3. Системы массового обслуживания

Государственное бюджетное образовательное учреждение
высшего профессионального образования
«СТАВРОПОЛЬСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ АГРАРНЫЙ
УНИВЕРСИТЕТ»
Экономический факультет
Кафедра информационных систем и технологий
ЛЕКЦИЯ
по учебной дисциплине "Моделирование случайных процессов"
для студентов специальности «Информационные системы и
технологии»
Лекция 4. Элементы теории массового обслуживания
Обсуждена и одобрена на
заседании кафедры ИСиТ
протокол № ___________
«_____» _________ 200__ г.
Ставрополь 2015 г.
Учебные и воспитательные цели:
1. Дать основные понятия потока событий и его свойств.
2. Ознакомить с понятием системы массового обслуживания и ее
классификацией.
Учебно-материальное обеспечение:
Время - 80 минут
Лектор-2000
Распределение времени лекции:
Вступительная часть
5 мин
Учебные вопросы лекции:
1 Простейший поток событий
2 Основные принципы построения марковских моделей массового
обслуживания
3 Системы массового обслуживания
Заключение
Задание студентам для самостоятельной работы
2
30 мин
20 мин
20 мин
3 мин
2 мин
СОДЕРЖАНИЕ ЛЕКЦИИ
Вступительная часть
При решении многих прикладных задач исследователи сталкиваются с
процессами, для которых характерна следующая общая структура: в
определенную совокупность пунктов, называемую системой обслуживания,
через некоторые промежутки времени поступают объекты (входной поток),
которые подвергаются там соответствующим операциям (обслуживанию) и
затем покидают систему (выходной поток), освобождая место для
следующих объектов. Промежутки времени, через которые поступают
объекты, и время их обслуживания, как правило, имеют случайный характер.
Поэтому при массовом поступлении объектов в системе обслуживания могут
возникнуть очереди.
Подобные процессы, объединенные общей структурой, называют
процессами массового обслуживания. Они типичны для связи (телефон,
телеграф, почта), транспорта (воздушные, наземные и морские перевозки),
культурно-бытовых предприятий (театры, магазины, поликлиники),
производственных процессов (сборочные линии, ремонт и обслуживание
оборудования) и так далее.
Вне зависимости от конкретной природы и характера объектов,
поступающих в систему обслуживания, их называют заявками, или
требованиями. Входной поток заявок рассматривают как последовательность
случайных событий, следующих через какие-то промежутки времени
(например, вызовы на станции скорой помощи, выход из строя станков и так
далее). Закон распределения входного потока в значительной степени
обуславливает и характер процесса массового обслуживания.
Структура очередей и поступление из них заявок на обслуживание
определяются как свойствами и возможностями систем обслуживания, так и
установленными правилами прохождения заявок через эти системы
(дисциплина очереди). Заявки могут выполняться в порядке поступления
(операции на конвейере), с приоритетом (внеочередное право получения
билета), в случайном порядке (отбор образцов для статистического анализа),
в порядке первого очередного поступления при освободившемся канале
обслуживания (прием вызова телефонной станцией) и так далее.
Очереди могут ограничиваться по длине, т.е. по числу находящихся в
ней заявок, и по времени ожидания обслуживания. Эти ограничения
обусловлены либо возможностями самой системы массового обслуживания
(число мест в театре, объем оперативной памяти ЭВМ), либо поведением
объектов обслуживания (отказ от обслуживания из-за неприемлемости длины
очереди или времени ожидания в ней, регламентация порядка обслуживания,
т.е. дисциплина очереди, и так далее). В конечном счете основной
характеристикой очереди является время ожидания обслуживания. Система
обслуживания состоит из определенного числа обслуживающих единиц,
называемых каналами обслуживания, и может иметь различную
3
организацию: с последовательными, параллельными и комбинированными
каналами, некоторые из которых могут быть специализированными. При
этом в зависимости от поступления заявок и образования очередей эта
система может обладать способностями к изменению своей организации. В
свою очередь, изменение организации системы обслуживания влияет на
структуру очереди и на отношение к ней объектов обслуживания. Так, при
занятости всех каналов обслуживания поступающие заявки могут получить
отказ (системы обслуживания с отказом) или становится в очередь (системы
обслуживания с очередями, которые называют также системами
обслуживания с ожиданием).
Изучение процессов массового обслуживания составляет предмет
теории массового обслуживания. Она является весьма развитой
математической дисциплиной с обширными приложениями в различных
областях знаний. Математические модели теории массового обслуживания
используют и в различных задачах принятия решений, связанных с
рациональной организацией систем массового обслуживания или выбора
оптимального варианта из некоторой их совокупности.
4
1 Простейший поток событий
Определение 1.1 Потоком однородных событий называется конечная
или счетная последовательность  n  случайных величин, определенных на
одном и том же вероятностном пространстве, при условии, что в любой
фиксированный интервал времени (а, b) с вероятностью 1 попадает конечное
число этих величин.
Если данное t совпадает с r элементами последовательности  n , то в
момент t происходит r событий потока. В случае если n упорядочены таким
образом, что n  а  n+1  n+2  …  n+k  b  n+k +1,, то n+i называют
моментом наступления i-го
события потока однородных событий в
полуинтервале [а, b).
Поток
однородных
событий,
удовлетворяющих
условиям
стационарности, отсутствия последействия и ординарности потока
однородных событий называется простейшим потоком.
Стационарным называется поток, для которого выполняется такое
условие, что для любой группы из конечного числа непересекающихся
отрезков времени вероятность появления в них соответственно k1, k2, …, kn
требований зависит только от этих чисел и от длин указанных промежутков
времени, но не зависит от их расположения на оси времени, т. е. среднее
число требований в единицу времени постоянно.
Свойство отсутствия последствия состоит в том, что вероятность
поступления в течение промежутка времени (Т, Т + t) не зависит от того,
сколько требований и как поступали до этого промежутка. Это означает, что
условная вероятность поступления k требований за промежуток (T, T + t),
вычисленная при произвольном предложении о поступлениях требований до
этого промежутка времени, совпадает с безусловной вероятностью того же
события, т. е. число требований, поступающих в некоторый промежуток
времени, не зависит от того, сколько требований уже поступило в систему.
Ординарность потока требований означает условие практической
невозможности появления двух или нескольких требований в один и тот же
момент времени. Условие ординарности потока состоит в том, что при h  0
P1(h)
 0,
h
или,
P1(h) = 0(h),
(1)
где Р1(h) - вероятность появления в промежутке длины h двух или более
требований.
Простейший случай потоков, когда вероятность поступления в
промежуток времени t ровно k требований задается формулой
(  t ) k  t
Pk (t ) 
e ,
k!
5
(2)
где λ  0 – постоянное число. При этом поступающий поток считается таким,
что для любой конечной группы непересекающихся отрезков времени числа
появившихся на их протяжении требований представляют собой взаимно
независимые случайные величины.
Так как параметр  представляет собой среднее число требований,
поступающих в единицу времени, поэтому его называют интенсивностью,
или плотностью простейшего потока.
Непосредственная проверка наличия трех перечисленных условий –
стационарности, отсутствия последствия и ординарности – часто бывает
трудно выполнима, поэтому необходимо найти другие условия, позволяющие
из других оснований делать вывод о том, что поток событий является
простейшим или близким к простейшему.
Теорема, доказанная в общей форме одним из создателей
современной теории вероятностей А. Я. Хинчиным, представляет
принципиальное значение для приложений. Из предположения, что данный
поток является суммой очень большого числа независимых между собой
стационарных потоков, каждый из которых лишь мало влияет на сумму,
следует, что суммированный поток при дополнительном ограничении
арифметического характера, гарантирующем ординарность суммарного
потока, оказывается близким к простейшему.
Название «простейший» связано с тем, что математическое описание
событий, связанных с простейшими потоками, оказывается наиболее
простым. Самый простой, на первый взгляд, регулярный поток со строго
постоянными интервалами между событиями отнюдь не является
«простейшим» в вышеназванном смысле слова: он обладает ярко
выраженным последействием, так как моменты появления событий связаны
между собой жесткой функциональной зависимостью.
Простейший поток в теории массового обслуживания играет такую же
роль, как нормальный закон распределения случайных величин в теории
вероятностей: при сложении нескольких независимых, ординарных,
стационарных случайных потоков образуется суммарный поток,
приближающийся по своим свойствам к простейшему.
Пусть Pk(t) вероятность того, что в течение промежутка времени
длительности t к обслуживанию будут предъявлены k требований. В силу
стационарности потока эта вероятность не зависит ни от выбора начала
отсчета, ни от всей его предыстории. Условия, определяющие простейший
поток, позволяют однозначно, с точностью до одного параметра, найти
формулы для вероятностей Pk(t).
Теорема 1.1. Дискретная случайная величина n, принимающая
значения 0, 1, 2, ... и характеризующая при простейшем входном потоке
число заявок, поступающих в систему обслуживания на временном
интервале длительности t, распределена по закону Пуассона с параметром t.
Следствие 1.1. Если входной поток является простейшим, то среднее
число заявок, поступающих в систему обслуживания на временном
6
интервале длительности t, равно t.
Следствие 1.2. Если входной поток заявок является простейшим, то
дисперсия скалярной случайной величины n, характеризующая рассеивание
числа заявок, поступающих в систему массового обслуживания на
временном интервале длительности t, относительно их среднего значения,
равно t.
Для простейшего потока среднее число требований, поступающих за
время t, равно


(t ) k
t
М (t )   kPk (t )  e  k
 t ,
k!
k 1
k 1
где μ(t) - истинное число требований, поступивших за промежуток времени t.
Математическое ожидание числа требований, поступающих за единицу
времени, называется интенсивностью потока. Обозначим интенсивность
буквой μ. Для простейшего потока
μ = λ.
Таким образом, у случайной величины, распределенной по закону
Пуассона, математическое ожидание и дисперсия совпадают.
Теорема 1.2. В случае простейшего входного потока с интенсивностью
 длительность t(n) временного интервала между двумя последовательными
заявками имеет экспоненциальное распределение с параметром .
Следствие 1.3. В случае простейшего входного потока с
интенсивностью  длительность t(n) временного интервала между двумя
последовательно поступающими заявками является случайной величиной с
плотностью распределения (вероятностей)
e  T , T  0;
f t (T )  
 0, T  0,
математическое ожидание и дисперсия которой определяются равенствами
M [t (n)] 
D[t (n)] 
1

1
2
,
(3)
.
(4)
Ординарный поток событий, в котором отсутствует последействие,
называется пуассоновским потоком.
Стационарный поток с ограниченным последействием называется
потоком Пальма. Для такого потока интервалы Т1, Т2, ... между событиями
представляют
собой
последовательность
независимых,
одинаково
распределенных случайных величин.
Поток Пальма, отличный от простейшего, получится, если интервал
между соседними событиями представляет собой неотрицательную
случайную величину с отличным от показательного распределением.
Последействие в таком потоке имеется, потому что условный закон
распределения оставшейся части времени до появления ближайшего
следующего события зависит от того, какое время  уже прошло.
7
2. Основные принципы построения марковских моделей массового
обслуживания
1. Процессы массового обслуживания представляют собой случайные
процессы с дискретными состояниями. Переход из одного возможного
состояния в другое происходит скачком в момент, когда реализуется какое-то
случайное событие (поступление новой заявки, начало или окончание
обслуживания, уход заявки из очереди и т.п.), вызывающее такой переход.
2. Для процессов массового обслуживания с простейшим входным
потоком и экспоненциальным законом распределения времени обслуживания
характерно отсутствие последействия. Таким образом, будущее развитие
рассматриваемых процессов зависит лишь от их текущих состояний и не
зависит от того, как происходило их развитие в прошлом. А это означает, что
процессы массового обслуживания с простейшим входным потоком заявок и
экспоненциальным законом распределения времени обслуживания являются
марковскими процессами с дискретными состояниями.
3. Предположим, что в систему обслуживания с т идентичными
параллельными каналами обслуживания поступает простейший входной
поток. При наличии хотя бы одного свободного канала немедленно
начинается обслуживание заявки, а если все каналы заняты, то заявка
становится в очередь (в системах обслуживания с отказами заявка покидает
систему; в системах обслуживания с ограниченной длиной очереди заявка
становится в очередь, если там есть свободное место, и покидает систему в
противном случае). Системы обслуживания с отказами и с ограничениями на
длину очереди могут иметь лишь конечные множества возможных
состояний.
4. За бесконечно малый промежуток времени t система обслуживания
с простейшим входным потоком заявок и экспоненциальным законом
распределения времени обслуживания либо остается в прежнем состоянии
(Si), либо переходит в соседнее (Si+1 или Si-1 при i ≥ 1, S1 при i = 0).
Таким образом, в любой момент времени t система обслуживания с m
идентичными параллельными каналами обслуживания находится в одном из
своих возможных состояний.
5. Пусть {S i }in0 - множество возможных состояний рассматриваемой
системы обслуживания. Для i = 0, …, n введем случайное событие αi,
заключающееся в том, что в момент времени t ≥ 0 система находится в
состоянии Si, и обозначим вероятность его реализации через рi(t): рi(t) = Р[αi].
В любой момент времени исходная система может находиться лишь в одном
из возможных состояний, поэтому { i }in1 - полная группа событий и, как
следствие,
n
 p (t )  1 .
i 0
i
Одна из задач теории массового обслуживания сводится к определению
вероятностей рi(t), i = 0, …, n, как функций времени.
8
6. Из приведенных выше рассуждений и определения марковского
процесса с дискретными состояниями следует, что рассматриваемые
процессы массового обслуживания являются процессами гибели размножения.
9
3. Системы массового обслуживания
Источник
требований на
обслуживание
Под системой массового обслуживания (СМО) понимают
динамическую систему, предназначенную для эффективного обслуживания
потока требований на обслуживание при ограничениях на ресурсы системы.
В теории СМО обслуживаемый объект называют требованием. В
общем случае под требованием обычно понимают запрос на удовлетворение
некоторой потребности, например, требование от безработного. Средства,
обслуживающие требования, называются обслуживающими устройствами
или каналами обслуживания. Например, для биржи труда каналами
обслуживания являются специалисты того или иного отдела биржи.
Основными элементами СМО являются: входящий поток требований,
очередь требований, обслуживающие устройства (каналы) и выходящий
поток требований (рис. 1). Очереди требований и каналы обслуживания
образуют обслуживающую систему.
Входящий поток
требований на
обслуживание
СИСТЕМА МАССОВОГО
ОБСЛУЖИВАНИЯ
Очередь требований,
ожидающих
обслуживания
Обслуживающие
каналы
Поток
отказов в
обслуживании
Поток
обслуженных
требований
Рисунок 1 - Основные элементы системы массового обслуживания
Источники требований в систему не включаются. Возможны системы, в
которых очереди отсутствуют.
Входящий поток характеризуется числом требований, поступающих в
систему за единицу времени. Требования могут поступать равномерно и
неравномерно. Примером входящего потока на рынке или бирже труда
является поток требований от безработных.
В каждой системе обслуживания имеются обслуживающие элементы,
их называют каналами обслуживания. Ими могут быть работники биржи
труда, удовлетворяющие запрос на обслуживание, или технические
устройства.
10
Выходящий поток - это поток требований, покидающих систему.
Распределение требований в выходящем потоке по времени зависит от
плотности входящего потока и характеристик работы каналов обслуживания
системы. В некоторых случаях выходящий поток служит входящим потоком
для других каналов обслуживания. Так, например, в службе занятости
требование от безработного, пройдя обслуживание в отделе первичного
приема, попадает в отдел вторичного приема для дальнейшего
обслуживания.
Для объективной оценки качества работы систем обслуживания важно
правильно выбрать показатели эффективности её работы. Основным
показателем работы обслуживающей системы является её пропускная
способность. Кроме того, работа систем часто характеризуется такими
показателями, как средний процент отказов, среднее время простоя каналов,
средняя длина очереди, среднее время ожидания в очереди и т. д.
Каждой из систем массового обслуживания свойственна определённая
организация. В соответствие с этой организацией определяется и характер
задач массового обслуживания.
Число требований, поступающих в единицу времени, рассматривается
как случайная величина. Её полной характеристикой служит закон
распределения. Статистические исследования многократно повторяющихся
процессов
позволяют
установить
определённые
закономерности
наблюдаемых явлений, в частности, выявить закон распределения случайных
величин. Законы распределения случайной положительной величины
определяются в зависимости от коэффициента вариации.
В частности, поступление требований от безработных в службу
занятости подчинено экспоненциальному закону, а обслуживание требований
от безработных специалистами отделов службы занятости распределено
равномерно.
Равномерным
является
распределение
вероятностей
непрерывной случайной величины X, которому принадлежат все возможные
значения X на интервале (a, b), а плотность сохраняет постоянное значение,
т. е. f ( x ) 
1
; вне этого интервала f(x)=0.
ba
Одной из важнейших характеристик обслуживающих устройств,
которая определяет пропускную способность всей системы, является время
обслуживания.
Время обслуживания (время пребывания одного требования в канале
обслуживания) является случайной величиной, распределенной по
экспоненциальному закону с плотностью распределения (вероятностей)
e  t , t  0;
g (t )  
(9)
0,
t  0,
где величина  - интенсивность обслуживания.
Значение G(t) функции распределения времени обслуживания
1  e  t , t  0;
G(t )   g ( x)dx 
t  0,
0,

t
11
(10)
равно вероятности того, что к моменту времени t обслуживание требования
будет завершено (канал обслуживания освободится).
Время обслуживания одного требования - случайная величина, которая
может изменяться в большом диапазоне. Она зависит как от стабильности
работы самих обслуживающих устройств, так и от различных параметров,
поступающих в систему, требований.
Время ожидания (время пребывания требования в очереди, если
последняя существует) считают случайной величиной, распределенной по
экспоненциальному закону с плотностью распределения (вероятностей)
e t , t  0;
h(t )  
0, t  0,
(11)
1  e t , t  0;
H (t )   h( x)dx 
t  0,
0,

(12)
где  - величина, обратная среднему времени ожидания.
Значение H(t) функции распределения времени ожидания
t
равно вероятности того, что в момент времени t начнется обслуживание
требования.
При   ∞ система массового обслуживания с ожиданием
превращается в чистую систему с отказами, а при   0 система массового
обслуживания с ожиданием представляет собой чистую систему с
ожиданием.
Выделим
основные
группы
показателей,
характеризующих
эффективность функционирования СМО:
1. Показатели эффективности использования СМО.
• Абсолютная пропускная способность СМО — среднее число
требований, которые может обслужить СМО в единицу времени.
• Относительная пропускная способность СМО — отношение среднего
числа требований, обслуживаемых СМО в единицу времени, к среднему
числу поступивших требований за это же время.
• Средняя продолжительность периода занятости СМО.
• Коэффициент использования СМО — средняя доля времени, в
течение которого СМО занята обслуживанием требований.
2. Показатели качества обслуживания требований.
• Среднее время ожидания требования в очереди.
• Среднее время пребывания требования в СМО.
• Вероятность отказа требованию в обслуживании без ожидания.
• Вероятность того, что поступившее требование немедленно будет
принято к обслуживанию.
• Закон распределения времени ожидания требования в очереди.
• Закон распределения времени пребывания требования в СМО.
• Среднее число требований, находящихся в очереди.
• Среднее число требований, находящихся в СМО.
3. Показатели эффективности функционирования пары «СМО потребитель», где под потребителем понимают всю совокупность требований
12
или некий их источник.
Третья группа показателей оказывается полезной в тех случаях, когда
некоторый доход, получаемый от обслуживания требований, и затраты на
обслуживание измеряются в одних и тех же единицах. Эти показатели
обычно носят вполне конкретный характер и определяются спецификой
СМО, обслуживаемых требований и дисциплиной обслуживания.
Для решения задач теории массового обслуживания необходимо этот
случайный процесс изучить, т. е. построить и проанализировать его
математическую модель.
СМО можно разделить на типы или классы по ряду признаков (рис. 2).
СМО
Одноканальные
Многоканальные
Открытые
Замкнутые
С отказами
обслуживания
С очередями для
ожидания
С ограниченным
временем ожидания
С ограниченной
длиной очереди
Без приоритетов
С приоритетами
С
абсолютными
приоритетами
С неограниченной
длиной очереди
Обслуживание в Обслуживание в
С
случайном
порядке
относительными
порядке
поступления
приоритетами
Рисунок 2 - Классификация систем массового обслуживания
В СМО с очередью требование, пришедшее в момент времени, когда
все каналы обслуживания заняты, не уходит не обслуженной, а становится в
очередь и ожидает возможности быть обслуженной. В практической
деятельности наиболее распространены СМО с очередями. В частности,
службу занятости можно рассматривать как СМО с очередью.
В зависимости от организации очереди - ограничена она или не
ограничена - СМО с очередью подразделяются на разные виды. Ограничения
могут быть по длине очереди или по времени ожидания.
СМО классифицируются также по дисциплине обслуживания –
требования могут обслуживаться без приоритетов в порядке поступления,
либо в случайном порядке. Часто встречается обслуживание с приоритетами,
при котором порядок обслуживания требований зависит как от времени их
13
поступления, так и от их категории.
Приоритет может быть как абсолютным, так и относительным. При
абсолютных приоритетах требований в случаях, когда для немедленного
обслуживания поступившего требования высокого приоритета нет
свободного обслуживающего канала происходит освобождение одного из
каналов СМО, занятых обслуживанием требования более низкого
приоритета, и этот канал предоставляется поступившему требованию с более
высоким приоритетом. Прервавшееся обслуживание требования низкого
приоритета после освобождения одного из обслуживающих каналов СМО
может быть начато с начала или с того места, на котором прервалось ее
обслуживание. Суть относительных приоритетов состоит в том, что
поступившему требованию, у которого приоритет выше, чем у требований
уже находящихся в очереди, предоставляется первое место в очереди перед
требованиями более низкого приоритета и принудительного освобождения
обслуживающего канала для немедленного обслуживания пришедшего
требования высокой категории не делается. При относительных приоритетах
обслуживание всякого требования после его начала всегда доводится до
конца без прерывания.
Системы массового обслуживания можно классифицировать по
логической структуре процесса обслуживания (число приборов, порядок
приоритетов, возможность ожидания и т. п.), а также по аналитическим
предпосылкам относительно входящего потока требований и распределения
времени обслуживания.
Общепринятой является классификация классических систем
массового обслуживания, предложенная Д. Кендаллом [Error! Reference
source not found.].
Система массового обслуживания кодируется набором символов АВm
либо АВmr, что означает следующее: А - символ входящего потока, В символ распределения времени обслуживания, m - символ числа приборов, r символ числа мест для ожидания требований. Переменные А, В могут
принимать следующие значения:
А = G, GI, Ek, D, М; B = G, Ek, D, М.
Если А = G (general), то входящий поток — более общий, чем поток
восстановления, GI (general independent) — поток восстановления. Если А =
Ек, имеем поток Эрланга k-го порядка, т. е. поток, образованный каждым k-м
требованием простейшего потока, D — регулярный поток, М — простейший
поток (от слова Markovian). Относительно времени обслуживания
предполагается, что во всех случаях длительности обслуживания различных
требований независимы в совокупности, одинаково распределены и не
зависят от входящего потока.
В = G означает, что распределение времени обслуживания — общего
вида; Ek, D, М имеют тот же смысл, что и в случае входящего потока. Так, М
означает, что обслуживание производится по показательному закону.
Символ m обозначает число обслуживающих приборов. Если на его
месте стоит латинская буква (m, с и т.п.), это означает, что число приборов
14
может быть произвольным; иногда указывается конкретное значение числа
приборов (1, 2 и т. д.). То же относится и к символу r. Системы с ожиданием
АВm кодируются более просто: АВm. Системы с потерями можно теперь
кодировать так: АВm0.
Обычно предполагается, что в системе АВmr имеется общая очередь;
требования обслуживаются в порядке очереди. Если система характеризуется
какими-либо особенностями, последние дополняются к введенным символам
в качестве словесного описания. Например, говорят: «система MG2 с
инверсным порядком обслуживания», «система GIG1 с ненадежным
обслуживающим
прибором».
Словесное
описание
отменяет
соответствующие
обычные
предположения,
подразумеваемые
в
предшествующих символах.
15
Заключение
Задание студентам для самостоятельной учебной работы, список
рекомендуемой литературы и методические указания.
1. а) Сформулируйте определение простейшего входного потока. Какие
вероятностные характеристики простейшего потока Вы знаете?
б) Какие законы распределения обычно используют в теории
массового обслуживания при анализе времени обслуживания и времени
ожидания? Каким образом интерпретируют параметры этих законов?
в) При каких допущениях процессы массового обслуживания
являются марковскими случайными процессами?
2. Использованная для подготовки лекции литература:
1) Гмурман В.Е. Теория вероятностей и математическая статистика. Учеб.
пособие для вузов. - Изд. 11-е, стер. - М.: Высш.шк., 2005. - 479с: ил.
2) Вентцель Е.С., Овчаров Л.А. Теория случайных процессов и ее
инженерные приложения. - Учеб. Пособие для втузов. - 2-е изд., стер. М.: Высш.шк., 2000. - 383с: ил.
3) Волков И.К., Зуев С.М., Цветкова Г.М. Случайные процессы: Учебник для
вузов / Под редакцией В.С. Зарубина, А.П. Крищенко. – 2-е изд.,
стереотип. – М.: Изд-во МГТУ им. Баумана, 2003. – 448 с.
Лекция разработана
доцентом кафедры ИСиТ
к.ф.-м.н, Зайцевой И.В.
_______________________
«____»___________200__г.
16