M 

4. СИСТЕМА ОБСЛУЖИВАНИЯ M/G/1/
Для успешного решения задач данного раздела следует ознакомиться с материалом, представленным в [1, раздел 5].
ЗАДАЧИ
4.1. Определить плотность d (t ) dt периода занятости системы обслуживания M / M / 1 /  и его первые два момента.
4.2. Пусть  – случайное число требований, обслуженных в течение
периода занятости системы M / G / 1 /  . Пусть rk  P{  k} , k  1, 2, ...;
N ( z )  Ez  – ПФ СВ  Доказать, что функция N (z ) удовлетворяет уравнению N ( z )  z(a  aN ( z )) , где a – параметр входного потока; (q) –
ПЛС времени обслуживания. Найти первый момент и дисперсию случайной величины  .
4.3. Найти ПФ G(z ) и первый момент числа требований, ожидающих обслуживания в системе M / G / 1 /  в стационарном режиме. Вычислить функцию G(z ) и вероятности g k ( k  0, 1, ... ) того, что в очереди
находится k ожидающих обслуживания требований для СМО
M / M /1/  и M / D /1/  .
4.4. Рассмотрим произвольную систему обслуживания, в которую
поступает ординарный поток требований, и требования на приборах обслуживаются по одному, причем если  n – время обслуживания п-го
требования, то P{ n  0}  1, n  1, 2, ... . Обозначим через rk n вероятность того, что в момент времени  n , предшествующий п-му моменту
поступления требования, в системе находилось k требований, а через
 k n – вероятность того, что в момент времени t n п-го по счету окончания обслуживания после ухода обслуженного требования в системе
осталось k требований, k  0, 1, ... . Доказать, что rk  lim rk n   k 
n 
 lim  k n . Отсюда следует, в частности, что для системы M / G / 1 /  в
n 
стационарном режиме вероятности  k того, что в момент окончания обслуживания в системе останется k требований, совпадают с вероятностями rk того, что поступившее в систему требование застанет в ней k других требований.
29
4.5. Пусть wn – моменты порядка п времени ожидания в стационарной (   a1  1) системе обслуживания M / G / 1 /  , где а – параметр
входного потока,  n – момент порядка п времени обслуживания,
n  1, 2, ... . Пусть w0  1 . Доказать равенство
n n
(1  )nwn 1  a    wn  k  k , n  1,
k  2 k 
и получить формулы для вычисления w3 и w4 .
4.6. Рассмотрим систему M / G / 1 /  , в которой время обслуживания
определяется следующим образом: в момент поступления требования
подбрасывается монета, которая падает гербом вверх с вероятностью p.
В случае выпадения герба считаем, что требование обслуживается мгновенно (т.е. его время обслуживания равно нулю). В противном случае
(если выпала решка) считаем, что время обслуживания распределено
экспоненциально с параметром p. Найти ФР W (t ) стационарного времени ожидания и его первый момент.
4.7. Вывести формулу Поллачека-Хинчина для стационарной ПФ
числа требований в системе M / G / 1 /  в моменты окончания обслуживания с помощью метода введения дополнительного события.
4.8. Для системы M / G / 1 /  определить ФР промежутков времени
между соседними моментами окончания обслуживания (выхода требований из системы) в стационарном режиме. Отдельно рассмотреть случай
СМО M / M / 1 /  .
4.9. Рассмотрим систему M / G / 1 /  , в которой каждое требование,
независимо от других, покидает систему в момент окончания обслуживания с вероятностью p или возвращается в этот момент в очередь для
повторного обслуживания с вероятностью 1  p , не зависимо от числа
предыдущих повторений обслуживания данного требования. Определить
ПЛС (q ) периода занятости рассматриваемой СМО, стационарные ПФ
P(z ) и R(z ) числа требований в произвольный момент времени и в момент окончания обслуживания соответственно, ПЛС w(q) виртуального
времени ожидания и ФР F (t ) промежутков времени между моментами
выхода требований из системы (в стационарном режиме).
4.10. Рассмотрим систему M / G / 1 /  , в которой ФР B1 (t ) времени
обслуживания требования, прибывающего в систему в такой момент
времени, когда в ней отсутствуют другие требования, отличается от ФР
B(t ) времени обслуживания требования, прибывающего в систему в мо-
30
мент, когда ее прибор занят. Найти ПЛС (q ) периода занятости данной
СМО и ПФ N (z ) числа требований, обслуженных за период занятости.
4.11. Рассмотрим систему обслуживания M / G / 1 /  , в которой обслуживающий прибор ненадежен в занятом состоянии. Длительность его
нормального функционирования (в занятом состоянии) распределена
экспоненциально с параметром   0 . Сразу же после выхода из строя
начинается восстановление прибора, которое длится в течение случайного времени с ФР G(t ) . Требование, в течение времени обслуживания которого прибор вышел из строя, теряется. Пусть a – параметр входного
потока, а B(t ) – ФР времени обслуживания. Найти ПЛС (q ) периода
занятости, ПЛС w(q) времени ожидания в стационарном режиме, ПФ
P(z ) числа требований в системе в стационарном режиме.
4.12. Исследовать систему BM / G / 1 /  , в которой входной поток
требований стационарный без последействия, характеризуемый параметром a и ПФ G(z ) числа требований в поступающей в систему группе.
Пусть B(t ) – ФР времени обслуживания. Для данной системы найти
ПЛС (q ) периода занятости и стационарные ПФ P(z ) и R(z ) числа
требований в произвольный момент времени и в момент окончания обслуживания соответственно, а также ПЛС w * (q) стационарного виртуального времени ожидания.
4.13. Определить ПЛС w * (q) и первые два момента стационарного
виртуального времени ожидания для системы M / G / 1 /  , в которой
требования обслуживаются в соответствии с дисциплиной LIFO, a – параметр входного потока, B(t ) – ФР времени обслуживания.
4.14. Предположим, что в системе M / G / 1 /  стоимость t единиц
времени ожидания составляет c(t ) рублей, где c(t )   e bt . Определить
среднюю стоимость ожидания и условия, при выполнении которых она
конечна.
4.15. Рассмотрим систему BM / G / 1 /  со стационарным без последействия входным потоком, характеризуемым параметром a и ПФ G  z 

числа требований  в поступающей в систему группе: G ( z )   g k z k ,
где g k  P{  k} ,
k 1

 g k  1 . Будем считать, что в каждой поступающей
k 1
группе путем нумерации определен порядок обслуживания требований.
Для данной системы найти ПЛС w(q) стационарного времени ожидания
31
произвольного требования (не зависимо от его номера в группе), если
порядок обслуживания групп требований соответствует дисциплине
FIFO.
4.16. Вывести формулу Поллачека-Хинчина для стационарной ПФ
числа требований в системе M / G / 1 /  в произвольный момент времени, используя метод дополнительной переменной и не предполагая при
этом существования плотности времени обслуживания.
ОТВЕТЫ И РЕШЕНИЯ
4.1.
d (t )
1

I1 (2  t  ) e (1) t ,   a  , где I1 (t ) – функция
dt
t 
Бесселя первого рода; 1  (  a) 1, 2  2(  a) 3 .
Указание: воспользоваться таблицами преобразований Лапласа.
a 2 2

1

4.2. N ( z )  z(a  aN ( z )) , E  (1  ) , D 
,
(1  ) 2 (1  ) 3
где  2 – второй момент времени обслуживания.
Указание: воспользоваться методом введения дополнительного события.
(1  ) (1  z )
4.3. G ( z ) 
, первый момент числа ожидающих требова(a  a z )  z
a 2 2
ний: G ' (1) 
, где  2 – второй момент времени обслуживания.
2(1  )
Для СМО M / M / 1 /  :
(1  ) z
G( z )  1   2 
, g 0  1   2 ; g k  (1  )  k 1 , k  1, 2, ....
1  z
Для СМО M / D / 1 /  :
(1  ) (1  z )
G( z ) 
, g 0  (1  ) e  ; g k  p k 1 , k  1, 2, ... ,
e (1 z )  z
где вероятности p k определяются соотношениями [1, формула (5.37)].
4.4. Решение. Пусть (t ) – число требований в системе в момент
времени t,  n – моменты поступления требований, t n – моменты окончания обслуживания (выхода требований из системы), n  1, 2, ... . Пусть в
начальный момент времени в системе находилось i требований, (0)  i ,
i  0, 1, ... . Введем обозначения (t n )  (t n )  n , ( n )  n .
32
Докажем, что из неравенства  n i  k следует неравенство
n  k 1  k , k  1, 2, .... Пусть непосредственно после (n  i) -го момента
окончания обслуживания в системе осталось ровно l требований,
l  0, k  1 , т.е.  n i  l . С учетом начального условия это означает, что
до данного момента в систему поступило ровно n  l требований, и, следовательно, в некоторый момент времени ( t n i ) между  nl и  n l 1 в
системе было не более l требований. Поэтому в момент n  k 1 
  n  k  l  l 1 в системе было меньше, чем k  l требований, l  0, k  1 ,
т.е. n  k 1  k .
Докажем теперь обратное утверждение, т.е. что из n  k 1  k следу-
ет  n i  k . Действительно, если в момент  nk 1 в системе находилось l
требований, l  0, k  1 , то к этому моменту было обслужено ровно
n  k  l  i требований, т.е. в момент t n i число требований в системе
было меньше, чем k  l , откуда следует  n i  k .
Доказанное означает, что P{ n i  k}  P{n  k 1  k} для каждого
i  0, 1, ... и любого конечного k  1, 2, ..., откуда следует, что
lim P{ ni  k}  lim P{ m  k}  lim P{nk 1  k}  lim P{j  k} ,
n
m
n
j 
где m  n  i , j  n  k  1. Значит предельные при n   распределения
СВ  n и n одинаковы, откуда следует равенство rk   k .
a 2  2  3 3a 3 2 3
a 4


4.5. w3 
,
4(1  ) (1  ) 2 4(1  ) 3
2
3 2
4 4

    2 3   3a  2  3  3a  2 .
 2 4
3 
(1  ) 3
2(1  ) 4

1 p
4.6. W (t )  1  pe (1) t , 1 
,   a1 .
p
a 5
a2
w4 

5(1  ) (1  ) 2
t
4.8. F (t )  B(t )  (1  )  [1  e a (t u ) ]dB(u ) . Для СМО M / M /1/  :
 at
0
F (t ) 1  e .
4.9. (q)  (q  a  a(q)) [ p  (1  p)(q)] ,
( p  a1 ) (1  z ) (a  a z )
P( z ) 
,
[ p  z (1  p )] (a  a z )  z
33
R( z ) 
w(q) 
( p  a1 ) (1  z ) [ p  (1  p) z ] (a  az)
,
[ p  (1  p) z ] (a  az)  z
p  a1
p


a(1  (q))
(a  a(q))  (q)

1 
,
q

a

a

(
q
)
[
p

(
1

p
)

(
q
)]

(
a

a

(
q
))


(
q
)


t
F (t )  (1  p  a1 ) B(t )  ( p  a1 )  [1  e a(t  x) ] dB( x) .
0
4.10. (q)  1 (q  a  a1 (q)) , где 1 ( q ) – решение функционального уравнения 1 (q)  (q  a  a1 (q)) , (q) – ПЛС ФР B(t ) , 1 (q) –
ПЛС ФР B1 (t ) ; N ( z )  z1 (a  aN 1 ( z )) , где N1 ( z ) – решение уравнения
N1 ( z )  z(a  aN 1 ( z )) .
4.11. (q)  h(q  a  a(q)) , где

h(q)  (q  )  [1  (q  )]
g (q) ,
q
(q) – ПЛС времени обслуживания, g (q) – ПЛС ФР G(t ) ;
(1  ) (1  z )h(a  a z )
(1  )q
; w(q) 
.
P( z ) 
q  a  ah(q)
h( a  a z )  z
4.12. (q)  G((q  a  a(q))) , где (q) – ПЛС времени обслуживания;
(1  ) (1  z ) (a  aG( z ))
, где   a1G ' (1)  1 ;
P( z ) 
(a  aG( z ))  z
(1  ) (1  G ( z )) (a  aG( z ))
(1  )q
; w * (q) 
.
R( z ) 
G ' (1)[(a  aG( z ))  z ]
q  a  aG((q))
4.13. Решение. Пусть W * – стационарное виртуальное время ожидания. Имеем W *  0 , если в момент поступления фиктивного требования в системе не было других требований. Вероятность этого события
равна p 0  P{  0} , где  – число требований в системе в произвольный
момент времени в стационарном режиме. Пусть pn  P{  n}, n  0, 1, ... ;
p n ( x) dx  P{  n, *  [ x; x  dx )} , n  1, 2, ... , где * – остаточное время
обслуживания обслуживаемого требования в стационарном режиме. В
том случае, когда прибывающее в систему фиктивное требование застает
в ней n  1 других требований и в момент его поступления имеет место
равенство  *  y , время ожидания равно y плюс сумма периодов занятости, соответствующих всем тем требованиям, которые поступили в систему за  *  y единиц времени. Пусть (q ) – ПЛС периода занятости;
34
вероятность того, что за время y в систему поступит k требований равна
(ay) k e ay k !, где a – параметр входного потока. Тогда ПЛС
w * (q |   n,  *  y ) условной ФР
W * (t |   n,  *  y )  P{W *  t |   n,  *  y}
имеет вид

(ay) k ay
 qy
w * (q   n, *  y )  e
 k! e ((q)) k  e  (q  a  a(q)) y ,
k 0
n  1, 2, ....
Очевидно, что ПЛС w * (q) ФР W * (t )  P{W *  t} имеет вид
 
w * (q)  p 0    p n ( y) w * (q   n, *  y )dy 
 p0 
n 1 0
 
  pn ( y)w * (q   n, *  y) dy 
0 n 1

 p0   e
( q  a a( q )) y

 p n ( y)dy ,
n 1
0
где, как следует из соотношения [1, формула (5.31)],

a  az
[1  B( y )] 
 p n ( y)  p(1, y)  p0 lim
z

1

(
a

a
z
)

z
n 1
a
 p0
[1  B( y )]  a[1  B( y )] .
1  a1
В результате получаем

w * (q)  p 0  a  [1  B( y)]e ( q  a a( q )) y dy  p 0 
0
a(1  (q  a  a(q)))
,
q  a  a(q)
или в силу соотношения (8) и того, что p 0  1   ,
a(1  (q))
.
w * (q)  1   
q  a  a(q)
Для первого момента виртуального времени ожидания легко полуa 2
чить w1* 
, что равно первому моменту времени ожидания в слу2(1  )
чае дисциплины FIFO. Это следует также из формулы Литтла. Для втоa3
рого момента виртуального времени ожидания имеем w2* 

3(1  ) 2
35

a 2 2 2
, (соотношение для третьего момента периода занятости, ко-
2(1  )
торое используется при выводе последней формулы, имеет вид
3
3a 2 2
).
3 

(1  ) 4 (1  ) 5
(1  )b
4.14. c 
, где (q) – ПЛС времени обслуживания; c –
b  a  a(b)
конечная величина, если только b  a(1  (b)) .
(1  ) q(1  G ((q)))
4.15. w(q) 
, где (q) – ПЛС времеG (1) (1  (q)) (q  a  aG((q)))
ни обслуживания.
3
5. ДРУГИЕ СИСТЕМЫ ОБСЛУЖИВАНИЯ,
ИССЛЕДУЕМЫЕ МЕТОДАМИ ВЛОЖЕННЫХ
ЦЕПЕЙ МАРКОВА И ЛИНЕЙЧАТЫХ
ПРОЦЕССОВ
Для успешного решения задач данного раздела следует ознакомиться с материалом, представленным в [1, раздел 6].
ЗАДАЧИ
5.1. Определить преобразование Лапласа по t вероятности
P{(t )  0} свободного состояния системы обслуживания M / G / 1 / 0 в
момент времени t, считая, что в начальный момент t  0 система была
свободна ( P{(0)  0}  1 ).
5.2. Определить ПЛС (q ) периода занятости системы M / G / 1 / 1 а
также ПФ N (z ) числа требований, обслуженных за период занятости.
5.3. Для системы обслуживания E 2 / M / 1 /  определить стационарные вероятности  k наличия k требований в системе в моменты поступления, а также стационарные вероятности p k наличия k требований в
произвольные моменты времени, k  0, 1, ... .
5.4. Рассмотрим систему H 2 / M / 1 /  , для которой ФР промежутков
времени между соседними моментами поступления требований имеет
36
вид A(t )  1  g1e a1t  g 2 e a2 t , g1  g 2  1 . Вычислить вероятности  k ,
p k , смысл которых определен в задаче 5.3. Определить также стационарную ФР W (t ) времени ожидания в случае, если a1  2, a2  1,
g1  5 8 ,   2 , где  – параметр времени обслуживания.
5.5. Рассмотрим систему D / M / 1 /  , в которой значение параметра
времени обслуживания  и загрузки  такие же, как в системе из задачи
5.4. Для данной системы вычислить вероятности  k и p k (см. задачу
5.3) и определить стационарную ФР W (t ) времени ожидания (все вычисления выполнять с точностью до второго знака после запятой).
5.6. Для системы GI / M / 1 / 1 определить стационарные вероятности
 k , k  0, 1, 2 , наличия в системе k требований в моменты поступления.
5.7. Рассмотрим систему обслуживания GI / M / 1 /  , в которой стоимость ожидания обслуживания составляет c( y)  aeby рублей за y единиц времени. Найти среднюю стоимость ожидания. Определить условия,
при которых эта величина конечна.
5.8. Найти стационарные вероятности  k , k  0, 1, ... , наличия k требований в моменты поступления, а также ФР W (t ) времени обслуживания для системы GI / M / 2 /  .
5.9. Рассмотрим систему обслуживания GI / M / 1 /  , для которой
A(t ) – ФР промежутков времени между соседними моментами поступления требований,  – параметр времени обслуживания, (q) – ПЛС ФР
A(t ) . Пусть  – период занятости данной системы,  (t ) – его ФР, (q )
– ПЛС ФР  (t ) . Доказать, что функция (q ) удовлетворяет уравнению
(1   (q))
, где функция  (q) определяется уравнением
(q) 
q  (1   (q))
(q)  (q    (q)) .
5.10. Рассмотрим систему GI / M / n /  , для которой A(t ) – ФР промежутков времени между соседними моментами поступления требований,  – параметр времени обслуживания, (q) – ПЛС ФР A(t ) ,
1


    tdA(t )  . Пусть выполнено условие    (n)  1 . Найти ПЛС


0

w(q) ФР W (t ) стационарного времени ожидания в том случае, если очередность обслуживания требований соответствует дисциплине LIFO.
Особо рассмотреть случай СМО M / M / n /  , для которой a – параметр
входного потока.
37
5.11. Определить ФР W * (t ) виртуального времени ожидания в стационарном режиме для системы GI / M / 1 /  в случае дисциплины FIFO,
а также ПЛС w * (q) этой СВ в случае дисциплины LIFO.
5.12. Для системы M / G / n / 0 вывести формулы Эрланга, не предполагая существования плотности времени обслуживания.
5.13. Для системы обслуживания M / H r / 1 / m ( m   ), характеризуемой параметром а входного потока и параметрами g1 , ..., g r ; 1 , ...,  r
распределения времени обслуживания, найти соотношения для распределения числа требований в системе в стационарном режиме. Отдельно
рассмотреть случаи m  1 и m  2 .
5.14. Рассмотрим систему, описанную в задаче 3.6, в частном случае
r  1 (т.е. когда п станков обслуживаются одним рабочим). Найти ПЛС
w(q) и первый момент w1 стационарного времени ожидания начала обслуживания вышедшего из строя станка.
ОТВЕТЫ И РЕШЕНИЯ
5.1. p0 (q)  [q  a  a(q)] 1 , где а – параметр входного потока, (q)
– ПЛС времени обслуживания.
(q  a) (q  a)
z(a)
5.2. (q) 
, N ( z) 
, где а – параметр
q  a(q  a)
1  z (1  (a))
входного потока, (q) – ПЛС времени обслуживания.
5.3.  k  (1  ) k , k  0, 1, ... , где  
  2a  (  4a)
;
2
p 0  1   , p k  (1  ) k 1 , k  1, 2, ..., где     ,   a 2 .
Здесь а – параметр входного потока,  – параметр времени обслуживания.
5.4.  k  (1  ) k ; p k  (1  ) k 1 , если k  1 и p 0  1   , где
    ,   g1a1  g 2 a 2 . Здесь

  a1  a 2   2  2(a1  a 2 )  (a1  a 2 ) 2  4( g1a1  g 2 a 2 )
2
Подставляя числовые данные получим
k
13
13  3 
 k    , k  0, 1, ...; p k   
44
64  4 
38
k 1
, k  1, 2, ... ;
.
3
W (t )  1  e (1 ) t  1  e t 2 .
4
k
k
5.5.  k  (1  )  0,35 (0,65) , k  0, 1, ... ,
p 0  1    3 16 , pk  (1  ) k 1  0,28 (0,65) k 1 , k  1, 2, ...,
W (t )  1  e (1)t  1  0,65e 0,7t .
1  ()  1 ()
() (1  ())
(()) 2
, 1 
, 2 
, где 
1  1 ()
1  1 ()
1  1 ()
– параметр времени обслуживания, (q) – ПЛС ФР A(t ) промежутков
времени между моментами поступления требований.
a(1  )(b  )
5.7. c 
, где  – параметр времени обслуживания,  –
b    
единственный корень уравнения   (  ) ( (q) – ПЛС ФР A(t )
промежутков времени между моментами поступления требований), удовлетворяющий условию 0    1 . Полученная величина конечна, если
b      0 , т.е.   b (1  ) .
5.6.  0 
()(1  )(1  2)  k 1
(1  )(1  2())
5.8.  0 
, k 
, k  1, 2, ...,
1    ()
1    ()
где (q) – ПЛС ФР промежутка времени между соседними моментами
поступления требований,  – единственный корень уравнения
(1  2)() 2(1 ) t
  (2  2) , такой что 0    1 ; W (t )  1 
,
e
1    ()
t  0.
5.9. Решение. Обозначим через  k длительность промежутка времени от момента поступления в систему некоторого требования до ближайшего момента освобождения системы от требований, при условии,
что в указанный момент поступления в системе находилось k других
требований, k  0, 1, ... . Тогда  0 является, очевидно, периодом занятости данной СМО. Введем обозначение  k (t )  P{ k  t} . Определим
функцию 1   k (t )  P{ k  t} . Для того чтобы произошло событие
 k  t , необходимо и достаточно, чтобы 1) либо в течение времени t в
систему не поступали требования и в ней было обслужено не более k
требований; вероятность такого события есть
  t
( t ) k  t 
 t
(1  A(t )) e
 t e
 ... 
e
;
k!


39
2) либо первое поступление требования произошло в течение времени,
лежащего в интервале [u; u  du) , где u  (0; t ) , и во временном интервале (0; u) было обслужено i требований, i  0, k , а длительность промежутка времени  k 1i , следующего за моментом u , составляла не менее
t  u единиц времени; вероятность этого события равна
t
  u
 u
 e [1   k 1 (t  u)]   ue [1   k (t  u)]  ... 
0

( u ) k  u


e
[1  1 (t  u )] dA(u ) .
k!


В результате получаем

( t ) k 
 t
1   k (t )  (1  A(t )) e
1   t  ... 

k
!


t


  e  u 1   k 1 (t  u )   u[1   k (t  u )]  ... 


0

( u ) k  u


e
[1  1 (t  u )] dA(u ) , k  0 .
k!


Введем обозначения  ( z , t ) 

z
k 0
k

[1   k (t )] , ( z, q)   e q t d t ( z, t ) .
Из соотношения для 1   k (t ) следует, что
( z, q)[ z  (q     z )] 
0
zq
[1  (q     z )]  (q     z ) (0, q).
(1  z ) (q     z )
Легко проверить, что уравнение z  (q     z ) имеет относительно z
единственное решение  (q) в области Re q  0 , такое что  (q)  1.
Функция  (q) аналитична в указанной области. Подставляя в уравнение
q
для ( z, q) функцию  (q) вместо z, получаем (0, q) 
.В
q      (q)
силу определения функции (0, q) имеем (q)  1  (0, q) , откуда следу(1   (q))
ет, что (q) 
.
q  (1   (q))

40
5.10. Решение. Пусть в некоторый момент времени  в системе
находится n  1 требований и поступает очередное n-е требование. В
данный момент все приборы в системе заняты. Поэтому, в силу свойства
отсутствия памяти у экспоненциального распределения, длительности
остаточных времен обслуживания требований, занимающих приборы в
момент  , распределены экспоненциально с параметром  .
Обозначим через  длительность промежутка времени от момента
 до ближайшего момента времени, в котором число требований в системе будет меньше n. Поскольку в течение времени  все приборы будут заняты, то в силу свойств экспоненциального распределения случайная величина  имеет то же распределение, что и период занятости
СМО GI / M / 1 /  (см. задачу 5.9), для которой A(t ) является ФР промежутков времени между моментами поступления требований, а n – параметр времени обслуживания.
В случае дисциплины LIFO время ожидания требования, поступившего в систему в тот момент, когда в ней имелся по крайней мере один
свободный прибор (вероятность этого равна
n 1
  i , где
i 0
 i – стационар-
ная вероятность того, что в момент поступления требования в системе
находится i других требований, i  0, 1, ... ), равно нулю. Если же в момент
поступления отсутствуют свободные приборы (вероятность этого равна
n 1
1    i ), то время ожидания имеет то же самое распределение, что и
i 0
n 1
случайная величина  . Введем обозначение     i . Пусть w(q) –
i 0
ПЛС стационарного времени ожидания. Тогда имеем
w(q)    (1  )(q) ,
где (q ) определяется уравнениями (см. задачу 5.9)
n(1   (q))
,  (q)  (q  n  n(q)) .
(q) 
q  n(1   (q))
Из теории СМО GI / M / n /  (см. [1, формула (6.29)]) следует, что
1
n 1
n2
 1
 n1
  C n1  Rk  
  Rk   Rk .
k 0
 1   k 0  k 0
В случае, если n  1, имеем   1   , откуда следует
w(q)  1    (q) .
41
(n) n p 0
Для СМО M / M / n /  имеем   1 
, где   a  (a – параметр
n !(1  )
входного потока). В результате получаем
(n) n p0
w(q)  1 
(1  (q)) ,
n !(1  )
где, как известно (см. задачу 4.1),
q  a  n  (q  a  n) 2  4an
.
(q) 
2a
Используя выражение для явного вида плотности периода занятости, полученное в задаче 4.1, находим явный вид ФР W (t ) времени ожидания:
(n) n p 0
W (t )  1 
n !(1  )
t
(1) n u


1 I 1 ( 2n  u  ) e
du
1 
.

u
0


1


5.11. W (t )  1   e
, где     ,     t dA(t )  , A(t ) – ФР


0

промежутков времени между моментами поступления требований,  –
параметр времени обслуживания,  – единственный корень уравнения
  (  ) , такой что 0    1 , где (q) – ПЛС ФР A(t ) ; w * (q) 
 1     (q) , где (q ) – ПЛС ФР периода занятости (см. задачу 5.9).
5.13. В случае m  1 получаем
*
(1)  t

 r gkk

p 0  1   

 k 1 a   k





1  1
 r
 , p1  p 0   g k  k

 k 1 a   k






1

 1 ,


p 2  1  (1  p 0 )  .
Для m  2 имеем

 r gkk

p 0  1   
 k 1 a   k

1 


g 
 1    k k
   a
k
   k 1
r




 r g 
p1  p 0   k k
 k 1 a   k

42
1




1
r g  2a     

k  
1   k k
,
2

 


a


k
 k 1
 
1

 1 ,


 r gkk
p 2  p 0  
 k 1 a   k




2
r g  ( 2a   ) 

k k
k
1  
 , p3  1  (1  p 0 )  ,
2
 k 1 (a   k )

r
gk
.

k
k 1
где   a 
5.14. В обозначениях задачи 3.6 получаем
N  (1  p 0 )
p0 n! n 1
k
w

,
.
w(q) 

1
n  N k  0 (n  k  1)!(  q) k
(n  N )
6. ПРИМЕНЕНИЕ ТЕОРИИ МАССОВОГО
ОБСЛУЖИВАНИЯ ДЛЯ ОПРЕДЕЛЕНИЯ ОБЪЕМА
ПАМЯТИ ИНФОРМАЦИОННЫХ СИСТЕМ
Для успешного решения задач данного раздела следует ознакомиться с материалом, представленным в [1, раздел 7].
ЗАДАЧИ
6.1. Предположим, что каждое требование потока характеризуется
случайным объемом  , не зависимым ни от объемов других требований,
ни от момента поступления данного требования в систему. Пусть L(x) 
 P{  x} – ФР СВ  , а (s) – ее ПЛС. Будем считать, что s  0 , и воспользуемся методом введения дополнительного события. Требование
объема x будем считать красным с вероятностью e sx или синим с вероятностью 1  e  sx , не зависимо от других требований. Время обслуживания  требования будем считать зависимым от его объема. Известна ФР
случайного вектора (, ) : F ( x, t )  P{  x,   t}.
Пусть ( s, q)  Ee
 s q


 e
 sxqt
00
dF ( x, t ) – двумерное ПЛС слу-
чайного вектора (, ) . Какой вероятностный смысл имеют функции
43
(s) и ( s, q) ? Как связаны между собой функции F ( x, t ) , L(x) ,
B(t )  P{  t}, а также функции ( s, q) , (s) , (q)  Ee
q

  e qt dB(t ) ?
0
6.2. Рассмотрим систему M / M / 1 / (, V ) , в которой объем требования распределен экспоненциально с параметром f  0 , а время обслуживания не зависит от объема требования и распределено экспоненциально
с параметром  . Пусть а – параметр входного потока. Найти ФР D x 
суммарного объема для данной системы в стационарном режиме и вычислить его первый момент.
6.3. Рассмотрим систему M / G / 1 /  , в которой каждое требование,
не зависимо от других, характеризуется случайным объемом  , причем
время обслуживания  зависит только от объема требования. Известна
совместная функция распределения случайных величин  и  :
F ( x, t )  P{  x,   t} , ее ПЛС равно
( s, q)  Ee
 s q


 e
 sxqt
dF ( x, t ) .
00
Обозначим через  суммарный объем требований, обслуженных за
период занятости анализируемой системы. Пусть ( x)  P{  x} – ФР
СВ  , а
( s)  Ee
 s

  e  sx d( x) – ее ПЛС. Доказать, что функция
0
 (s ) удовлетворяет функциональному уравнению ( s)  ( s, a  a ( s)) ,
где a – параметр входного потока. (Можно доказать, что это уравнение
определяет единственную функцию  (s ) , аналитическую в области
Re s  0 , в которой  ( s)  1 , причем функция  (s ) может быть представ
лена в виде  ( s)   e  sx d( x) , где (x) – ФР собственной СВ, если
0
  a1  1, 1 – первый момент времени обслуживания, и несобственной
СВ при   1; последнее означает, что ()  1 , если   1 , и ()  1,
если   1.) Вычислить первые два момента СВ  (в случае   1).
6.4. Показать, что функциональные уравнения (q)  (q  a  a(q))
для ПЛС периода занятости системы M / G / 1 /  (см. [1, п. 5.3]) и
N ( z )  z(a  aN ( z )) для ПФ числа требований, обслуженных за период
занятости (см. задачу 4.2) являются частными случаями функционально-
44
го уравнения для ПЛС суммарного объема требований, обслуженных за
период занятости, полученного в задаче 6.3.
6.5. Пусть в системе M / G / 1 /  каждое требование характеризуется
случайным вектором признаков ζ  (1 , ...,  n ) (каждая из СВ  i неотрицательна, i  1, n ), не зависимых от признаков других требований. Время
обслуживания  требования зависит только от вектора его признаков.
Известна ФР случайного вектора (ζ, )  (1 , ...,  n , ) :
F ( x1 , ..., x n , t )  P{1  x1 , ...,  n  x n ,   t}
и ее ПЛС:
( s1 , ..., s n , q)  Ee
 s11 ... sn n  q
 
  ...  e  s1x1 ... sn xn qt dF ( x1 , ..., x n , t ) .
0
00
Обозначим через Γ  (1 , ..., n ) случайный вектор суммы i-х компонент векторов признаков требований, обслуженных за период занятости системы, i  1, n . Вывести функциональное уравнение для ПЛС
 ( s1 , ..., s n )  Ee
 s11 ... snn
 
  ... e  s1x1 ... sn xn d( x1 , ..., x n )
0
0
случайного вектора Γ .
6.6. Пусть  – случайная длительность периода занятости системы
M / G / 1 /  ,  – число требований, обслуженных за этот период. Обозначим через (t |   n)  P{  t |   n} условную ФР СВ  при условии, что за период занятости было обслужено n требований, n  1, 2, ... .
Пусть rn  P{  n} . Тогда функция
 q
g ( z, q)  E( z e


)   z rn  e qt d(t |   n)
n 1
n
0
характеризует совместное распределение СВ  и  . Доказать, что
функция g ( z, q) удовлетворяет функциональному уравнению
g ( z, q)  z(q  a  ag( z, q)) ,
где а – параметр входного потока, (q) – ПЛС времени обслуживания.
6.7. Для системы обслуживания требований случайного объема
M / G / 1 /  , (см. [1, п. 7.7]) найти ПЛС стационарного объема обслуживаемого требования и ПЛС стационарного суммарного объема ожидающих требований, а также два первых момента этих СВ.
6.8. Рассмотрим систему, отличающуюся от описанной в [1, п. 7.7]
тем, что ее входной поток является стационарным без последействия, характеризуемым параметром a и ПФ G (z ) числа требований в прибыва45
ющей группе. Найти ПЛС (s ) стационарного суммарного объема требований  в этой системе. Вычислить первый и второй моменты случайной величины  .
6.9. Рассмотрим систему M / G / 1 / 0 , в которой каждое требование,
не зависимо от других, характеризуется случайным объемом  . Пусть a
– параметр входного потока. Предположим, что время обслуживания 
зависит от объема требования. Пусть F ( x, t )  P{  x,   t} – ФР случайного вектора (, ) , а ( s, q) – двойное ПЛС функции F ( x, t ) . Обозначим через (t ) суммарный объем требований, находящихся в системе
в момент времени t, и предположим, что (0)  0 (нулевые начальные

условия). Определить функцию ( s, q)   e qt Ee  s (t ) dt (представляю0
щую собой, очевидно, преобразование Лапласа по t функции ( s, t ) , которая, в свою очередь, при фиксированном t является ПЛС по х ФР
D( x, t )  P{(t )  x} СВ (t ) ). Какой вероятностный смысл имеет
функция q( s, q) ?
6.10. Рассмотрим систему, анализируемую в задаче 6.9, в стационарном режиме (предполагаем, что выполняется неравенство a1   , где
1 – первый момент времени обслуживания). Пусть D( x)  lim D( x, t ) 
t 
 P{  x} , где  – стационарный суммарный объем требований в этой
системе. Пусть (s ) – ПЛС СВ  . Оказывается, что (s)  lim q(s, q) .
q0
Объяснить этот факт, пользуясь методом введения дополнительного события, и найти функцию (s ) .
6.11. Рассмотрим систему M / G / n / 0 в стационарном режиме, в которой каждое требование, не зависимо от других, характеризуется случайным объемом  с ФР L(x) . Время обслуживания  требования не зависит от его объема и характеризуется ФР B(t ) . Пусть a – параметр
входного потока. Суммарный объем требований в системе ограничен
постоянной величиной V  0 . Для рассматриваемой системы найти распределение числа требований { p k } , k  0, n , и вероятность p  потери
требования. Рассмотреть случай L( x) 1  e  fx , f  0 .
6.12. Рассмотрим систему M / G /  с ограниченным величиной
V  0 суммарным объемом. Предполагаем, что в этом случае объем требования  не зависит от объема других требований и характеризуется
46
ФР L(x) . Время обслуживания  не зависит от объема требования и характеризуется ФР B(t ) . Пусть a – параметр входного потока. Для данной
системы найти стационарное распределение числа требований и
вероятность потери. Рассмотреть частный случай L( x) 1  e  fx , f  0 .
ОТВЕТЫ И РЕШЕНИЯ
 1  e  (1 ) fx
, если x  V ,
a

6.2. D( x)  1  e  (1 ) fV
где   ,


1
,
если
x

V
,

V
E   x dD( x) 
0
1  1  e (1) fV [1  (1  ) fV ]
.


(1) fV
f 1 
1  e
2
2a111 a 2 2 12
1
2


6.3. E    ' (0) 
; E   ' ' (0) 
.
1   (1  ) 2 (1  ) 2
1 
6.5.  ( s1 , ..., sn )  ( s1 , ..., sn , a  a ( s1 , ..., sn )) .
6.7. В обозначениях [1, п. 7.7] получаем, что ПЛС суммарного объема обслуживаемого требования равно r ( s )  1    a q ( s, q) q 0 , а ПЛС
(1  )(1  ( s))
.
(a  a( s))  ( s)
Первые два момента данных СВ равны соответственно r1  a11 ,
суммарного объема ожидающих требований h(s) 
a 2  2  2 a 3 3 12 a 4  2 2 12
a 2 2 1


r2  a 21 ; h1 
, h2 
.
2(1  )
3(1  )
2(1  )
2(1  ) 2
6.8. В обозначениях [1, п. 7.7] имеем
 ( s )  ( s, a  aG(( s ))) 
( s )  (1  )1 
,
(a  aG(( s )))  ( s ) 

где   a1G ' (1) ;
a1[a 2 (G' (1)) 2  1G (1)]
;
1  aG' (1)11 
2(1  )
 2  aG' (1) [ 21
a111 [G ' ' (1)  a 2  2 (G ' (1)) 3 ]
 aG' (1)112 ] 

1 
47
a1 2 G' ' (1)  a 2 2 G' (1) [212 G' ' (1)   2 G' (1)]


2(1  )
a12 [a 2 3 (G' (1)) 3  1G' ' ' (1)] a 31 2 12 (G (1)) 2 G ' ' (1)



3(1  )
(1  ) 2

a 2 12 [a 2  22 (G ' (1)) 4  12 (G ' ' (1)) 2 ]
.
2(1  )
q  a(( s)  ( s, q))
6.9. ( s, q) 
.
q(q  a  a(q))
1  a q ( s, q) q 0
, где 1 – первый момент времени об6.10. ( s ) 
1  a1
служивания.
2
1
 n yj

yk
Lk (V ) 
L j (V )  ,
6.11. В обозначениях [1, раздел 7] pk 
 j 0 j!

k!


k  0, n . В случае
L( x) 1  e  fx имеем
Lk (V )  1  e  fV
k 1
( fV ) j
 j! ;
j 0
n 1 i
y
Li 1 (V ) .
i
!
i 0
p  1  p0 
1
  yk

yk
Lk V  , k  1, 2, ...;
6.12. p0    Lk (V )  , pk  p0


k
!
k
!
 i 0

 i
y
p   1  p 0  Li 1 (V ) .
i 0 i !
ЛИТЕРАТУРА
1. Тихоненко О. М. Моделирование процессов и систем обработки информации: курс
лекций. Мн.: БГУ, 2007.
2. Зубков А. М., Севастьянов Б. А., Чистяков В. П. Сборник задач по теории вероятностей. М.: Наука, 1989.
3. Прохоров А. В., Ушаков В. Г., Ушаков Н. Г. Задачи по теории вероятностей. М.:
Наука, 1986.
48