6.волны в упругой среде. акустика

143
6. Волны в упругой среде. Акустика
6.1. Уравнение плоских бегущих волн
6.1.1. Задано уравнение плоской бегущей волны
x, t   5 10 3 cos628 t  2x  ,
найти частоту колебаний частиц среды , длину волны , фазовую скорость распространения волны vf, амплитудное значение скорости  m и
ускорения  .
m
Решение
1. Циклическая частота колебаний частичек среды при распространении заданной волны  = 628 с  1, при этом частота определится как
 628
(1)


 100 Гц .
2 6,28
2. Длину волны определим из уравнения волнового числа, при условии, что k = 2 м  1
2
2
k
; 
 3,14 м.
(2)

k
3. Фазовая скорость распространения волны
(3)
v f    314 м с .
4. Амплитудное значение скорости колеблющихся частиц
d
м
 t  
  m sin ;  m   m  628  5 10 3  3,14 .
(4)
dt
с
5. Амплитудное значение ускорения
2
  d  m   2   1,97 10 3 м .
(5)
m
m
dt 2
с2
6.1.2. Точки некоторой среды совершают незатухающие колебания,
которые распространяются с фазовой скоростью v. Получить уравнение волнового движения и показать его физический смысл.
Решение
1. При нулевой начальной фазе смещение частиц среды при распро-
144
странении упругой волны можно записать следующим образом
  x 
x 

x, t    m sin  t     m sin t 
,
v
v 


 
(1)
 2t 2x 
 2t 2x 
x, t    m sin 

(2)
  m  T    .
T
Tv




2. Количество длин волн , укладывающихся на отрезке 2, называется волновым числом
2 2 
k

 .
(3)

vT v
3. Введём в уравнение волны волновое число
(4)
x, t    m sint  kx  .
4. Найдём частные производные уравнения (3) по времени t и координате x

 u   m  cost  kx  ;
t
(5)
 2
2
2
 a   m  sin t  kx    x , t  ;
t 2

  m  k cost  kx ;
x
(6)
 2
4 2  2
2
2
  m k sin t  kx    2 x, t   2 x, t  .
x 2
v
v
Ввиду того, что переменные x и t не зависят друг от друга, то, сравнивая (5) и (6) получим
 2
 2
 2
1  2
 v 2 2 или
 2 2 .
(7)
2
2
t
x
x
v t
Полученное уравнение является дифференциальным уравнением
плоской бегущей волны. Это уравнение описывает не только распространение плоской волны в упругой среде, но и широкое многообразие
других волновых процессов, поэтому называется волновым уравнением.
В частности для акустической волны в твёрдых телах волновое
уравнение принимает вид
 2 E  2
(8)

;
t 2  x 2
где Е - модуль упругости (модуль Юнга),  - плотность среды. Так
например, для стали Е = 210 11 Н/м2, =7800 кг/м3, скорость звука равна
c  E   5100 , м c .
(9)
145
Распространения упругих волн в газах, если считать их идеальными,
описывается уравнением адиабаты PV  const, из которого следует,
что
dPV  PdV  0 .
Это уравнение можно преобразовать к виду (2.8), т.е. к волновому уравнению (7), в котором скорость определится как
c
P
o
 o   ,
(10)
где   cр/cv - показатель адиабаты, p0 = n0kT - давление в отсутствие
волны, 0 - плотность невозмущённого газа, n0 –концентрация молекул в
невозмущённой среде, k = 1,3810 – 23 Дж/К, Т- абсолютная температура.
С учётом того, что n0 = 0/m0,
 RT
1
p 0   0 kT
 0
;
(11)
m0

Скорость определится как:
RT
(11)
;

Уравнение (11) показывает, в частности, что скорость звука в газах
совпадает со скоростью теплового движения молекул.
c 
6.1.3. Плоская упругая волна генерируется источником колебаний с
частотой  = 200 Гц с амплитудным значением смещения m = 410  3
м. Записать уравнение колебаний среды для случая (0,t), если в начальный момент времени смещение максимально. Определить смещение
точек среды через время 1 = 0,1 с на удалении от источника х1 = 1 м,
принимая скорость распространения волнового движения с = 300 м/с.
Решение
1. Уравнение плоской бегущей волны с учётом приведённых в условии данных, запишется следующим образом
(1)
x, t    m cost  kx  .
2. В точке расположения источника при х = 0 уравнение (1) примет
вид
0, t    m cos t  4 10 3 cos 2 t .
(2)
3. Определим смещение частичек среды в момент времени 1 на удалении от источника х1 = 1 м
x 1 , 1   4 10 3 cos2 1  kx 1  ;
(3)
146
2 

x 1 , 1   4 10 3 cos 2 1 
x1  ;
c


(4)
x 

x 1 , 1   4 10 3 cos2  1  ;
c

(5)
1 

3
x 1 , 1   4 10 3 cos 6,28 100  0,1 
  1,83 10 м .
300 

(6)
6.1.4. Акустические волны с частотой колебания  = 0,5 кГц, амплитудой смещения частиц m = 2,510  4 мм и длиной волны  = 0,7 м
распространяются в упругой среде. Определить скорость волны v и
амплитудное значение колебательной скорости частиц  m .
Решение
1. Определим скорость распространения волны
(1)
v    350 м с .
2. Амплитудное смещение частичек среды найдём из следующих
соображений
(2)
x, t    m cost  kx  ;
 t   2 sint  kx ;
m
 m  2 m  0,79 м с .
(3)
6.1.5. Плоская волна с периодом Т = 3 мс с амплитудой колебания
частиц среды m = 210  4 мм и длиной волны  = 1,2 м распространяется в упругой среде. Для точек удалённых от источника колебаний на
расстояние х1 = 2 м определить в момент времени  = 7 мс: смещение частиц
среды, их скорость и ускорение, считая начальную фазу нулевой.
Решение
1. Запишем уравнение плоской волны
x, t    m sint  kx  .
2. Подставим в уравнение (1) заданные величины
2 
 2
x 1 ,    m sin

x1  ,

 T

 6,28
6,28 
x 1 ,   2 10 4 sin
7 10 3 
2   175 мкм .
3
1,2 
 3 10
(1)
(2)
(3)
147
3. Колебательную скорость частиц среды определим, продифференцировав уравнение (1) по времени
d 2
2 
 2
 x 1 ,  

 m cos

x1  ,
(4)
dt
T
 
 T
 7 10 3 2 
6,28
м
  0,33 .
 x 1 ,  
2 10 4 cos 6,28

3
3
3 10
1,2 
с
 3 10
4. Ускорение частиц жидкости
2
2
x , t  d    4  sin 2   x 1   767 м .
1
m
2
2
dt
T
с2
T  
(5)
(6)
6.1.6. Упругая волна с амплитудным значением смещения m = 0,1 м
распространяется без затухания прямолинейно. Найти величину смещения частиц среды на удалении от источника колебаний х 1 = 3/4 для
момента времени  = 0,9 Т.
Решение
1. Запишем уравнение смещения для плоской упругой волны
(1)
x, t    m sint  kx  .
2. Подставим в уравнение (1) условия прямолинейного распространения волны
2 3 
 2
2
x1 ,    m sin 0, T 
(2)
   m sin 0,3  8,1  10 м .
T

4


6.1.7. Волна, имеющая период Т = 1,2 с и амплитудное значение
смещения частиц среды m = 210  2 м распространяется прямолинейно
со скоростью v = 15 м/с. Определить смещение частицы среды, находящейся на расстоянии х1 = 45 м от источника колебаний, если с момента их возникновения прошло  = 4 с.
Решение
1. Запишем уравнение смещения при распространении упругой волны следующим образом
2 
 2
x1 ,     m cos  
x1  ,
(1)
Tv 
 T
 6,28
6,28

x1 ,   2  10 2 cos
4
45   1,2  10 2 м .
1
,
2
1
,
2

15


(2)
148
6.1.8. Для точек, находящихся на расстоянии х = 0,5 м друг от
друга на прямой, вдоль которой распространяется упругая волна со
скоростью v = 50 м/с и периодом Т = 510  2 с, определить разность
фаз колебаний Ф.
Решение
1. Запишем уравнения фазы колебаний для заданных по условию
задачи точек
2 
 2
  t  kx   
t
x ,
(1)
Tv 
 T
2 
 2
1  t  kx 1   
t
x1  ,
T
Tv


(2)
2 
 2
 2  t  kx 2   
t
x2  ,
(3)
T
Tv


2. Определим разность фаз
2
2
2
2
2
   1   2 
t
x1 
t
x2 
x  1,26 рад 72 ,2 0  .
T
Tv
T
Tv
Tv
6.1.9. Упругая волна распространяется вдоль прямой со скоростью
v = 40 м/с при частоте колебаний частиц среды  = 5 Гц. Определить
разность фаз колебаний между источником и точкой отстоящей от
него на расстоянии х1 = 2 м.
Решение
1. Запишем уравнение фаз колебаний для источника и заданной точки с учётом того, что х1 = 0, х2 = 2 м
2 
2 


 1   2 t 
x 1  ;  2   2 t 
x2  .
(1)
v
v




2. Разность фаз колебаний между рассматриваемыми точками
2
6,28  5
 
x 
2  1,57 рад 90 0  .
(2)
v
40
6.1.10. Волновой фронт распространяется со скоростью v = 100
м/с. Наименьшее расстояние между точками среды, колеблющимися
синфазно, составляет х = 1 м. Определить частоту колебаний.
Решение
149
1. Расстояние между двумя ближайшими точками, совершающими
синфазные колебания, преодолевается волной за время одного полупериода. Зная скорость распространения волнового фронта, можно определить период и частоту колебаний частиц среды
2x
1
v
T
;  
 50 Гц .
(1)
v
T 2x
6.1.11. При распространении плоской волны частицы среды колеблются с частотой  = 25 Гц. Частицы среды, отстоящие друг от друга на расстоянии х = 0,1 м, колеблются с разностью фаз Ф = 600.
Найти скорость распространения волны.
Решение
1. Запишем уравнение разности фаз и определим скорость распространения волны
2
 
x ,
(1)
v
 2

x;  v  6x  15 м с .
(2)
3
v
6.1.12. Звуковая волна в воздухе распространяется со скоростью v =
340 м/с, период колебания частиц среды равен Т = 1 мс. Определить, на
каком расстоянии от источника направление движения частиц поменяется на обратное. Как изменится это расстояние при увеличении
частоты колебаний источника вдвое?
Решение
1. Изменение направления смещения частиц на обратное происходит
при изменении фазы на Ф = 1800 =  рад, поэтому уравнение (2)
предыдущей задачи возможно записать следующим образом
2
Tv

x; x 1 
 0,17 м .
(1)
Tv
2
2. При увеличении частоты вдвое период уменьшится тоже в два
раза, следовательно, минимальное расстояние между точками среды,
колеблющимися в противофазе, составит х = 8,5 см.
6.1.13. Бегущая акустическая волна описывается уравнением
(1)
x, t    m cos1560 t  5,2x  ,
где величины времени t и расстояния х выражены в секундах и метрах,
150
соответственно. Вычислить частоту колебаний частиц среды , скорость распространения волны с и её длину .
Решение
1. По условию задачи заданы следующие параметры волнового движения: циклическая частота колебаний  = 1560 рад/с, волновое число k
= 5,2 м  1.
2. Частота колебаний частиц среды относительно положения равновесия


 248 Гц .
(2)
2
3. Длина волны определится из следующих соображений
2
2
k
; 
 1,21 м .
(3)

k
4. Скорость распространения волны


м
k  ; c   300 .
(4)
c
k
с
6.1.14. Акустическая волна, распространяющаяся в воздухе, описывается уравнением
x, t   6 10 5 cos1800 t  5,3x  ,
(1)
где время t выражено в секундах, расстояние х  в метрах. Найти отношение амплитудного значения смещения частиц среды к длине волны
и отношение максимального значения колебательной скорости частиц
к скорости распространения волны.
Решение
1. Из уравнения (1) следует, что:  m  6 10 5 м;  = 1800 рад/с; k =
5,3 м  1, поэтому длину волны можно определить следующим образом
2

 1,18 м .
(2)
k
2. Отношение амплитуды смещения частиц при колебаниях к длине
волны, таким образом, будет равно
 m 6 10 5
(3)

 5,110 5 .

1,18
3. Определим амплитудное значение колебательной скорости
dx , t 
м
 m 
  m  1800  6 10 5  0,11 .
(4)
dt
с
151
4. Скорость распространения волны

м
c   340 .
(5)
k
с
5. Отношение амплитудного значения колебательной скорости к
скорости распространения волны
 m 0,11
(6)

 3,24 10 4 .
c
340
6.1.15. Плоская акустическая волна, распространяющаяся со скоростью с возбуждает колебания частичек упругой среды с циклической
частотой . Направление распространения волны составляет углы ,
 и  с осями декартовой системы координат X, Y, Z. Определить разность фаз колебаний точек среды с координатами {x1,y1,z1} и {x2,y2,z2}.
Решение
1. Фаза в общем случае распространения волны вдоль одной из
осей определяется уравнением

  t  x .
(1)
c
Для выделенных в пространстве
точек 1 и 2 величины  и t будут
одинаковыми, т.е разность фаз Ф
определяется в данном случае
только координатами точек. В векторном представлении
 
(2)
  kr1  r2  ,


где k  kn  волновой вектор, определяемый в виде скалярного произ
ведения волнового числа k на единичный вектор n , перпендикулярный
 
волновой поверхности, r1 , r2  радиус-векторы точек.
2. Запишем разность векторов в скалярной форме через направляющие косинусы
 
(3)
r1  r2  x1  x 2 cos  y1  y 2 cos  z1  z 2 cos .
3. Подставим уравнение (2) в соотношение (1) с учётом значения
модуля волнового вектора k = /c

  x 1  x 2  cos   y1  y 2  cos   z1  z 2  cos  .
(4)
c
152
6.1.16. Найти волновой вектор k и скорость распространения волны, заданной уравнением
(1)
x, y, z, t    m cost  x  y  z  .
Решение
1. По условию заданы проекции волнового вектора kx = , ky = , kz
= , поэтому, используя единичные векторы ex, ey, ez волновой вектор
можно представить следующим образом





k   2   2   2 , k  e x  e y  e z .
(2)
2. Скорость распространения волны


.
c  
2
k
  2   2
(3)
6.1.17. Плоская акустическая волна распространяется со скоростью с, имеющей на оси декартовой системы координат, проекции {cx,
cy, cz}. Записать уравнение волнового вектора, если циклическая частота колебаний частиц среды рана .
Решение
1. Модуль вектора скорости через его проекции на оси декартовой
системы координат можно выразить следующим образом

c  c 2x  c 2y  c 2z .
(1)
2. С другой стороны

 
 e x e y e z 

k   
  .
 cx c y cz 
c


(2)
153
6.2. Скорость акустических волн
6.2.1. Вычислить скорость распространения продольных акустических волн в алюминии, латуни, меди, никеле, серебре и органическом
стекле.
Решение
1. При распространении акустической волны следует различать два
совершенно разных явления: движение частиц среды в волне и перемещение самой упругой волны в среде. Первое явление  это движение
частиц как материальных точек; второе явление  переход возмущенного состояния среды с одних частиц на другие. Так, величина смещения и
скорость частицы в волне зависят от силы звука, например для слышимых звуков  от их громкости. Эти величины в звуковой волне, как правило, очень малы, а после прохождения волны каждая частица практически остается в своем исходном положении. Волна же удаляется от
места возникновения; скорость ее велика (сотни и тысячи метров в секунду) и не зависит от силы звука, а только от параметров среды, в
частности, от модуля Юнга и плотности среды
c E .
(1)
Скорость звука всегда конечна, отсюда следует, что во всех акустических вопросах нужно учитывать как упругость среды, так и ее инерционные свойства; от других же свойств среды ее акустическое поведение не зависит.
Если к телу приложить силу, то в нем всегда должна создаться упругая волна. Однако в обычных задачах теоретической механики упругие
волны не учитывают. Изучая движение свободного тела, возникающее
под действием прикладываемой к телу силы, считают, что ускорение
получает сразу все тело, а не только участок приложения силы, затем
соседний участок и т. д. Аналогично, рассматривая действие силы на
закрепленное тело, считают, что тело, деформируясь, приходит в равновесие все сразу, во всех своих частях. Такой подход равносилен предположению, что скорость звука в теле бесконечна.
В первом примере это соответствует абсолютно жесткому телу (бесконечная упругость), а во втором – без массовому телу. Механические
задачи при таком подходе сильно упрощаются; В частности, оказывает-
154
ся возможным в каждой задаче учитывать либо только массу тела (первый пример), либо только его упругие свойства (второй пример).
Скорость распространения продольных волн в упругой среде вычисляется по формуле
c E ,
модуль Юнга Е для упругого стержня длиной
чине деформации:


,
E 

 
(1)
 определяется по вели(2)
где  - упругое напряжение в стержне,     - относительное удлинение.
Для вычисления скорости звука в заданных по условию задачи металлах приведём значения модуля Юнга и плотности
№
1
2
3
4
5
6
Металл
Алюминий
Латунь
Медь
Никель
Серебро
Органическое стекло
Е, 107 Н/м2
6650
9500
10800
20400
8270
525
, 103 кг/м3
2,7
8,55
8,93
8,75
10,52
1,18
c1 
6,65 10 10
м
9,5 10 10
м

4960
;
c

 3300 ;
2
3
3
2,7 10
с
8,55 10
с
c3 
1,1 10 11
м
2 10 11
м
 3510 ; c 4 
 4790 ;
3
8,93 10
с
8,75 10 3
с
c5 
8,2 10 10
м
5,25 10 9
м
 2790 ; c 6 
 2110 ;
3
4
с
1
,
18

10
с
1,052 10
6.2.2. Ухо человека воспринимает акустические волны в диапазоне
частот от min = 16 Гц до max = 20 кГц. Определить соответствующие этим частотам длины волн, если скорость звука в воздухе составляет с = 340 м/с.
Решение
1. Скорость звука, длина волны и частота колебаний частиц среды
связаны следующим соотношением
155
c  ;   
c
,

(1)
откуда
 min 
c
 min
 21,3 м;  max 
c
 max
 1,7 см .
(2)
6.2.3. Звуковые колебания распространяются в азоте N2 при температуре Т = 300 К. Определить скорость звука.
Решение
1. Распространения упругих волн в газах, если считать их идеальными, описывается уравнением адиабаты PV   const , из которого следует, что
(1)
dPV  PdV  0 .
Это уравнение можно преобразовать к волновому уравнению
 2
 2
 2 1  2
,
(2)
 c 2 2 или

2
t
x
x 2 c 2 t 2
при этом скорость определится как
p0 
(3)
c
,
0
где   cр/cv  показатель адиабаты, p0 = n0kT - давление в отсутствие
волны, 0 - плотность невозмущённого газа, n0 –концентрация молекул в
невозмущённой среде, k = 1,3810 – 23 Дж/К, Т  абсолютная температура. С учётом того, что n0 = 0/m0,
 RT
1
(4)
p0  0 kT
 0
;
m0

скорость определится как:
RT
(5)
;

Уравнение (5) показывает, в частности, что скорость звука в газах
совпадает со скоростью теплового движения молекул. Скорость распространения упругих волн, в большинстве своём, не зависит от амплитуды
колебаний, исключение составляют волны взрывного типа, которые
относятся к нелинейным волнам, когда колебания среды, порождающие
эти волны, не являются гармоническими.
2. Двухатомная молекула азота N2 состоит из двух атомов, т.е. обладает пятью степенями свободы i = 5
c 
156
i2
(6)
 1,4 .
i
Молярная масса азота (N2) = 2810  3 кг/моль, универсальная газовая
постоянная R = 8,3 Дж/мольК. В соответствие с уравнением (5) скорость звука определится как

cN 2  
RT
1,4  8,3  300
м

 354 .

с
28 10 3
(6)
6.2.4. Получить зависимость скорости звука в воздухе при изменении его температуры от Тmin = 230 K до Тmax = 320 K.
Решение
1. Для воздуха  = 310  2 кг/моль,  = 1,4, поэтому уравнение (6)
предыдущей задачи можно переписать следующим образом
(1)
c  19,7 T .
2. Для построения зависимости c = f(T) сведём результаты вычислений в таблицу
Т, К
с, м/с
230
299
240
305
250
311
260
318
270
324
280
330
290
335
300
341
310
347
Зависимость скорости звука в воздухе от температуры
320
352
157
6.2.5. На расстоянии х = 800 м от импульсного источника звука,
расположенного в воздухе находятся два приёмника, один из которых
расположен в воде. Задержка между сигналами в воде и воздухе составляет  = 1,84 с. Определить скорость звука в воде, если температура воздуха равна Т = 295 К.
Решение
1. По графику зависимости скорости звука от температуры воздуха,
приведенному в предыдущей задаче, определим скорость при заданной
в условии температуре  с1 = 337 м/с.
2. Определим время распространения звуковой волны в воздухе 1
x
1   2,37 c .
(1)
c1
3. Время распространения сигнала в воде
(2)
 2  1    0,533 c .
4. Скорость звука в воде
x
м
c2 
 1500 .
(3)
2
с
6.2.6. Скорость звука в некотором газе при нормальных условиях
равна с = 308 м/с. Плотность газа равна 0 = 1,78 кг/м3. Определить
отношение удельных теплоёмкостей сp/cV.
Решение
1. Воспользуемся уравнением (3) задачи 6.2.3
c
p0 
,
0

c 20
,
p0
(1)
откуда
(2)
при р0 = 1105 Па

cp
cV

308 2 1,78
 1,69 .
10 5
(3)
6.2.7. Найти отношение скоростей распространения акустической
волны в водороде и углекислом газе, если эти газы находятся в одинаковых условиях.
158
Решение
1. Отметим, что заданные газы имеют следующие параметры при
нормальных условиях: для водорода H2  1 = 210  3 кг/моль, 1 = 1,4;
для углекислого газа СО2  2 = 48 кг/моль, 2 = 1,33
2. Составим систему уравнений
 RT 
c1  1
;
1 
(1)

 2 RT 
c2 
.
 2 
3. Поделим уравнения системы (1) друг на друга
c1

c2
 1 2
1,4  48 10 3

 5.
 2 1
1,33  2 10 3
(2)
6.2.8. При подъёме от поверхности Земли температура изменяется
от Т0 = 300 К до Т2, увеличиваясь на Т = 7 мК/м. Оценить, за какое
время акустическая волна распространится на высоту h = 8 км.
Решение
1. Определим температуру на высоте h над поверхностью Земли
T1  T0  Th  300  7 10 3  8 10 3  244 K .
(3)
2. Найдём конечную и начальную скорость звука
c0 
RT0
1,33  8,3  300
м

 332 ;

3 10 2
с
RT1
1,33  8,3  244
м

 300 .

3 10 2
с
3. Среднее значение скорости звука
c c
м
 c  0 1  316 .
2
с
4. Примерное время распространения на высоту h
h
8 10 3


 25,3 c .
c
316
c1 
(4)
(5)
(6)
(7)
6.2.9. Для акустической волны возбуждающей в среде колебания с
циклической частотой , получить зависимость групповой скорости u
от фазовой скорости с.
159
Решение
1. Как известно, постоянная фаза упругой волны может быть выражена следующим уравнением
 x
   t     0  const .
(1)
 c
2. Продифференцируем уравнение (1) с учётом того, что переменными величинами являются t и x
1
dx
dt  dx  0;  c 
,
(2)
c
dt
где с  скорость распространения волны.
3. В соответствие с разложением Фурье всякая волна может быть
представлена в виде суперпозиции (суммы) нескольких волн. Другими
словами, в пространстве будет распространяться волновой пакет (группа волн). Если две составляющие волнового пакета незначительно отличаются по циклической частоте, так что d <<  и dk << k , то уравнение пакета записывается следующим образом
(3)
x, t    m cost  kx    m cos  dt  k  dk x ,
 td  xdk 
x, t   2 m cos
(4)
 cost  kx  .
2


4. Амплитуда такого волнового движения будет медленно изменяться как функция времени и координаты
 td  xdk 
(5)
x, t   2 m cos
.
2


5. В качестве характерной кинематической характеристики волны
принимается скорость распространения максимума амплитуды. При
условии td  xdk = const
dx d

u.
(6)
dt dk
Величина u называется групповой скоростью, которая связана с фазовой
скоростью следующим образом
d
 2
u
; c 
,
(7)
dk
k

dc
 2  dc
dck 
d


,
(8)
u
 ck
 c  k 
d  2 
dk
2  d

 
d   
с учётом того, что /2 = 1/k
160
u  c
dc
.
d
(9)
6.2.10. Фазовая скорость акустической волны, удовлетворяет уравнению

c
,
(1)

где  = 1 кГц  частота колебаний,  = 200 Гц,  = 10 мс  3/2  постоянные размерные коэффициенты. Найти групповую скорость для частоты  = 1 кГц.
Решение
1. В данном случае длину волны можно представить следующим
образом
c

 
.
(2)
  
2. Групповая скорость в соответствие с уравнением (6) предыдущей
задачи определяется следующим уравнением
d
d
u
 2
,
(3)
dk
dk
где k  2   волновое число.
3. Подставим значение волнового числа в уравнение (3)
d
u  2
.
(4)
1
d 

4. Вычислим знаменатель последнего уравнения
 1  1,5  
d  
d .
(5)
  
5. Совместим уравнения (4) и (5)
u
d        10 10 3  200
м


 0,2 .
3
1,5  d 1,5   1,5 10  200
с
(6)
6.2.11. Поплавок на поверхности воды за время  = 30 с совершил n
= 40 колебаний вокруг положения равновесия, рыбак, расположившейся
на берегу, на двадцатиметровом отрезке насчитал N = 20 гребней
волн. Определить скорость волн, распространяющихся в водоёме.
161
Решение
1. Период колебаний частиц жидкости при распространении волны
можно выразить через параметры колебаний и характеристики волны


T ; T ,
(1)
n
v
откуда
n
v
.
(2)

2. Длину волны в данном случае целесообразно выразить, воспользовавшись результатами наблюдений   s N , тогда скорость представится следующим образом
sn 20  40
м
v

 1,33 .
(3)
N 30  20
с
6.2.12. Некто, не обременённый возрастом, исключительно в познавательных целях, бросает в середину круглой лужи камень, отмечая,
что за время 1 = 80 с к его ногам «подошло» n = 15 гребней волн. Расстояние между гребнями составляло  = 0,2 м, первый «сигнал» от
камня распространялся в течение 2 = 20 с. Каким образом по результатам этих наблюдений модно вычислить радиус лужи.
Решение
1. Если волновой фронт перемещается с постоянной скоростью, то s
= v1. С другой стороны скорость волн можно выразить через их длину
v = /T = n/2.
2. Подставим далее значение скорости в уравнение расстояния, проходимого волновым фронтом

0,2 15  80
R  n 1 
 12 м .
(1)
2
20
6.2.13. Услышав, пришедший сверху звук
пролетающего самолёта, наблюдатель обнаружил его визуально под углом  = 450 к
горизонту. Определить скорость самолёта
v и расстояние до него s, если звук распространялся в течение  = 2 с.
Решение
1. Расстояние L и высоту H звук прохо-
162
дит за одно и то же время, что даёт основание записать следующие соотношения
(1)
L  v; H  c ;
Y
c
c
м
(2)
 tg  ;  v 
 340 .
L
v
tg
с
2. Расстояние s определится из равнобедренного прямоугольного
треугольника OAM
c
340  2
(3)
s

 962 м .
sin  0,707
6.2.14. Из корабельного орудия главного калибра установленного на
максимальную дальность стрельбы вылетает снаряд с начальной скоростью v0 = 500 м/с и поражает надводную цель. Через какой промежуток времени канониры услышат звук
взрыва, если движение
снаряда в воздухе происходит с пренебрежимо малым сопротивлением?
Решение
1. Время прошедшее после выстрела будет представлять собой сумму двух промежутков: собственно времени полёта снаряда до цели и
времени распространения звуковой волны от цели к атакующему судну
x max
x
  1   2 
 max ,
(1)
v 0 cos 
c

1
1
(2)
  x max 
  .
 v 0 cos  c 
2. Максимальная дальность стрельбы при прочих равных условиях
обеспечивается при  = 450, при этом
v 2 sin 2 v 02
x max  0

.
(3)
g
g
3. Совместим уравнения (2) и (3)
v  1

 0 
 M   144 c ,
(4)
g  cos 

Где М = v0/c = 500/340 = 1,47  число Маха.
163
6.2.15. При измерениях установлено, что акустические колебания
при переходе из одной среды в другую увеличивают длину волны в три
раза. Во сколько раз, при этом изменяется скорость распространения
волны?
Решение
1. При распространении акустических вол в средах с различными
волновыми сопротивлениями (   c ) период и частота колебаний
остаются постоянными, изменяются только скорость звука и длина волны
1  c1T; 
c1  1
.
(1)

 
 2  c 2 T.
c2 2
2. Подставим в уравнение соотношение длин волн, заданное по
условию задачи 32 = 1
c1 3 2

 3.
(2)
c2
2
6.2.16. На прямой, вдоль которой в воде распространяется упругая
волна выделены две точки, одна из которых отстоит от источника на
расстоянии х1 = 100 м, а вторая на расстоянии х2 = 160 м. Определить
разность фаз колебаний в этих точках, если частота источника колебаний равна  = 10 кГц.
Решение
1. Запишем уравнение колебаний точек среды на заданных расстояниях
1   m cost 1  kx 1 ; 
(1)
.
 2   m cost 2  kx 2 .
2. Разность фаз в этом случае определится уравнением
(2)
   2  1 ,
x2
x
2
x 2  x 1  ,
 2 1 
c
c
c
6,28 10 4
160  100   8 10 2  рад .
 
1500
  2
(3)
(4)
164
6.3. Суперпозиция упругих волн
6.3.1. Два синфазных источника акустических волн генерируют в
упругую среду колебания с длиной волны  = 0,6 м и амплитудой смещения частиц среды m(1) = m(2) = 10  3 м. Определить амплитуду результирующих колебаний m в точке пространства, которая располагается на удалении х1 = 3,5 м и х2 = 5,4 м от источника, а направление волновых векторов совпадает.
Решение
1. Запишем уравнение заданных волн
1   m (1) cost  kx 1 ; 

(1)

 2   m (1) cost  kx 2 .

2. Определим разность фаз колебаний между заданными точками
волнового пространства
2
x 2  x 1  ,
   1   2  k x 2  x 1  
(2)

3. Поскольку в заданных точках колебания, с одинаковыми амплитудными значениями смещения  m (1)   m ( 2 )   m , движутся в данный
момент времени в одном направлении, то суммарное смещение можно
выразить следующим образом
x 2  x 1 

  2 m cos
 2 m cos
;
2

(3)
3,14 1,9
  2 10 3 cos
 1,73 10 3 м.
0,6
6.3.2. Бегущая волна отражается от границы раздела сред и распространяется в противоположном направлении, образуя стоячую
волну. Найти местоположение узлов и пучностей стоячей волны, если
скорость прямой и обратный волновой фронт распространяются в
среде со скоростью с = 340 м/с при частоте колебания частиц среды 
= 3,4 кГц.
165
Решение
1. Запишем уравнения двух упругих волн, распространяющихся в
противоположных направлениях
1 x, t    m cost  kx  1 ; 
(1)

 2 x, t    m cost  kx  2 .
2. Сложим уравнения и преобразуем по формуле для суммы косинусов
(2)
(x, t )   m cost  kx  1   cost  kx  2  ,
  1 
  2 


x, t   2 m cos kx  2
(3)
  cos t  1
.
2
2 



3. Уравнение стоячей волны (3) можно упростить, если начало системы отсчёта выбрать таким образом, чтобы разность фаз прямой и
отражённой волны оказалась равной нулю, т.е. 2  1 = 0, а момент
времени  чтобы 2 + 1 = 0 и выразить волновое число через длину
волны k = 2/
 x
x , t   2 m cos 2   cos t .
(4)
 
Из уравнения (4) видно, что все точки пространства занятые стоячей
волной колеблются с той же частотой  что и взаимодействующие волны. Амплитуда стоячей волны А является функцией координаты х, изменяясь по закону косинуса
 x
(5)
A  2 m cos 2  .
 
4. Амплитуда стоячей волны достигает максимума в, так называемых, пучностях

m  0,1,2,...  ,
x max   m
(6)
2
c
340
x max(1)   m
 1
 0,05 м ,
(7)
2
6800
x max (2 )  0,1 м; .
(8)
5. Минимум амплитуды имеет место в точках (узлы стоячей волны)
1 c

x min   m  
.
(9)
2  2

x min(1)  0,075 м; x min(2 )  0,15 м .
(10)
166
6.3.3. Определить длину бегущей волны, если в стоячей волне расстояние между первой и седьмой пучностями составляет l17 = 0,15 м
Решение
1. Отметим, что расстояние между источником волн пучностями
определяется уравнением (6) предыдущей задачи

m  0,1,2,...  .
x max   m
(1)
2
2. Расстояние между первой и седьмой пучностями l17 определится
при m = 6
2

 17  6 ;   17  0,05 м .
(2)
2
6
6.3.4. Определить длину бегущей волны, если расстояние между
первым и четвёртым узлом в стоячей волне составляет l14 = 0,15 м.
Решение
1. Координаты точек пространства с нулевым смещением, занятого
стоячей волной определяются уравнением
1

x min   m   .
(1)
2 2

2. Для заданных условий уравнение (1) необходимо переписать в
следующем виде
1

 14   2,5   ;   0,1м .
(2)
2 2

6.3.5. Динамики стереосистемы излучают тональный
сигнал фиксированной частоты
и расположены на расстоянии d
= 3 м друг от друга. При перемещении микрофона, расположенного на удалении х = 6 м от
плоскости излучения параллельно этой плоскости на расстояние а = 1,7 м он фиксирует первый интерференционный минимум. Найти частоту звука при-
167
няв с = 340 м/с.
Решение
1. Рассмотрим простейший случай распространения в одном и том
же пространстве двух волн, описываемых уравнениями
1   m1 sin 1t  k1r1  1    m1 sin 1 ;
 2   m 2 sin 2 t  k 2 r2  2    m 2 sin  2 ;
(1)
где r1 и r2 расстояние от источников волн до рассматриваемой точки М2,
k  волновое число, 1 2  начальные фазы интерферирующих волн.
Результирующее колебание в точке М2 определится исходя из принципа
суперпозиции, т.е. необходимо определить суммарное смещение частичек среды при одновременном действии обоих волн
(2)
  1   2   sin ;
Величины  и Ф могут быть найдены методом векторных диаграмм
 2   2m1   2m 2  2 m1 m 2 cos 2  1 ;
(3)
 sin 1   m 2 sin  2
  arctg  m1
;
 m1 cos 1   m 2 cos  2
Преобразуем разность фаз складываемых колебаний
(4)
 2  1  2  1 t  k 2 r2  k1r1   2  1  .
2. С учётом того, что волновое число является функцией циклической частоты колебаний и скорости распространения волны  k= с,
разности фаз можно придать вид, более удобный для дальнейшего анализа
 r r 
 2  1  2  1 t   2 2  1 1    2  1  .
(5)
c1 
 c2
3. В данном случае складываются когерентные волны, для которых
1  2  ; c1  c 2  c,
то уравнение (5) для разности фаз можно переписать следующим образом

Ф 2  Ф1   r2  r1    2  1  ,
(6)
c
4. Условие минимума при интерференции когерентных волн можно
представить следующим образом

 min  r2  r1  2m  1 ,
(7)
2
при m = 0,  min   2 .
5. Выразим расстояния r1 и r2 через заданные по условию геометрические параметры
168
r1  x 2  a  0,5d  ,
2
(8)
r2  x 2  a  0,5d  .
6. Используя уравнение (7) выразим длину волны
c
c
.
 
 2r2  r1 
7. Подставим в уравнение (10) значение r1 и r2
c
,

 2
2
2 
2
2 x  a  0,5d   x  x  0,5d  


340

 100 Гц .
2 36  10,2  36  10,2
2


(9)
(10)
(11)
(12)
6.3.6. От первого источника акустических волн колебания достигают микрофона М за время 1 = 0,67 с. От второго источника, начавшего работать одновременно с первым, колебания в точку расположения
микрофона доходят за 2 = 0,7 с. Минимальный или максимальный сигнал будет фиксировать микрофон, если волны с  = 6,8 м когерентные
Решение
1. Усиление сигнала при интерференции будет иметь место если на
разности хода волн r  r2  r1 будет укладываться чётное целое число
полуволн. Минимум, т.е. ослабление, будет наблюдаться при нечётном
целом числе полуволн.
2. Определим величину r, выразив расстояния от излучателей до
микрофона через скорость волн и заданные времена
(1)
r1  c1 ; r2  c 2 ; r  c 2  1  .
3. Разделим разность хода волн на величину /2
2r 2c 2  1  2  340  3 10 2
(2)



3.


6,8
Поскольку на разности хода волн укладывается нечётное число полуволн, то микрофон, расположенный в заданной точке, будет фиксировать ослабление сигнала.
6.3.7. Камертон с частотой собственных колебаний  = 680 Гц поместили над цилиндрическим сосудом высотой h = 1,5 м который постепенно заполняют водой. При каком уровне жидкости звук камертона будет усиливаться?
169
Решение
1. Акустическое сопротивление воздуха равно
1с1  41 кг/м2с, а воды  2с2  1,6106 кг/м2с, т.е.
поверхность воды можно рассматривать в данном
случае как твёрдое тело, от которого отражается,
возбуждаемая камертоном звуковая волна. В этой
связи при падении и отражении волны на поверхности жидкости должен находиться узел стоячей
волны, а на уровне верхнего края сосуда  пучность.
2. Расстояние между соседними узлом и пучностью равно /4, расстояние между соседними узлами или пучностями
равны /2, что даёт основание записать для высоты воздушного столба
воздуха следующее условие


hH  m .
(1)
4
2
3. Определим длину волны в воздухе при с1 = 340 м/с
c
340
 1 
 0,5 м .
(2)
 680
4. Определим усиления звука при m = 0

h 0 (1)  h  H   0,125 м;
(3)
4
при m = 1
 
h 0 ( 2 )    0,15 м ;
(4)
4 2
при m =2

h 0 ( 3)     0,625 м ;
(5)
4
при m = 3

h 0 ( 4 )   1,5  0,875 м ;
(6)
4
6.3.8. Труба длиной l = 1,2 м, заполненная воздухом при температуре Т = 300 К, расположена вблизи акустического излучателя. Найти
минимально возможную частоту колебаний воздушного столба для
открытой и закрытой с обоих концов трубы.
Решение
170
1. Определим скорость звука при заданной температуре
RT
,
(1)

где  = (i+2)/i = 1,33  показатель адиабаты, R = 8,3 Дж/мольК  универсальная газовая постоянная,   2810  3 кг/моль  молярная масса
воздуха
1,33  8,3  300
м
c
 344 .
(2)
28 10 3
с
2. Колебания воздушного столба в открытой трубе будут протекать с
минимальной частотой в том случае, когда на длине трубы будет укладываться половина длины волны

  ;  max  2  2,4 м .
(3)
2
3. Соответствующая условию (3) минимальная частота
c
344
 min 

 143 Гц .
(4)
 max 2,4
4. В случае закрытой трубы будет образовываться стоячая волна, для
которого условие (3) примет следующий вид

  ;  max  4  4,8 м ,
(5)
4
соответствующая минимальная частота будет равна
c
344
 min 

 71,7 Гц .
(6)
 max
4,8
c
6.3.9. Вертикальный стеклянный сосуд заполнен водой. Над сосудом
помещён звучащий на частоте 440 Гц громкоговоритель. Когда уровень
воды в сосуде при открывании нижнего крана, опустился на y1 = 19,5
см, звук камертона достиг максимального значения. Определить скорость звука в воздухе.
171
Решение
1. Усиление силы звука при понижении уровня жидкости
в сосуде будет происходить, когда высота воздушного столба над водой будет кратна нечётному количеству четвертьволновых отрезков, т.е.



(1)
y1  ; y 2  3 ; y 3  5 .
4
4
4
2. Величина у1, таким образом, даёт основание определить длину волны
  4y1  0,78 м
(2)
3. Скорость звука в воздухе
c1    343 м с .
(3)
6.3.10. Для измерения скорости звуковых волн в латунном стержне
А длиной l = 0,8 м, закреплённом в его среднем сечении С используют
метод акустической интерферометрии, когда на одном из концов
стержня помещается лёгкий диск В. В закрытом цилиндрическом воздушном пространстве D возбуждается стоячая волна, которая визуализируется мелкодисперсным порошком. В одном из измерений длина
стоячих волн оказалась равной 1 = 8,5 см. Определить скорость звука
в латуни.
Решение
1. Частоту колебаний
стержня определим по длине
стоячей волны 1 в воздухе,
принимая скорость звука в
воздухе с1 = 340 м/с
c1
.
(1)
1
2. Первая собственная частота стержня соответствует максимумам
смещения его торцов и максимуму колебательной скорости в среднем
сечении
2   .
(2)
3. Скорость звука в латуни, с учётом уравнения (2) определиться как
c
340
м
c 2   1  0,8
 3200 .
(3)
2
1
8,5 10
с

172
6.4. Эффект Доплера
6.4.1. Локомотив, приближающийся к неподвижному наблюдателю
со скоростью v1 = 144 км/ч, даёт гудок на частоте основного тома  =
300 Гц. Определить кажущуюся частоту, воспринимаемого наблюдателем звука. Как изменится эта частота при удалении локомотива?
Решение
1. Изменение частоты воспринимаемого звука будет наблюдаться
вследствие эффекта Доплера, который фактически заключается в том,
что при приближении движущегося источника звука возбуждаемый его
сиреной волны воспринимаются как более высокие, а при удалении от
наблюдателя  как более низкие.
2. Рассмотрим вначале вариант
удаления источника со скоростью v1.
За время одного периода Т 0 источник
смещается в среде на расстояние
v
v1T0  1 ,
(1)
0
где 0  частота колебаний источника.
Естественно, что длина волны движущегося источника  будет отличаться
от длины волны неподвижного источника 0
173
c  v1
,
(2)
0
где с  фазовая скорость волны в данной среде.
3. Частота волны, воспринимаемая приёмником определится уравнением
0
c
 
.
(3)
v

1 1
c
4. В случае приближения приёмника уравнение (3) перепишется
следующим образом
0
c
 
.
(4)
v

1 1
c
5. Подставим в уравнения (4) и (3) заданные по условию задачи величины
300
 пр ибл. 
 340 Гц ;
(5)
40
1
340
300
 у дал. 
 268 Гц .
(6)
40
1
340
   0  v1T0  c  v1 T0 
6.4.2. Мимо неподвижного электровоза, сирена которого излучает
тональный сигнал на частоте 0 = 300 Гц движется пассажирский
поезд со скоростью u = 40 м/с. Какую частоту воспринимает пассажир поезда при приближении и удалении от электровоза?
Решение
1. Уравнения (3) и (4) для рассматриваемого в задаче случая можно
представить одним соотношением
cu

0 ,
(1)
c
cu
340  40
 прибл. 
0 
300  335 Гц ,
(2)
c
340
cu
340  40
 удал. 
0 
300  265 Гц .
(3)
c
340
174
6.4.3. Мимо неподвижного наблюдателя проходит электропоезд.
При приближении электропоезда наблюдатель воспринимает кажущуюся частоту сирены 1 = 1100 Гц, а при удалении поезда  2= 900
Гц. Определить скорость электропоезда и истинную частоту излучаемого звука.
Решение
1. Выразим из уравнения (2) предыдущей задачи величину 0
c
0  1 .
cu
2. Подставим значение 0 в уравнение (3) предыдущей задачи
c  u  1c
cu
2 
 1
.
c cu
cu
3. Выразим из уравнения (2) скорость электропоезда
 2 c  u   1 c  u  ,
(1)
(2)
(3)
c1   2  340  200
м
км

 34  122
.
(4)
1   2
2000
с
ч
4. Подставим значение скорости электропоезда u в равнение (1) и
определим частоту излучения его сирены
 c 1100  340
0  1 
 1000 Гц .
(5)
cu
340  34
u
6.4.4. В момент прохождения электропоезда мимо неподвижного
наблюдателя он воспринимает скачкообразное изменение тональности
сирены локомотива. Определить относительное изменение частоты
/0, если скорость поезда равна u = 15 м/с.
Решение
1. В соответствие с уравнениями эффекта Доплера образуем систему
уравнений
cu 
 пр ибл. 
 0 ;

c
(1)

c-u

 у дал. 
0.

c
2. Запишем величину /0, используя систему уравнений (1)
cu
cu
cu cu 
 пр ибл.   у дал.   
0 
0  0 

(2)
,
c
c
c 
 c
175
 2u 30


 0,09 .
0
c
340
(3)
6.4.5. Неподвижный резонатор, настроенный на длину волны  =
4,210  2 м и движущийся источник звука с частотой излучения 0 = 8
кГц расположены на одной прямой. В каком направлении и с какой постоянной скоростью должен двигаться источник, чтобы звучание резонатора было максимальным?
Решение
1. Определим первую собственную
частоту резонатора
c
   8100 Гц .
(1)

2. Поскольку  > 0 источник звука
должен приближаться к резонатору со скоростью u, при этом
cu

0 ,
c
откуда
c   0  340 100
м
u

 4,2 .
0
8000
с
(2)
(3)
6.4.6. Поезд движущейся мимо неподвижного наблюдателя со скоростью u = 120 км/ч, даёт звуковой сигнал продолжительностью 0 = 5
с. Какова будет кажущаяся продолжительность сигнала при приближении и удалении поезда при скорости звука с = 348 м/с?
Решение
1. При приближении поезда к наблюдателю при фиксированном
числе колебаний  = NT кажущаяся частота будет увеличиваться, период, соответственно уменьшаться, поэтому время восприятия N колебаний можно записать следующим образом
cu
348  33,3
 прибл. 
0 
5  4,52 c .
(1)
c
348
2. При удалении поезда длительность сигнала будет восприниматься
как
cu
 у дал. 
 0  5,48 с .
(2)
c
176
6.4.7. Скорый поезд со скоростью u = 20 м/с приближается к станции, на которой стоит электричка, которая подаёт сигнал с частотой
0 = 600 Гц. Определить кажущуюся частоту, воспринимаемую машинистом движущегося скорого поезда.
Решение
1. В данном случае эффект Доплера проявляется потому, что имеется движущийся источник и неподвижный приёмник. Кажущаяся частота
определяется уравнением
c
340

0 
600  638 Гц .
(1)
cu
340  20
6.4.8. На скоростном загородном шоссе сближаются два автомобиля со скоростями u1 = 30 м/с и u2 = 20 м/с. Первый автомобиль подаёт сигнал на частоте 1 = 600 Гц. Чему равна кажущаяся частота
звука 2, воспринимаемого водителем второй машины во время сближения и удаления? Изменится ли результата при подаче сигнала второй машиной? Скорость звука принять равной с = 332 м/с.
Решение
1. При сближении автомобилей и при подаче сигнала первым автомобилем кажущаяся частота, воспринимаемая водителем второго автомобиля определится уравнением
c  u2
332  20
2 
1 
600  699 Гц .
(3)
cu
332  30
2. При удалении автомобилей кажущаяся частота составит
c  u2
332  20
 *2 
2 
600  517 Гц .
(4)
c  u1
332  30
3. При подаче сигнала вторым автомобилем в режиме сближения
c  u1
332  30
1* 
1 
600  696 Гц ,
(5)
c  u2
332  20
в режиме удаления
c  u1
332  30
1* 
2 
600  515 Гц .
(6)
c  u3
332  20
177
6.4.9. При скоростных испытаниях гоночного автомобиля, движущегося мимо контрольного пункта со скоростью u = 360 км/ч, частота основного тона работающего двигателя меняется скачком. Какой
процент от истинной частоты основного тона двигателя составляет
скачёк? Скорость звука принять равной с = 340 м/с.
Решение
1. В соответствие с принципом Доплера частота воспринимаемого
звука определяется уравнением
c  u пр
1 
0 ,
(1)
с  u ист
где 0  истинная частота основного тона, излучаемого работающим
двигателем, 1  кажущаяся частота. В рассматриваемом случае скорость приёмника uпр = 0, поэтому
c
1 
0 .
(2)
с  u ист
2. При движении болида к наблюдателю уравнение (2) перепишется
следующим образом
c
1 
0 ,
(3)
c  u ист
при удалении от наблюдателя
c
 1* 
0 .
(4)
cu
3. Определим величину доплеровского скачка частоты
c
c
  1  1* 
0 
0 ,
(5)
cu
cu
1  
1
1
 1
  c 0 



,
(6)
;
 c  u c  u  0 c  u c  u

1
1


 340 

  64 ,6 % .
0
 340  100 340  100 
(7)
6.4.10. Автомобиль на скоростном шоссе проходит мимо неподвижного наблюдателя со скоростью u = 180 км/ч. Наблюдатель воспринимает доплеровский скачёк частоты основного тона сигнала автомобиля  = 200 Гц. Принимая скорость звука в воздухе равной с =
340 м/с определить частоту основного тона сигнала.
178
Решение
1. Воспользуемся уравнениями (3) и (4) предыдущей задачи
c
c
1 
 0 ;  1* 
0 .
cu
cu
2. Доплеровский скачёк частоты 
2uc 0
.
  1  1* 
c - u c  u 
3. Разрешим уравнение (2) относительно 0
c  u c  u   340  50 340  50  200  665 Гц .
0 
2uc
2  340  50
(1)
(2)
(3)
6.5. Акустика
6.5.1. По цилиндрической трубе диаметром d = 0,2 м и длиной l = 5
м, расположенной в сухом воздухе, распространяется акустическая
волна, обладающая средней за период интенсивностью < I > = 50
мВт/м2. Найти среднюю за период энергию акустического поля < W >,
заключенного в трубе.
Решение
1. Определим объёмную плотность акустической энергии в трубе
I
I    c;    .
(1)
c
2. Энергия акустического поля, заключенного в трубе
I d 2  5 10 2  3,14  4 10 2  5
 W    V 

 2,3 10 5 Дж .
(2)
c 4
4  340
6.5.2. Интенсивность звука равна I = 1 Вт/м2. Определить среднюю
объёмную плотность энергии акустической волны <  > при скорости
звука, равной с = 332 м/с.
Решение
1. Воспользуемся уравнением (1) предыдущей задачи
I
1
Дж
I    c;    
 3 10 3 3 .
c 332
м
(1)
179
6.5.3. Изотропный источник излучает акустическую мощность N
= 10 Вт. Найти величину средней объёмной плотности энергии <  >
на расстоянии r = 0,1 м от источника при температуре сухого воздуха
Т = 250 К.
Решение
1. Интенсивность точечного изотропного источника связана с его
мощностью следующим соотношением
N
I
.
(1)
4r 2
2. Скорость звука в заданных условиях
RT
.

3. Средняя объёмная плотность акустической энергии
I
N
10
Дж
   

 0,254 3 .
c
м
RT
1,33  8,3  250
4r 2
12 ,56 10 2

28 10 3
c
(2)
(3)
6.5.4. Определить мощность точечного изотропного источника
акустических волн N, если на расстоянии r = 25 м интенсивность составляет I = 20 мВт/м2. Найти среднюю объёмную плотность акустической энергии <  > на заданном расстоянии.
Решение
1. Определим мощность источника
N
I
; N  I  4r 2  2 10 2 12,56  625  157 Вт .
4r 2
2. Средняя объёмная плотность акустической энергии
I 2 10 2
мкДж
   
 60
.
c
340
м3
(1)
(2)
6.5.5. Определить удельное акустическое сопротивление ZS воздуха
при нормальных условиях.
Решение
1. Физические характеристики воздуха при нормальных условиях:
температура абсолютная Т = 273, 15 К; давление р = 1105 Па; молярная
180
масса  = 2910  3 кг/моль; показатель адиабаты  = (I + 2)/I = 1,4, плотность   = 1,32 кг/м3.
2. Определим скорость звука в воздухе при заданных условиях
RT
1,4  8,3  273
м

 330 .

29 10 3
с
3. Удельное акустическое сопротивление воздуха
кг
Па  с
Z S  c  1,32  330  436 2  436
.
м с
м
c
(1)
(2)
6.5.6. Определить удельное акустическое сопротивление воды ZS
при температуре Т= 290 К.
Решение
1. Скорость звука в жидкости определяется уравнением
1
1
м
(1)

 1430 ,
8
3

4,9 10 10
с
Где  = 4,910  10 Па  1  сжимаемость воды,   1103 кг/м3  плотность
воды.
2. Удельное акустическое сопротивление
c
ZS  c  
1

МПа  с
.

 1,43


м
(2)
6.5.7. Найти максимальную колебательную скорость частиц кислорода, при прохождении через него акустической волны с амплитудным
значением давления pm = 0,2 Па при температуре Т = 300 К и нормальном атмосферном давлении.
Решение
1. Звуковое давление связано с амплитудным значением колебательной скорости уравнением
(1)
p m  c m .
2. Определим плотность кислорода и скорость звука в нём при заданных условиях, воспользовавшись уравнением Клапейрона  Менделеева
p  10 5 16 10 3
m
кг
(2)
p 0 V  RT ; p 0   RT ;   0 
 0,643 3 .

RT
8,3  300
м
c
RT
1,4  8,3  300
м

 467 .

16 10 3
с
(3)
181
3. Разрешим уравнение (3) относительно амплитудного значения
колебательной скорости и подставим найденные величины
p
0,2
м
(4)
 m  m 
 6,7 10 4 .
c 0,643  467
с
6.5.8. Найти акустическое сопротивление воздуха, находящегося в
трубе диаметром d = 0,2 м при температуре Т = 300 К и внешнем давлении р = 2105 Па.
Решение
1. Воспользовавшись уравнением (2) предыдущей задачи, определим
плотность воздуха в трубе
p 2 10 5  29 10 3
кг
(1)


 2,33 3 .
RT
8,3  300
м
2. Скорость звука в трубе
RT
1,4  8,3  300
м

 346 .

29 10 3
с
3. Акустическое сопротивление
Z
4c 4  2,33  346
Па  с
.
ZA  S  2 
 2,57 10 4
2
s
d
3,14  4 10
м3
c
(2)
(3)
6.5.9 Через азот при температуре Т = 290 К и давлении р = 104 кПа
проходит акустическая волна с частотой колебаний частиц среды  =
400 Гц. Амплитуда звукового давления при этом составляет pm = 0,5
Па. Найти амплитудное значение смещения частиц среды из равновесного положения.
Решение
1. Определим скорость звука в азоте при заданных условиях
c
RT
1,4  8,3  290
м

 346 .
3

28 10
с
(1)
2. Плотность азота
p 1,04 10 5  28 10 3
кг
(2)


 1,21 3 .
RT
8,3  290
м
3. Запишем уравнение звукового давления, выразив его величину
через амплитудное значение смещения
182
p m  2 c m ;  m 
pm
0,5

 475 нм .
2 c 6,28  400 1,21  346
(3)
6.5.10. Найти амплитуду звукового давления, если частицы воздуха
колеблются с амплитудой m = 110  6 м на частоте  = 600 Гц.
Решение
1. Будем считать, что колебания частиц воздуха происходят при
нормальных условиях: Т = 273 К, р = 1,04105 Па, при этом  = 2910  3
кг/моль.
2. Плотность воздуха и скорость звука при нормальных условиях
p 1,04 10 5  29 10 3
кг
(1)


 1,33 3 .
RT
8,3  273
м
RT
1,4  8,3  273
м

 330 .
3

29 10
с
3. Амплитудное значение звукового давления
p m  2 c m  6,28 1,33  600  330 10 6  1,65 Па .
c
(2)
(3)
6.5.11. Удельное акустическое сопротивление воздуха составляет
ZS = 420 Пас/м. На расстоянии r = 100 м от изотропного источника
акустических волн амплитудное значение давления равно pm = 0,2 Па.
Определить мощность источника волн N.
Решение
1. Определим амплитудное значение колебательной скорости частиц
воздуха при прохождении акустической волны, воспользовавшись
уравнением (1) задачи 6.5.7
p
м
p m  c m ;  m  m  4,76 10 4 .
(1)
ZS
с
2. Приняв плотность воздуха равной  = 1,33 кг/м3, найдём объёмную плотность акустической энергии
1
Дж
    2  0,5 1,33  2,27 10 7  1,7 10 7 3 .
(2)
2
м
3. Интенсивность акустической волны
I    c  1,51 10 7  330  4,98 10 5 Вт / м 2 .
(3)
4. Акустическая мощность источника
N  4r 2 I  12,56 10 4  4,98 10 5  6,25 Вт .
(4)
183
6.5.12. Для точечного источника акустических волн мощностью N =
1 Вт, находящимся в воздухе найти на расстоянии r = 100 м амплитудное значение звукового давления pm.
Решение
1. Интенсивность акустического поля, создаваемого источником
N
I
.
(1)
4r 2
2. Выразим среднюю объёмную плотность акустической энергии
рассматриваемого источника через его интенсивность и амплитуду акустического давления
N
1 p 2m
.
(2)
  
;



4r 2 c
2 c 2
3. Совместим последние уравнения и разрешим относительно искомой величины
p 2m
N
1 NZ s
1 1 420
(3)

; pm 

 8,2 10 2 Па .
4r 2 c 2c 2
r 2
100 6,28
6.5.13. В сухом воздухе при нормальных условиях интенсивность
звука составила I = 10  11 Вт/м2. Определить амплитуду акустического
давления рm.
Решение
1. Определим скорость звука в воздухе при нормальных условиях,
т.е. при Т0 = 273 К, р0 = 105 Па,  = 2910  3 кг/моль
RT
1,4  8,3  273
м

 330 .
3

29 10
с
2. Найдём плотность воздуха при нормальных условиях
p 1,04 10 5  29 10 3
кг


 1,33 3 .
RT
8,3  273
м
3. Удельное акустическое сопротивление воздуха
ZS  c  439 Па  с / м .
4. Воспользуемся соотношениями (2) предыдущей задачи
I 1 p 2m
1 p 2m
   
;
I

;  p m  2IZS  8,8 10 5 Па .
c 2 c 2
2 2c
c
(1)
(2)
(3)
(4)
184
6.5.14. Слуховой орган среднего статистического человека может
воспринимать акустические колебания в интервале частот min = 22
Гц, max = 18 кГц. Определить диапазон длин волн для температур
окружающего воздуха t1 =  25 0C и t2 = 40 0C.
Решение
1. Определим скорость звука при заданных условиях принимая
внешнее давление равным р = 105 Па, молярную массу  = 2910  3
кг/моль, число степеней свободы молекул воздуха i = 5, показатель
адиабаты  = 1,4
c1 
RT1
1,4  8,3  248
м

 315 ,

29 10 3
с
RT2
1,4  8,3  313
м

 354 .

29 10 3
с
2. Искомые диапазоны длин волн
c
315
 max  1 
 14,3 м .
 min
22
c2 
 min(1) 
c2
315

 1,75 10 2 м .
 max 18 10 3
(1)
(2)
(3)
(4)
6.5.15. Сравнить скорости распространения акустических волн в
стали и меди, приняв модуль Юнга для стали Е Fe = 216 ГПа, для меди
ЕCu = 118 ГПа.
Решение
1. Примем величину плотности стали Fe = 7,7103 кг/м3, плотности
меди  Cu = 8,6103 кг/м3 и определим скорости звука в заданных металлах
c Fe 
E Fe

 Fe
2,16 10 11
м
 5296 .
3
7,7 10
с
(1)
c Сu 
E Cu
1,18 10 11
м

 3360 .
 Cu
8,6 10 3
с
(2)
2. Определим отношение скоростей звука в металлах
c Fe
 1,58 .
c Cu
(3)
185
6.5.16. В результате акустических измерений было установлено,
что скорость звука в ацетоне равна с1 = 1190 м/с при плотности 1 =
790 кг/м3 а в глицерине с2 = 1950 м/с при плотности 2 = 1260 кг/м3. В
каком соотношении находятся сжимаемости этих жидкостей?
Решение
1. Модуль Юнга является величиной, обратно пропорциональной
сжимаемости  = 1/Е, с другой стороны
E  c 2 ,
(1)
откуда
1
(2)
 2 .
c
2. Определим далее сжимаемости заданных жидкостей и найдём их
отношение
1
1
1
1 

 9 10 10
.
(3)
1c1 790 1190 2
Па
2 
1
1
1

 2 10 10
.
2
 2 c 2 1260 1950
Па
1
 4,5 .
2
(4)
(5)
6.5.17. Определить разность глубин океана, если в первой точке
измерения интервал времени между акустической посылкой и отражённым от дна сигналом составил 1 = 6 с, а во второй точке это
время было равным  2 = 1 с. Принять сжимаемость морской воды
равной  = 4,610  10 Па  1, плотность  = 1,03103 кг/м3.
Решение
1. Определим скорость звуковых волн в морской воде
1
1
м

 1450 .
10
3

4,6 10 1,03 10
с
2. Разность глубин океана в точках измерения составит
c 1450  6
2h 1  c; h 1  1 
 4530 м .
2
2
c
1540 1
h2  2 
 770 м ,
2
2
h  h1  h 2  3760 м .
c
(1)
(2)
(3)
(4)
186
6.5.18. Измерения показали, что среднеквадратичная скорость молекул водяного пара составила < v > = 600 м/с. Определить скорость
распространения акустической волны.
Решение
1. Запишем уравнения для среднеквадратичной скорости молекул и
скорости звука
3RT
RT
(1)
; c
.


2. Разделим уравнения друг на друга

1,33
м
c  v 
 600
 400 .
(2)
3
3
с
6.5.19. Пары ксенона в сферической проекционной лампе находятся
при давлении р = 2105 Па и температуре Т = 500 К. Определить скорость звука в данном состоянии газа. Как изменится результат при
заполнении колбы парами ртути?
 v 
Решение
1. Ксенон является одноатомным газом молекула которого обладает
тремя степенями свободы i = 3. молярная масса газа  1 = 131,310  3
кг/моль, показатель адиабаты  = (i+2)/i = 1,67.
2. Скорость распространения звука в ксеноне
c Xe 
RT
1,67  8,3  500
м

 230 .
1
131,3 10 3
с
(1)
3. При заполнении колбы папами ртути скорость звука изменится,
так как молярная масса ртути 2 = 200,5910  3 кг/моль
c Hg 
RT
1,67  8,3  500
м

 186 .
3
2
200 ,59 10
с
(2)
6.5.20. Известно, что средняя молярная кинетическая энергия поступательного движения молекул атомарного водорода составляет <
 > = 2102 Дж/моль. Определить скорость звука в этом газе.
Решение
1. Уравнение средней кинетической энергии поступательного движения молекул даёт основание для определения температуры этого газа
187
   
2   
3
RT ;  T 
;
2
3R
(1)
2. Скорость звука в данном состоянии газа определится уравнением
c
2    
3 

2 1,67  2 10 2
м
 472 .
3 10 3
с
(2)
6.5.21. Измерение температуры разреженного
газа, включая верхние слои атмосферы, термометрическими методами невозможно, так как традиционные термометры ввиду малой концентрации
молекул приходят в термодинамическое равновесие
длительное время. Измерение температуры возможно с помощью вертикально запускаемых ракет, на борту которых имеются звуковые
гранаты. Определить температуру на высоте h = 20 км, если между
взрывами гранат на высоте h1 = 30 км и h2 = 28 км зафиксирована задержка прихода регистрируемого на месте старта ракеты звука на
 = 5 с.
Решение
1. Скорость акустической волны в газах, наряду с их физическими
свойствами, определяется и температурой
RT
.
(1)

2. За фиксируемое время  звуковая волна преодолевает расстояние
h = h1  h2, другими словами,
h  h2
h  c; c  1
.
(2)

3. Приравняем уравнения (1) и (2)
2
RT h 1  h 2 

.
(3)
2


4. Разрешим уравнение (3) относительно температуры
2
 h 1  h 2 
29 10 3 4 10 6
T

 207 K 66 0 C .
(4)
R
 2
1,4  8,3 48
c
188
6.5.22. Для увеличения коэффициента полезного действия ультразвуковых магнитострикционных излучателей, нагружаемых на воду,
для их согласования со средой снабжают специальными накладками. Из
какого материала следует изготавливать согласующий элемент для
никелевого преобразователя, излучающего в воду. Плотность никеля 1
= 8,75г/см3, модуль Юнга  Е1 = 21011Н/м2, скорость звука в никеле с =
4785 м/с.
Решение
1. Наибольший коэффициент полезного действия излучателя можно
получить, когда его удельное акустическое сопротивление ZS1 будет равно
удельному акустическому сопротивлению среды, в данном случае  воды.
2. Удельное акустическое сопротивление воды равно
ZS3   3 c 3  1 10 3 1500  1,5 10 6 кг / м 2 с .
(1)
в то время как удельное сопротивление никеля составляет
ZS1  1c1  8,75 10 3  4785  4,2 10 7 кг / м 2 с .
(2)
3. Анализ удельных акустических сопротивлений показывает, что
наиболее совместимы с водой накладки из эбонита, плотность которого
2 = 1,15103 кг/м3, скорость звука  с2 = 1570 м/с. Удельное акустическое сопротивление эбонита
ZS 2   2 c 2  1,8 10 6 кг / м 2 с ,
(3)
что не намного отличается от удельного акустического сопротивления
воды.
6.5.23. Интенсивность акустических волна равна I1 = 10  10 Вт/м2 и
I2 = 0,01 Вт/м2. Определить уровень их интенсивности LP.
Решение
1. Уровень интенсивности (уровень акустической мощности) измеряется в децибелах и определяется уравнением
 I 
L P  10 lg   ,
(1)
 I0 
где I0 = 110  12 Вт/м2  нулевой уровень интенсивности за который принимается порог слышимости среднестатистического органа слуха человека на частоте  = 1 кГц, соответствующее стандартному акустическому давлению р0  210  5 Па.
189
2. Уровень интенсивности заданных акустических волн на основании уравнения (1) определится следующим образом
 10 1 0 
L P(1)  10 lg  1 2   20 Дб .
(2)
 10 
 0,01 
L P(2)  10 lg  1 2   100 Дб .
 10 
(3)
6.5.24. Точечный изотропный акустический источник обеспечивает
на расстоянии r1 = 24 м уровень интенсивности звука LP(1) = 32 дБ.
Определить уровень интенсивности источника на удалении r2 = 16 м.
Решение
1. Используя взаимосвязь между интенсивностью и мощностью источника, можно записать следующие соотношения
N  4r12 I; N  4r22 I ,
(1)
r12
.
(2)
r22
2. Поделим обе части уравнения (2) на величину пороговой интенсивности I0 = 110  12 Вт/м2
I 2 I1 r12

.
(3)
I 0 I 0 r22
3. Прологарифмируем уравнение (3) и умножим обе его части на 10
I
I
r2
10 lg 2  10 lg 1  10 lg 12 .
(4)
I0
I0
r2
4. По условию задачи
I
10 lg 1  L P (1)  32 дБ ,
(5)
I0
следовательно
r2
576
L P ( 2 )  32  10 lg 12  32  10 lg
 35,5 дБ .
(6)
r2
256
I1 r12  I 2 r22 ;  I 2  I1
6.5.25. Пройдя через звукоизолирующую конструкцию, акустическая
волна уменьшила уровень своей интенсивности на LP = 30 дБ. Во
сколько раз при этом уменьшилась интенсивность звука.
190
Решение
1. Условие ослабления акустической волны
звукоизолирующей перегородкой математически можно записать следующим образом
I
I
(1)
10 lg 1  10 lg 2  L P ,
I0
I0
откуда
I
I
L P
(2)
lg 1  lg 2 
 3.
I0
I0
10
2. Выразим далее из уравнения (2) отношение интенсивностей акустической волны до
перегородки и после
I1
 10 3  1000 .
I2
(3)
6.5.26. Уровень шума от работы одного электродвигателя составил LP(1) = 60 дБ. Каков будет уровень шума при одновременной работе
двух и десяти таких электродвигателей?
Решение
1. Определим интенсивность акустического излучения одного электродвигателя
I
I
I
L P (1)  10 lg 1  60 дБ; lg 1  6; 1  10 6 ;
(1)
I0
I0
I0
I1  I 0 10 6 ; I1  10 6 10 12  1 10 6 Вт / м 2 .
(2)
2. При работе одновременно двух электродвигателей уровень шума
определится из следующих соображений
I I
2 10 6
I 2  10 lg 1 1  10 lg
 63 дБ .
(3)
I0
10 12
3. Если одновременно будут работать десять электродвигателей, то
уровень создаваемого ими шума будет составлять
10 I1
10 5
I10  10 lg
 10 lg 12  70 дБ .
(4)
I0
10
6.5.27. Три источника акустических волн с частотами 1 = 50 Гц, 2
= 200 Гц и 3 = 1 кГц в некоторой точке поля создают одинаковый уро-
191
вень интенсивности LP(1) = LP(2) = LP(3) = 40 дБ. Найти уровни громкости этих источников.
Решение
1. Звуковые волны, наряду с объективными параметрами принято
характеризовать субъективными параметрами.
Высота тона - это субъективная
оценка частоты звука. Чем больше частота, тем выше тон воспринимаемого
звука. Однако способность уха различать звуки по их тональности зависит от
частоты. На рисунке представлена полученная из опыта кривая зависимости
относительного изменения частоты звука   ,при котором человек отмечает
изменение высоты тона от частоты. При
малых и больших частотах изменение
частоты звука должно быть значительным, чтобы ухо могло заметить изменение тона. Для частот от 1000 до 600 Гц (область наибольшей остроты
уха) это относительное изменение частоты наименьшее (   =0,3).
Громкость является субъективной оценкой интенсивности звука.
Восприятие интенсивности зависит от частоты звука, потому что наш
акустический тракт имеет вполне определённую частотную характеристику, и она отнюдь не является линейной. Может оказаться, что звук
большей интенсивности одной частоты воспринимаются нами как менее
громкий, чем звук малой интенсивности другой частоты.
Опыт показывает, что для каждой частоты в области слышимых звуков (20  20103 Гц) имеется так называемый порог слышимости. Это
минимальная интенсивность, меньше которой ухо не реагирует на звук.
Кроме того, опытом установлено, что для каждой частоты имеется так
называемый порог болевых ощущений, т. е. то значение интенсивности
звука, которое вызывает боль в ушах. Повышение интенсивности звука
выше порога болевых ощущений опасно для уха.
192
Интенсивность волн акустического диапазона, встречающихся в
природе, занимает несколько порядков, даже применительно к динамическому диапазону человеческого слуха. Операции с абсолютными величинами, в этой связи, представляются не очень удобными. Числа получаются либо очень большие, либо очень маленькие. Интенсивность
акустических волн удобно оценивать относительными единицами,
уровнем интенсивности, измеряемым обычно в децибелах
I
p
Вт
(1)
L  10 lg  20 lg
,
I 0  10 12 2 ;
I0
p0
м
Величина I0 представляет собой интенсивность порога слышимости
на частоте 1000 Гц. Громкость звука, соответствующая этой интенсивности, равна нулю (звук не воспринимается). Единица уровня громкости
L называется белом. Обычно громкость звука выражают в децибелах
(Дб); эту дольную единицу еще называют фоном (фон): 1 Бел = 10 Дб
(фон). Всему диапазону интенсивностей звука, воспринимаемых ухом
от порога слышимости до порога болевых ощущений, соответствуют
значения громкости от нуля до 130 дБ.
Совокупность точек, отвечающих порогу слышимости, и точек, соответствующих порогу болевых ощущений, образуют на диаграмме
193
уровень интенсивности  частота две кривые. Область, ограниченная
этими кривыми, называется областью слышимости. Приведенные кривые иллюстрируют ту наименьшую величину интенсивности звука, которую воспринимает определённый процент обследованных на специальной аудио акустической аппаратуре людей. Кривая соответствующая
1% получена при обследовании слуха профессиональных «слухачей»,
определяющих на слух качество звуковоспроизводящей аппаратуры.
Такие же показатели слуха имеют гидроакустики на боевых надводных и подводных кораблях. Из диаграммы видно, что наше ухо может
воспринимать звуки, различающиеся по интенсивности в 1013 раз! Ни
один прибор, созданный руками человека, не имеет столь широкого
диапазона изменения измеряемой величины. Опыт показывает, что
субъективная оценка интенсивности звука  громкость возрастает гораздо медленнее, чем сама интенсивность звука: при возрастании интенсивности звука в геометрической прогрессии громкость возрастает
приблизительно в арифметической прогрессии, т. е. линейно. Это обстоятельство тоже делает удобным использование уровня громкости.
2. Возвращаясь к заданным величинам, на основании анализа диаграммы можно видеть, что акустическая волна с частотой 1 = 50 Гц
будет иметь нулевой уровень громкости LN(1) = 0, для волны с частотой
колебаний 2 = 200 Гц уровень громкости составит LN(2) = 20 дБ, для
волны с 3 = 1 кГц  LN(3) = 40 дБ.
6.5.28. В фиксированной точке пространства две акустические волны отличаются по уровню громкости на четыре фона. Найти отношение интенсивностей этих волн.
Решение
1. Уровень громкости в G = 1 фон соответствует уровню интенсивности LP = 1 дБ, другими словами, уровень интенсивности анализируемых волн LP = 4 дБ.
2. Запишем уравнения интенсивностей волн
I
I
L P (1)  10 lg 1 ; L P ( 2 )  10 lg 2 .
(1)
I0
I0
3. Выразим величину LP через уравнения (1)
 I
I 
I
L P  L P (1)  L P ( 2 )  10 lg 1  lg 2   10 lg 1 .
I
I
I
0
0 
2

4. Определим отношение интенсивностей
(2)
194
L P
I
 lg 1 ; 
10
I2
I1`
 10 0, 4  2,51 .
I2
(3)
6.5.29. Источник акустических волн в помещении, где он расположен, воспринимается с уровнем громкости G1 = 80 фон, а в соседнем
помещении за стеной  с уровнем G2 = 60 фон. Определить отношение
интенсивностей волн в смежных помещениях.
Решение
1. Воспользовавшись уравнением (2) предыдущей задачи, получим
 I
I 
I
(1)
L P  L P (1)  L P ( 2 )  10 lg 1  lg 2   10 lg 1 ,
I
I
I
0
0 
2

L P  20 дБ;
L P
I
 lg 1 ; 
10
I2
I1`
 10 2  100 .
I2
(2)
6.5.30. При измерении интенсивности акустического шума в помещении соседним с машинным отделением судна оказалось, что с открытым и закрытым люком результаты отличались в 104 раз. На
сколько фонов при этом уменьшался уровень громкости?
Решение
1. В соответствие с уравнением (2) предыдущей задачи
I1
 10 4 ,
I2
следовательно, уровень громкости увеличивается на 40 фон.
lg
6.5.31. Доказать, что для любой
ведливо соотношение
dp

p
(1)
бегущей акустической волны спра t 
,
c
(2)
где dpm /p  относительное изменение давления в среде,  m  амплитудное значение колебательной скорости частиц сред, с  скорость звука,
 = сp/cV  показатель адиабаты.
Решение
195
1. При адиабатическом процессе в газе справедливо соотношение
dp
d

.
(1)
p

2. Обозначив  смещение частиц среды в волне, выразим относительное сжатие следующим образом
 d


.
(2)
x 
3. Совместим уравнения (1) и (2)
dp

.
(3)
 
p
x
4. Запишем уравнение смещения частиц среды при прохождении
акустической волны
2x 

t    m sin t 
(4)
,
 

из которого следует, что
2 m

2x 


cos t 
(5)
.
x

 

5. Колебательная скорость рассматриваемой частицы определится
как
t 
2x 

 t  
  m  cos t 
(6)
,
t
 

откуда
 t   m 
2x 


cos t 
(7)
,
c
c
 

но /с = k = 2/, что даёт основание переписать уравнение (7) следующим образом
 t  2 m
2x 


cos t 
(8)
.
c

 

6. Поскольку
2 m
2x 


cos t 
,
(9)


 
x

то
 t 
dp

.
(10)
c
p
196
6.5.32. Акустическая волна с амплитудным значением изменения
давления р = 10 Па падает на нормально на плоскую поверхность
площадью s = 410  4 м. Найти поток акустической энергии, приняв
плотность среды равной  = 1,3103 кг/м3 и скорость звука с = 334 м/с.
Решение
1. Определим объёмную плотность энергии акустической волны
  2m 2 cos2 t  kx   0  ,
(1)
2m 2
1  cos 2t  kx  0  .
(2)
2
2. Среднее за период значение объёмной плотности энергии на основании уравнения (2) определится как
2 2
   m .
(3)
2
3. Модуль вектора плотности потока энергии
 2
J  c    s  m cs .
(4)
2
4. Используя уравнение (10) предыдущей задачи, запишем
 m p
 m
p

;

; 
c
p
p
p
(5)


J
p 2 s 100 4 10 4

 4,6 10 5 Вт .
2 c
2 334 1,3
Использованные литературные источники
1.
2.
3.
4.
Чертов А.Г., Воробьёв А.А. Задачник по физике: Учеб. пособие
для студентов втузов.  5-е изд., перераб. и доп.  М.: Высш.
шк., 1988.  527 с. ил.
Иродов И.Е. задачи по общей физике: Учеб. пособие.  2-е изд.
перераб.  М.: Наука. Гл. ред. физ.  мат. лит. 1988.  416 с., ил.
Трофимова Т.И., Павлова З.Г. Сборник задач по курсу физики с
решениями: Учеб. пособие для вузов.  М.: Высш. шк., 1999. 
591 с.
Стрелков С.П., Сивухин Д.В., Угаров В.А., Яковлев И.А. Сборник задач по общему курсу физики. Учебн. пособие для студентов физических специальностей высших учебных заведений.
197
Все решения к «Сборнику задач по общему курсу физики» В.С.
Волькенштейн. В 2 кн. Кн. 2.  М.: Олимп ООО Фирма «Издательство АСТ», 1999.  592 с., ил.
6. Савельев И.В. Сборник вопросов и задач по общей физике:
Учеб. пособие для студентов высш. техн. учеб. заведений.  М.:
ООО «Издательство Астрель», ООО «Издательство АСТ»,
2001.  320 с., ил.
7. Гусев И.Е. Физика. Решение задач.  Мн.: Литература, 1997. 
592 с. Ил.
8. Сахаров Д.И. Сборник задач по физике для вузов.  13 изд.,
испр. и доп.  М.: ООО «Мир и Образование», 2003.  400 с.
9. Гладской В.М., Самойленко П.И. Физика. Сборник задач: Пособие для вузов.  М.: Дрофа, 2002.  288 с.
10. Исаакович М.А. Общая акустика. Учеб. Пособие.  М.: Наука,
1973.  495 с.
5.