ЦЕЛИ И ЗАДАЧИ СПЕЦКУРСА «ИСТОРИЯ МАТЕМАТИКИ»
advertisement
Федеральное агентство по образованию Российской Федерации Федеральное государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования «ЮЖНЫЙ ФЕДЕРАЛЬНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ» Факультет математики, механики и компьютерных наук Рассмотрено и рекомендовано на заседании УТВЕРЖДАЮ кафедры математического анализа ЮФУ Декан факультета математики, Протокол №____от _________________ 2009 г. механики и компьютерных наук Зав. кафедрой ___________ А.В.Абанин _________________ М.И.Карякин «_____» ________________ 2009 г. УЧЕБНО-МЕТОДИЧЕСКИЙ КОМПЛЕКС учебной дисциплины «История и методология математики (прикладной математики и информатики)» федерального компонента цикла ГСЭ для магистерской образовательной программы по направлению 010100 «Математика» и федерального компонента цикла ДН для магистерской образовательной программы по направлению 010500 «Прикладная математика и информатика» Составитель: канд. физ.-матем.наук, доцент Налбандян Ю.С. Ростов-на-Дону 2009 СОДЕРЖАНИЕ 1. ПОЯСНИТЕЛЬНАЯ ЗАПИСКА ........................................................................ 4 Аннотация .......................................................................................................... 4 Требования к начальной подготовке. .............................................................. 5 Цели и задачи курса. ......................................................................................... 5 Ожидаемый результат и формы контроля. ..................................................... 6 Система рейтинговых оценок. ......................................................................... 7 2. УЧЕБНО-ТЕМАТИЧЕСКИЙ ПЛАН КУРСА .................................................. 8 История и методология прикладной математики и информатики .............. 8 История и методология математики ............................................................... 9 3. РЕКОМЕНДУЕМАЯ ЛИТЕРАТУРА И МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ ПО ЕЕ ИСПОЛЬЗОВАНИЮ.................................................................................... 11 Основная литература....................................................................................... 11 Персоналии математиков ............................................................................... 13 Методические рекомендации ......................................................................... 15 4. СОДЕРЖАНИЕ КУРСА ................................................................................... 16 Модуль № 1. Формирование математики как науки ...................................... 16 Комплексная цель ............................................................................................ 16 Содержание ...................................................................................................... 16 Контрольные вопросы к модулю № 1 ........................................................... 18 Модуль № 2. Математика и научно-техническая революция XVII-XIX вв. 19 Комплексная цель ............................................................................................ 19 Содержание ...................................................................................................... 20 Контрольные вопросы к модулю № 2 ........................................................... 21 Модуль № 3. Прикладная математика в XX веке (для программы «прикладная математика и информатика») ......................................................... 23 Комплексная цель ............................................................................................ 23 Содержание ...................................................................................................... 23 Контрольные вопросы к модулю № 3. .......................................................... 24 Модуль № 3. Математика в XX веке (для программы «математика») ........ 25 Комплексная цель ............................................................................................ 25 Содержание ...................................................................................................... 25 Контрольные вопросы к модулю № 3. .......................................................... 26 5. МЕТОДИЧЕСКИЕ РЕКОМЕНДАЦИИ ПО САМОСТОЯТЕЛЬНОЙ РАБОТЕ СТУДЕНТОВ ............................................................................................. 27 2 6. ТЕМЫ РЕФЕРАТОВ И МЕТОДИЧЕСКИЕ РЕКОМЕНДАЦИИ ПО ИХ ПОДГОТОВКЕ .......................................................................................................... 28 Темы рефератов .................................................................................................. 28 Методические рекомендации............................................................................ 29 7. ГЛОССАРИЙ ..................................................................................................... 31 8. ОБРАЗЦЫ ТЕСТОВЫХ ЗАДАНИЙ РУБЕЖНОГО КОНТРОЛЯ ............... 34 Тест к модулю № 1 .......................................................................................... 34 Тест к модулю № 2 .......................................................................................... 35 Тест к модулю № 3 (прикладная математика) ............................................. 36 Тест к модулю № 3 (математика) .................................................................. 37 3 1. ПОЯСНИТЕЛЬНАЯ ЗАПИСКА Аннотация История математики (в том числе прикладной) как учебная дисциплина выступает, с одной стороны, как часть истории науки, тесно связанная с философией, а с другой – как дисциплина, изучающая саму математику, рассматриваемую в историческом измерении. Значимость ее для научного творчества чувствовали (и пропагандировали) ученые-математики во все века (Эвдем Родосский, П.Рамус, Ж.Монтюкла, В.В.Бобынин, Ф.Клейн, А.Вейль, Ж.Дьедонне, А.Н.Колмогоров, Д.Д.Мордухай-Болтовской). «Так как математика ранее других наук возвысилась на степень науки в настоящем смысле этого слова и затем сделалась дедуктивною, то история ее развития может быть по справедливости названа частью истории чистого мышления или истории развития человеческого духа» – эти слова русского ученого В.В.Бобынина в полной степени характеризуют место и роль истории математики как в обществе, так и в системе знаний, которым должен овладеть квалифицированный специалист-математик. Как отмечал неоднократно один из ведущих сегодня специалистов, зав. сектором истории математики Института Истории Естествознания и Техники РАН, профессор С.С.Демидов, сознательно подойти к выбору темы и определению методов исследования может только человек, знающий историю математики. «Правильно оценить соотношение прикладных и не имеющих сегодня приложений исследований можно только, зная историю. Пытаться оценить место решаемой задачи в сегодняшней математике и в ходе ее развития можно только, зная историю. Вообще, размышлять о математике, о ее задачах, целях, месте в современной культуре можно только, опираясь на ее историю. В этом практическое значение истории математики для всякого лица, претендующего быть в математике Мастером» (см. «Несколько вводных замечаний об истории математики» в пособии «Методические материалы для подготовки к кандидатскому экзамену по истории и философии науки», М.: Янус-К, 2003, с.5). Как наука, история математики сформировалась в конце XIX века, при этом до сих пор существуют два основных метода исследований – антикваристский, когда материал исследуется исключительно в современном изучаемому памятнику историческом контексте в соответствии с идеями Мориса Кантора (1829-1920), и презентистский, когда изучение ведется с позиций современной исследователю науки (основоположник – Иероним Георг Цейтен (1839-1920)). В учебном курсе учитываются оба похода. 4 Естественно, что, наряду с общими вопросам (хронология, периодизация, и т.д.) особое внимание уделяется (в соответствии со специализацией магистрантов) истории основных разделов математики, включенных в учебные планы (математический анализ, алгебра, геометрия, теория вероятностей, функциональный анализ), а также разделов, связанных с применением численных методов, алгоритмов, с решением оптимизационных задач и использованием ЭВМ. Курсы, читаемые магистрантам обеих образовательных программ, в значительной степени пересекаются (особенно в разделах, связанных с развитием математики с древнейших времен до XIX века), поэтому данный учебнометодический комплекс является единым, а отличия оговариваются специально. При этом учитывается, что курс «История и методология математики» для магистрантов специальности «математика» включен в цикл гуманитарных и социально-экономических дисциплин и на его изучение выделяется 34 часа аудиторной и 70 часов самостоятельной работы. У магистрантов специальности «прикладная математика и информатика» курс «История и методология прикладной математики и информатики» включен в цикл дисциплин направления (ДНМ) и на его изучение отводится 34 часа аудиторной работы и 46 часов самостоятельной работы. Все аудиторные часы – лекционные. Требования к начальной подготовке. Содержание курса тесно связано фактически со всеми дисциплинами, которые изучались студентами. Предполагается, что учащиеся владеют основными понятиями математического и функционального анализа, теории множеств, высшей алгебры, математической логики, компьютерных наук, а также имеют представление об основных философских теориях (в рамках курса «Философия» из блока общих гуманитарных и социально-экономических дисциплин). Цели и задачи курса. Целью курса можно считать выстраивание общего контекста математического мышления как культурной формы деятельности, определяемой как структурными особенностями математического знания, так и местом математики в системе наук. «Через историю математики действующий математик оказывается способным воспринимать связь своей деятельности со всем многообразием проявлений человеческой культуры, в чем и состоит ее гуманитарное значение» (С.С.Демидов), поэтому особое внимание уделяется формированию 5 математического мировоззрения будущих специалистов-математиков широкого профиля, как ученых, так и ведущих преподавательскую деятельность. В процессе преподавания дисциплины ставятся следующие задачи: 1) создать представление о том, как возникали и развивались основные математические методы, понятия, идеи, как исторически складывались отдельные математические теории; 2) определить роль и место математики и прикладной математики в истории развития цивилизации; 3) выяснить характер и особенности развития прикладной математики у отдельных народов в определенные исторические периоды, оценить вклад, внесенный в математику великими учеными прошлого; 4) проанализировать, каков исторический путь отдельных математических дисциплин и теорий, в какой связи с потребностями людей и задачами других наук шло развитие математики; 5) установить связи между различными разделами математики; 6) подготовить студентов к освоению курса «История и философия математики», включенного в программу подготовки аспирантов. Особое внимание уделяется обучению навыкам работы с литературой, искусству библиографического поиска, умению правильно цитировать и ссылаться на использованные материалы (в том числе и сетевые). Ожидаемый результат и формы контроля. Изучение курса позволит магистрантам получить представление о пути, пройденном наукой, в области которой они работают, т.е. увидеть ее в состоянии динамики; осознать внутреннюю логику развития науки; понять взаимосвязь между теоретическими и практическими исследованиями. Приобретенные знания магистранты могут использовать в своей научной и преподавательской деятельности. Для оценки успешности освоения курса по окончании изучения каждого модуля студентам предлагается дать короткий письменный ответ на один из контрольных вопросов, при этом разрешается использовать конспект (время работы – 15-20 минут). Итоговой формой контроля является подготовка реферата по выбранной теме, при этом требуется, чтобы закончивший изучение курса специалист владел информацией о генезисе и структуре основных математических понятий, ориентировался в исторических эпохах, в особенностях развития математики в различных странах, умел грамотно вести библиографический поиск и творчески осмысливать собранную информацию. 6 Зачет выставляется по совокупности работ на основе рейтинговой системы. Система рейтинговых оценок. Каждый из трех письменных ответов оценивается в баллах (от 2 до 5); дополнительный балл может быть присужден за использование при ответе информации, не озвученной на лекции (это должно стимулировать студентов к изучению и конспектированию литературы). Реферат также оценивается в 2, 3, 4 или 5 баллов, при оценке «2» реферат возвращается на доработку, после которой оценка снижается на один балл. За невыполненную работу студент баллов не получает; пропуск более 25% занятий штрафуется снятием 0,5 балла, более половины пропущенных занятий приводят к потере 1 балла, за пропуск более 75% снимается 1,5 балла. Итоговая рейтинговая оценка определяется формулой R KO1 KO2 KO3 REF SHTR , 3 где KOi – оценка, полученная за письменный ответ после изучения i-го модуля, REF – итоговая оценка за реферат, SHTR – баллы, снятые за пропуски занятий. Таким образом, максимальный балл, который студент может получить по окончании изучения курса – 11 (три оценки «5» за письменные ответы, по дополнительному баллу за каждый, «5» за реферат и отсутствие штрафов за пропуски). Минимальным баллом, при котором может быть выставлен «зачет», можно считать 5,5 (все письменные ответы и реферат оценены «3», дополнительных баллов нет, за пропуски сняты 0,5 балла). В случае, когда набранных баллов для зачета не хватает, магистранты сдают зачет на обычных основаниях, получив билет, состоящий из трех вопросов (методом случайного выбора, по одному из комплекса вопросов для каждого модуля). При этом выполнение реферата все равно является обязательным! 7 2. УЧЕБНО-ТЕМАТИЧЕСКИЙ ПЛАН КУРСА История и методология прикладной математики и информатики Трудоемкость № Модуль (часы) Темы Ауд. Само- (лек) стоят. Отчетность Периодизация, обзор литературы, математика Древнего Египта и Вавилона 2 2 мен. Математика в Древней Греции. Преобразование накопленных математиче- ответ 4 4 Формиро- ских фактов в теоретическую науку 2 тематики невековом Востоке как науки Прикладной характер математики и в 2 2 конных во- Математика, прикладная математика, механика в европейских странах. Осо- из троль 2 Китае и Индии. на один вание ма- Математика и ее приложения на сред1. Пись про2 2 сов бенности XV-XVI вв. Математика и научнотехниче2. ская революция XVII-XIX вв. Введение в математику движения и переменных величин. Развитие вспо- Пись 4 4 мен. могательных средств вычисления ответ Становление и обоснование диффе- на ренциального и интегрального исчис- 6 6 ления один из контр Новые области математики. Развитие вычислительной математики. Исследо- во4 8 просов вания в области механики 8 Математическая логика и основания Пись математики. Математическое сообще- мен. 4 ство в XX веке. Социальная история 3. 8 ответ на Приклад- математики в СССР (20е-30е годы) ная мате- История математического моделиро- из матика в вания, вычислительной техники и про- кон- XX веке граммного обеспечения. Прикладная троль один 4 математика и механика в России 8 ных вопросов История и методология математики Трудоемкость № Модуль (часы) Темы Ауд. Само- (лек) стоят. Отчетность Периодизация, обзор литературы, математика Древнего Египта и Вавилона 2 4 мен. Математика в Древней Греции. Преобразование накопленных математиче- ответ 4 8 Формиро- ских фактов в теоретическую науку 2 тематики невековом Востоке как науки Прикладной характер математики и в 4 4 бенности XV-XVI вв. 9 конных во- Математика, прикладная математика, механика в европейских странах. Осо- из троль 2 Китае и Индии. на один вание ма- Математика и ее приложения на сред1. Пись про2 5 сов Введение в математику движения и Математика и научнотехниче2. ская революция XVII-XIX вв. переменных величин. Развитие вспо- 4 7 мен. могательных средств вычисления ответ Становление и обоснование дифференциального и интегрального исчис- Пись на 6 13 один ления из Возникновение новых научных дисци- контр плин (ТФКП, теория множеств, теория 4 8 вопро- групп) сов Неевклидовы геометрии и Эрлангенская программа Ф.Клейна 2 3 Математика в России. Система математического образования. Пись 2 4 мен. ответ Матема3. тика в XX веке на Петербургская и московская матема2 тические школы 5 один из Математическая логика и основания математики. Математическое сообщество в XX веке. контр 2 5 вопросов Как следует из приведенных таблиц, основная часть курсов читается параллельно (полностью первый модуль, а во второй добавлена лекция, посвященная развитию неевклидовых геометрий). И только содержание третьего модуля различно. Это будет учтено в следующем разделе. 10 3. РЕКОМЕНДУЕМАЯ ЛИТЕРАТУРА И МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ ПО ЕЕ ИСПОЛЬЗОВАНИЮ Основная литература 1. Александров А.Д Проблемы науки и позиция ученого. – Л, 1988. 2. Александров А.Д. Математика // Философская энциклопедия. – М., 1964. С.329-335. 3. Апокин И.А., Майстров Л.Е. Развитие вычислительных машин. – М.: наука, 1974. 4. Арнольд В.И. Гюйгенс и Барроу, Ньютон и Гук. Первые шаги математического анализа и теории катастроф, от эвольвент до квазикристаллов. – М.: Наука, 1989. 5. Березкина Э.И. Математика древнего Китая. – М.: Наука, 1980 6. Боголюбов А.Н. Математики. Механики. Биографический справочник. – Киев: Наукова думка, 1983. 7. Бородин А.И., Бугай А.С. Выдающиеся математики. Биографический словарь-справочник. – Киев: Радянська школа, 1987. 8. Бурбаки Н. Очерки по истории математики. – М.: Изд-во иностр. лит-ры, 1963. 9. Ван дер Варден Б.Л. Пробуждающаяся наука. Математика древнего Египта, Вавилона и Греции. – М.: ГИФМЛ, 1959. 10.Вилейтнер Г. История математики от Декарта до середины XIX столетия. – М.: Физматгиз, 1960. 11.Володарский А.И. Очерки истории средневековой индийской математики. – М.: Наука, 1977 12.Гиршвальд Л.Я. История открытия логарифмов. – М.: Наука, 1981. 13.Гнеденко Б.В. Очерки по истории математики в России. – М.-Л.: ОГИЗ, 1946. 14.Григорьян А.Т. Механика от античности до наших дней. М., Наука, 1971. 15.Гушель Р.З. Из истории математики и математического образования. Путеводитель по литературе. – Ярославль: Изд-во ЯГПУ, 1983. 16.ГутерР.С., Полунов Ю.Л. От абака до компьютера. – М.:Наука, 1979. 17.Даан-Дальмедико А., Пейффер Ж. Пути и лабиринты. Очерки по истории математики. М., Мир, 1987. 18.Историко-математические исследования 1-я и 2-я серии - М.: Наука (с 1948 г. по настоящее время) 19.История информатики в России. Ученые и их школы. – М.: Наука, 2003. 11 20.История математики. В 3-х томах. /Под ред. Юшкевича А.П. – М.: Наука, 1970-1972. 21. История отечественной математики. В 4-х томах. – Киев: Наукова думка, 1966-1970. 22. Клайн М. Математика. Утрата определенности. – М.: Мир, 1984. 23. Клайн М. Математика. Поиск истины. – М.: Мир, 1988. 24.Клейн Ф. Лекции о развитии математики в XIX столетии. – М.: Наука, 1989. 25.Колмогоров А.Н. Математика в ее историческом развитии. – М.: Наука, 1991. 26.Майстров Л.Е. Теория вероятностей. Исторический очерк. – М.: Наука, 1967 27.Малиновский Б.Н. История вычислительной техники в лицах. – Киев.: 1984. 28.Маркушевич А.И. Очерки истории теории аналитических функций. – М.-Л.: ГИТТЛ, 1951. 29.Матвиевская Г.П. Очерки истории тригонометрии. – Ташкент: Фан, 1990. 30.Математика в Московском университете /Под ред. Рыбникова К.А. – М.: Изд-во МГУ, 1992. 31.Математика XIX века. Математическая логика. Алгебра. Теория чисел. Теория вероятностей. – М., 1978. 32.Математика XIX века. Геометрия. Теория аналитических функций. – М., 1981. 33.Математика XIX века. Чебышёвское направление в теории функций. Обыкновенные дифференциальные уравнения. Вариационное исчисление. Теория конечных разностей. – М.: Наука. 1987. 34.Медведев Ф.А. Развитие теории множеств в XIX в. – М.: Наука, 1965. 35.Медведев Ф.А. Развитие понятия интеграла. – М.: Наука, 1974. 36.Медведев Ф.А. Очерки истории теории функций действительного переменного. – М.: Наука, 1975. 37.Медведев Ф.А. Французская школа теории функций и множеств на рубеже XIX-XX вв. – М.: Наука, 1976. 38.Никифоровский В.А. Путь к интегралу. – М.: Наука, 1985. 39.Никифоровский В.А. Из истории алгебры. – М.:Наука, 1979. 40.Очерки по истории математики /Под ред. Б.В.Гнеденко. – М.: Изд-во МГУ, 1997. 41.Пойа Д. Математическое открытие. – М.: Наука, 1976. 42.Проблемы Гильберта. – М.: Наука, 1969. 43.Розенфельд Ю.А. История неевклидовой геометрии. – М.: Наука, 1975. 12 44. Рыбников К.А. История математики. – М.: Изд-во МГУ, 1994 (и ранние издания). 45.Стройк Д.Я. Краткий очерк истории математики. – М.: Наука, 1990 (и ранние издания) . 46.Тихонов А.Н., Костомаров Д.П. Вводные лекции по прикладной математике. – М.: Наука, 1984. 47. Цейтен Г.Г. История математики в древности и в средние века. – М.-Л.: ГТТИ, 1932. 48. Цейтен Г.Г. История математики в XVI и XVII веках. – М.-Л.: ГТТИ, 1933. 49.Чистяков В.Д. Материалы по истории математики в Китае и Индии. – М.: Учпедгиз, 1960. 50.Юшкевич А.П. История математики в средние века. – М.: Физматгиз, 1961. 51. Юшкевич А.П. История математики в России до 1917 г. – М.: Наука, 1968. Персоналии математиков 52. Оре 0. Замечательный математик Нильс Хенрик Абель - М.: ГИФМЛ, 1961 53. Сагадеев А.В. Ибн-Синна (Авиценна) – М.: Мысль. 1985. 54. Каган В.Ф. Архимед. - М.; .Гостехиздат, 1943. 55. Лурье С.Я. Архимед. – М.: Изд-во АН СССР, 1945. 56. Григорьян А.Т., Ковалев Б.Д. Даниил Бернулли. - М.: Наука, 1981. 57. Никифоровский В.А. Великие математики Бернулли. М.: Наука, 1984. 58. Розенфелъд Б.А., Рожанская М.М., Соколовская З.К. Абу-р-Райхан-алБируни. - М.: Наука, 1973. 59. Сираждинов С.Х., Матвиевская Г.П. Абу Райхан Беруни и его математические труды. – М.: Просвещение, 1978. 60. Кольман Э.Я. Бернард Болъцано. - М.: изд-во АН СССР, 1955 61. Колядко В.И. Бернард Больцано. – М.: Мысль, 1982. 62. Уколова В.И. «Последний римлянин». Боэций. – М.: Наука, 1987. 63. Полищук Е.М. Эмиль Борель. - Л.: Наука, 1980. 64. Белый Ю.А. Тихо Браге. – М.: Наука, 1982. 65. Кочина П.Я. Карл Вейерштрасс. - М.: Наука, I985. 66. Яглом И.М. Герман Вейль. – М.: Наука, 1967. 67. Кузнецов Б.Г. Галилей. – М.: Наука, 1964. 68. Инфельд Л. Эварист Галуа. – М.: Молодая гвардия, 1965. 69. Бюлер В. Карл Фридрих Гаусс. – М.: Наука, 19889. 70. Рид К. Гильберт. - М.: Наука, 1977. 71. Юшкевич А.П., Копелевич Ю.Х. Христиан Гольдбах. - М.: Наука, 1983. 13 72. Франкфурт У.И., Френк A.M. Христиан Гюйгенс. - М.: Изд-во АН СССР, 1962. 73. Асмус В.Ф. Декарт. – М.: Наука, 1956. 74. Матвиевская Г.П. Рене Декарт. - М.: Наука, 1976. 75. Фишер К. История новой философии. Рене Декарт. – М.: АСТ, 2004. 76. Матвиевская Г.П. Альбрехт Дюрер – ученый. М.: Наука, 1987. 77. Добровольский Б.А. Василий Петрович Ермаков. - М.: Наука, 1981. 78. Космодемьянский А.А. Николай Егорович Жуковский. - М.: Наука, 1984. 79. Гутер Р.С, Пролунов Ю.А. Джироламо Кардано. – М.: Знание, 1980. 80. Белый Ю.А. Иоганн Кеплер. – М.: Наука, 1971. 81. Кочина П.Я. Софья Васильевна Ковалевская. – М.: Наука,1981. 82. Николай Коперник. К 500-летию со дня рождения. – М.: Наука, 1973. 83. Веселовский И.Н., Белый Ю.А. Николай Коперник. – М.: Наука, 1974. 84. Белхост Б. Огюстен Коши. – М.: Наука. ФИЗМАТЛИТ. – 1997. 85. Тюлина И.А. Жозеф Луи Лагранж. - М.: Наука, 1977. 86. Вороина М.И. Габриэль Ламе. - Л.: Наука, 1987. 87. Воронцов-Вельяминов Б.А. Лаплас. - М,: Наука, 1985. 88. Погребысский И.Б. Готфрид-Вильгельм Лейбниц. -М.: Наука, 2004. 89. Полищук Е.М. Софус Ли. – Л.: Наука, 1983. 90. Каган В.Ф. Н.И.Лобачевский и его геометрия. – М.: ГИТТЛ, 1955. 91. Павлова Г.Е., Федоров А.С. М.В.Ломоносов. – М.: Наука, 1988. 92. Цыкало А.А. А.М.Ляпунов. – М.: Наука, 1988 93. Шибанов А. А.М.Ляпунов. – М.: Молодая гвардия, 1985. 94. Дело академика Н.Н.Лузина / под ред. С.С.Демидова, В.В.Левшина. –Спб., 1999 95. Денисов А.П. Л.Ф.Магницкий. – М.: Просвещение,1967. 96. Коренцова М.М. Колин Маклорен. – М.: Наука, 1998. 97. Гродзенский С.Я. А.А.Марков. – М.: Наука, 1987 98. Белый Ю.А. Иоганн Мюллер (Региомонтан) – М.: Наука, 1985. 99. Боголюбов А.И. Гаспар Монж. - М.: Наука, 1978. 100. Гутер Р.С, Полунов Ю.Л. Джон Нэпер.- М.: Наука, 1980. 101. Вавилов С.И. Исаак Ньютон. - М.: Наука, 1989. 102. Кузнецов Б.Г. Ньютон – М.: Мысль, 1982. 103. Гнеденко Б.В., Погребысский И.Б. Михаил Васильевич Остроградский. М.: Изд-во АН СССР, 1963. 104. Кляус Е.М., Погребысский И.Б., Франкфурт У.И. Блез Паскаль. - М.: Наука, 1971. 14 105. Жмудь Л.Я. Пифагор и его школа. – Л.: Наука, 1990 106. Боголюбов А.Н. Жан Виктор Понселе. – М.: Наука, I988. 107. Бронштэн В.П. Клавдий Птолемей. – М.: Наука, 1988. 108. Тяпкин А.А., Шибанов А.С. Анри Пуанкаре. – М.: Молодая гвардия, 1979. 109. Матвиевская Г.П. Рамус. – М.: Наука, 1981. 110. Кессиди Ф.Х. Сократ – М.: Мысль, 1988. 111. Игнациус Г.И. В.А.Стеклов. – М.: Наука, 1967. 112. Розенфельд Б.А., Юшкевич А.П. Омар Хайям. – М.: Наука. 1965. 113. Булгаков П.Г., Розенфельд Б.А., Ахмедов А.А. Мухаммад ал-Хорезми. М.: Наука, 1983. 114. Прудников В.Е. Пафнутий Львович Чебышёв. - Л.: Наука,1976. 115. Леонард Эйлер. Сборник статей в честь 250-летия со дня рождения, представленных АН СССР. – М.: Изд-во АН СССР, 1958. 116. Ожигова Е.П. Шарль Эрмит. – Л.: Наука, 1982 Методические рекомендации В данный список включены основные публикации, с помощью которых магистрант может осваивать курс самостоятельно, причем подавляющее большинство позиций имеется в библиотеке факультета математики, механики и компьютерных наук. Фактически все рекомендуемые издания снабжены библиографическими указателями, использование которых позволяет глубже изучить материал. Особую роль играют списки литературы, приведенные в [20]-[21], [31]-[33], а также работа [15]; с их помощью можно организовывать тематический подбор материала (к изучаемым темам или подготавливаемому реферату). Содержание регулярно выпускаемых историко-математических сборников [18] разнообразно, туда включаются обзорные тематические публикации, статьи, посвященные конкретным вопросам истории различных математических дисциплин, а также тексты первоисточников, снабженные комментариями. Эти издания, прежде всего, рекомендуются при подготовке рефератов. Работы [1] (где среди других статей можно найти и [2] ) и [25] имеют важное значение при систематизации знаний и проведении периодизации истории математики, в [6] и [7] можно найти основные сведения об ученых; там же имеются важные библиографические ссылки. Труды [8], [17], [40], [44] , [45], [47], [48], [22] , [23] носят общий характер; [5], [9], [11], [13], [49], [51] посвящены развитию математики в различных регионах мира, а [3], [12], [14], [16], [26]-[29], [34]- [39], [43] – истории отдельных областей математики. Часть 15 позиций рекомендуется при изучении конкретных тем ([4], [10], [19], [24], [30], [41]- [42], [46], [50] , а также материалы биографического характера [52]-[116]). Некоторые работы, приведенные в списках, можно найти в электронном виде, однако следует обратить внимание, что при составлении библиографических списков и цитировании необходимо указывать страницы, а значит, рекомендуется использовать привычные «бумажные» издания. 4. СОДЕРЖАНИЕ КУРСА В данном разделе конспективно излагается содержание лекций, включенных в каждый модуль (с учетом различий между курсами, читаемыми магистрантам, обучающимся по разным программам), приводятся ссылки на литературу из приведенного списка и контрольные вопросы. Модуль № 1. Формирование математики как науки Комплексная цель Установить общие зависимости между математикой и общекультурными устремлениями эпохи, выяснить особенности развития математики в разных странах и причины становления математики как дедуктивной науки именно в Древней Греции. Проследить взаимосвязь между математическими науками в разных цивилизациях, их влияние друг на друга. Содержание ЛЕКЦИЯ 1. Основные этапы развития математики: взгляды на периодизацию А.Н.Колмогорова и А.Д.Александрова. Формирование первичных математических понятий: числа и системы счисления, геометрические фигуры. Алгоритмический характер математики Древнего Египта и Вавилона. Влияние египетской и вавилонской математики. Основная литература: [1]-[2], [25], [20, т.1, ч.1, гл.1-3], [9, гл.1-3], [44, I, лекции 1-2], [45, гл.1,2]. ЛЕКЦИИ 2-3. Формирование математики как науки в Древней Греции (начиная с VI в. до н.э.). Ионийская (милетская) школа Фалеса. Место математики в пифагорейской системе знаний. Несоизмеримость, теория отношений и первый кризис в развитии математики. Геометрия циркуля и линейки, античные измерительные инструменты и алгоритмы. Парадоксы бесконечности и апории Зенона. «Метод исчерпывания» и кинематические схемы Евдокса. Математика и механика в системах взглядов Платона и Аристотеля. Аксиоматика 16 «Начал» Евклида и работы Евклида по прикладной математике. Работы Архимеда в области математики, прикладной математики, механики. Аполлоний, его теория конических сечений и ее роль в последующем развитии прикладной математики и математического естествознания (законы Кеплера, динамика Ньютона). Представление о движении, геоцентрическая система мира. Диофантов анализ. Герон Александрийский, его работы в области геометрии и механики. «Вычислительная математика» (логистика) в Древней Греции. Тригонометрия и таблицы хорд. Закат античной культуры и комментаторская деятельность математиков поздней античности. Основная литература: [9, гл.4-8], [20, т.1, ч.1, гл.4-5], [22, гл.I-II], [44, I, лекции 3-6], [45, гл.3]. ЛЕКЦИЯ 4. Освоение античного знания мусульманской наукой. Практический характер математики. Научные центры: Багдад (IX-X вв.), БухараХорезм(X в), Каир (X в), Исфахан (XI в), Марага (XIII в.). Ал-Хорезми и выделение алгебры в самостоятельную науку. Работы Омара Хайяма (обобщающая теория кубических уравнений), ал-Бируни и Сабита ибн Корры (сферическая тригонометрия). Геометрические построения и исследования, алгоритмические методы на стыке алгебры и геометрии. Влияние науки мусульманского мира на европейскую науку. Основная литература: [20, т.1, ч.2, гл.3], [44, I, лекция 8], [45, гл.4], [48, гл.3], [29]. ЛЕКЦИЯ 5. Основные этапы развития математики в Китае и Индии. Древнекитайская нумерация и приспособления для вычислений. «Математика в девяти книгах» как итог работы математиков Китая 1-го тысячелетия до н.э. – энциклопедия прикладных математических знаний. Наивысший подъем алгебры в Китае в XIII в. Интерполяционные приемы китайских ученых. Важнейшие математические сочинения Индии («Правила веревки» – VII-V вв. до н.э., сиддханты – IV-V вв., «Ариабхаттиам» - V в., курсы арифметики Магавиры и Сриддхарты – IX-XI вв, «Венец науки» Бхаскары второго – XII в.). Индийская нумерация и особенности проведения арифметических действий, техника вычислений и вспомогательные приборы, алгебраические вычисления, приемы для нахождения площадей и объемов. Достижения индусов в области тригонометрии. Основная литература: [20, т.1, ч.2, гл.1-2], [44, I, лекция 7], [45, гл.2,4], [48, гл.1-2], [5], [11], [29], [49]. 17 ЛЕКЦИЯ 6. Математическое образование в средневековой Европе, квадривиум и первые университеты. Беда Достопочтенный и теория пальцевого счета. Герберт, его популяризаторская деятельность и «правила счета на абаке». Дальнейшее совершенствование техники вычислений, «книга абака» Леонардо Пизанского (1202 г.). «Абацисты» и «алгористы» (приверженцы теоретической арифметики). Парижская и Оксфордская школы натурфилософии, проблемы места и движения. Иордан Неморарий (XIII в.): изложение алгористической арифметики и вопросы статики. Томас Брадварин (XIV в.) и учение о континууме. Николя Орм и учение об интенсивности форм. Региомонтан и развитие тригонометрии (XV в.). Совершенствование символики, школа коссистов (XVI в.). Решение алгебраических уравнений 3-й и 4-й степени в XVI в. (Сципион дель Ферро, Антон Мария Фиоре, Людовико Феррари, Николо Тарталья, Джироламо Кардано), алгебра Франсуа Виета. Симон Стевин и его работы по гидростатике и механике. Работы Леонардо да Винчи в области прикладной математики. Теория перспективы и работы Альбрехта Дюрера. Основная литература: [20, т.1, ч.2, гл.4-5], [44, I, лекция 9], [45, гл.5], [48, гл.4], [16, с.10-16], [22], [23]. Контрольные вопросы к модулю № 1 1. Статья А.Н. Колмогорова «Математика» - периодизация истории математики, особенности исторического подхода. 2. Сравните периодизацию А.Н.Колмогорова и А.Д.Александрова. 3. Папирусы Древнего Египта. Перечислите основные результаты и достижения египетской математики. 4. Клинопись Древнего Вавилона. Достижения математики древнего Вавилона. 5. Различные взгляды на причины «греческого чуда». 6. Особенности пифагорейской школы. 7. Теория отношений и открытие несоизмеримости. 8. Знаменитые задачи древности и подходы к ним в современной математике. 9. Апории Зенона и понятие бесконечности в Древней Греции. 10. Евдокс, Архимед и «метод исчерпывания». 11. «Начала» Евклида как пример аксиоматической теории. 12. Интегральные и дифференциальные методы у Архимеда. 13. Суть теории конических сечений. 14. Механика в Древней Греции. 18 Вычислительные приемы в Древней Греции. Особенности математических школ мусульманского мира. Достижения арабских математиков в алгебре. Достижения арабских математиков в геометрии. Вычислительные алгоритмы у арабских математиков. Техника вычислений в индийской математике. Дайте обзор китайского трактата «Математика в девяти книгах». Тригонометрия в странах Востока. Особенности математического образования в средневековой Европе. Перечислите основные достижения европейской математики VIII-XIII веков 25. Дайте обзор «Книги абака» 26. Сравните достижения оксфордской и парижской школ натурфилософии. 27. Берестяные грамоты, летописи и математика древней Руси. 28. Формирование системы математических символов в средневековой Европе. 29. История «великой контраверзы» или решение алгебраических уравнений 3-й и 4-й степени итальянскими учеными. 30. Работы средневековых ученых в области прикладной математики. 31. Охарактеризуйте математические результаты, полученные Альбрехтом Дюрером. 32. Достижения Николая Кузанского и Региомонтана в области тригонометрии. 33. Теория перспективы у Леонардо да Винчи и Альбрехта Дюрера. 34. «Золотое сечение» и его приложения в различных областях математики и искусства. 15. 16. 17. 18. 19. 20. 21. 22. 23. 24. Модуль № 2. Математика и научно-техническая революция XVII-XIX вв. Комплексная цель Определить особенности развития математики и математического образования в XVII-XIX веках, установить возросшую взаимосвязь между теоретическими и практическими исследованиями, выявить роль таких глобальных достижений как построение гелиоцентрической системы мира, формирование понятия «функция», создание дифференциального и интегрального исчисления, аналитической и неевклидовой геометрий. 19 Содержание ЛЕКЦИИ 7-8. Научная революция Нового времени и механическая картина мира. Практический характер математики XVII в. Гелиоцентрическая система мира (Н.Коперник, Т.Браге, И.Кеплер, Г.Галилей). Прогресс вычислительной техники: тригонометрические таблицы, открытие логарифмов и логарифмические таблицы. От вычислительной машины Шиккарда к арифмометру Лейбница. Механика Галилея. Введение в математику движения и появление переменных величин, работы П.Ферма и Р.Декарта и рождение аналитической геометрии. Картезианская картина мира. Первые теоретико-вероятностные представления и статистические исследования (П.Ферма, Б.Паскаль, Х.Гюйгенс, Я.Бернулли). Теория чисел и ее прикладной характер. Методы бесконечного приближения. Методы интегрирования до И.Ньютона и Г.Лейбница (И.Кеплер, Б.Кавальери, Г.Сен-Венсан, П.Ферма, Б.Паскаль, Э.Торричелли, Д.Валлис). Задачи о касательных и поиск экстремумов (работы Э.Торричелли, Ж.Роберваля, Р.Декарта, П.Ферма, Х.Гюйгенса). И.Барроу и обращение задачи о касательных. Создание проективной геометрии в работах Ж.Дезарга и Б.Паскаля. Вопросы механики в работах Х.Гюйгенса и И.Ньютона. Политехническая и Нормальная школа, их влияние на развитие математических наук. Основная литература: [20, т.2, гл.1-7], [44, I, лекции 10-13], [45, гл.6-7], [10, ч.1, гл.1-5; ч.2, гл.1-2, 6], [22, гл.III][4], [12], [16], [22], [23], [26. гл.1-3], [38]. ЛЕКЦИИ 9-11. Метод флюксий И.Ньютона и учение о бесконечно малых Г.Лейбница: различия в подходах, спор о приоритетах. Первые шаги математического анализа (работы И. и Я. Бернулли). Проблема обоснования дифференциального и интегрального исчисления: «Аналист» Беркли и работы К.Маклорена, подходы Л.Эйлера, Ж.Лагранжа, Л.Карно, Ж.Даламбера. Дифференциальные и интегральные принципы механики. «Аналитическая механика» Ж.Лагранжа и небесная механика П.Лапласа. Развитие понятия функции, теория рядов и интерполирование функций. Петербургская Академия наук и работы Л.Эйлера в области механики и прикладной математики. Исчисление конечных разностей, исследования Б.Тейлора, Д.Стирлинга, Ж.Лагранжа. Прикладные задачи и развитие теории обыкновенных дифференциальных уравнений и дифференциальных уравнений с частными производными. Теория непрерывных функций. К.Гаусс и его исследования в области чистой и приклад- 20 ной математики. Построение теории пределов, работы О.Коши, Б.Больцано, К.Вейерштрасса. Основная литература: [20, т.2, гл.8, т.3, гл.6-9], [44, I, лекции 14-15; II, гл.1-3, 8-9], [45, гл.6-8], [10, ч.1, гл.6-7; ч.3, гл.2], [21, т.1], [22], [24, гл.1]. ЛЕКЦИИ 12-13. История вариационного исчисления (теории экстремумов функционалов): изопериметрические задачи у И.Кеплера, Г.Галилея и П.Ферма, задача о брахистохроне и работы И.Бернулли, Г.Лейбница, Я.Бернулли, исследования Л.Эйлера, метод вариаций Ж.Лагранжа, приложения к задачам механики, оптики, математической физики, работы С.Д.Пуассона, теория сильного экстремума К.Вейерштрасса и теория Гамильтона-Якоби. Теория вероятностей и предельные теоремы, работы российских ученых XIX в.. Интерполяция и исчисление конечных разностей в XIX в. Преобразование геометрии в XIX веке: создание проективной геометрии, неевклидовы геометрии, рождение топологии. Дифференциальные и геометрические методы в механике. Математическая физика, исследования Ж.Фурье, О.Коши, С.Карно, Ж.Понселе, Ф.Неймана, Г.Гельмгольца и др. Аксиоматизация алгебры, алгебра логики и ее значение для компьютерной математики. Развитие вычислительной техники: Ч.Бэббидж и его «аналитическая машина», Ада Лавлейс и первые программы автоматических вычислений, вычислительные приборы российских математиков. Работы Э.Галуа, теория групп и ее влияние на различные области математики. Основная литература: [20, т.3, гл. 10], [44, II, гл.4-6, 7, 11], [45, гл.8], [31][33], [21, т.2], [24], [3], [16], [27], [43], [51]. ЛЕКЦИЯ 14 (для магистрантов программы «математика»). Споры вокруг пятого постулата Евклида. Создание первых систем неевклидовой геометрии. Работы Я.Бойяи и К.Ф.Гаусса по неевклидовой геометрии. Научный подвиг Н.И.Лобачевского. Интерпретация неевклидовой геометрии. Работы Б.Римана. Геометрия как теория инвариантов особой группы преобразований в «Эрлангенской программа» Ф.Клейна. «Основания геометрии» Д.Гильберта. Основная литература: [10, с.429-430], [17, с.209-233], [40], [43], [45, с.228233, 242-245]. Контрольные вопросы к модулю № 21 1. Гелиоцентрическая система мира (от Коперника до Галилея). 1 Вопросы 1-34 для всех, вопросы 35-37 – для магистрантов программы «математика» 21 2. Вычислительная техника XVII в. 3. Логарифмические таблицы (сравните подходы Непера и Бюрги) 4. Рождение аналитической геометрии (сравните подходы П.Ферма и Р.Декарта) 5. Организация научной работы в XVII в. и кружок Мерсенна 6. Р.Декарт и его «Рассуждение о методе» 7. Основные результаты Б.Паскаля и П.Ферма в теории вероятностей. 8. Вклад в математику представителей семейства Бернулли 9. Х.Гюйгенс и его работы по теории вероятностей и механике. 10. Наследие Диофанта и возрождение теории чисел в работах П.Ферма 11. Работы по интерполированию функций рядами в XVII в. 12. И.Кеплер и инфинитезимальные методы, «Стереометрия винных бочек». 13. Б.Кавальери и суть метода неделимых. 14. Метод экстремумов и касательных П.Ферма. 15. Связь между проблемами квадратур и касательных, И.Барроу. 16. И.Ньютон и основные положения метода флюксий 17. Г.В.Лейбниц и его вклад в создание дифференциального и интегрального исчисления 18. Развитие идей Лейбница в работах Я. и И.Бернулли 19. Математическое образование и Академии Наук в XVIII в. 20. Л.Эйлер и Петербургская Академия Наук 21. Охарактеризуйте основные результаты Л.Эйлера в области математики и прикладной математики. 22. Ж.Лагранж и его «Аналитическая механика» 23. Основные работы П.Лапласа 24. Полемика вокруг учения о бесконечно малых в XVIII веке. 25. Метод пределов Даламбера и теория компенсации ошибок Л.Карно 26. Математики и революционное движение во Франции 27. Основные достижения К.Гаусса 28. Задача о брахистохроне и развитие вариационного исчисления 29. Неевклидовы геометрии (работы Н.Лобачевского и Б.Римана) 30. Основные результаты О.Коши 31. Вычислительная техника в XIX в. 32. Основные достижения К.Вейерштрасса. Теория непрерывных функций. 33. Основные результаты в области математической физики 34. Э.Галуа, Н.Абель и рождение теории групп. 22 35. Подходы Н.И.Лобачевского и Я.Бойяи к построению неевклидовой геометрии. 36. Синтез геометрий в Эрлангенской программе Ф.Клейна 37. Аксиоматика геометрии у Д.Гильберта Модуль № 3. Прикладная математика в XX веке (для программы «прикладная математика и информатика») Комплексная цель Определить особенности развития математики и прикладной математики в современную эпоху, установить направления ее дальнейшего развития, проследить роль таких событий как создание теории множеств и выявление ее парадоксов, споры вокруг оснований математики, бурное развитие компьютерной математики. Содержание ЛЕКЦИИ 14-15. Основные этапы жизни математического сообщества в XX в. Математические конгрессы, международные организации, издательская деятельность, научные премии. Ведущие математические центры и научные школы. Неевклидовы геометрии, «эрлангенская программа» Ф.Клейна и аксиоматика Д.Гильберта. Проблемы Д.Гильберта. Теория множеств и основания математики. Математическая логика от Г.Лейбница до Г.Фреге (квантификация предикатов, символическая логика и исчисление высказываний), соединение электроники и логики. Идеологическая борьба в математике, «дело» академика Н.Н.Лузина и социальная история отечественной математики. Методологические вопросы механики в работах Л.Больцмана, Г.Герца, Э.Маха, А.Пуанкаре. Задачи аэродинамики, Н.Е.Жуковский и С.А.Чаплыгин. Исследования А.Н.Крылова. Основная литература: [22, гл. VIII-XV], [21, т.2-3], [45, гл.9], [31], [1], [25], [42], [92]. ЛЕКЦИИ 16-17. Период «машинной математики» по периодизации А.Д.Александрова. Н.Винер и создание кибернетики, работы по теории информации и кибернетике К.Шеннона, динамическое программирование Р.Беллмана, линейное программирование Л.В.Канторовича, теория случайных процессов А.Н.Колмогорова и Н.Винера, принципы Джона фон Неймана. Математическое моделирование – от моделей Солнечной системы до экономических и биологических задач, исследования А.А.Самарского. Дальнейшая диф23 ференциация области механических исследований. История теории игр. Развитие элементной базы, архитектуры и структуры ЭВМ. Отечественные ученые разработчики ЭВМ - Ю.Я. Базилевский, В.А.Мельников, В.С.Бурцев, Б.И.Рамеев, В.В.Пржиялковский, Н.П.Брусенцов, М.А.Карцев, Б.Н.Наумов. Специализированные компьютеры. Специализированные вычислительные комплексы систем ПВО и ПРО. Развитие параллелизма в работе устройств компьютера, многопроцессорные и многомашинные вычислительные системы. Суперкомпьютеры. Компьютерные сети. История АСУ, работы В.М.Глушкова. Информатика, школы А.И.Берга, И.С.Брука, С.А.Лебедева, А.А.Ляпунова, А.А.Маркова. Основная литература: [21, т.4, кн.2, гл.4-6], [19], [3], [26], [27], [16]. Контрольные вопросы к модулю № 3. 1. Алгебра логики Д.Буля и ее модификация У.Джевонсом и О. де Морганом. 2. Формализация логики, работы Ч.Пирса, Э.Шредера и Г.Фреге. 3. II Международный математический конгресс и доклад Д.Гильберта. 4. Д.Гильберт и его вклад в математику 5. А.Пуанкаре и его взгляды на теоретическую и прикладную математику. 6. Теория множеств Г.Кантора и полемика вокруг нее. 7. Парадоксы теории множеств. 8. Различные подходы к проблеме обоснования математики. 9. В.А.Стеклов и его работы в области математической физики 10. А.Н.Крылов и его взгляды на математику «для геометров и инженеров». 11. Н.Е.Жуковский и его работы в области механики. 12. «Лузитания» и «дело» академика Лузина. 13. Н.Винер и его «Кибернетика» 14. Счетно-аналитические машины начала XX века. 15. Разработка первой электронной вычислительной машины Д.Моучли и Д.Эккертом 16. Дж. Фон Нейман и его исследования 17. А.Тьюринг, его работы в области математической логики и статья «Может ли машина мыслить?» 18. А.А Самарский и его работы в области математического моделирования 19. Разработка основных идей линейного программирования. 20. Теорема Клини и разработка абстрактной теории конечных автоматов 24 21. Л.С.Понтрягин и его работы по теории оптимального управления динамическими системами 22. Создание алгоритмических языков программирования 23. История компьютерных сетей и ИНТЕРНЕТа 24. А.А.Ляпунов и его исследования в области теории программирования. 25. А.А.Марков и конструктивная математика 26. Первые электронные вычислительные машины 27. С.А.Лебедев и первая советская ЦЭВМ 28. Специализированные ЭВМ 29. Системы массового обслуживания населения 30. Сибирская информатика: школы Г.И.Марчука, А.П.Ершова, Н.Н.Яненко. 31. Из истории искусственного интеллекта 32. От программирующих программ к системам программирования. 33. Зарубежные ученые – разработчики ЭВМ 34. Советские ученые – разработчики ЭВМ Модуль № 3. Математика в XX веке (для программы «математика») Комплексная цель Определить особенности развития математики в современную эпоху, установить направления ее дальнейшего развития, проследить роль таких событий как создание теории множеств и выявление ее парадоксов, споры вокруг оснований математики, проследить за закономерностями развития российской математической школы. Содержание ЛЕКЦИЯ 15. Математика в России в эпоху Петра I. Основные черты развития математики в России в XVIII в. Основание в Петербурге Академии наук, ее роль в прогрессе естествознания. Обзор научной деятельности Л.Эйлера. Ученики и первые преемники Л.Эйлера. Особенности математического образования в России. Формирование Петербургской математической школы (М.В.Остроградский и В.Я.Буняковский). Университеты России. Научные школы Киева, Харькова, Одессы, Казани, Дерпта. Научная судьба С.В.Ковалевской. Основная литература: [13], [21, Т.1], [30], [32], [51]. 25 ЛЕКЦИЯ 16. П.Л.Чебышёв и петербургская математическая школа. Дальнейшее развитие исследований теории чисел (Е.И.Золотарев, А.А.Марков, Г.Ф.Вороной), по теории вероятностей (А.А.Марков, А.М.Ляпунов), математической физике (В.А.Стеклов) Вопросы интегрирования в конечном виде. К.М.Петерсон и московская геометрическая школа. Петербургское и московское математические общества. Московская математическая школа в области теории функций. Д.Ф.Егоров и его ученики. «Лузитания» и «Дело академика Лузина». Основная литература: [13], [21, Т.2], [30], [31]-[33], [51], [92]. ЛЕКЦИЯ 17. Основные этапы жизни математического сообщества в XX в. Математические конгрессы, международные организации, издательская деятельность, научные премии. Ведущие математические центры и научные школы. Математическая логика от Г.Лейбница до Г.Фреге (символическая логика, алгебра логики, квантификация предикатов, исчисление высказываний). Проблемы Гильберта. Теория множеств и основания математики. Интуиционизм, логицизм, формализм. Научная деятельность А.Пуанкаре. Основная литература: [22, гл. VIII-XV], [45, гл.9], [31], [1], [25], [42], [51] Контрольные вопросы к модулю № 3. 1. Л.В.Магницкий и математическое образование в России в эпоху Петра I. 2. Отличия Петербургской Академии Наук от других европейских академий. 3. Иностранные ученые, работавшие в Петербургской Академии наук. 4. Основные достижения Л.Эйлера. 5. Дайте краткий обзор «Математической трилогии» Л.Эйлера. 6. Деятельность первых русских ученых-математиков (С.К.Котельников, С.Я.Румовский, Н.И.Фусс, С.Е.Гурьев и другие). 7. Система математического образования в России в XIX веке. 8. Деятельность основных математических школ России. 9. В.А.Стеклов и его работы в области математической физики 10. А.Н.Крылов и его взгляды на математику «для геометров и инженеров». 11. Деятельность российских математических обществ. 12. Российские университеты как центры математического образования. 13. Российские университеты как научные центры. 14. П.Л.Чебышёв и петербургская математическая школа. 15. Работы П.Л.Чебышёва и его учеников в области теории чисел. 16. Исследования российских ученых по теории вероятностей. 26 17. Исследования в области дифференциальных уравнений и проблема интегрирования в конечном виде в трудах российских ученых. 18. Педагогическая деятельность Н.И.Лобачевского. 19. С.В.Ковалевская и ее результаты в области дифференциальных уравнений. 20. Московская школа дифференциальной геометрии. 21. Теория аналитических функций и работы Ю.В.Сохоцкого. 22. Московская школа теории функций и работы Д.Ф.Егорова и Н.Н.Лузина. 23. «Лузитания» и «дело» академика Н.Н.Лузина. 24. Социальная история советской математики в 20-е – 30-е годы XX века. 25. Схоластическая и символическая логика (от Аристотеля до В.Г.Лейбница) 26.Алгебра логики Д.Буля и ее модификация У.Джевонсом и О. де Морганом. 27.Формализация логики, работы Ч.Пирса, Э.Шредера и Г.Фреге. 28.II Международный математический конгресс и доклад Д.Гильберта. 29.Д.Гильберт и его вклад в математику 30.А.Пуанкаре и его взгляды на теоретическую и прикладную математику. 31.Теория множеств Г.Кантора и полемика вокруг нее. 32.Парадоксы теории множеств. 33.Различные подходы к проблеме обоснования математики. 34. А.Тьюринг, его работы в области математической логики и статья «Может ли машина мыслить?» 5. МЕТОДИЧЕСКИЕ РЕКОМЕНДАЦИИ ПО САМОСТОЯТЕЛЬНОЙ РАБОТЕ СТУДЕНТОВ Самостоятельная работа магистрантов, прежде всего, заключатся в изучении литературы, дополняющей материал, излагаемый на лекции. Необходимо овладеть навыками библиографического поиска, в том числе среди сетевых ресурсов, научиться сопоставлять различные точки зрения и определять методы (в частности, какой подход применен автором – презентистский или антикваристский) исследований. Предполагается, что, прослушав лекцию, магистрант ознакомится с рекомендованной литературой из основного списка, затем обратится к источникам, указанным в библиографических списках изученных книг, осуществит по27 иск и критическую оценку материала в ИНТЕРНЕТе, соберет информацию об ученых, работавших в изучаемую эпоху. Рекомендуется составить список источников по теме лекции, причем либо сделать выписки, либо, минимально, ограничиться кратким обзором – в издании [X] взгляд на проблему такой-то, в издании [Y] – такой-то; автор NN обращает внимание на следующие факты и т.д. Список литературы следует составлять в полном соответствии со стандартами. Необходимо обращать внимание на культурно-исторический аспект, особенности рассматриваемой страны или эпохи, на общественную позицию и философские взгляды ученых – это окажется полезным и в последующем, при подготовке к кандидатскому экзамену по философии и истории математики. Просмотрев контрольные вопросы к модулю, следует выбрать те из них, которые связаны с разбираемой лекцией, и подготовить (хотя бы в конспективной форме) ответ на них, опираясь на найденную литературу. При работе с литературой рекомендуется обращать внимание на имеющийся в большинстве изданий Именной указатель, что упрощает выбор необходимой информации. 6. ТЕМЫ РЕФЕРАТОВ И МЕТОДИЧЕСКИЕ РЕКОМЕНДАЦИИ ПО ИХ ПОДГОТОВКЕ Темы рефератов Формирование математической символики. Золотое сечение в математике и искусстве. Метод исчерпывания Евдокса и интегральные методы Архимеда. Прикладная и теоретическая механика в работах ученых Александрии (от Евклида до Паппа) 5. Вычислительные методы в древнем и средневековом Китае 6. Вычислительные методы в древней и средневековой Индии. 7. Особенности развития математики в арабском мире. 8. Механика и натурфилософия эпохи Возрождения. 9. Гелиоцентрическая система мира (Н.Коперник, И.Кеплер и др.) 10. Формирование математики переменных величин 11. Из истории тригонометрических таблиц 12. Из истории логарифмических таблиц и логарифмов 13. Первые вычислительные машины (от абака до арифмометра) 1. 2. 3. 4. 28 14. Интегральные методы И.Кеплера, П.Ферма и Б.Паскаля. 15. Рождение аналитической геометрии: различие в подоходах П.Ферма и Р.Декарта 16. Теория флюксий Ньютона и дифференциальное исчисление Г.В.Лейбница. 17. Работы И.Ньютона в области прикладной математики 18. Работы Г.В.Лейбница в области механики и вычислительной техники. 19. Работы Л.Эйлера в области прикладной математики. 20. Л.Эйлер и российская математическая школа. 21. Экстремальные задачи и история вариационного исчисления. 22. Различные подходы к обоснованию алгоритмов дифференциального и интегрального исчисления (Л.Эйлер, Ж.Лагранж, Л.Карно, Ж.Даламбер) 23. К.Ф.Гаусс и его работы в области прикладной математики. 24. От аксиомы параллельных Евклида до Эрлангенской программы Ф.Клейна. 25. Теория вероятностей и математическая статистика в России в XIX в. 26. Решение алгебраических уравнений в радикалах: от Евклида до Н.Х.Абеля 27. Теория групп и ее влияние на различные области математики. 28. Математика в российских технических и военных учебных заведениях 29. Прикладная тематика работ российских ученых в XIX веке 30. Из истории теории интерполяции. 31. П.Л.Чебышёв и его работы по теории интерполирования 32. Из истории математической физики 33. В.А.Стеклов и его работы в области математической физики. 34. Из истории небесной механики: от И.Кеплера до А.Пуанкаре 35. Международный математический конгресс в Париже (1900) и «Математические проблемы» Д.Гильберта. 36. Из истории математической логики (от Г.В.Лейбница до У.С.Джевонса и его логической машины) 37. Возникновение группы Бурбаки, ее деятельность и идеология. 38. Д.Д.Мордухай-Болтовской и ростовская математическая школа. 39. Из истории линейного программирования. 40. Из истории криптографии Методические рекомендации Тема выбирается магистрантом из числа предложенных или может быть определена самостоятельно по рекомендации научного руководителя. Реферат должен включать в себя оглавление, введение, основную часть, заключение, 29 биографические справки об упоминаемых в тексте ученых и подробный библиографический список, составленный в соответствии со стандартными требованиями к оформлению литературы, в том числе к ссылкам на электронные ресурсы. Работа должна носить самостоятельный характер, в случае обнаружения откровенного плагиата (дословного цитирования без ссылок) реферат не засчитывается. Сдающий реферат магистрант должен продемонстрировать умение работать с литературой, отбирать и систематизировать материал, увязывать его с существующими математическими теориями и фактами общей истории. Во введении обосновывается актуальность выбранной темы, определяются цели и задачи реферата, приводятся характеристика проработанности темы в историко-математической литературе и краткий обзор использованных источников. В основной части, разбитой на разделы или параграфы, излагаются основные факты, проводится их анализ, формулируются выводы (по разделам). Необходимо охарактеризовать современную ситуацию, связанную с рассматриваемой тематикой. Заключение содержит итоговые выводы и, возможно, предположения о перспективах проведения дальнейших исследований по данной теме. Биографические данные можно оформлять сносками или в качестве приложения к работе. Список литературы может быть составлен в алфавитном порядке или в порядке цитирования, в полном соответствии с государственными требованиями к библиографическому описанию. Ссылки в тексте должны быть оформлены также в соответствии со стандартными требованиями (с указанием номера публикации по библиографическому списку и страниц, откуда приводится цитата). Подготовку реферата рекомендуется начинать с библиографического поиска (см. рекомендации к работе с литературой) и составления библиографического списка, а также подготовки плана работы. Каждый из намеченных пунктов плана должен опираться на различные источники, при этом желательно провести сравнительный анализ как результатов, полученных разными специалистами, так и взглядов на эту темы различных специалистов в области истории науки. Необходимо выявить предпосылки и отметить последствия анализируемых теорий, отметить философские и методологические особенности. Текст реферата должен быть связным, недопустимы повторения, фрагментарный пересказ разрозненных сведений и фактов. 30 Оформление реферата должно быть аккуратным, при использовании редакторов LaTeX или MS WORD рекомендуется шрифт 12 пт. Ориентировочный объем – не менее 15 страниц, при этом не допускается его искусственное увеличение за счет междустрочных интервалов. Титульный лист готовится в соответствии с требованиями, предъявляемыми к оформлению титульных листов дипломных работ. 7. ГЛОССАРИЙ Абак – счетная доска, применявшаяся для арифметических вычислений в Древней Греции, а затем в Европе – до XVIII века. Аксиоматика, система аксиом – часть дедуктивной теории, состоящая из основных понятий и аксиом. Аксиоматический метод – логический метод построения научной теории, при котором за основу теории принимается некоторая аксиоматика, и все теоремы получаются как следствия аксиом. Апория – термин, которым древнегреческие ученые обозначали трудноразрешимые или неразрешимые проблемы, чаще всего связанные с противоречиями между данными наблюдения или опыта и попытками их мысленного анализа. Брахистохрона – кривая скорейшего спуска; кривая, двигаясь по которой под действием только силы тяжести, материальная точка, исходя из одной заданной точки кривой, достигает другой заданной точки за кратчайшее время. Геоцентрическая система мира – существовавшее в древности представление, согласно которому Земля неподвижно покоится в центре мира, а все небесные светила движутся вокруг неё. Гелиоцентрическая система - учение, согласно которому Земля, как и другие планеты, обращается вокруг Солнца и, кроме того, вращается вокруг своей оси. Диофантов анализ – раздел математики, изучающий методами алгебраической геометрии свойства диофантовых уравнений (алгебраических неопре- 31 деленных уравнений с целочисленными коэффициентами, решение которых ищется в целых или рациональных числах). Золотое сечение – деление отрезка a на части b и a-b так, что a b / b a b Изопериметрическая задача – задача о поиске среди кривых с заданной длиной кривой, на которой заданный функционал принимает минимальное (максимальное) значение. Интерполирование – способ приближенного или точного нахождения какой-либо величины по известным отдельным значениям этой же величины или других величин, связанных с ней. Инфинитезимальный – бесконечно малый. Интуиционизм – совокупность философских и математических идей и методов, рассматривающих математику как науку об умственных построениях. Исчисление конечных разностей – раздел математики, в котором изучаются функции при дискретном изменении аргумента, в отличие от дифференциального и интегрального исчисления, где аргумент предполагается непрерывно изменяющимся. Квадривиум – повышенный курс средневекового светского образования, включавший грамматику, риторику, геометрию и музыку как учение о гармонических интервалах. Квадратура – вычисление площади фигуры. Квантификация предиката – уточнение того, весь объем сказуемого или только его часть совпадает (не совпадает) с объемом подлежащего. Конические сечения – кривые (окружность, эллипс, парабола, гипербола), которые получаются сечением конической поверхности вращения плоскостью, не проходящей через вершину этой поверхности. Континуум — в математике термин, употребляемый для обозначения образований, обладающих известными свойствами непрерывности, а также 32 для обозначения определённой мощности, а именно, мощности множества действительных чисел. Логицизм – одно из направлений в основаниях математики, ставящее целью обосновать математику путем сведения ее исходных понятий к понятиям логики. Математическая модель – описание какого-либо явления с помощью математической символики. Метод исчерпывания – метод нахождения площадей и объемов, зародившийся в Древней Греции. Метод неделимых – совокупность приемов нахождения площадей и объемов фигур, сформировавшаяся в XVI веке Несоизмеримость, несоизмеримые величины – величины, отношение которых является иррациональным числом. Основания математики - совокупность понятий, концепций и методов, с помощью которых строятся различные математические дисциплины, а также комплекс математических и философских теорий и направлений, посвященных исследованию этих понятий, концепций и методов. Система счисления – набор приемов для записи и наименования чисел (десятичная, двоичная, шестидесятеричная). Теория групп – раздел математики, изучающий в самой общей форме свойства действий, наиболее часто встречающихся в математике и её приложениях (примеры таких действий — умножение чисел, сложение векторов, последовательное выполнение преобразований и т. п.). В абстрактной алгебре – раздел, изучающий специальные алгебраические структуры, называемые группами, и их свойства. Формализм — направление в математике, пытающееся получить решение проблем основания математики при помощи формально-аксиоматических построений. 33 8. ОБРАЗЦЫ ТЕСТОВЫХ ЗАДАНИЙ РУБЕЖНОГО КОНТРОЛЯ Тест к модулю № 1 1. В какой стране математика стала дедуктивной наукой? А) Индия Б) Египет В) Греция Г) Китай 2. Первый кризис в развитии математики был связан с А) с открытием несоизмеримости Б) с появлением «Апорий» Зенона В) с формулировкой аксиомы параллельных Г) с учением о числе 3. Кто первым ввел в математику доказательство? А) Архимед Б) Фалес В) Евклид Г) Пифагор 4. Родоначальником алгебры считается А) Диофант Б) Ф.Виет В) Ал-Хорезми г) М.Штифель 5. «Отцом буквенной алгебры» считается А) Диофант Б) Ф.Виет В) Ал-Хорезми г) М.Штифель 6. Общую классификацию уравнений 1-3 степени дал А) ал-Хорезми Б) Омар Хайям В) ал-Бируни Г) ал-Каши 7. Метод фэн-чен в китайской математике связан А) с решением систем линейных уравнений Б) с решением квадратных уравнений В) с вычислением площадей геометрических фигур Г) с доказательством иррациональности 8. Десятичная позиционная система счисления возникла в А) арабском мире (работы ал-Хорезми) Б) Греции (Диофант) В) Индии (Арибахатта) Г)средневековой Европе (Леонардо Пизанский) 9. «Шулва сутра» (индийская «Книга веревки») посвящена А) проблемам астрономии Б) проблемам измерения алтарей В) задачам сферической тригонометрии Г) арифметике 10. Первым в Европе дал изложение тригонометрии как самостоятельной науки А) Региомонтан Б) Рамус В) Николай Кузанский Г) А.Дюрер 34 Тест к модулю № 2 1. Мнимые числа впервые встретились в работах А) Д.Кардано Б) К. Ф.Гаусс В) Р. Бомбелли Г) Р.Декарта 2. Правила действий с мнимыми числами впервые сформулировал А) Д.Кардано Б) К. Ф.Гаусс В) Р. Бомбелли Г) Р.Декарт 3. «Он всю жизнь занимался созданной им «воображаемой геометрией», но в этой воображаемой науке не было ничего фантастического. Она и есть несомненная реальная вещь» А) К.Ф.Гаусс Б) Н.И.Лобачевский В) Ф.Клейн Г) Б.Риман 4. Он является основателем дифференциальной, проективной, начертательной геометрии А). Р.Декарт Б) Ж.Дезарг В) Ж.В.Понселе Г) Г.Монж 5. Кто ввел термин «функция»? А) Р.Декарт Б) И.Ньютон В) Г.В.Лейбниц Г) Л.Эйлер 6. Автором «Новой стереометрии винных бочек» и создателем метода измерения объемов тел вращения является А) Б.Кавальери Б) И.Кеплер В) Г.Галилей Г) П.Ферма 7. Взаимно обратный характер задач на касательные и квадратуры установил А) Д.Валлис Б) И.Ньюто В) И.Кеплер Г) И.Барроу 8. В «Аналисте» Д.Беркли выступил против А) дифференциального исчисления Б) метода неделимых В) аналитической геометрии Г) теории числе 9. Теорию «компенсации ошибок» разрабатывал А) Ж.Р.Даламбер Б) Ж.Л.Лагранж ) Л.Эйлер Г) Л.Карно 10. Пример непрерывной всюду функции, не имеющей производной ни в одной точке, построил А) О.Л.Коши Б) Л.Эйлер В) КФ.Гаус Г) К.Вейерштрасс 35 Тест к модулю № 3 (прикладная математика) 1. Параллельные прямые пересекаются А) в геометрии Римана Б) в проективной геометрии В) в геометрии Лобачевского в) в евклидовой геометрии 2. Эрлангенская программа использует идеи А) теории групп Б) символической логики В) математической логики Г) аксиоматического учения 3. Создателем теории множеств является А) Д.Гильберт Б) Г.Кантор В) А.Пуанкаре 4. Представителем интуиционизма был А) Д.Гильберт Б) Н.Бурбаки В) А.Пуанкаре Г)Б.Риман Г) Ф.Клейн 5. С докладом об основных проблемах математики выступал А) Д.Гильберт Б) Ф.Клейн В) Б.Риман Г) А.Пуанкаре 6. Основателем логицизма является А) Г.Вейль Б) Г.Фреге В) А.Вейль Г) Г.В.Лейбниц 7. «Метаматематика» (специальная теория доказательств) связана с А) логицизмом Б) интуиционизмом В) формализмом Г)рационализмом 8. Линейное программирование возникло благодаря исследованиям А) А.Н.Колмогорова Б) Н.Винера В) Л.В.Канторовича Г) Джона фон Неймана 9. Н.Н.Лузин был учеником и последователем А) П.Л.Чебышева Б)А.А.Маркова В)А.М.Ляпунова Г)Д.Ф.Егорова 10. Автором «Кибернетики» является А) Джон фон Нейман Б)Дж.Булль В)Н.Винер Г)А.А,Самарский 36 Тест к модулю № 3 (математика) 1. «Его книга является первым фундаментальным трудом в истории русской математики. Заглавие не определяет содержание. По существу его книга является энциклопедией математических знаний»? А)Л.Эйлер Б)Кирик Новгородский В)Л.Магницкий Г)М.Остроградский 2. Первые серьезные исследования по теории вероятностей в России были начаты А) Л.Эйлером Б) П.Чебышевым В)Л.Магницким Г) М.Остроградским 3. Московское математическое общество было создано благодаря деятельности А) Д.М.Перевощикова Б) Н.Д.Брашмана В) Н.В.Бугаева Г) Д.Ф.Егорова 4. Кто адресат обращения Ш.Эрмита: «Вы являетесь гордостью науки в России, одним из первых геометров Европы, одним из величайших геометров вех времен»? А) Л.Эйлер Б) П.Л.Чебышев В) Д.Ф.Егоров Г) М.В.Остроградский 5. Кто из математиков работал в Варшавском университете? А) Г.Ф.Вороной Б) Н.Д.Брашман В) О.И.Сомов Г) А.А.Марков 6. «И мой отец, Декан Летаев»… Прообраз героя поэмы А.Белого: А) Н.В.Бугаев Б) Н.Д.Брашман В) О.И.Сомов Г) Д.Ф.Егоров 7. Н.Н.Лузин был учеником и последователем А) П.Л.Чебышева Б)А.А.Маркова В)А.М.Ляпунова Г)Д.Ф.Егорова 8. Представителем интуиционизма был А) Д.Гильберт Б) Н.Бурбаки В) А.Пуанкаре Г) Ф.Клейн 9. С докладом об основных проблемах математики выступил А) Д.Гильберт Б) Ф.Клейн В) Б.Риман Г) А.Пуанкаре 10. Основателем логицизма является А) Г.Вейль Б) Г.Фреге В) А.Вейль 37 Г) Г.В.Лейбниц
