цилиндр, определение, виды, сечения цилиндра
плоскостью.
Поверхность цилиндра. Вписанная и описанная призмы.
Конус, определение, элементы, сечение конуса
плоскостью.
40
52.
53.
54.
55.
56.
57.
58.
59.
60.
Поверхность конуса. Вписанная и описанная пирамиды.
Теорема о сечении шара плоскостью.
Касательная плоскость к шару. Теорема о касательной
плоскости.
Объем параллелепипеда.
Объем призмы.
Объем пирамиды.
Объем цилиндра, конуса.
Объем шара.
Шар, сфера, определения, элементы.
41
3. Методические рекомендации по освоению учебной
дисциплины
Дисциплина «Математика» изучается на первом курсе
специальности «Автоматизированные системы обработки
информации и управления», «Финансы», «Правоведение».
Вся дисциплина разбита на три ДЕ, по итогам каждой
имеется промежуточная аттестация. Итоговой контрольной точкой
является экзамен.
Владение основами теории математики предполагает знание
основных понятий, определений и теорем курса, умение применять
их при решении практических задач. Чтобы соответствовать этим
требованиям, студенту необходимо уделять большое внимание изучению
материалов лекционных и практических занятий
42
4. Литература
1. Н.В. Богомолов. Практические занятия по
математике. - М.: «Высшая школа»,2000
2. А.В. Погорелов.Геометрия 7-11. М.: Просвещение,
1999.
3. Математика для техникумов. Алгебра и начала
анализа. Под ред. Г.Н. Яковлева – М.: Наука 1988.
4. Алгебра и начало анализа 10-11 под ред.А.Н.
Колмагорова М.: «Просвещение», 1999.
5. И.А. Зайцев Элементы высшей математики для
техникумов М.: «Наука», 1984
6. Р.А. Калнин Алгебра и элементарные функции М.:
«Наука», 1982
7. Л.С. Атанасян Геометрия 10-11 М.:
«Просвещение»,1999
8. Н.В. Богомолов Сборник дидактических заданий по
математике М.: «Высшая школа», 1986
9. С.М. Никольский Элементы математического
анализа М.: «Наука», 1989
10. А.Д. Кутасов Пособие по математике для
поступающих в вузы М.: «Наука», 1985
43