Программа КРиР 010300x

Правительство Российской Федерации
Федеральное государственное автономное образовательное учреждение
высшего профессионального образования
"Национальный исследовательский университет
"Высшая школа экономики"
Факультет Прикладной математики и кибернетики
Программа дисциплины Кратные интегралы и ряды
для направления 010300.62 «Фундаментальная информатика и информационные
технологии» подготовки бакалавра
Авторы программы: Романов А.В., кандидат физ.-мат. наук, aromanov@hse.ru
Лебедев В.В., кандидат физ.-мат. наук, доцент, v_lebedev@hse.ru
Одобрена на заседании кафедры Высшей математики «___»____________ 2013 г
Зав. кафедрой Л.И. Кузьмина
Рекомендована секцией УМС [Введите название секции УМС] «___»____________ 2013 г
Председатель [Введите И.О. Фамилия]
Утверждена УС факультета [Введите название факультета] «___»_____________2013 г.
Ученый секретарь [Введите И.О. Фамилия] ________________________ [подпись]
Москва, 2013
Настоящая программа не может быть использована другими подразделениями
университета и другими вузами без разрешения кафедры-разработчика программы.
Национальный исследовательский университет «Высшая школа экономики»
Программа дисциплины Кратные интегралы и ряды для направления 010300.62
«Фундаментальная информатика и информационные технологии» подготовки бакалавра
1
Область применения и нормативные ссылки
Настоящая программа учебной дисциплины устанавливает минимальные требования к
знаниям и умениям студента и определяет содержание и виды учебных занятий и отчетности.
Программа предназначена для преподавателей, ведущих данную дисциплину, учебных
ассистентов и студентов направления 010300.62 «Фундаментальная информатика и
информационные технологии» подготовки бакалавра по специализации «Автоматизация
научных исследований», изучающих дисциплину «Кратные интегралы и ряды».
Программа разработана в соответствии с:
 ФГОС для направления 010300.62 «Фундаментальная информатика и
информационные технологии» подготовки бакалавра.
 Рабочим
учебным
планом
университета
по
направлению
010300.62
«Фундаментальная информатика и информационные технологии» подготовки
бакалавра
по
специализации
«Автоматизация
научных
исследований»,
утвержденным в 2013 г.
2
Цели освоения дисциплины
Целями освоения дисциплины Кратные интегралы и ряды являются:


3
обеспечение приобретения знаний и умений в соответствии с государственным
образовательным стандартом, содействие фундаментализации образования,
формирование естественнонаучного мировоззрения и развитие системного
мышления;
ознакомление студентов с основными понятиями и методами теории
функциональных рядов (с том числе, рядов Тейлора и рядов Фурье), кратных,
криволинейных и поверхностных интегралов, а также с элементарными понятиями
и методами теории поля.
Компетенции обучающегося, формируемые в результате освоения
дисциплины
В результате освоения дисциплины студент должен:



Знать основные понятия и методы теории кратных интегралов и функциональных
рядов.
Уметь применять математические методы при решении типовых профессиональных
задач.
Иметь навыки (приобрести опыт) использования методов построения
математических моделей при решении профессиональных задач.
2
Национальный исследовательский университет «Высшая школа экономики»
Программа дисциплины Кратные интегралы и ряды для направления 010300.62
«Фундаментальная информатика и информационные технологии» подготовки бакалавра
В результате освоения дисциплины студент приобретает следующие компетенции:
Компетенция
Дескрипторы – основные признаки
Код по
освоения (показатели достижения
ФГОС
результата)
Понимание концепций и ПК-15
абстракций, способность
использовать на
практике базовые
математические
дисциплины
Понимание концепций и ПК-16
основных законов
естествознания, в
частности, физики
Формы и методы обучения,
способствующие
формированию и развитию
компетенции
Формируется на
протяжении всего
учебного процесса
Формируется на
протяжении всего
учебного процесса
3
Национальный исследовательский университет «Высшая школа экономики»
Программа дисциплины Кратные интегралы и ряды для направления 010300.62
«Фундаментальная информатика и информационные технологии» подготовки бакалавра
4
Место дисциплины в структуре образовательной программы
Настоящая дисциплина относится к циклу математических и естественнонаучных
дисциплин и блоку дисциплин, обеспечивающих базовую подготовку.
Изучение данной дисциплины базируется на знаниях и умениях приобретённых в рамках
курсов «Математический анализ» и «Алгебра и геометрия».
Основные положения дисциплины должны быть использованы в дальнейшем при
изучении следующих дисциплин:
 «Основы
естествознания
(физика)»;
«Вычислительные
методы»;
«Дифференциальные и разностные уравнения»; «Теория функций комплексного
переменного»; «Теория вероятности и математическая статистика»; «Методы
оптимизации и исследования операций»; «Уравнения математической физики»;
«Теоретическая механика»; «Моделирование систем и процессов».
5
№
1
2
3
4
5
6
Тематический план учебной дисциплины
Название раздела
Всего
часов
Функциональные последовательности и
ряды
Степенные ряды и ряды Тейлора
Ряды Фурье
Интегралы, зависящие от параметра
Кратные интегралы
Криволинейные и поверхностные
интегралы. Элементы теории поля.
Итого:
4
Аудиторные часы
СамостояПрактиче
тельная
Лекци Семин
ские
работа
и
ары
занятия
30
7
7
16
26
44
12
38
48
6
11
3
9
12
6
11
3
9
12
14
22
6
20
24
198
48
48
102
Национальный исследовательский университет «Высшая школа экономики»
Программа дисциплины Кратные интегралы и ряды для направления 010300.62
«Фундаментальная информатика и информационные технологии» подготовки бакалавра
6
Формы контроля знаний студентов
Тип
контроля
Форма контроля
Контрольная
Работа
Текущий
(неделя)
Коллоквиум
Модули
1
2
5
5
Промежуто
чный
Итоговый
6.1
Зачет
Экзамен
письменная работа 80 минут
устный коллоквиум 80 минут
7
Домашнее
Задание
Параметры
7
√
письменный зачёт 120 минут
√
письменный экзамен 160 минут
Критерии оценки знаний, навыков
Контрольная работа состоит в решении стандартных задач по материалам курса,
требующих технических навыков. Ошибки технического характера (в умеренном количестве)
не влекут значительного снижения оценки. Наличие правильного подхода к решению задачи
(даже при отсутствии его технической реализации) учитывается в пользу студента.
Домашнее задание подразумевает решение стандартных задач по материалам курса (на
основе знания теории), требующих продолжительного времени для их решения.
На коллоквиуме проверяется: 1) умение студента формулировать основные определения
курса; 2) умение формулировать основные утверждения курса без доказательств. Оценка
выставляется с учётом двух этих аспектов.
Выставляемая оценка за контрольную работу, домашнее задание, или коллоквиум равна
среднему арифметическому полученных студентом оценок (по 10-ти балльной шкале) за
отдельные задачи (вопросы на коллоквиуме).
На зачёте и экзамене проверяется умение студента: 1) формулировать и доказывать
теоремы курса (демонстрируя при этом знание соответствующих определений); 2) решать
стандартные задачи курса. При доказательстве теорем допустимо пользоваться соображениями
и понятиями, выходящими за рамки курса. При этом, однако, студент должен
продемонстрировать знание соответствующих определений и методов.
Оценки по всем формам текущего контроля выставляются по 10-ти балльной шкале.
5
Национальный исследовательский университет «Высшая школа экономики»
Программа дисциплины Кратные интегралы и ряды для направления 010300.62
«Фундаментальная информатика и информационные технологии» подготовки бакалавра
6.2
Порядок формирования оценок по дисциплине
Накопленная ( Oнакоплi ) и результирующая ( O резi ) оценка за i -й модуль рассчитывается
следующим образом.
В модуле 1 проводится одна контрольная работа и один коллоквиум:
Oнакопл 1  0.5  Oкр  0.5  Oколл ;
Oрез1  0.5  Oнакопл1  0.5  Озачёт .
В модуле 2 проводится одна контрольная работа и выдаётся одно домашнее задание:
Oнакопл 2  0.5  Окр  0.5  Одз .
Накопленная итоговая оценка рассчитывается следующим образом:
Oнакопл / итоговая  0.5  Oрез1  0.5  Онакопл 2 .
Итоговый экзамен подразумевает проверку знаний студентов по всему курсу.
Итоговая (идущая в диплом) оценка по учебной дисциплине формируется следующим
образом:
Oитоговая  0.5  Oнакопл / итоговая  0.5  Оитоговый экзамен .
Студент, получивший неудовлетворительную оценку (меньше 4 баллов по
десятибалльной шкале) за контрольную работу или за коллоквиум может исправить свой
результат, переписав (один раз) контрольную работу или пересдав (один раз) коллоквиум.
Результат переписывания контрольной работы или пересдачи коллоквиума умножается на
коэффициент 0.7, но первоначальная оценка не может ухудшиться.
При накопленной оценке выше 7 баллов и активной самостоятельной и аудиторной
работе в течение модуля студент может (по его согласию!) освобождаться преподавателем от
сдачи зачёта/экзамена; в этом случае результирующая оценка совпадает с накопленной.
Способ округления оценок на всех этапах контроля: до ближайшего целого; полуцелые
значения – в пользу студента.
7
Содержание дисциплины
Раздел 1. Функциональные последовательности и ряды.
Поточечная сходимость функциональной последовательности и ее предел. Множество
сходимости функциональной последовательности. Поточечная сходимость функционального
ряда и его сумма. Множество сходимости функционального ряда. Равномерно сходящиеся
функциональные последовательности и ряды, их свойства. Критерий равномерной сходимости.
Необходимое условие равномерной сходимости. Условие Вейерштрасса, достаточное для
равномерной сходимости. Интегрирование и дифференцирование предельной функции.
Интегрирование и дифференцирование функциональных рядов.
Раздел 2. Степенные ряды и ряды Тейлора.
Множество сходимости степенного ряда. Радиус сходимости. Дифференцирование и
интегрирование степенных рядов. Теорема единственности для степенных рядов. Функции,
являющиеся суммами степенных рядов. Ряд Тейлора; достаточное условие его сходимости к
исходной функции. Ряды Тейлора основных элементарных функций. Использование рядов
Тейлора для приближенного вычисления интегралов.
6
Национальный исследовательский университет «Высшая школа экономики»
Программа дисциплины Кратные интегралы и ряды для направления 010300.62
«Фундаментальная информатика и информационные технологии» подготовки бакалавра
Раздел 3. Ряды Фурье.
Метрические, линейные нормированные и евклидовы пространства. Неравенство Коши–
Буняковского. Ортогональность. Линейная оболочка. Ортогональная проекция. Задача о
наилучшем приближении в евклидовом пространстве. Процедура ортогонализации. Всюду
плотные множества в метрическом пространстве. Полнота системы векторов в евклидовом
пространстве. Теорема о разложении в ряд Фурье по полной ортонормированной системе.
Равенство Парсеваля. Пространство C2 ([ ,  ]) . Среднеквадратичная сходимость. Связь
поточечной, равномерной и среднеквадратичной сходимости. Пространство C ([ ,  ]) .
Теоремы Вейерштрасса об аппроксимации алгебраическими и тригонометрическими
полиномами. Ортонормированность и полнота тригонометрической системы в C2 ([ ,  ]) . Ряд
Фурье по тригонометрической системе. Теорема о среднеквадратичной сходимости. Ряды по
синусам и по косинусам. Теоремы о равномерной и поточечной сходимости
тригонометрических рядов Фурье. Ряд Фурье в комплексной форме. Ряды Фурье на отрезке
[ l , l ] .
Раздел 4. Интегралы, зависящие от параметра.
Непрерывность, дифференцируемость и интегрируемость функции, определенной с
помощью интеграла, зависящего от параметра. Несобственные интегралы, зависящие от
параметра.
Раздел 5. Кратные интегралы.
Двойной интеграл, определение и свойства. Сведение к повторному. Якобиан и замена
переменной в двойном интеграле. Полярные координаты. Геометрические и механические
приложения двойных интегралов. Тройной интеграл. Сведение к повторному. Якобиан и
замена переменной в тройном интеграле. Сферические и цилиндрические координаты.
Геометрические и механические приложения тройных интегралов.
Раздел 6. Криволинейные и поверхностные интегралы. Элементы теории поля.
Криволинейный интеграл от скалярной функции в 2 . Криволинейный интеграл от
векторного поля в 2 . Скалярный и векторный дифференциалы длины; их применения к
вычислению интегралов по кривым в 2 . Формула Грина. Плоские потенциальные поля,
3
восстановление потенциала. Криволинейный интеграл от функции в
. Криволинейный
3
интеграл от векторного поля в
. Скалярный и векторный дифференциалы длины; их
применения к вычислению интегралов по кривым в 2 . Поверхностный интеграл от функции и
от векторного поля, поток векторного поля через поверхность. Векторный и скалярный
дифференциалы площади; их применение к вычислению интегралов по поверхностям.
Дивергенция векторного поля, формула Остроградского–Гаусса. Условие равенства нулю
потока через любую замкнутую поверхность. Циркуляция и ротор векторного поля, формула
Стокса. Потенциальные поля в
8
3
, условия потенциальности, восстановление потенциала.
Образовательные технологии
Образовательные технологии не предусмотрены.
7
Национальный исследовательский университет «Высшая школа экономики»
Программа дисциплины Кратные интегралы и ряды для направления 010300.62
«Фундаментальная информатика и информационные технологии» подготовки бакалавра
Оценочные средства для текущего контроля и аттестации студента
9
Тематика заданий текущего контроля
9.1
Типовые примеры и вопросы.
Контрольная работа (модуль 1). Функциональные последовательности и ряды.
Степенные ряды и ряды Тейлора.
1) Найти интервал сходимость степенного ряда

n

( x  1) 2
n 1
и исследовать его сходимость (в т.ч. абсолютную) на концах данного интервала.
2
n 1
2) Разложить функцию f ( x) 
x
0
1  cos t
t2
dt степеням x и указать множество сходимости
ряда к этой функции.
Коллоквиум (модуль 1). Функциональные последовательности и ряды. Степенные
ряды и ряды Тейлора. Ряды Фурье.
1) Исследуйте на равномерную сходимость ряд


n 1
1
n x 1
2
на луче [1,  ) , на отрезке [0,1] .
2)
Когда говорят, что два вектора евклидова пространства ортогональны? Дайте
определение ортонормированной системы векторов. Дайте определение линейной оболочки
системы векторов.
Контрольная работа (модуль 2). Интегралы, зависящие от параметра. Кратные
интегралы.
1) Найти центр тяжести пластины D : x2  y 2  4, x  0, y  0 с плотностью   x .
2) Вычислить интеграл
 xdxdydz по области D : x
2
 y 2  z 2  9, x  0, y  0, z  0 .
D
Домашнее задание (модуль 2). Криволинейные и поверхностные интегралы. Элементы
теории поля.
 cos 3 y

1
1) Убедиться, что поле F = 

, 3sin 3 y ctg x  e y  является потенциальным
2
2x 1
 sin x

и найти работу этого поля вдоль пути А(1,2) – Б(2,1).
2) Вычислить поток векторного поля
2
2
( x 2 , xy  z, y  z 2 )
2
x  y  z  4, z  0 .
8
через границу полушара
Национальный исследовательский университет «Высшая школа экономики»
Программа дисциплины Кратные интегралы и ряды для направления 010300.62
«Фундаментальная информатика и информационные технологии» подготовки бакалавра
9.2 Вопросы для оценки качества освоения дисциплины
Примерный перечень вопросов к зачету и к экзамену по всему курсу.
Модуль 1
1. Дайте определения поточечно сходящейся функциональной последовательности на
множестве E 
и предельной функции. Дайте определение множества сходимости
функциональной последовательности. Найдите множество сходимости и предел
последовательности f n ( x)  x n , n  1, 2,... .
2. Дайте определение поточечно сходящегося функционального ряда на множестве E  и
его суммы. Дайте определение множества сходимости функционального ряда. Найдите
множество сходимости и суму ряда

 xk .
k 0
3. Дайте определение равномерно сходящейся функциональной последовательности и
равномерно сходящегося функционального ряда. Покажите, что равномерная сходимость
последовательности функций f n , n  1, 2,..., к функции f на множестве E равносильна
условию
sup f n ( x)  f ( x)  0
xE
(критерий равномерной сходимости).
4. Покажите, что равномерная сходимость (последовательности или ряда функций) влечет
поточечную сходимость (к тому же пределу или сумме). Приведите пример показывающий, что
из поточечной сходимости не следует равномерная.
5. Исследуйте на равномерную сходимость последовательность f n ( x)  nxe x n
прямой , на отрезке [1, 2] .
6. Исследуйте на равномерную сходимость ряд
2


2
на всей
( 1) k
k  x2
на всей прямой
(воспользуйтесь оценкой остатка для рядов Лейбница).
7. Покажите, что предел равномерно сходящейся последовательности непрерывных
функций есть непрерывная функция. Докажите непрерывность суммы равномерно сходящегося
ряда, члены которого непрерывны.
8. Выведите необходимый признак равномерной сходимости функционального ряда
(равномерная сходимость членов ряда к нулю).
9. Выведите достаточный признак (признак Вейерштрасса) равномерной сходимости
функционального ряда.
10. Исследуйте на равномерную сходимость ряд
k 1


n 1
1
n x 1
2
на луче [1,  ) , на отрезке [0,1] .
11. Выведите достаточное условие, обеспечивающее равенство
b
b
f n ( x)dx  lim  f n ( x)dx .
a nlim

n a
12.
Выведите
достаточное
условие,
обеспечивающее
9
возможность
почленного
Национальный исследовательский университет «Высшая школа экономики»
Программа дисциплины Кратные интегралы и ряды для направления 010300.62
«Фундаментальная информатика и информационные технологии» подготовки бакалавра
интегрирования ряда:
b 
 b

u
(
x
)
dx





a  k 
a uk ( x)dx .
k 1
 k 1

13. Выведите достаточное условие, обеспечивающее равенство
 lim f ( x)   lim f  ( x) .


n
n
n
 n

14. Выведите достаточное условие, обеспечивающее возможность почленного
дифференцирования ряда:

 

  uk ( x)    uk ( x) .
k 1
 k 1

15. Дайте определение степенного ряда. Сформулируйте теоремы о множестве сходимости
степенного ряда и его равномерной сходимости. Выведите формулы для радиуса сходимости.
16. Сформулируйте теорему о радиусе сходимости продифференцированного и
проинтегрированного степенного ряда. Дайте иллюстрацию этой теоремы в случае, когда
an
1
существует предел (конечный или бесконечный) R  lim
или R  lim
.
n an 1
n n a
n
17. Покажите, что внутри интервала сходимости степенной ряд можно почленно
интегрировать и дифференцировать. Найдите сумму ряда
x  2 x 2  3 x3  4 x 4  ...,
x  1.
18. Докажите, что два разных степенных ряда с одинаковым центром не могут иметь
одинаковую сумму (теорема единственности).
19. Получите необходимое условие того, чтобы заданная функция являлась суммой
степенного ряда. Дайте определение ряда Тейлора. Докажите теорему о коэффициентах
Тейлора суммы степенного ряда.
20. Разложите в ряд Тейлора функции e x , sin x, cos x .
21. Разложите в ряд Тейлора функции ln(1  x), arctg x, (1  x) .
22. Сформулируйте теорему о ряде Тейлора суммы, произведения и суперпозиции функций.
Выпишите четыре ненулевых члена ряда Тейлора функций  sin x   ln(1  x) и esin x .
23. Используя ряд Тейлора для функции e x , вычислите с точностью 105 интеграл
1  x2
0 e
dx .
24. Дайте определение метрического пространства. Приведите примеры. Дайте определение
сходящейся последовательности в метрическом пространстве и ее предела. Докажите теорему о
единственности предела.
25. Дайте определение линейного нормированного пространства. Приведите примеры.
Покажите, что соотношение  ( x, y)  x  y определяет расстояние (метрику). Дайте
определение сходящегося ряда в линейном нормированном пространстве и его суммы.
26. Дайте определение евклидова пространства. Приведите примеры. Выведите неравенство
x  ( x, x )
Коши–Буняковского. Покажите, что в евклидовом пространстве соотношение
определяет норму.
27. Когда говорят, что два вектора евклидова пространства ортогональны? Дайте
определение ортонормированной системы векторов. Дайте определение линейной оболочки
системы векторов.
28. Дайте определение ортогональной проекции вектора на подпространство. Докажите
10
Национальный исследовательский университет «Высшая школа экономики»
Программа дисциплины Кратные интегралы и ряды для направления 010300.62
«Фундаментальная информатика и информационные технологии» подготовки бакалавра
единственность ортогональной проекции и выведите формулу для ортогональной проекции
вектора на подпространство   e1, e2 ,..., eN , являющееся линейной оболочкой конечной
системы векторов e1, e2 , ..., eN , образующих ортонормированную систему.
29. Сформулируйте задачу о наилучшем приближении заданного вектора евклидова
пространства при помощи вектора из заданного подпространства  . Сформулируйте и
докажите теорему о связи ортогональной проекции и вектора наилучшего приближения в
случае, когда   e1, e2 ,..., eN , где векторы e1, e2 , ..., eN образуют ортонормированную
систему.
30. Изложите процедуру ортогонализации системы векторов в евклидовом пространстве.
31. Дайте определение всюду плотного множества в метрическом пространстве. Дайте
определение полной системы векторов в линейном нормированном пространстве. Приведите
примеры.
32. Докажите теорему о разложении в ряд Фурье по полной ортонормированной системе в
евклидовом пространстве.
33. Выведите равенство Парсеваля.
34. Определите пространство C2 ([ ,  ]) , указав его элементы и скалярное произведение в
нем. Выпишите явно формулы для нормы и расстояния в C2 ([ ,  ]) , порожденных указанным
скалярным произведением. Дайте определение среднеквадратичной сходимости. Как связаны
между собой равномерная, среднеквадратичная и поточечная сходимости?
35. Покажите, что тригонометрическая система
{1/ 2, cos kt , sin kt; k  1, 2,...}
образует ортонормированную систему в C2 ([ ,  ]) .
36. Дайте определение пространства C ([ ,  ]) . Выведите оценку нормы в C2 ([ ,  ]) через
норму в C ([ ,  ]) . Сформулируйте теорему Вейерштрасса об аппроксимации
алгебраическими полиномами в C ([ ,  ]) . Сформулируйте теорему Вейерштрасса об
аппроксимации тригонометрическими полиномами в C ([ ,  ]) и докажите, что
тригонометрическая система полна в C2 ([ ,  ]) .
37. Для функции f , интегрируемой на [ ,  ] , запишите её ряд Фурье по
тригонометрической системе. Докажите, что если f  C2 ([ ,  ]) , то этот ряд сходится к ней в
среднеквадратичном.
38. Выведите формулы для коэффициентов Фурье четной и нечетной функции. Изложите, с
обоснованием, способ разложения интегрируемой функции f на [0,  ] в тригонометрический
ряд по одним синусам или по одним косинусам. Установите среднеквадратичную сходимость
(на [0,  ] ) этих рядов к f .
39. Разложите в ряд Фурье функцию sign x . Записав равенство Парсеваля для этой функции,
выведите равенство
1
1

1

1
 ... 
2
.
8
32 52 7 2
40. Для функции, имеющей непрерывную производную на отрезке [ ,  ] и принимающей
равные значения на концах этого отрезка, выведите формулы, связывающие коэффициенты
Фурье самой функции и её производной.
41. Покажите, что если функция f имеет непрерывную производную на [ ,  ] и
f ( )  f (  ) , то ее ряд Фурье сходится к ней равномерно. Сформулируйте утверждение о
сумме ряда Фурье кусочно непрерывно-дифференцируемой функции.
42. Запишите ряд Фурье в комплексной форме. Расскажите о рядах Фурье на отрезке [ l , l ] .
11
Национальный исследовательский университет «Высшая школа экономики»
Программа дисциплины Кратные интегралы и ряды для направления 010300.62
«Фундаментальная информатика и информационные технологии» подготовки бакалавра
Модуль 2
43. Дайте определение интеграла, зависящего от параметра. Докажите теорему о его
непрерывности.
44. Докажите теоремы о дифференцировании и интегрировании интеграла, зависящего от
параметра.
45. Дайте определение двойного интеграла
  f ( x, y)dxdy
D
от функции по плоской (ограниченной) области. Укажите его основные свойства и поясните его
геометрический смысл.
46. Выведите формулу, сводящую вычисление двойного интеграла к повторному.
47. Определите якобиан отображения  :D  2 плоской области D и поясните его
геометрический смысл. Запишите с обоснованием формулу замены переменной в двойном
интеграле.
48. Найдите якобиан перехода к полярным координатам и вычислите
2 2
  2 2 x y dxdy.
x y 1
49. Выведите формулы для вычисления массы и координат центра тяжести плоской пластины
с заданным законом изменения плотности.
50. Дайте определение тройного интеграла
   f ( x, y, z)dxdydz
D
от функции f по (ограниченной) области D  3 . Чему равен
  D 1 dxdydz ?
51. Изложите метод вычисления тройных интегралов путем их сведения к повторному.
Вычислите
   z dxdydz,
D
2
где D – область, ограниченная поверхностью x  y 2  z и плоскостью z  1 .
52. Определите якобиан отображения  : D  3 области D  3 и поясните его
геометрический смысл. Запишите с обоснованием формулу замены переменной в тройном
интеграле.
53. Вычислите якобиан перехода к сферическим координатам и найдите
2
   2 2 2 z dxdydz .
x  y z  1
54. Вычислите якобиан перехода к цилиндрическим координатам и найдите
z 2dxdydz .
 2 2
x  y  1, 0  z  1
55. Выведите формулы для вычисления массы и координат центра тяжести тела в 3 с
заданным законом изменения плотности.
56. Дайте определение интеграла  f dl от функции f по плоской кривой l . Поясните его
l
физический смысл. Чему равен
l 1dl ?
57. Дайте определение интеграла
l  F , dl 
векторного поля F по плоской кривой l .
Поясните его физический смысл.
58. Запишите и поясните формулы для вычисления векторного и скалярного дифференциалов
длины dl и dl  dl в случае гладкой кривой l в
12
2
, заданной параметрически, и выведите
Национальный исследовательский университет «Высшая школа экономики»
Программа дисциплины Кратные интегралы и ряды для направления 010300.62
«Фундаментальная информатика и информационные технологии» подготовки бакалавра
формулы для вычисления интегралов
l f dl и l  F , dl  .
59. Выведите формулу Грина и расскажите о её применении к вычислению площадей фигур.
60. Дайте определение плоского потенциального поля и его потенциала. Докажите теорему
об эквивалентности следующих четырех условий (для односвязной области): а) поле F  ( P, Q)
– потенциально; б) Py  Qx ; в) работа поля F по любому замкнутому контуру равна нулю; г)
работа поля F зависит лишь от начальной и конечной точки пути.
61. Покажите, что работа потенциального поля вдоль пути в 2 равна разности потенциалов
в конечной и начальной точках. Укажите метод восстановления потенциала.
3
62. Дайте определение интеграла от функции f по кривой l в
смысл. Чему равен
. Поясните его физический
l 1dl ?
63. Дайте определение криволинейного интеграла от векторного поля в 3 . Поясните его
физический смысл.
64. Запишите и поясните формулы для вычисления векторного и скалярного дифференциалов
длины dl и dl  dl в случае гладкой кривой l в
3
, заданной параметрически, и выведите
l f dl и l  F , dl  .
 S f dS от функции
формулы для вычисления интегралов
65. Дайте определение интеграла
f по поверхности S в
его физический смысл. Как вычислить площадь поверхности?
66. Дайте определение потока векторного поля F через поверхность S 
  F , dS .
S


3
3
. Поясните
:
Поясните его физический смысл (на примере поля скорости течения жидкости).
67. Запишите и поясните формулы для вычисления векторного и скалярного дифференциалов
площади dS и dS  dS в случае гладкой поверхности S в
Выведите формулы для вычисления интегралов
3
, заданной параметрически.
 S f dS и  S  F , dS  .
68. Что такое дивергенция векторного поля? Запишите с обоснованием формулу
Остроградского–Гаусса.
69. Докажите эквивалентность следующих условий: а) div F  0 ; б) поток поля F через
любую замкнутую поверхность равен нулю.
70. Что такое циркуляция и ротор векторного поля? Запишите с обоснованием формулу
Стокса.
71. Расскажите о соотношениях между дифференциальными операциями grad, div, rot и
объясните их физический смысл. Приведите примеры.
3
72. Дайте определение потенциального поля в
и его потенциала. Докажите
эквивалентность следующих условий (для односвязной области): а) поле F – потенциально; б)
rot F  0 ; в) работа поля F по любому замкнутому контуру равна нулю; г) работа поля F
зависит лишь от начальной и конечной точки пути.
73. Покажите, что работа потенциального поля вдоль пути в 3 равна разности потенциалов
в конечной и начальной точках. Укажите метод восстановления потенциала. Потенциально ли
поле F  ( x, y, z ) ? Если да – найдите потенциал.
13
Национальный исследовательский университет «Высшая школа экономики»
Программа дисциплины Кратные интегралы и ряды для направления 010300.62
«Фундаментальная информатика и информационные технологии» подготовки бакалавра
10 Учебно-методическое и информационное обеспечение дисциплины
10.1 Базовый учебник
[1] Г. М. Фихтенгольц, Курс дифференциального и интегрального исчисления (тома 2, 3),
8-е изд., М.: Физматлит, 2006.
10.2 Основная литература
[2] Б. П. Демидович, Сборник задач и упражнений по математическому анализу (учебное
пособие для вузов), М.: АСТ: Астрель, 2007.
10.3 Дополнительная литература
[3] В. А. Ильин, Э. Г. Позняк, Основы математического анализа (часть 2), 4-е изд., М.:
Физматлит, 2002.
10.4 Справочники, словари, энциклопедии
[4] Математическая энциклопедия (в 5 томах), М.: Изд-во «Советская энциклопедия»,
1977–1985.
10.5 Программные средства
Программные средства не предусмотрены.
10.6 Дистанционная поддержка дисциплины
Дистанционная поддержка дисциплины не предусмотрена.
11 Материально-техническое обеспечение дисциплины
Материально техническое обеспечение дисциплины не предусмотрено.
14