Методы моделирования интеграла столкновений в задачах

УДК 533.5
Е.П. Дербакова 1, Ю.Ю.Клосс 1, Ф.Г. Черемисин2, Б.А.Шурыгин 1.
1
Московский физико-технический институт (государственный университет).
2
Вычислительный центр РАН.
МЕТОДЫ МОДЕЛИРОВАНИЯ ИНТЕГРАЛА СТОЛКНОВЕНИЙ В ЗАДАЧАХ
ТЕЧЕНИЯ ГАЗА БЕЗ ВНУТРЕННИХ СТЕПЕНЕЙ СВОБОДЫ.
При моделировании газокинетических процессов на основе уравнения Больцмана
одной из наиболее сложных задач является расчет так называемого интеграла
столкновений. В данной работе описываются методы численного
расчета интеграла столкновений для случая одного газа.
Интеграл столкновений описывает взаимодействие между
частицами и имеет вид: I 
 2 bm
  (f
j
' fi ' f j fi ) gij bdbdedp j .
 0 0
Вычисления на дискретной сетке осуществляются с
помощью перехода к представлению функции
распределения на основе дельта функций:
N0
f ( p, x, t )   f ( x, t ) ( p  p )
 1
В результате подстановки в уравнение Больцмана получаем:
  2 bm
1
I ( p )    
4   0
 ( ( p  p )   ( p
*
Рис1. Схема столкновения.
 p )   ( p ' p )   ( p* ' p ))( f ' f '*  ff* ) gbdbd dp*dp
0
Интегрирование по углам и прицельному параметру также ведется на дискретной
сетке. При этом следует учесть, что число участвующих в столкновениях точек N может
не совпадать с полным числом ячеек сетки N 0 . В этом случае необходимо ввести
поправочных коэффициент N 0 / N .
Импульсы частиц после бинарного столкновения определяются из законов
сохранения энергии, импульса и момента импульса. При вычислении вклада столкновения
в интеграл скорости до столкновения берутся лежащими на сетке, а скорости после
столкновения в общем случае на сетке не лежат. Поэтому используется консервативный
p
метод интерполяции скоростей после столкновения. Пусть 1 ,
p2
p' p'
- скорости до столкновения, 1 , 2 - после столкновения.
Тогда каждую скорость после столкновения мы интерполируем
p p
p p
двумя скоростями ( c , c  s и d , d  s соответственно), лежащими
на сетке скоростей в вершинах ячейки, внутрь которой попали
p '1 p '2
,
. При этом должны выполняться условия
консервативности вычислений. Расчет вкладов в значения
функции распределения дискретной сетки осуществляется
Рис 2. Схема аппроксимации
по формуле:
импульсов.
N
I  B ( p )( f ( p1v ) f ( p2v )  ( f ( pcv ) f ( pdv ))1rv *( f ( pdv  s ) f ( pcv s )) rv ) g b
v 1
,
1
( N 0 / N ) *(V  bm 2 ) ,
4
 ( p )  ( ( p1 )   ( p2 ))  (1  rv )( ( pc )   ( pd ))  rv ( ( pd  s )   ( pc  s ))
B
.
Для ускорения расчетов вычисления интеграла столкновений проводятся с
использованием сеток Коробова. Данный метод дает точность порядка 1/N при достаточно
большом числе точек интегрирования N.. В связи с тем, что N не равно N 0 (а также
других причин, возникающих, например, вследствие конечной арифметики) при
вычислении значений функции распределения на следующем временном шаге ее значения
могут оказаться отрицательными, что противоречит физической основе задачи. Эта
проблема решается по-своему в каждой разностной схеме. Нами применялись 3 конечноразностных схемы, различающиеся по времени вычислений и точности:
f j 1  f j  Ij *
1)простая явная схема: 
. При таком методе сначала вычисляются
вклады от всех столкновений в данную точку сетки, а затем добавление полученного
значения к значению функции распределения в данной точке. Вычисление интеграла
столкновений ведется по точкам на временном слое j. Проверка на не отрицательность
функции распределения производится во время прибавления значения интеграла в данной
точке к f с помощью счетчика отрицательных значений.
f j 1  f j  ( Ij  Ij 1/ 2 )* / 2
2)схема предиктор-корректор: 
. В данной схеме
вычисляется значение интеграла на данном временном шаге, затем по схеме 1)
вычисляются значения функции распределения через половину временного шага,
вычисляется еще один интеграл столкновения, а затем к изначальному значению функции
распределения прибавляется усредненный интеграл столкновения. Проверка
неотрицательности функции распределения проводится при добавлении усредненного
значения интеграла столкновения.
3)Схема с поочередным учетом столкновений. В данной схеме временной шаг
разбивается на N интервалов. На каждом таком интервале происходит одно
столкновение. Затем следующее столкновение считается исходя из значений функции
распределения полученных после предыдущих столкновения. Проверка на
неотрицательность функции распределения происходит при учете каждого столкновения.
Данный алгоритм вычисления интеграла столкновений позволяет обнаружить ряд
интересных явлений при течении газа. Предложенные методы проверены на устойчивость
и консервативность, и дают высокую точность при относительно небольшом времени
расчетов.
Литература
1. Ландау Л. Д., Лифшиц Е. М. «Физическая кинетика», «Физико-математическая
литература», 2003.
2. Ландау Л. Д., Лифшиц Е. М. «Механика», «Физико-математическая литература»,
2003.
3. Коган М. Н. «Динамика разреженного газа», издательство «Наука», 1967.