Лекция 9 Текстовые задачи

Лекция 9
Текстовые задачи
9.1. Решение задач на работу
Формула, используемая при решении задач данного параграфа, аналогична той,
которая используется при решении задач на движение. А именно: если мы
производительность умножим на затраченное время, то получим выполненный
объем работы, который в некоторых случаях удобно принимать за единицу. При
этом производительности при совместной работе можно складывать. В данном
параграфе приводятся также задачи на смеси и некоторые другие.
Задача 1. Для разгрузки парохода были выделены две бригады грузчиков. Если
ко времени, за которое может самостоятельно разгрузить пароход первая
бригада, прибавить время, за которое может самостоятельно разгрузить пароход
вторая бригада, получится 12 ч. Определить время первой бригады и время
второй бригады, потраченное на разгрузку, если их разность составляет 45% от
времени, за которое обе бригады могут разгрузить пароход совместно.
Решение. Пусть первая бригада может самостоятельно разгрузить пароход за х
ч, а вторая — за у ч.
1
Тогда х + у = 12. Первая бригада делает за 1 ч часть всей работы, а вторая —
1
𝑦
𝑥
1
1
𝑥
𝑦
часть всей работы. Поэтому, работая вместе, они за один час делают + часть
всей работы. Значит, работая вместе, они затратят на всю работу
1
1
1
+
𝑥 𝑦
ч. Пусть
для определенности первая бригада работает медленнее, то есть пусть
1
х > у. Тогда (х - у) часов составляет 45% от 1 1 ч, или
𝑥
х-у =
45
∙
+
𝑦
𝑥𝑦
100 𝑥+𝑦
Подставляя (12-х) вместо у в это уравнение, получим
90 𝑥(12−𝑥)
12-х+x= ∙
.
20
12
Это уравнение имеет положительное решение при х =
бригада может разгрузить пароход за
20
16
20
16
3
3
, а вторая за
20
3
. Значит, первая
ч.
Ответ: ч и ч.
3
3
Задача 2. Имеются два сосуда с раствором поваренной соли: в первом сосуде —
3 кг 10%-ного раствора, а во втором — 2 кг 80% -ного раствора. Из первого сосуда выпаривают некоторое количество воды, а затем все содержимое второго
сосуда переливают в первый. Какое количество воды нужно выпарить, чтобы
после переливания в первом сосуде получился r % -ный раствор? Найти все r,
при которых задача имеет решение.
Решение. Пусть х — количество воды, выпаренной из первого раствора. Тогда
после выпаривания в первом растворе останется 0,9∙3 - х = 2,7 – х кг воды и
0,1 • 3 = 0,3 кг соли. Так как во втором растворе содержится 0,92 • 2 = 1,84 кг
воды и 0,08 • 2 = 0,16 кг соли, то после смешивания получим раствор,
содержащий
2,7 - х + 1,84 = 4,54 - х кг воды и 0,3 + 0,16 = 0,46 кг соли. Согласно условию
задачи имеем уравнение:
0,46
5𝑟−46
100% = r% <=> х=
4,54−𝑥+0,46
.
𝑟
Так как 0 ≤ х ≤2,7, получаем следующие неравенства: 0≤
5𝑟−46
5𝑟−46
𝑟
≤2,7 ⇔9,2≤r≤20.
Ответ:
; 9,2≤r≤20.
𝑟
Задача 3. В колхозе два поля засеяли пшеницей. С первого поля собрали 1080 ц
зерна, а со второго — 750 ц. Площадь первого поля на 10 га больше площади
второго. Если бы с каждого гектара первого поля собрали столько же пшеницы,
сколько собрали с каждого гектара второго поля, а с каждого гектара собрали
бы столько же, сколько собрали с каждого гектара первого поля, то с обоих
полей собрали бы одинаковое количество зерна. Определить, сколько центнеров
зерна собрано с каждого гектара на первом и на втором поле.
Решение. Пусть х и у — количество зерна, собранного с одного гектара
соответственно первого и второго поля, a S — площадь первого поля. Тогда
(S - 10) — площадь второго поля. Согласно условиям задачи имеем систему:
𝑥𝑆 = 1080,
𝑦(𝑆 − 10) = 750,
𝑦𝑆 = 𝑥(𝑆 − 10)
{
1080
,
𝑥
750
⇔
𝑆 − 10 =
,
𝑦
{𝑦𝑆 = 𝑥(𝑆 − 10)
1080 750
1080 750
−
= 10,
𝑥
𝑦
−
= 10,
⇔
⇔{ 𝑥
⇔ 𝑥 = 18, 𝑦 = 15
𝑦
1080
750
5𝑥 = 6𝑦
𝑦
=𝑥
𝑥
𝑦
{
𝑆=
Ответ: 18 ц и 15 ц.
Задача 4. Три насоса, работая вместе, наполняют бассейн за 4,5 ч. Один
второй насос наполняет бассейн на 5 ч быстрее, чем один третий насос.
За сколько часов второй насос наполняет бассейн, если первый насос
наполняет его втрое дольше, чем второй и третий вместе?
Решение. Пусть х, у и z — производительность первого, второго и
третьего насосов соответственно.
1 1
1
Тогда , и −количество часов, за которое насосы наполнят весь
𝑥 𝑦
𝑧
бассейн. Согласно условиям задачи имеем систему:
1
2
2
= 4,5,
𝑥=
𝑥 + 𝑦 + 𝑧 = , 𝑥 + 3𝑥 = ,
𝑥+𝑦+𝑧
1
1
+5= , ⇔
𝑦
𝑧
1
{
𝑥
=
3
𝑦+𝑧
9
1
𝑦
1
1
𝑧
𝑦
+5= ,
9
1
1
𝑧
𝑦
+5= , ⇔
{ 𝑦 + 𝑧 = 3𝑥 { 𝑦 + 𝑧 = 3𝑥
1
18
+5=
,
1
𝑧
1
{𝑦 + 𝑧 = 6
1
1
+5= , 1
1
1
𝑦
𝑧
⇔ +5=
⇔ = 10.
1
1
𝑦
𝑦
−𝑦
𝑧
=
−
𝑦
6
{
6
Ответ: за 10 ч.
Задача 5. Выработка продукции за один год работы предприятия
возросла на р%, а на следующий год она возросла на 10% больше, чем в
первый год. Определить, на сколько процентов увеличилась выработка
за первый год, если известно, что за два года она увеличилась в общей
сложности на 48,59% .
Решение. Пусть х — первоначальная выработка продукции. Так как за
𝑝
первый год выработка возросла на р%, то она стала равна x(1+ ). Так
100
за второй год выработка продукции увеличилась на (р + 10)%,
𝑝
𝑝+10
она стала равной х(1+ )(1 +
). Имеем уравнение:
х(1+
𝑝
100
)(1 +
𝑝+10
100
100
48,59
)=х(1+
100
100
2
)⇔𝑝 + 210𝑝 − 3859 = 0 ⇔ 𝑝 = 17.
Ответ: на 17%.
Задача 6. Три бригады, работая вместе, должны выполнить некоторую
работу. Известно, что первая и вторая бригады вместе могут выполнить
ее на 36 мин быстрее, чем третья бригада. За то время, за какое могут
выполнить эту работу вместе первая и третья бригады, вторая бригада
может выполнить только половину работы. За то время, за какое эту
работу могут выполнить вместе вторая и третья бригады, первая
2
может выполнить этой работы. За какое время выполнят работу все три
7
бригады вместе?
Решение. Пусть х, у и z — производительность соответственно первой,
второй и третьей бригад, то есть часть работы, которую выполняет
бригада за 1 ч. Используя первое условие задачи, составим уравнение.
Так как у первой и второй бригад, работающих вместе,
1
производительность равна (х + у), то всю работу они выполнят за
ч.
𝑥+𝑦
1
Одна третья бригада работу выполнит за ч. Имеем:
𝑧
1
3 1
+ = .
𝑥+𝑦 5 𝑧
Аналогично, используя остальные условия задачи, получим систему:
1
3
1
+ = ,
1
3
1
1
3
1
𝑥+𝑦
5
𝑧
+ = ,
+ = ,
𝑥+𝑦
5
𝑧
𝑥+𝑦
5
𝑧
1
1
= , ⇔ { 𝑥 + 𝑧 = 2𝑦, {
⇔
𝑧 = 2𝑦 − 𝑥,
𝑥+𝑧
2𝑦
1
{
𝑦+𝑧
=
2
7𝑥
2𝑦 + 2𝑧 = 7𝑥 2𝑦 + 2(2𝑦 − 𝑥) = 7𝑥
1
𝑥+𝑦
3
1
5
𝑧
+ = ,
1
𝑥= ,
6
1
{ 𝑧 = 2𝑥, ⇔ 𝑦 = 4 ,
3
1
𝑦= 𝑥
𝑧= .
2
3
{
Таким образом, все три бригады вместе выполняют работу за
1
𝑥+𝑦+𝑧
ч,
то есть за 1 ч 20 мин.
Ответ: за 1 ч 20 мин.
Задача 7. Имеются три сплава. Первый содержит 30% никеля и 70% меди,
второй — 10% меди и 90% марганца, третий — 15% никеля, 25% меди и 60%
марганца. Из них необходимо приготовить новый сплав, содержащий 40%
марганца. Какое наименьшее и какое наибольшее количество меди может быть в
этом новом сплаве?
Решение. Пусть х, у и z — процентное содержание соответственно первого,
второго и третьего сплавов в новом сплаве. Тогда, согласно условиям задачи,
0,3x + 0,15z, 0,9y + 0,6z и 0,7x + 0,ly + 0,25z — процентное содержание
соответственно никеля, марганца и меди в новом сплаве. Значит, условие задачи
можно сформулировать следующим образом:
Какое наименьшее и какое наибольшее значение может принимать выражение
0,7x +0,1у + 0,25z при условии, что 0,9y + 0,6z =40 и х+у+z= 100?
Пусть 0,7х + 0,1у + 0,25z = t, тогда,14x = 20t -2y- 5z. Имеем:
0,9𝑦 + 0,6𝑧 = 40,
27𝑦 + 18𝑧 = 1200,
{ 𝑥 + 𝑦 + 𝑧 = 100, ⇔ {18𝑧 = 2800 − 24𝑦 − 40𝑡,
14𝑥 = 20𝑡 − 2𝑦 − 5𝑧
14𝑥 = 20𝑡 − 2𝑦 − 5𝑧
40𝑡 = 1600 + 3y,
{ 9у + 6z = 400,
14𝑥 = 20𝑡 − 2𝑦 − 5𝑧.
Из первого уравнения системы следует, что наименьшее возможное
2
значение t достигается при у = 0 и равно t = 40. При этом z = 66 , а x =
3
1
33 . С другой стороны, t максимально, когда максимально у. Но из
3
второго уравнения системы вытекает, что у принимает наибольшее
4
значение при z = 0 и равно у = 44 . При
1
5
9
этом t = 43 и х = 55 .
3
1
9
Ответ: 40% и 43 %.
3
Задача 8. В банк помещен вклад в размере 3900 тыс. руб. под 50%
годовых. В конце каждого из первых четырех лет хранения после
начисления процентов вкладчик дополнительно вносил на счет одну и
ту же фиксированную сумму. К концу первого года оказалось, что
размер вклада увеличился по сравнению с первоначальным на 725% .
Какую сумму вкладчик ежегодно добавлял ко вкладу?
Решение. Пусть х — размер суммы, которую вкладчик дополнительно
вносил на счет в конце каждого из первых четырех лет. Согласно
условию задачи имеем уравнение:
((((3900 ∙ 1,5 + х) ∙1,5 + х) ∙1,5 + х) ∙ 1,5 + х) ∙ 1,5 = 3900-8,25 или, после
преобразований,
3900 ∙ (1,5)2 + 12,1875x = 32 175 ⇔ х = 210.
Ответ: 210 тыс. руб.
Задачи для самостоятельного решения
1. Два экскаватора разной конструкции должны прорыть две
траншеи одинакового поперечного сечения длиной 960 м и 180
м. Вся работа продолжалась 22 дня, в течение которых первый
экскаватор прокладывал большую траншею. Второй экскаватор
начал работать на 6 дней позже первого, отрыл первую
траншею, три дня ремонтировался и затем помогал первому.
Если бы не нужно было тратить время на ремонт, работа была
бы закончена за 21 день. Сколько метров траншеи в день может
отрыть каждый экскаватор?
3
2. Двое рабочих, работая совместно, за один час выполняют всей
1
3.
4.
5.
6.
4
работы. Если первый рабочий выполнит часть всей работы, а
4
второй, сменив первого, выполнит половину всей работы, то
вместе они заработают 2,5 ч. За сколько часов каждый рабочий
может выполнить всю работу, если за один час работы первого
рабочего и 0,5 ч работы второго рабочего будет выполнено
больше половины всей работы?
Имеются два сплава, состоящие из цинка, меди и олова.
Известно, что первый сплав содержит 40% олова, а второй —
26% меди. Процентное содержание цинка в первом и втором
сплавах одинаково. Сплавив 150 кг первого сплава и 250 кг
второго, получили новый сплав, в котором оказалось 30% цинка.
Определите, сколько килограммов олова содержится в получившемся новом сплаве.
В два различных сосуда налиты растворы соли, причем в
первый сосуд налито 5 кг, а во второй — 20 кг. При испарении
воды процентное содержание соли в первом сосуде увеличилось
в р раз, а во втором сосуде — в q раз. О числах р и q известно
только, что pq = 9. Какое наибольшее количество воды могло
при этом испариться из обоих сосудов вместе?
Каждый из рабочих должен был изготовить З6 одинаковых
деталей. Первый рабочий приступил к выполнению своего
1
задания на 4 мин позже второго, но задания они выполнили
3
одновременно. Полностью выполнив свое задание, первый
рабочий после двухминутного перерыва снова приступил к
работе и к моменту выполнения задания вторым рабочим
изготовил еще две детали. Сколько деталей в час изготавливал
каждый рабочий?
Четыре одинаковых насоса, работая вместе, наполнили нефтью
первый танкер и треть второго танкера (другого объема) за 11
часов. Если бы три насоса наполнили первый танкер, а затем
один из них наполнил четверть второго танкера, то работа
заняла бы 18 ч. За сколько часов три насоса могут наполнить
второй танкер?
7. Два насоса, работая вместе, наполняют бассейн водой за 10 ч.
Половину бассейна первый из них может наполнить за время на
7,5 ч меньшее, чем второй. Первый насос включили в 6 ч,
второй — в 8 ч . В 1 2 ч в бассейне было 400 м3 воды. Какова
емкость бассейна?
8. Бассейн можно наполнять с помощью пяти труб. Первые две
трубы, работая одновременно, наполняют его за 6 ч, а вместе с
третьей — за 4 ч. Первая, третья и четвертая трубы наполняют
его за 3 ч, а вторая, третья и пятая — за 2 ч. За сколько часов
наполняют бассейн все пять труб вместе?
9. Для рытья котлована выделили два экскаватора. После того как
первый проработал 2 ч, его сменил второй, который за 3 ч
закончил работу. Всю работу один второй экскаватор выполнил
бы на 4 ч быстрее, чем один первый экскаватор. За какое время
выроют котлован оба экскаватора, работая вместе?
10.Саша и Сережа дважды обменивались марками, причем каждый
1
раз количества марок, имевшихся (на момент обмена) у Саши,
7
обменивалась на половину количества марок, имевшихся у
Сережи. Сколько марок было у Саши и сколько у Сережи до
первого обмена, если после первого обмена у Саши было 945
марок, а после второго обмена у Сережи —220 марок?
11.Имеются два слитка, содержащих медь. Масса второго слитка на
3 кг больше, чем масса первого слитка. Процентное содержание
меди в первом слитке— 10%, во втором— 40%. После
сплавливания этих двух слитков получился слиток, процентное
содержание меди в котором 30% . Определите массу полученного слитка.
12.Мальчик пил чай с сахаром. Он положил три ложки на один
2
стакан чая. Полностью растворив сахар, он отпил стакана чая,
3
добавил одну ложку сахара и долил стакан до полного.
1
Размешав сахар и отпив стакана, мальчик решил, что чай
3
недостаточно сладкий. Сколько сахара нужно добавить, чтобы
сделать чай таким же сладким, как вначале?
13.Первый раствор содержит 20% азотной кислоты и 80% воды,
второй — 60% азотной кислоты и 40% воды. Первая смесь была
получена из 15 л первого раствора и некоторого количества
второго раствора. Смешав то же самое количество второго
раствора с 5 л первого, получили вторую смесь. Сколько литров
второго раствора было использовано для приготовления первой
смеси, если известно, что процентное содержание воды во
второй смеси в два раза больше процентного содержания
кислоты в первой?
14.В момент, когда два бассейна были пустыми, 4 трубы
одинаковой производительности были, подключены для
1
заполнения первого бассейна. Когда бассейн был заполнен на
6
своего объема, одну трубу переключили для заполнения второго
бассейна. Когда первый бассейн был заполнен наполовину, еще
две трубы переключили для заполнения второго бассейна. После
этого оба бассейна наполнились доверху одновременно.
Найдите отношение объемов бассейнов.
15.Первая бригада выполняет работу на 2 ч быстрее второй
бригады и на 7 ч медленнее, чем обе бригады, работающие
одновременно. Выполнят ли
бригады, работающие одновременно, эту работу быстрее чем за
7 ч 57 мин?
Ответы 1.40м и 20м.
2. За 2ч и за 4ч.
3. 170кг.
1
4. 18 кг.
3
5. 20дет./ч и 18дет./ч.
6. За 8ч.
7. 750 м3.
4
8. За ч.
3
8
9. За ч.
3
10.1085 марок и 30 марок.
11.9 кг.
2
12. ложки.
3
13. 5 л.
14.18 : 29.
15. Да.
9.2. Специфика целых чисел
Задачи на целые числа — наиболее сложный вид текстовых задач.
Решить такую задачу удается, как правило, если мы сумеем свести
решение этой задачи к конечному перебору. Применяемые методы: заключение переменной, принимающей целочисленные значения, в
промежуток, а также использование признаков делимости.
Задача 1. В двух ящиках находится более 29 деталей. Число деталей в
первом ящике, уменьшенное на 2, более чем в три раза превышает
число деталей во втором ящике. Утроенное число деталей в первом
ящике превышает удвоенное число деталей во втором ящике, но менее
чем на 60. Сколько деталей в каждом ящике?
Решение. Обозначим через х число деталей в первом ящике, а через у
— число деталей во втором. Тогда, согласно условию, имеет место
система неравенств
х + у > 29,
{ х − 2 > 3у,
0 < 3x − 2y < 60.
Следствием этой системы является система
х > 29 − y,
{ х > 3у + 2,
0 < 3x − 2y < 60.
2
Отсюда следует, что справедливы неравенства: 20 + 𝑦>29-y, 20 +
2
3
3
𝑦>3y+2.
27
Первое из них можно переписать в виде y> , а второе — в виде y<
5
54
. Так как
у — натуральное число, то у равен либо 6, либо 7. Если у равен 6, то
система неравенств перепишется в виде
х > 23,
{𝑥 > 20,
𝑥 < 24.
Ясно, что нет натуральных чисел х, удовлетворяющих ей. Значит,
у = 7. Тогда исходная система перепишется в виде
х > 23,
𝑥 > 22,
{
2
𝑥 < 24 .
3
7
Отсюда вытекает, что существует единственное натуральное число х
= 24, ей удовлетворяющее. Ясно также, что выполняется условие 3х >
2у. Следовательно, в первом ящике 24 детали, а во втором — 7
деталей.
Ответ: 24 детали и 7 деталей.
Задача 2. Мастер делает за 1 ч целое количество деталей, большее 5, а
ученик — на 2 детали меньше. Один мастер выполняет заказ за целое
число часов, а два ученика вместе — на 1 ч быстрее. Из какого
количества деталей состоит заказ?
Решение. Пусть х — количество деталей, которое мастер делает за 1 ч,
х > 5, а
п — количество часов, за которое мастер делает весь заказ. Тогда хп
— общее число деталей. С другой стороны, каждый ученик делает в
час (х - 2) детали, двое учеников делают в час 2(х - 2) деталей.
Согласно условиям задачи имеем уравнение:
2𝑥−4
2𝑥−8+4
4
хп = 2(х – 2)(n- 1) ⇔ хп – 4n - 2х + 4 = 0 ⇔n=
=
=2+
.
4
𝑥−4
𝑥−4
𝑥−4
Так как п — целое число, то и число
должно быть целым. А это
𝑥−4
означает, что число (х - 4) должно быть делителем числа 4. Но
поскольку из условия х > 5 следует, что х - 4 > 1, то число (х - 4)
может принимать только значения 2 или 4. Если х - 4 = 2, то есть х =
6,то n = 4 и общее число деталей равно 24. Если же
х - 4 = 4, то есть х = 8, то n = 3 и общее число деталей также равно 24.
Ответ: из 24 деталей.
Задача 3. Рабочий изготовил некоторое количество деталей двух видов
А и В, причем деталей А он изготовил больше, чем деталей В. Если он
изготовит деталей А в два раза больше, то общее число деталей станет
32, а если деталей В в два раза больше, то общее число деталей станет
больше 28. Сколько деталей А и сколько деталей В изготовит
рабочий?
Решение. Обозначим через х и у количество изготовленных рабочим
деталей вида А и В соответственно. Согласно условиям задачи имеем
систему неравенств:
𝑥 > 𝑦,
𝑥 − 𝑦 > 0,
{2𝑥 + 𝑦 < 32 ⇔ {−2𝑥 − 𝑦 > −32
𝑥 + 2𝑦 > 28
𝑥 + 2𝑦 > 28
Умножив первое неравенство на 2 и сложив со вторым, получим -3y>
32
-32 ⇔y< Умножив третье неравенство на 2 и сложив со вторым,
3
получим 3у > 24 ⇔у > 8. Так как у — целое число, то из полученных
неравенств следует, что у = 9 или
у = 10. Подставив у = 9 в исходную систему, получим:
𝑥 > 9,
𝑥 > 9,
23
{2𝑥 + 9 < 32 ⇔ { 𝑥 < ⇔
2
𝑥 + 18 > 28
𝑥 > 10
так как хϵZ
х=11.
𝑥 > 10,
Подставив у = 10 в исходную систему, получим: {2𝑥 + 10 < 32 ⇔
𝑥 + 20 > 28
𝑥 > 10,
{ 𝑥 < 11 ⇔
𝑥>8
так как хϵZ , x ϵ ∅
Ответ: 11 деталей и 9 деталей.
Задача 4. Груз вначале погрузили в вагоны по 80 т, но один вагон
оказался загруженным не полностью. Тогда весь груз переложили в
вагоны по 60 т, однако понадобилось на 8 вагонов больше, и при этом
все равно один вагон оказался не полностью загруженным. Наконец,
груз переложили в вагоны вместимостью по 50 т, однако
понадобилось еще на 5 вагонов больше, при этом все вагоны были
загружены полностью. Сколько было груза?
Решение. Пусть х — количество вагонов вместимостью 80 т, a S —
количество тонн груза. То, что один вагон оказался, не полностью
загружен, означает выполнение неравенств: 80(x-l)<S<80x.
Аналогично, используя остальные условия задачи, получим систему:
80(x − l) < S < 80x,
{60(x + 7) < S < 60(x + 8), ⇔
50(x + 13) = S
80(x − l) < 50(x + 13) < 80x,
{60(x + 7) < 50(x + 13) < 60(x + 8),⇔
50(x + 13) = S
73
𝑥<
,
3
65
𝑥>
,
3
𝑥 < 23
𝑥 > 17,
{50(x + 13) = S
Так как количество вагонов — целое число, то единственно
возможное значение х, удовлетворяющее полученной системе
неравенств, это х = 22. Значит,
S = 50(x+13)=1750.
Ответ: 1750 т.
Задача 5. За время хранения вклада в банке проценты по нему
начислялись ежемесячно сначала в размере 5%, затем 12%, потом 11% и, наконец, 12,5% в месяц. Известно, что под действием каждой
новой процентной ставки вклад находился целое число месяцев, а по
истечении срока хранения первоначальная сумма вклада увеличилась
1
на 104 %.
6
Определить срок хранения вклада.
Решение. Пусть х, у, z и t — число месяцев, которое вклад находился
под действием каждой из перечисленных процентных ставок
соответственно. Имеем уравнение:
1
1
11
104
5 𝑥
12 𝑦
22,5
6
(1 +
) (1 +
) (1 + 9)𝑧 (1 +
)𝑡 = 1 +
100
100
100
100
100
или, после преобразований,
21
28
10
9
49
( )𝑥 ( )𝑦 ( )𝑧 ( )𝑡 = ⇔ 22𝑦+𝑧+3 3𝑥+2𝑡+1 5𝑧 7𝑥+𝑦 =
20
25
9
8
24
22𝑥+3𝑡 32𝑧 5𝑥+2𝑦 72 .
Используя теорему о единственности разложения любого натурального
числа на простые множители, получим систему:
2𝑦 + 𝑧 + 3 = 2𝑥 + 3𝑡,
𝑥 + 2𝑡 + 1 = 2𝑧,
{
𝑧 = х + 2у,
х + у = 2.
Так как х и у — натуральные числа, из последнего уравнения немедленно
следует, что х = у = 1. Далее не составляет труда найти, что z = 3 и t = 2.
Таким образом, общее число месяцев, в течение которых вклад
находился в банке, составляет
x + y + z + t=7.
Ответ: 7 месяцев.
Задача 6. В течение нескольких дней двое рабочих изготавливали
специальные детали, причем ежедневная выработка деталей у каждого
рабочего была постоянной. В итоге за все эти дни рабочий изготовил на k
деталей больше, чем первый, где число k удовлетворяет неравенствам
127<k<132. Если бы первый рабочий увеличил ежедневную выработку в
2 раза, то за то же количество дней он изготовил бы на 77 деталей
больше, чем второй. Сколько дней рабочие изготавливали детали?
Какова была ежедневная выработка каждого из них?
Решение. Пусть х и у — производительности первого и второго рабочего
соответственно, а n — количество рабочих дней. Согласно условиям
задачи имеем систему:
127 ≤ (у − x)n ≤ 132,
{
(2𝑥 − 𝑦)𝑛 = 77.
Из второго уравнения системы следует, что число n должно быть
делителем числа 77, то есть n может принимать значения 1, 7, 11 или 77.
Так как, согласно условию задачи, дней было несколько, n не может быть
равным единице. Пусть n= 7. Имеем:
127 ≤ 7(у − x) ≤ 132,
{
2𝑥 − 𝑦 = 11.
Так как (у - х) — целое число, то число 7(у - х) должно делиться на 7.
Однако в промежутке [127; 132] нет ни одного такого числа. Поэтому n =
7 не удовлетворяет условию задачи. При n = 11 получим следующую
систему:
127 ≤ 11(у − x) ≤ 132,
{
2𝑥 − 𝑦 = 7.
В промежутке [127; 132] существует единственное целое число,
делящееся на 11, это число — 132. При этом данная система примет вид
у − х = 12,
{
2𝑥 − 𝑦 = 7
2х − у = 7
и имеет решением пару чисел х = 19 и у = 31. И наконец, случай n = 77
разбирается аналогично случаю n = 7 и решений задачи не дает.
Ответ: 11 дней; 19 деталей и 31 деталь.
Задача 7. В школьной газете сообщается, что процент учеников
некоторого класса, повысивших во втором полугодии свою
успеваемость, заключен в
пределах от 2,9% до 3,1% . Определить минимально возможное число
учеников в таком классе.
Решение. Пусть х — число учеников в классе. Ясно, что х будет
минимальным, если минимально число учеников, повысивших во втором
полугодии свою успеваемость. Пусть это будет один ученик. Число 1 от
1
числа х составляет 100%. Согласно условию задачи имеем:
𝑥
1
100
𝑥
3,1
2,9%≤ 100% ≤ 3,1% ⇔
≤𝑥≤
100
2,9
Только два целых числа х удовлетворяют полученным неравенствам: это
х = 33 и х = 34. Ясно, что меньшее среди них— это х =33.
Ответ: 33 ученика.
Задача 8. На заводе было несколько одинаковых прессов, штампующих
детали, и завод выпускал 6480 деталей в день. После реконструкции все
прессы заменили на более производительные, но также одинаковые, а их
число увеличилось на 3. Завод стал выпускать в день 11 200 деталей.
Сколько прессов было первоначально?
Решение. Разложим числа 6480 и 11 200 на простые множители:
6480 = 24 • З4 • 5; 11 200 = 26 • 52 • 7.
Пусть n — количество прессов, которое было на заводе первоначально.
Тогда
(n + 3) — количество прессов, которое стало после реконструкции.
Поскольку каждый пресс выпускает в день целое число деталей, то 6480
должно делиться на n, а 11 200 — на (n + 3). При этом n не может
делиться на 3, так как тогда бы и
(n+ 3) делилось на 3, а в разложении числа 11 200 на простые множители
тройки отсутствуют. Значит, n является делителем числа 24 • 5 = 80, то
есть может принять одно из следующих значений:
2,4, 5,8, 10, 16,20,40,80.
Тогда n + 3 принимает соответственно значения
5, 7,8, 11, 13, 19,23,43,83.
Ясно, что всем условиям делимости удовлетворяют n= 2, n= 4 и n = 5.В
случае
n = 2 производительность каждого пресса до реконструкции равна 3240
деталей в день, а после реконструкции — 2240 деталей в день, что
противоречит условию задачи. В случае n = 4 производительность
каждого пресса до реконструкции равна 1620 деталей в день, а после
реконструкции — 1600 деталей в день, что также противоречит условию
задачи. И наконец, в случае n = 5 производительность каждого пресса до
реконструкции равна 1296 деталей в день, а после реконструкции —
1400 деталей в день, что не противоречит условию задачи.
Ответ: 5 прессов.
Задача 9. Совокупность А состоит из различных натуральных чисел.
Количество чисел в А больше семи. Наименьшее общее кратное всех
чисел из А равно 210. Для любых двух чисел из А их наибольший общий
делитель больше единицы. Произведение всех чисел из А делится на
1920 и не является квадратом никакого целого числа. Найти числа, из
которых состоит А.
Решение. Разложим числа 210 и 1920 на простые множители:
210 = 2∙ 3∙5 ∙7; 1920 = 27∙3∙5.
Так как произведение всех чисел из А делится на 1920, А должно
содержать по крайней мере семь чисел, имеющих в своем разложении на
простые множители двойку. Среди делителей числа 210 таких чисел
восемь:
2, 2∙3, 2∙5, 2∙7, 2∙3∙5, 2∙3∙7, 2∙5∙7,
2∙3∙5∙7.
Совокупность А не может состоять только из этих восьми чисел, так как
тогда их произведение равно 28 • 34• 54• 74 и является полным квадратом.
Но, согласно условию задачи, количество чисел в А больше семи. А это
означает, что в А присутствует по крайней мере одно число, не входящее
в данный список, то есть не содержащее в своем разложении двойку.
Следовательно, число 2 не может входить в А, так как иначе А
содержало бы два взаимно простых числа, что противоречит одному из
условий задачи. Кроме того, ясно, что число, содержащееся в А и не
входящее в список, — это 3∙5∙7, так как любое другое такое число будет
взаимно простым с одним из чисел списка — например, число 3 • 5
взаимно просто с числом 2 • 7. Значит, совокупность А состоит из
следующих восьми чисел:
2∙3, 2∙5, 2∙7, 2∙3∙5, 2∙3∙7, 2∙5∙7, 3∙5∙7,
2∙3∙5∙7.
Ответ: А - {6; 10; 14; 30; 42; 70; 105; 210}.
Задача 10. Зоопарк ежедневно распределяет 111 кг мяса между лисами,
леопардами и львами. Каждой лисе полагается 2 кг мяса, леопарду — 14
кг, льву — 21 кг. Известно, что у каждого льва бывает ежедневно 230
посетителей, у каждого леопарда — 160, у каждой лисы — 20. Сколько
должно быть лис, леопардов и львов в зоопарке, чтобы ежедневное число
посетителей у этих животных было максимальным?
Решение. Пусть х, у и z — количество лис, леопардов и львов
соответственно. Тогда условие задачи можно сформулировать
следующим образом. При каких натуральных х, у и z, таких, что 2х + 14у
+ 21z = 111, выражение 20х + 160у + 230z принимает наибольшее
значение?
Пусть t = 2х + 16у + 23z. Выразив х через t, у и z и подставив в первое
уравнение, получим систему:
𝑡 = 2𝑦 + 2𝑧 + 111,
(𝑡 − 16𝑦 − 23𝑧) + 14𝑦 + 21𝑧 = 111,
⇔{
{
2𝑥 = 𝑡 − 16𝑦 − 23𝑧
2𝑥 = 𝑡 − 16𝑦 − 23𝑧
Значит, t максимально, когда максимально у + z. Это означает, что
леопардов и львов в сумме должно быть как можно больше. Но так как
леопард съедает меньше мяса, чем лев, надо брать как можно больше
леопардов. При этом наибольшее возможное число леопардов — семь,
иначе им не хватит на всех 111 кг мяса. Пусть у = 7. Имеем:
t = 14 + 2z + 111,
t = 2z + 125,
⇔{
{
2x = t − 112 − 23z
2x = 13 − 21z
Так как 2х ≥ 0, то и 13 - 21х ≥ 0, следовательно, z = 0, поскольку z —
натуральное число. Но тогда х не является целым числом, поэтому
последняя система решений не имеет. Пусть у = 6. Имеем:
t = 12 + 2z + 111,
⇔
{
2x = t − 96 − 23z
t = 2z + 123,
{
2x = 27 − 21z.
⇔
Так как 2х ≥ 0, то и 27 - 21z≥0, следовательно, z = 0 или z = 1, поскольку
z — натуральное число. Если z= 0, то х не является целым числом, если z
= 1, то х =3.
Ответ: 3 лисы, 6 леопардов и 1 лев.
Задача 11. Автоматы двух типов красили детали, все детали были
покрашены за час. Определить число автоматов, если известно, что
каждый из них мог бы покрасить все детали за целое число часов, общая
сумма которых равна 55.
Решение. Пусть х и у — количество автоматов соответственно первого и
второго типов, а р и q — количество деталей, которое может покрасить
один автомат первого и второго типа соответственно за один час. Тогда,
согласно первому условию задачи, (хр + yq) — общее количество
деталей. Так как один автомат первого типа может покрасить все детали
𝑥𝑝+𝑦𝑞
𝑥𝑝+𝑦𝑞
на
ч, а один автомат второго типа - за
ч, то, согласно
𝑝
второму условию задачи имеем уравнение:
𝑥𝑝+𝑦𝑞
𝑥𝑝+𝑦𝑞
𝑥
+𝑦
= 55;
𝑝
𝑞
𝑞
при этом числа
𝑥𝑝+𝑦𝑞
𝑝
и
𝑥𝑝+𝑦𝑞
𝑞
являются целыми.
Преобразуем данное уравнение следующим образом:
𝑦𝑞
𝑥𝑝
𝑝
𝑞
x(x+ ) + 𝑦 (𝑦 + ) = 55⇔𝑥 2 + 𝑦 2 + 𝑥𝑦 ( + ) = 55.
𝑝
𝑝
𝑞
𝑝
Далее, так как х2 + у2 = (х - у)2 + 2ху, имеем:
𝑝
𝑞
xy
(х-у)2 + ху( + + 2)= 55 <=> (х-у)2+ (р + q)2 =55.
𝑞
𝑝
Докажем теперь, что число
xy
p
является целым.
pq
xp+yq
Действительно, так как число
yq
pq
p
=𝑥+
yq
p
является целым, то и число
𝑞
также является целым. Но мы можем предположить, что дробь 𝑝
несократимая (если это не так, мы имеем право заменить ее на
равную ей несократимую дробь; действительно, сами числа р и q нас не
интересуют). А это означает, что у делится на р. Аналогично
𝑥𝑦
доказывается, что х делится на q. Итак, = 𝑙— целое число. Уравнение
𝑝𝑞
при этом запишется следующим образом:
(x-y)2 + l(p + q)2 = 55.
В силу ограниченности левой части уравнения, выражение (х - у)2 может
принимать только следующие значения: 0, 1, 4, 9, 16, 25, 36 или 49.
Пусть (х - у)2 = 0, тогда l(р + q)2 = 55. Значит, число (р + q)2 является
делителем числа 55. Но ни один из делителей числа 55, кроме единицы,
не является полным квадратом. Однако из неравенств р≥1 и q ≥ 1
следует, что число (р + q)2 не может быть равным единице. Аналогичная
ситуация и в случаях, когда (х - у)2 принимает значения 4, 9, 16, 25, 36 и
49. Если же (х - у)2 = 1, то l (р + q)2 = 54, а это возможно, если (р + q)2 = 9
и l = 6. Имеем следующую систему:
(𝑥 − 𝑦)2 = 1,
(𝑥 − 𝑦)2 = 1,
2
{(𝑝 + 𝑞) = 9, ⇔ { 𝑝 + 𝑞 = 3 ⇔
𝑥𝑦
𝑥𝑦
=6
=6
𝑝𝑞
𝑝𝑞
Сумма двух натуральных чисел может быть равна трем тогда и только
тогда, когда одно из них равно двум, а другое — единице. При этом их
произведение равно двум. Подставив в третье уравнение вместо произведения pq число 2, получим:
𝑥=4
(𝑥 − 𝑦)2 = 1 𝑥 = 3
⇔{
или {
{
𝑦=4
𝑦=3
𝑥𝑦 = 12
В любом из случаев общее число автоматов равно семи.
Задачи для самостоятельного решения
1. В киоске были проданы одинаковые комплекты, состоящие только
из синих и красных карандашей, причем в каждом комплекте
число синих карандашей больше чем на 3 превосходило число
красных. Если бы в каждом комплекте число синих карандашей
увеличили в 3 раза, а красных — в 2 раза, то число синих
карандашей в одном комплекте превосходило бы число красных не
более чем на 16, а общее число всех проданных карандашей
равнялось бы 81. Определите, сколько было продано комплектов и
сколько в каждом комплекте было синих и красных карандашей.
2. Производительность первого автомобильного завода не превышает
950 машин в сутки. Производительность второго автомобильного
завода первоначально составляла 95% от производительности первого завода. После ввода дополнительной линии второй завод
увеличил производство машин в сутки на 23% от числа машин,
выпускаемых за это же время на первом автомобильном заводе и
стал их выпускать более 1000 штук в сутки. Сколько автомобилей
в сутки выпускал каждый завод до реконструкции второго завода?
Предполагается, что каждый завод за сутки выпускает целое число
машин.
3. На покупку тетрадей в клетку и в линейку можно затратить не
более 1 р. 40 к. Тетрадь в клетку стоит 3 к., тетрадь в линейку — 2
к. При закупке число тетрадей в клетку не должно отличаться от
числа тетрадей в линейку более чем на 9. Необходимо закупить
максимально возможное суммарное количество тетрадей, при этом
тетрадей в линейку нужно закупить как можно меньше. Сколько
тетрадей в клетку и сколько тетрадей в линейку можно закупить
при указанных условиях?
4. В академическом собрании сочинений, включающем менее 20
томов, число томов с художественными произведениями кратно
числу томов с письмами, которых в свою очередь в три раза
меньше, чем томов с публицистикой. Если число томов с
художественными произведениями увеличить в два раза, то их
станет на 14 больше, чем томов с письмами. Сколько томов с
публицистикой содержит собрание сочинений?
5. Через некоторое время после начала работы первая бригада
собрала на 2 автомобиля больше, чем вторая. Затем вторая бригада
увеличила производительность труда в 1,1 раза и, собрав на втором
этапе работы целое число автомобилей п, догнала первую, работав-
шую все время с постоянной производительностью. Найдите
наименьшее возможное целое число п.
6. Натуральные числа k, l, m взятые в указанном порядке, образуют
возрастающую геометрическую прогрессию, знаменатель которой
является целым числом. Числа 2835 и 2446 делятся без остатка на l
и m соответственно. Найдите числа к, l и т, если известно, что при
указанных условиях суммы k + l + m максимальна.
7. Группа школьников, состоящая из 30 человек, получила на
экзамене оценки
2, 3, 4 и 5. Сумма всех полученных оценок
равна 93, причем троек было больше, чем пятерок, и меньше, чем
четверок. Число четверок делилось на 10, а число пятерок было
четным. Определите, сколько каких оценок получили школьники.
8. Рассматриваются четыре натуральных числа. Сумма первого,
удвоенного второго и утроенного третьего меньше четвертого на
17; сумма второго, удвоенного первого и утроенного третьего
меньше четвертого на 28; сумма первого, второго и пять раз
взятого третьего равна четвертому. Найдите четвертое число, если
оно нечетное, а второе число не превосходит третье.
Ответы 1. Продано 3 комплекта; в комплекте 7 синих и 3 красных
карандаша.
2. 900 автомобилей и 855 автомобилей.
3. 26 тетрадей в клетку и 31 тетрадь в линейку.
4. 6 томов.
5. 23.
6. k = 27, l = 189, m= 1323.
7. 11 двоек, 7 троек, 10 четверок и 2 пятерки.
8. 99.