Моделирование узкополосных сигналов

УМК «Моделирование радиот ехнических уст ройст в, сист ем и сиг налов»
Практическое занятие №3
Моделирование узкополосных сигналов и помех
3.1.
Цели практического занятия:
В процессе выполнения практического занятия студенты приобретают
навыки моделирования узкополосных процессов методом комплексной
огибающей.
3.2. Моделирование сигналов и помех методом комплексной
огибающей
В радиотехнике широко распространены узкополосные сигналы и
узкополосные линейные системы. В общем виде узкополосный сигнал можно
представить как квазигармоническое колебание с медленно изменяющимися
амплитудой и фазой:
u t   U t cos c t  t  ,
(3.1)
где U t  - огибающая;
 t  - медленно меняющаяся фаза;
 c - частота сигнала.
Узкополосные (избирательные) линейные системы можно определить как
системы, у которых импульсная характеристика представляет собой колебание
с некоторой средней частотой  0 , равной резонансной частоте системы, и
медленно меняющимися по сравнению с cos 0t  огибающей H t  и фазой
h t  :
h t   H t cos 0t  h t .
Частотная характеристика узкополосной системы обладает резонансным
свойством на частоте 0 , при этом полоса пропускания системы П много
меньше резонансной частоты:  П / 0  1 . Частотный спектр узкополосного
колебания группируется в области средней частоты c , причем c / c  1 , где
c - ширина спектра сигнала.
При цифровом моделировании производится временная дискретизация
непрерывных сигналов. Интервал дискретизации, как правило, выбирается в
несколько раз меньше интервала, удовлетворяющего условиям теоремы
Котельникова: t   / тв , где в - верхняя граничная частота спектра сигнала.
Для узкополосных сигналов верхняя частота равна сумме средней частоты и
ширины спектра сигнала: в  c  c . Для быстро осциллирующих функций
это приводит к использованию очень малого шага дискретизации и, как
следствие, к необходимости обработки очень большого числа дискретных
значений (метод моделирования, при котором интервал дискретизации
1
УМК «Моделирование радиот ехнических уст ройст в, сист ем и сиг налов»
выбирается по в  c  c , называют методом несущей). При этом
подавляющая часть вычислений не связана с информативной частью сигнала, а
обеспечивает лишь воспроизведение неинформативного несущего колебания.
Весьма эффективным способом сокращения объема вычислений при
цифровом моделировании избирательных радиосистем является применение
метода комплексных огибающих, позволяющего свести преобразование
узкополосных процессов при их прохождении через избирательные системы к
преобразованию медленно меняющихся комплексных амплитуд.
Запишем выражение (3.1) в комплексной форме:




u t   Re U t  e jt  e jc t  Re U t  e jc t ,
(3.2)
U t  U t e jt  - комплексная огибающая узкополосного сигнала,
где
определенная при выборе опорной частоты равной c .
Если в качестве опорной выбрать другую частоту, например  0 ,
отличающуюся от c на величину   c  0 (   0 ), называемую
расстройкой, то
u t   Re U t  e j[t   t ] e jc t
(3.3)


U t   U t  e j[ t   t ] возникает линейная
и в комплексной огибающей
составляющая фазы  t .
Из выражений (3.2) и (3.3) видно, что вся информация, заключенная в
узкополосном сигнале, содержится в его комплексной огибающей U t  , поэтому
можно исключить из рассмотрения при моделировании комплексную несущую
j t
сигнала e 0 . В этом случае интервал дискретизации может быть увеличен по
сравнению с методом несущей примерно в 0 / c раз.
Комплексную огибающую в (3.2) можно представить вектором в полярной или
декартовой системе координат (рис. 3.1).
В первом случае U , t  - длина вектора,  , t    0  t  - угол, характеризующий
его направление. Здесь   (t ) - информационный процесс,  0 - начальная фаза.
Во втором случае U , t  U1 , t   jU 2 , t  - вектор, где U1 , t  и U 2 , t  квадратурные составляющие (проекции вектора на ортогональные оси). Из рис.
3.1 нетрудно установить соотношения, позволяющие осуществить переход от
представления комплексной огибающей в полярной системе координат к
декартовой:
U1 , t  U , t cos[  (, t )  o    t ] ,
(3.4)
U 2 , t  U , t sin[  (, t )  o    t ] ,
и от декартовой системы к полярной:
2
УМК «Моделирование радиот ехнических уст ройст в, сист ем и сиг налов»
U , t   U 12 , t   U
2
2
, t  ,
(3.5)
 , t    0    t   arctg
[ U 2 (, t ) / U1 (, t )] .
U2
U (, t)
U2(, t)
 , t    0  t 
U1(, t)
U1
Рис. 1
Эти соотношения играют важную роль при формировании алгоритмов
преобразования комплексной огибающей сигналов и помех.
Рассмотрим простейший случай формирования комплексной огибающей
гармонического сигнала ut   U 0 cos  0t   0  .
Комплексная огибающая гармонического сигнала u t  будет иметь вид
U  U 0e jo  U1  jU2 ,
где квадратурные составляющие равны U1  U 0 cos  0 ,
U 2  U 0 sin  0 . Здесь
U 0 и  0 - заданные амплитуда и фаза колебания. Если  0  0 , то U 1  U 0 и
U2  0.
При наличии расстройки  комплексная огибающая гармонического
сигнала будет иметь вид
U , t   (U1  jU 2 ) (cos   t  j sin   t )  U11(t )  jU 21(t ) ,
где квадратурные составляющие
U11 (t ) U 0 cos  0 cos   t  U 0 sin  0 sin   t ,
U 21 (t ) U 0 sin  0 cos   t  U 0 cos  0 sin   t .
Для комплексной огибающей модулированного колебания в общем случае
можно записать
j[  , t   t  ]
0
U , t   U , t  e
,
3
УМК «Моделирование радиот ехнических уст ройст в, сист ем и сиг налов»
где U , t  и  , t  определяют законы амплитудной и фазовой модуляции.
Из последнего выражения для конкретного вида модуляции легко
определяются квадратурные составляющие. Например, в случае амплитудной
модуляции
U , t   U 0 [1  ma  (t )],
 (, t )  0 ,
где U 0 - амплитуда немодулированного колебания; m a - коэффициент
амплитудной модуляции; |  (t ) | 1 - нормированный информационный процесс,
Квадратурные составляющие будут иметь вид
U11(, t ) U 0 [1  ma (t )] (cos  0 cos   t  sin  0 sin   t ) ,
U 21(, t ) U 0 [1  ma (t )] (sin  0 cos   t  cos  0 sin   t ) .
В тех случаях, когда при моделировании начальная фаза несущественна и
можно положить  0  0 , получаем
U11(, t ) U 0 [1  ma (t )] cos   t ,
U 21(, t ) U 0 [1  ma (t )] sin   t .
Если к тому же расстройка   0 , то U11(, t ) U 0 [1  ma (t )] , U 21(, t )  0 .
Узкополосный случайный процесс (узкополосную помеху) с
симметричной относительно частоты 0 спектральной плотностью аналогично
детерминированному сигналу можно представить в виде


u П t   U П t  cos 0 t  t   Re U П t  e j0 t 


 Re U П t  e jt  e j0t ,
где U П t , (t ) - случайные амплитуда (огибающая) и фаза помехи;
U П t   U П1 t   jU П 2 t  - комплексная огибающая узкополосной помехи.
В случае помехи с нулевым средним квадратурные составляющие
U П1 t , U П2 t  связаны с огибающей и фазой следующими соотношениями:
U П2 (t ) U П (t ) sin П (t ) .
U П1 (t ) U П (t ) cos П (t ) ,
(3.6)
Из (3.6) следует один из возможных способов моделирования
узкополосной помехи:
по известным вероятностным и спектральным
(корреляционным) характеристикам амплитуды и фазы
моделируются
процессы U П t , (t ) и по формулам (3.6) вычисляются квадратурные
составляющие.
Очевидно, что законы распределения квадратурных составляющих
узкополосной помехи зависят от требуемого закона распределения ее
мгновенных значений. Так, например, квадратурные составляющие нормальной
(гауссовой) помехи являются нормальными независимыми медленно
изменяющимися случайными процессами с одинаковыми корреляционными
4
УМК «Моделирование радиот ехнических уст ройст в, сист ем и сиг налов»
функциями RП  [1]. Следовательно, для моделирования узкополосной
нормальной помехи методом комплексной огибающей достаточно
смоделировать два независимых процесса U П1 t  и U П2 t  с нормальным
распределением и одинаковой корреляционной функцией RП  .
Для общего случая схематическое представление алгоритма формирования
комплексной огибающей смеси сигнала и помехи приведено на рис. 3.2.
Генерат ор
1 (t )
Формирующий фильт р
U П1 t 
U  1 t 
нормальног о
белог о шума
U 0 cos  0 cos   t  U 0 sin  0 sin   t
U c1 (t )
U 0 ,  0,

U 0 sin  0 cos   t  U 0 cos  0 sin   t
Генерат ор
U c 2 (t )
U П2 t 
2 (t )
U  2 t 
Формирующий фильт р
нормальног о
белог о шума
Рис. 3.2
Реализация подавляющего большинства
элементов алгоритма,
приведенного на рис. 3.2, при моделировании комплексной огибающей смеси
сигнала и помехи
очень проста и не требует каких-либо пояснений.
Исключение составляет формирующий фильтр, синтез которого проводится по
известным спектральным или корреляционным характеристикам помехи.
Будем рассматривать простейший случай, для которого корреляционная
функция помехи задаётся функцией вида
RП    2П e
 
,
где  2П - дисперсия (мощность) помехи;
α - коэффициент, зависящий от ширины спектра помехи,   f 0,5 ,
здесь f 0,5 - ширина спектра помехи по уровню 0,5SП(f0), f0 = ω0/2π.
5
УМК «Моделирование радиот ехнических уст ройст в, сист ем и сиг налов»
Располагая значениями  2П , α и используя материалы практических
занятий №2, легко определить вид и параметры алгоритма формирующего
фильтра.
3.3. Примеры моделирования узкополосных случайных процессов
Рассмотрим соответствующие целям практического занятия примеры
Моделирование комплексной огибающей узкополосного шума
Вычислим параметры корреляционной функции случайного процесса на выходе узкополосного фильтра
с полосой пропускания 500 Гц
N  2000
i  1  N
df  500
alfa  df 
sigma  1
dt1  0.000001
2
alfa  1.570796327  103
 alfa dt1 i
yi  sigma  e
График корреляционной функции
1
y
i
0.1
0.5
1
0
0
0.001
0.002
dt1  i
Оцениваем интервал корреляции по уровню 0.1.
k  0.0015
Интервал временной дискретизации определим равным
dt  0.0001
Формируем две независимые случайные последовательности с нормальным распределением
x1n  sigma   2 ln( rnd ( 1) )   sin 2    rnd (1)
x2n  sigma   2 ln( rnd ( 1) )   sin 2    rnd (1)
Определяем параметры формирующего фильтра
a0 
1
 2alfa dt
e
 alfa dt
b0  e
a0  0.519227608
b0  0.854635999
6
УМК «Моделирование радиот ехнических уст ройст в, сист ем и сиг налов»
Формируем квадратурные составляющие узкополосной помехи
u10  0
u20  0
u2i  b0  u2i1  a0  x2i
u1i  b0  u1i1  a0  x1i
5
u1
u2
i
0
i
5
0
0.005
0.01
0.015
i  dt
Из теории сигналов известно, что амплитуда узкополосного шума имеет релеевское
распределение, а фаза распределена равномерно.
Убедимся, что наша модель не расходится с теорией.
j 
1
Ui  u1i  j u2i
Амплитуда :
AUi  Ui
6
4
AU
i
2
0
0
200
400
600
800
1000
i
FUi  arg  Ui
Фаза :
4
FU
2

0
i

2
4
0
200
400
600
i
7
800
1000
УМК «Моделирование радиот ехнических уст ройст в, сист ем и сиг налов»
a  max(AU)
b  min(AU)
a1  a  0.01
k  17
d 
h 
b1  0
m  0  k
a1  b1
k
Ym  b1  m d
hist ( Y  AU)
N
- массив границ интервалов
- частоты попадания случайной величины в m -ый интервал
График эмпирических частот попадания
случайной величины в m-ый интрвал
0.2
h
l
0.1
0
0
1
2
l  db1
a  max(FU)
a1  a  0.01
k  17
d 
h 
3
4
d
2
b  min(FU)
b1  b  0.001
m  0  k
a1  b1
k
hist ( Y  FU)
N
Ym  b1  m d
- массив границ интервалов
- частоты попадания случайной величины в m -ый интервал
График эмпирических частот попадания
случайной величины в m-ый интрвал
0.08
h
0.06
m
0.04
0.02
4
2
0
Y
2
4
m
8 релеевское распределение, а фаза
Из полученных гистограмм видно, что амплитуда имеет
равномерное на интервале -, +
УМК «Моделирование радиот ехнических уст ройст в, сист ем и сиг налов»
Моделируем квадратурные составляющие сигнала c тональной амплитудой модуляцией
df  0
- расстройка
fi0  
- начальная фаза
U0  1
- амплитуда сигнала
Fm  50
- частота модуляции
mU  0.3
- глубина модуляции
Косинусная составляющая сигнала
s1i  U0   1  mU cos  2    Fm dt i    cos (fi0)  cos  2   df dt i  sin(fi0)  sin 2   df dt i 
Cинусная составляющая сигнала
s2i  U0   1  mU cos  2    Fm dt i    sin(fi0)  cos  2    df dt i  cos ( fi0)  sin 2    df dt i 
Si  s1i  j s2i
- комплексная огибающая сигнала
2
s1
s2
i
i
1
0
S
i
1
2
0
500
1000
1500
2000
i
Изменяя расстройку. начальную фазу и другие параметры по данному фрагменту легко проследить
изменение квадратурных составляющих сигнала
Сформируем смесь сигнала и помехи
Uсмi  Si  Ui
Оценим законы распределения амплитуды и фазы смеси
Амплитуда :
AUсмi  Uсмi
9
УМК «Моделирование радиот ехнических уст ройст в, сист ем и сиг налов»
6
4
AUсм
i
2
0
0
200
400
600
800
1000
i
FUсмi  arg  Uсмi
Фаза :
4
FUсм
i

2
0

2
4
0
200
400
600
800
1000
i
a  max(AUсм)
a1  a  0.01
k  17
d 
h 
b  min(AUсм)
b1  0
m  0  k
a1  b1
k
hist ( Y  AUсм)
N
Ym  b1  m d
- массив границ интервалов
- частоты попадания случайной величины в m -ый интервал
График эмпирических частот попадания
случайной величины в m-ый интрвал
h
0.1
l
0.05
0
0
1
2
l  db1
10
d
2
3
4
УМК «Моделирование радиот ехнических уст ройст в, сист ем и сиг налов»
a  max(FUсм)
alfa  2 a1  a  0.01
k  17
d 
h 
hist ( Y  FUсм)
N
b  min(FUсм)
b1  b  0.001
m  0  k
a1  b1
k
Ym  b1  m d
- массив границ интервалов
- частоты попадания случайной величины в m -ый интервал
График эмпирических частот попадания
случайной величины в m-ый интрвал
0.2
h
m
0.1
0
4
2
0
2
4
Y
m
Как и следовало ожидать, наличие гармонического сигнала сместило гистограмму распределения
амплитуды вправо и оно стало походить на нормальное, а распределение фазы стало стремиться к
распределению фазы гармонического сигнала (два пика на - и +, или 0 и 2)
Список литературы
1. Быков В.В. Цифровое моделирование в статистической радиотехнике. М.:
Сов. радио, 1971. 328 с.
11
УМК «Моделирование радиот ехнических уст ройст в, сист ем и сиг налов»
12