Четыре способа решения одной задачи

МБОУ «Гимназия №33 г.Краснодара»
Четыре способа решения одной задачи
Учитель математики
Платонкина
Валентина Петровна
Для
усиленного
изучения
математики
для
совершенствования
применения полученных знаний на практике большие
возможности
представляет
задачи.
различное
решение
одной
и
той
же
Для
математического развития учащихся гораздо полезнее одну задачу решить
пятью способами, чем решить одним и тем же способом пять задач.
При отыскании различных способов решения задач учащиеся должны
вспомнить многие теоретические факты, проанализировать их с точки зрения
применимости к данной в задаче ситуации, что в конечном итоге
способствует
формированию
познавательного
интереса,
развитию
творческих способностей, выработке исследовательских навыков.
Общие методы решения задач должны стать опорными, но очень важно
учить ребят умению использовать индивидуальные особенности задачи,
позволяющие решить её проще, рациональнее.
Приведу четыре способа решения задачи:
При каких значениях уравнение Sin2x + (a + 2)Sin х +(3а + 1) = 0 не
имеет корней?
Способ первый
Sin2х + (а + 2)Sin х + (За + 1) = 0
(1)
Введем новую переменную Sin х = t, где |t| ≤ 1
Уравнение (1) примет вид:
t2 + (a + 2)t + (3a + 1) = 0
(2)
Из равенства (2) выразим а через t
t2 + at + 2t + 3а + 1 = 0 ; a(t + 3) = -t2 – 2t – 1 ; a(t + 3) = -(t + 1)2 ;
 t  1
иy=a
t 3
2
a
 t  1
иy=a
t 3
2
Рассмотрим две функции : y 
 t  1
Построим график функции y 
t 3
2
с использованием производной.
) D(y) = (-∞; -3) u (-3; ∞)
 t  1
2) y (t ) 
Функция общего вида.
t 3
2
3) Найдем точки пересечения с осями координат:
а) c осью абсцисс:
 t  1
= 0 ; t = -1; (-1; 0);
t 3
2
y=0;
б) с осью ординат:
t=0; y
1
1
; 0;
;
3
3
4) Исследуем на монотонность и экстремумы:
t 2  6t  5
; yٰ = 0; t2 + 6t+ 5 = 0; t1 = -1; t2 = -5; t3 = -3 (yٰ не сущ.)
y 
2
t  3
tmin = -5; ymin = 8
локальные
tmax = -1; ymax = 0
экстремумы
Найдем асимптоты:
а) Вертикальную t = -3
б) Горизонтальной асимптоты нет; в) Наклонную k 
lim
t 
т.к.
b
lim   t 2  2t  1 

  1
t    t 2  3t 
 t 2  2t  1
 
t 2  3t
lim   t 2  2t  1 
lim t  1

 
1
t   
t 3
 t   t  3
lim
t  
 t 2  2t  1

t 2  3t
y = kx + b = уравнение наклонной асимптоты
в общем виде
y = - t+1 – наклонная асимптота
2

t  1
Строим график функции y  
t 3
y (1)  
y (1)  
 1  12
1 3
1  12
1 3
0
1
Рассмотрим расположение прямой y = a в координатной плоскости
2

t  1
относительно графика функции: y  
. При 0 < а < 8 прямая у = а не
t 3
пересекает график функции. Значит уравнение (1) не имеет решения т.е.
корней нет. Т.к. t = sin х, то при т  [-1; 1] у  [-1; 0], т.е. при а 
[-1; 0]
уравнение имеет корни. Если а  (-∞; -1)  (0; ∞), то уравнение (1) корней не
имеет.
В итоге имеем а (0; 8)
а  (-∞; -1)  (0; ∞)
Общее решение а  (-∞; -1)  (0; ∞)
Ответ: Если а (-∞; -1)  (0; ∞) уравнение не имеет корней.
Способ второй
Sin2x + (а + 2)Sin х + (За + 1) = 0
(1)
Sin х = t
t + (а + 2) t + (За + 1) = 0
(2)
Данное уравнение не имеет корней, если выполняется следующее
условия для уравнения (2):
D  0
а) D<0 б)  t  1
t  1

а)
D<0; D = a2 – 8a
a2 – 8a < 0
a(a–8a) < 0
a  (0; 8)
б) D ≥ 0
Рассмотрим условие, при которых оба корня квадратного трехчлена
t2 + (a+2) t + (3a+1):
1) либо больше 1
2) либо меньше -1
3) либо числа -1 и 1 лежат между корнями квадратного трехчлена.
1)
Чтобы оба корня квадратного трехчлена t2 +
(a+2) t + (3a+1) были больше 1 необходимо и
достаточно выполнение следующих условий:

a 2  8a  0
 D0

 a  2 

1
 X B  1 или 
2

 f 1  0

1  a  2  3a  1  0
↔
aa  8  0

 a  2  2
 4a  4  0

a0
 a8
↔ 
 a  4
 a  1
Множество решений данной системы
пусто
Чтобы оба корня квадратного трехчлена
2)
t2 + (a + 2)t + (3a +1) были меньше -1 необходимо
и
достаточно
выполнений
следующих условий:

a 2  8a  0
 D0

 a  2

 1
 X B  1 или 
2

 f  1  0

1  a  2 1  3a  1  0
a0


a8


a22

1  a  2  3a  1  0
↔
↔
a  0

a  8
a  0

a  [8; ∞]
а) Чтобы число -1 лежало между
3)
корнями конкретного трехчлена t2 + (a
2)t + (3a +1) необходимо и достаточно
+
выполнений условий:
 D0
или

 f  1  0

aa  8  0

1  a  2 1  3a  1  0
↔
a  0

a  8
a  0

a  (-∞; 0)
б) Чтобы число 1 лежало между корнями квадратного трехчлена t2 + (a
+ 2)t + (3a +1) необходимо и достаточно выполнение следующих условий:
 D0
или

 f 1  0
aa  8  0


1  a  2  3a  1  0
↔
a0

a8
a  1

a  (-∞; -1)
Объединяем а) и б); Имеем a (-∞; -1)
Итак имеем: а) a  (0; 8)
б)
1) Ø
2) a (8; ∞)
3) a (-∞; -1)
Общее решение: a (-∞; -1)  (0; ∞)
Ответ: a  (-∞; -1)  (0; ∞)
Третий способ
Sin2x + (а + 2)Sin х + (За + 1) = 0
(1)
Sin х = t; t + (а + 2) t + (За + 1) = 0 (2)
Уравнение (2) и следовательно (1) не имеет корней, если:
D  0

II)  t  1
t  1

I) D < О
I) D < 0 ; a 2 – 8 a < 0 ; a ( a – 8 ) < 0 ; a  ( 0 ; 8 )
II) D ≥ 0 ; а2 – 8а ≥ 0 ; а (а – 8) ≥ 0 ; a  (-∞ ; 0 ]  [ 8 ; ∞)
t1 
a  2  a 2  8a ;
 a  2  a 2  8a

2
2
t2  
a  2 
2
D  0
1)  t1  1
t  1
 2
1)
a 2  8a
D0
2) t1  1
t  1
2
D  0
 t1  1
а) 
D  0
 t2  1
б) 
2)
D0
 t1  1
а) 
Решим эти четыре системы неравенств:
 D0
 t 2  1
б) 


a 2  8a  0

1
I а) 
2
  a  2   a  8a

2
a0


a8

a  4  a 2  8a

↔
↔
a0


a8

a  42  a 2  8a

 aa  8  0
 2

2
 a  2  a  8a
↔
↔
↔
a0

 a8
a  1

a  (-∞; -1)


aa  8  0

1б) 
2
  a  2   a  8a  1

2
↔
a0


a8

 a 2  8a  a  4

↔
a0


a8

a  2  a 2  8a  2

↔
Ø
Множество решений данной системы пусто т.к. – (а + 4) < 0, при
любых а, удовлетворяющих первому неравенству системы.


a a  8  0

2а) 
2
  a  2   a  8a  1

2
↔
a0


a8

a  a 2  8a

↔
↔
a0


a8

a  2  a 2  8a  2

↔
a  0

a  8
a  0

a  [8; ∞]


aa  8  0
2б) 
2
 a  2  a  8a
 1
 
2
↔
a0


a8

a  2  a 2  8a  2

↔
a0


,
a8

 a 2  8a  a

т.к.
a 2  8a  0 ,
a 2 8a  a ,
то
для
всех
а,
a  0; a  0
удовлетворяющих условию 

a8
Итак имеем: I a  (0; 8)
II 1а) a  (-∞; -1)
1б) Ø
2а) a  [8; ∞]
2б) a ≠ 0
Общее решение: a (-∞; -1)  (0; ∞)
Ответ: a  (-∞; -1)  (0; ∞)
Четвертый способ
Sin2x + (а + 2)Sin х + (За + 1) = 0
(1)
Sin х = t; t2 + (а + 2) t + (За + 1) = 0 (2)
Уравнения (2) и следовательно (1) не имеет корней, если D < 0
Отсюда имеем a2 – 8a < 0 и a (0; 8). Если D ≥ 0, то уравнение имеет
решение при условии, что t  (-1; 1). Найдем при каких значениях а уравнение
(2) и следовательно (1) имеют решение:
t
 D0

1  t  1
↔
 a  2  a 2  8a
2
↔


a a  8  0


2
  1   a  2   a  8a  1
2

aa  8  0


2
   2  a  2  a  8a  2

aa  8  0

2

   2  a  2  a  8a  2
Решим каждую систему:
1
2
↔

aa  8  0

  2  a  2  a 2  8a  2
↔

aa  8  0

2
 0  a  a  8a  4
a0


↔
a8
2
a  a  8a  4  a

↔
a0


↔
a8

2
2
2
a  a  8a  16  8a  a

a0


↔
↔
a8
0  8a  82  a 

a0


a8

 2  a  a  0


(1) 
aa  8  0
2
  2  a  2  a  8a  2
↔
↔
a0
a8


a0
a  1
a  [-1; 0]

aa  8  0
(2) 
2

  2  a  2  a  8a  2
(2)
↔
a0


a8
(2)

 4  a   a 2  8a  a

При а ≤ 0 решим (2) неравенство системы:
16  8a  a 2  a 2  8a  a 2
; a2  0
82  a   8a  0
o  a  2  a 
 a0

 a  2  a
↔
 a0

 2a  2
↔
или
 a0

 a  1
Ø
Ø
При а ≥ 8множество решений неравенства (2) пусто т.к. a 2  8a  0 и не
может быть меньше – а (-а < 0, при любом а ≥ 8).
Итак, исходное уравнение имеет решение если a [-1; 0] и, значит, не
имеет решения, если a  (-∞; -1)  (0; ∞).
Ответ: a  (-∞; -1)  (0; ∞)
Задачи на движение
Формулы, используемые при решении задач на движение:
S=V× t
S – пройденное расстояние
V=S÷ t
V – скорость движения
t=S ÷v
t – время движения
I тип
Задача
Движение тел в противоположных направлениях
1.
Одновременно
из
одного
пункта
в
другой
в
противоположных направлениях вышли два пешехода. Один из них шёл со
скоростью 6км/ч, а другой 4 км/ч. Какое расстояние будет между ними через
3 часа?
Решение:
а). 1) 4·3=12 (км)
б). 1) 4+6=10 (км/ч)
2)
6·3=18 (км)
3)
12+18=30 (км)
2)
в). 4·3+6·3=30
10·3=30 (км)
Ответ: 30 км
Задача 2.
Одновременно из одного пункта в противоположных
направлениях вышли два пешехода. Один из них шёл со скоростью 6км/ч, а
другой со скоростью 4 км/ч. Через сколько времени расстояние между ними
станет равным 30 км?
Решение:
а).
1.
4+6=10 (км/ч)
2.
30:10=3 (ч)
б). 4х+6х+30
10х=30
х=30:10
х=3
Ответ: 3 ч
Задача 3. Одновременно из одного пункта в разных направлениях
вышли два пешехода. Один из них шёл со скоростью 6км/час. Через три часа
расстояние между ними стало 30 км. Определить скорость другого пешехода.
Решение:
а). 1. 6·3=18 (км)
б). 3х+6·3=30
2.
30-18=12 (км/ч)
3х=30-18
3.
12:3=4 (км/ч)
3х=12
в). 1. 30:3=10 (км/ч)
2.
10-6=4 (км/ч)
х=12:3
х=4
Ответ: 4км/ч
Задача
1
2
3
4
Движущееся тела
лодки
лыжники
катера
поезда
Скорость первого тела
9 км/ч
12 км/ч
х км/ч
50 км/ч
Скорость второго тела
10км/ч
9 км/ч
14 км/ч
х км/ч
Общее время движения
4ч
хч.
5ч
6ч
Путь, пройденный первым телом
?
12х км.
?
?
Путь, пройденный вторым телом
?
9х км.
?
?
Расстояние между телами
?
12х+9х=63
120км
540км
II тип.
Встречное движение тел
Задача 1. Одновременно из двух пунктов навстречу друг другу вышли
два пешехода и встретились через 3 часа. Какое расстояние до встречи
прошёл каждый пешеход и какое расстояние было между пунктами, если
один пешеход шёл со скоростью 6км/ч, а другой – 4км/ч?
Решение:
а). 1. 6·3=18 (км)
б). 1. 6+4=10 (км/ч)
2.
4·3=12 (км)
2.
10·3=30 (км)
3.
18+12=30 (км)
3.
3·6=18 (км)
4.
3·4=12 (км)
в). 6·3+4·3=
=18+12=30
Ответ: 12 км; 18 км; 30 км
Задача 2. Из двух пунктов, находящихся на расстоянии 30 км друг от
друга, одновременно навстречу вышли два пешехода. Один из них проходил
в час 6 км, а другой – 4 км. Через сколько часов пешеходы встретятся?
Решение:
а). 6х+4х=30
10х=30
б). 1. 6+4=10
30:10=3 (ч)
2.
х=30:10
х=3
Ответ: 3 ч
Задача 3. Из двух пунктов, расстояние между которыми 30 км,
одновременно навстречу друг другу вышли два пешехода. Через 3 часа
пешеходы встретились. Найти скорость другого пешехода, если скорость
одного из них 4 км/час.
Решение:
а) (х+4)·3=30
х+4=30:3
б) 3х+3·4=30
3х=30-12
в) 1. 3·4=12 (км)
2.
30-12=18 (км)
х=30:3-4
3х=18
х=10-4
х=18:3
х=6
х=6
3.
18:3=6 (км/ч)
Ответ: 6 км/ч
Задача 4. Два пешехода идут навстречу друг другу. Скорость первого
6км/ч, а второго – 5км/ч. На сколько километров они приблизятся через 1
час, 2 часа,5 часов, 7 часов?
Решение:
а)
1.
6+5=11 (км/ч)
б) 1. 6+5=11 (км)
2.
11·2=22 (км)
2.
6·2+5·2=22 (км)
3.
11·5=55 (км)
3.
6·5+5·5=55 (км)
4.
11·7=77 (км)
4.
6·7+5·7=77 (км)
Ответ: на 11 км, 22 км, 55 км, 77 км
Задача
1
2
3
4
бегуны
лодки
катера
поезда
Скорость первого тела
7 м/с
12 км/ч
15 км/ч
х км/ч
Скорость второго тела
8км/ч
9 км/ч
х км/ч
47 км/ч
Время движения до встречи
хс.
хч.
5ч
4ч
Расстояние между пунктами
120м
84км
160км
360км
Путь, пройденный первым телом
7хм
?
15×5км
?
Путь, пройденный вторым телом
8хм
?
х×5км
?
7х+8х=120
?
?
?
Движущееся тела
Уравнение
III тип
Движение тел в одном направлении
Задача 1. Мотоциклист, скорость которого 43 км/ч, догоняет велосипедиста,
скорость которого 13 км/ч. Через сколько часов мотоциклист догонит
велосипедиста, если первоначальное расстояние между ними было 120 км.
Решение:
а) 43х-13х=120
б) 1. 43-13=30 (км/ч) – скорость сближения
30х=120
2.
120:30=4 (ч)
х=120:30
х=4
Ответ: 4 ч
Задача 2.
Из двух пунктов, расстояние между которыми 120 км,
одновременно в одном направлении выехали мотоциклист и велосипедист.
Скорость велосипедиста 13 км/час. Определите скорость мотоциклиста, если
он догнал велосипедиста за 4 часа.
Решение:
а) 1. 13·4=54 (км)
б) (х-13)·4-120
2.
120+52=172 (км)
4х-52=120
3.
172:4=43(км/ч)
4х=120+52
4х=172
х=172:4
х=43
Ответ: 43 км/ч
Задача 3. Из двух пунктов одновременно в одном направлении выехали
мотоциклист и велосипедист со скоростью 43 км/ч и13 км/ч соответственно.
Мотоциклист догнал велосипедиста через 4 часа. Определите расстояние
между пунктами.
Решение:
а)
1.
13·4=52 (км)
б) х:(43-13)=4
2.
43·4=172 (км)
х:30=4
3.
172-52=120 (км)
х=4·30
х=120
Ответ: 120 км
IV тип
Движение тел по течению и против течения
Задача 1. Собственная скорость теплохода равна 23км/ч, скорость
течения реки 2км/ч. Найти скорость теплохода по течению реки и против
течения реки.
- скорость по течению
-
собственная
скорость
катера
- скорость против течения
Решение:
1.
23+2=25 (км/ч)
2.
23-2=21 (км/ч)
Ответ:25 км/ч; 23 км/ч
Задача 2. Скорость катера по течению реки 25 км/час, а скорость реки 2
км/час. Определить собственную скорость катера и скорость катера против
течения реки.
- скорость по течению
- собственная скорость
катера
- скорость против
течения
Решение:
1.
25-2=23 (км/ч)
2.
23-2=21 (км/ч)
Ответ: 23 км/ч; 21 км/ч.
Задача 3. Скорость катера против течения реки 21 км/час, а скорость
течения реки 2 км/час. Определить собственную скорость катера и скорость
катера по течению реки.
- скорость по течению
- собственная скорость
катера
- скорость против течения
Решение:
1.
21+2=23 (км/ч)
2.
23+2=25 (км/ч)
Ответ: 23 км/ч; 25 км/ч.
Задача 4. Скорость катера по течению реки 25 км/ч, а скорость катера
против течения реки 21км/ч. Найти скорость течения реки.
- скорость по течению
- скорость против течения
Решение:
1.
25-21=4 (км/ч)
2.
4:2=2 (км/ч)
Ответ: 2 км/ч.
Моделирование содержания задачи с помощью графических схем.
Задача 1. (на части)
Ученик купил тетрадей в клетку в 3 раза больше, чем тетрадей в
линейку. Причём их было на 18 больше, чем тетрадей в линейку. Сколько
всего тетрадей купил ученик?
Будем читать условие, схематически изображая его содержание.
«Ученик купил тетрадей в клетку в 3 раза больше, чем тетрадей в
линейку»».
«Причём их было на 18 больше, чем тетрадей в линейку».
Схематическое изображение величин, о которых говорится в задаче,
подсказывает, что это «больше» складывается из «дважды повторённого
числа тетрадей в линейку», а общее число тетрадей и в линейку, и в клетку
превышает 18 в два раза, т.е. всего куплено 36 тетрадей.
Решение:
1.
18:2=9 (т) – в линейку
2.
9·3=27 (т) – в клетку
3.
9+27=36 (т) – всего куплено
Ответ: 36 тетрадей.
Задача 2. (нахождение двух чисел по их сумме и разности)
На двух полках стояло ровное число книг. С первой полки сняли 10
книг и поставили на вторую полку. На сколько книг на второй полке стало
больше, чем на первой?
Изобразим условие задачи схематически.
«На двух полках стояло ровное число книг».
I
II
«С первой полки сняли 10 книг и поставили на вторую полку».
I
II
Из схемы видно, что «на второй полке стало книг на 20 больше, чем на
первой»
Ответ: на 20 книг больше.
Задача 3. Разность двух чисел равна 5, частное от деления большего
1
числа на меньшее равно 2 . Найдите эти числа.
3
Составим схему.
1
х – меньшее число, тогда большее число 2 х, а разность равна 5.
3
Составим уравнение:
1
2 х – х=5
1
1
3
3
3
3
4
4
2 · х=2 ·3 =8
3
1
1 х=5
3
1
5
4
3
3
1
3
4
х=5:1 = : =3
3
х=3
4
3
3
4
4
Ответ: 3 ; 8
Задача 4.
Платформа, на которой помещена нефтяная вышка в море,
отстоит от дна моря на 130 м. Расстояние от платформы до воды на 10 м
меньше глубины моря. Определить глубину моря под нефтяной вышкой.
Составим графическую схему.
Высота надводной части
Глубина моря
Составим уравнение:
х+х+10=130 (м)
2х+10=130
2х=130-10
2х=120
х=120:2
х=60
х+10=60+10=70
Ответ: 70 (м)
Задача 5. Одно число в 4 раза больше другого, а их сумма равна 100.
Найти эти числа.
Составим графическую схему.
Составим уравнение:
х+4х=100
4х=4·20=80
5х=100
х=100:5
х=20
Ответ: 20; 80.