Введение в теорию процессов разрушения твердых тел

МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ
имени М.В. ЛОМОНОСОВА
Механико-математический факультет
Э.Б. Завойчинская
И.А. Кийко
ВВЕДЕНИЕ В ТЕОРИЮ ПРОЦЕССОВ РАЗРУШЕНИЯ
ТВЕРДЫХ ТЕЛ
Москва 2004 год
Завойчинская Э.Б., Кийко И.А. Введение в теорию процессов разрушения твердых тел. Учебное пособие. – М.: Изд. МГУ, 2004 – 169 с.
В настоящем пособии изложена современная теория процессов разрушения твердых тел (физические основы и экспериментальная механика
разрушения, классические гипотезы прочности для процессов нагружения,
теория простого предельного нагружения и критерии прочности для циклических нагружений, критерий предельной пластичности для процессов
пластического течения, основы механики разрушения и норм прочности и
безопасности конструкций повышенной ответственности) с примерами.
Для студентов и аспирантов, научных сотрудников и преподавателей,
изучающих механические аспекты прочности и разрушения материалов и
элементов конструкций.
@ Завойчинская Э.Б., Кийко И.А., 2004 г.
@ Механико-математический факультет МГУ, 2004 г.
2
ОГЛАВЛЕНИЕ
ПРЕДИСЛОВИЕ……….…………………………………………
5
Глава 1. Физические основы и экспериментальная механика
разрушения твердых тел………………………………
1.1.
Физические основы разрушения твердых тел……………………
1.2.
Экспериментальная механика разрушения твердых тел ………..
1.3.
Механико-математические основы прочности элементов
конструкций………………………………………………………..
7
9
20
Глава 2. Предельные состояния и механические теории
прочности………………………………………………..
Пример 2.1-2.2……………………………………………….…….
40
50
55
Глава 3. Гипотезы накопления повреждений………………….
Скалярные свойства повреждений. Гипотезы линейного и нелинейного суммирования повреждений для одномерных процессов нагружения…...…………………………………………….
Функции повреждений для трехмерных процессов
нагружения…..………..……………………………………………
Тензорные свойства повреждений. Теория накопления повреждений А.Ильюшина………………………………………………
Пример 3.1………………………………………………………….
Оператор повреждений. Обобщение механических теорий
прочности…………………………………………………………..
Предельные процессы нагружения в пространстве
А. Ильюшина……………………………………………………….
64
Глава 4. Теория простого предельного нагружения…………..
4.1.
Оператор повреждений. Критерий прочности …………………..
4.2.
Определение максимума нормы оператора повреждений………
4.3.
Определяющие функции теории ………………………………....
Пример 4.1-4.8……………………………………………………...
87
87
91
94
98
3.1.
3.2.
3.3.
3.4.
3.5.
65
68
71
75
76
84
Глава 5. Накопление повреждений и исчерпание запаса
пластичности при активном пластическом
деформировании ………………………………………… 104
Пример 5.1.-5.2…………………………………………………….. 113
3
6.1.
6.2.
6.3.
6.4.
6.5.
6.6.
6.7.
6.8.
7.1.
7.2.
7.3.
4
Глава 6. Основы механики разрушения твердых тел
Линейная механика разрушения………………………………....
Пример 6.1-6.3……………………………………………………..
Критерии хрупкого разрушения…………………………………..
Трещиностойкость при динамическом нагружении…………….
Пример 6.4-6.5……………………………………………………..
Критерии роста трещин…………………………………………....
Пластическая зона в окрестности вершины трещины…………..
Пример 6.6………………………………………………………….
Критерии вязкого разрушения…………………………………….
Теория хрупкого разрушения А. Гриффитса…………………….
Пример 6.7-6.8……………………………………………………..
J-интеграл Райса-Черепанова. Критерии разрушения упругопластических тел…………………………………………………...
Пример 6.9………………………………………………………….
115
116
121
123
125
126
128
135
138
140
140
143
146
147
Глава 7. Прочность, долговечность и безопасность объектов
повышенной ответственности………………………...
Объекты повышенной ответственности…………………….........
Расчет на прочность и долговечность конструкций обьектов…..
Критериальные условия оценки социальной, промышленной и
экологической безопасности……………………………………...
150
150
151
ЗАКЛЮЧЕНИЕ………………….……………………………..
163
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ………………………………………
164
158
ПРЕДИСЛОВИЕ
В этом учебном пособии читатель познакомится с основными аспектами
актуальной проблемы прочности и разрушения материалов и элементов
конструкций. Его основу составил специальный курс, предлагаемый слушателям на кафедре теории упругости механико-математического факультета МГУ им. М.В. Ломоносова.
Авторами делается попытка систематически изложить современные знания о прочности и разрушении твердых тел, проанализировать основные
теоретические подходы и обширный багаж экспериментальных знаний.
Изложение начинается с анализа физических основ разрушения твердых
тел и экспериментальной механики прочности и разрушения; кратко представлены основные идеи, лежащие в основе математических моделей описания различных предельных процессов разрушения; поставлены вопросы,
необходимые для формулирования задач прочности и разрушения. Огромный материал, относящийся к теоретическому описанию прочности, переосмыслен в рамках теории процессов разрушения, результатом которого
явились третья и четвертая главы. В пятой главе изложена теория, описывающая предельные процессы развитого формоизменения. В шестой главе
представлены основные положения механики разрушения твердых тел.
Теоретические подходы служат научной основой практических рекомендаций. Седьмая глава как раз и посвящена вопросам расчета прочности
и долговечности объектов повышенной ответственности и критериальным
условиям оценки их социальной, промышленной и экологической безопасности.
При изучении проблемы авторы попытались в доступной форме изложить основные понятия и методы исследований, теоретические подходы и
гипотезы прочности и разрушения твердых тел. Физические аспекты разрушения, экспериментальная механика прочности, феноменологические
теории прочности, механика разрушения, математические модели повреждений, тензоры и операторы повреждений – вот главные вопросы, затронутые в книге. Известные результаты приводятся, в основном, без доказательств и подробных ссылок.
С содержанием каждой главы пособия можно ознакомиться независимо
от сведений других глав. Для более глубокого изучения предмета с целью
поисков ответов на поставленные вопросы, других аспектов проблемы рекомендована обширная специальная литература.
Книга адресована, прежде всего, студентам и аспирантам университетов,
изучающим основы механики деформируемых твердых тел и овладевающим современными математическими навыками. Она может оказаться полезной студентам и аспирантам технических университетов и специали5
стам, применяющим современные методы оценки прочности, разрушения и
надежности элементов конструкций. Надеемся, что в ней читатель обнаружит надежные ориентиры, позволяющие находить решения сложных задач
прочности и надежности конструкций.
Авторы выражают признательность профессору Б.И. Завойчинскому за
идеи, поддержку и предложения по подготовке этого пособия.
6
Глава 1. Физические основы и экспериментальная механика разрушения твердых тел
Реальные твердые тела – гражданские и промышленные сооружения, природные образования, элементы живых организмов и т.п. – при внешних воздействиях (механических, тепловых, проникающих облучений и др.) в той
или иной степени деформируются. В подавляющем большинстве случаев эти
деформации являются малыми (строительные конструкции, корпуса судов,
космических аппаратов); в других случаях деформации - целенаправленно
большие (технологии обработки давлением, резанием); деформации могут
быть недопустимо большими – происходят разрушения, катастрофы (техногенные или природные). Истории техники известны примеры катастрофических разрушений мостов, надводных и подводных судов, танкеров и паромов,
летательных аппаратов и ракет, сосудов давления и резервуаров, магистральных и технологических трубопроводов, зданий и сооружений и многих других конструкций, произошедших под действием эксплуатационных и природных нагрузок. Эти аварии сопровождались гибелью большого числа людей, экологическими катастрофами и материальными потерями. Иногда разрушение конструкций может быть целенаправленным – в мирных и военных
целях. Опыт со всей очевидностью убеждает, что все тела в конце концов
разрушаются – это вопрос только времени и внешних воздействий. С другой
стороны, различные сооружения и конструкции должны быть в широком
смысле прочными, т.е. в течение определенного отрезка времени отвечать
своему функциональному назначению.
В зависимости от назначения конструкций требования к их прочности могут быть весьма разнообразными. В большинстве случаев они сводятся к тому, чтобы конструкции в условиях эксплуатации длительное время сохраняли
размеры и форму (малые деформации), причем с большой (в пределах допусков) точностью. Это относится к промышленным и гражданским сооружениям, различным машинам, конструкциям самолетов и ракет и др.
В других случаях (что характерно, прежде всего, для технологических
процессов обработки давлением) эти требования сводятся к тому, чтобы тела,
не разрушаясь (без потери сплошности; по терминологии технологов – до исчерпания запаса пластичности), необратимо деформировались с целью придания им заданной формы.
Требования прочности могут сводиться к тому, чтобы в реальных условиях тело сравнительно произвольно деформировалось без разрушения до тех
пор, пока нагрузка не достигнет предельного значения; при предельной
нагрузке тело должно определенным образом разрушиться. Это относится к
измерительным приборам, предохранительным устройствам и т.п.
Причины непрочности тел (и в конечном итоге их разрушения) достаточно
разнообразны, но все они сводятся к основным трем: тело неправильно скон-
струировано и рассчитано на прочность; выбран не тот материал или недостаточно учтены его свойства; неправильно учтены внешние действующие
силы, температурные и другие поля физической природы.
Большие деформации тела могут возникнуть, если в отдельных его частях
достигнуто состояние пластичности или текучести, когда небольшое возрастание нагрузки вызывает большие деформации. Пластичностью при определенных нагружениях обладают практически все твердые тела, а при высоком
всестороннем давлении «текучими» становятся материалы, которые в обычных условиях считаются хрупкими (например, глубоко залегающие горные
породы).
Явление ползучести также может стать причиной значительных деформаций и разрушения деталей машин, работающих длительное время при высоких температурах, как, например, лопаток газовых турбин, оболочек реактивных двигателей и др.
Причиной катастроф, разрушений конструкций могут стать резонансные
колебания с недопустимо большой амплитудой, возникающие от действия
периодических нагрузок, частоты которых совпадают с одной из собственных частот конструкции. Колебания с большими амплитудами могут возникнуть в тонкостенных элементах летательных аппаратов (обшивка корпуса,
сопловые насадки реактивных двигателей) в результате взаимодействия со
сверхзвуковыми потоками газа; это явление получило название панельный
флаттер (от английского flutter – трепетать).
Отметим еще весьма распространенное явление усталостного разрушения,
которое возникает, когда к деталям машин прикладывается многократно повторяющаяся нагрузка (например, ротор турбореактивного двигателя).
Ответственные узлы современных инженерных сооружений – атомных реакторов, теплообменников, реактивных двигателей и др. - работают в условиях, в которых перечисленные выше факторы, приводящие к разрушению,
действуют одновременно. Расчет на прочность таких конструкций становится
весьма сложной научной и инженерной проблемой. Развиваются два взаимосвязанных направления решения этой проблемы. Одно основано на достижениях и методах наук о материалах – химии, физики, материаловедения; основа второго направления – построение математических моделей, элементы которых – константы, функции, функционалы – определяются из эксперимента,
а также по результатам исследований первого направления.
Наблюдения за изменениями, происходящими во внутренней структуре
тела при деформации на разных уровнях (атомная решетка, монокристалл,
поликристалл); дислокационный механизм, последовательное образование
субмикроскопических, микроскопических и коротких трещин, которые ведут
к разрушению тела – все это составляет основу физического (материаловедческого) подхода. Результаты этих исследований являются физической основой создания новых материалов с заданными свойствами.
8
1.1. Физические основы разрушения твердых тел
1.1.1. Твердые тела – это тела, сохраняющие постоянными форму и объем
при отсутствии внешних нагрузок и воздействий. Различают кристаллические
и аморфные тела. Твердые тела представляют собой совокупность атомов,
т.е. электрических систем диаметром 1 ангстрем ( 108 см ). Атомы состоят из
ядер и электронов, образующих облако вокруг ядра и определяющих химический состав атома. Совокупность атомов образуют кристаллическую решетку
благодаря действию межатомных сил притяжения и отталкивания (известно
около четырнадцати видов кристаллических решеток: кубические, ромбические, гексагональные и др. [41,49]). Кристаллические твердые тела имеют периодическое повторение элементарной ячейки во всем элементе (т.н. дальний
порядок). В аморфных твердых телах периодичность повторения элементарной ячейки сохраняется только для близлежащих ячеек (т.н. ближний порядок). Аморфные твердые тела подразделяются на две группы: группа простых аморфных тел, к которой относятся низкомолекулярные жидкости, неорганические стекла, плавленый кварц и т.п., и группа полимеров (химических соединений с высокой молекулярной массой) - пластмассы, натуральные и химические волокна, каучуки, резины, органические стекла, смолы.
полимеры (химические соединения с высокой молекулярной массой) - пластмассы, натуральные и химические волокна, каучуки, резины, органические
стекла, смолы и т.п.
Если рассмотреть теоретическую прочность кристаллов, например на
разрыв, т.е. ту предельную силу, которую необходимо приложить для разрыва межатомного сцепления, то она составляет примерно 0.1 E, где E – модуль
Юнга; в то же время наблюдаемое в опыте временное сопротивление (предел
статической прочности) при одномерном растяжении образца до 103 раз
меньше. Это связано с тем, что реальный кристалл имеет различные отклонения от правильного строения решетки; эти отклонения называют дефектами
кристаллической решетки. Дефекты кристаллической решетки бывают следующих видов:
точечные дефекты – искажения регулярности решетки вследствие тепловых колебаний атомов в узлах, воздействия различных облучений (энергетические искажения), избытка или недостатка электронов (электронные искажения), наличия вакансий, различных включений, междоузельных атомов,
примесных атомов в узле или в междоузлие и т.п.;
одномерные дислокации – дополнительная полуплоскость атомов XY на
участке кристалла над линией AB на рис. 1.1 а);
двух и трехмерные дислокации, например, винтовая дислокация с дислокационной линией XY на рис. 1.1 б).
Х
А
В
Y
а)
б)
Рис. 1.1. а) краевая дислокация в кристалле
б) винтовая дислокация в кристалле
Существование теоретической прочности тел подтверждают результаты известных опытов на правильных кристаллах (например, на кристаллах поваренной соли, со стеклянными и кварцевыми нитями), которые показывают
существенное увеличение пределов статической прочности и приближение
их к пределу теоретической прочности.
В физике твердого тела изучаются механизмы структурных взаимодействий. Процесс пластического деформирования и разрушения кристаллических твердых тел определяется как совокупность актов атомно-молекулярных
перегруппировок. В результате этих перегруппировок зарождаются и накапливаются дефекты кристаллической решетки - дислокации. Их дальнейшее
развитие приводит к образованию трещин. Описание этой стадии разрушения, т.е. зарождения и развития субмикроскопических, микроскопических и
коротких трещин, проводится на основе теории дислокаций (модели ЗинераСтро, Коттрелла, Орована-Стро и др. [21,32,80] ). В последнее время к описанию разрушения привлекается синергетика – научное направление, изучающее процессы самоорганизации и распада структур различной природы. Разрушение твердого тела на основе теории дисклинаций описывается как частный случай возникновения определенной диссипативной структуры [28].
Принципиально возможно нахождение макро-упруго-пластических и макро-прочностных свойств тел по его химическому составу, технологии изготовления и другим определяющим параметрам. Для этого следует решать систему
уравнений квантовой механики при заданных внешних механических и температурных воздействиях. Но такой подход практически не реализуем в
большинстве случаев. Результаты физики твердого тела используются как
физическая основа феноменологических моделей в механике деформируемого твердого тела.
1.1.2. Инкубационный период развития разрушения характеризуется скоплением дефектов, зарождением дислокаций, их движением, возникновением
дислокационных петель после прохождения дислокаций через потенциальные силовые барьеры решетки, создаваемые силами внутреннего взаимодей10
ствия между атомами, молекулами, зернами и т.п., образованием линий
скольжения, объединением этих линий в полосы скольжения и, наконец, возникновением определенной структуры тела с преимущественной ориентацией зерен и сдвигами по площадкам скольжения. Этот период занимает от 4%
до 20% от общего времени жизни тела. Затем начинается потеря устойчивости процесса микропластической деформации, что сопровождается ростом
объема тела. При достаточном количестве дислокаций в центре их скопления
образуется микродефект, в который «сваливаются» все дислокации скопления. Этот механизм объясняет «взрывной» характер образования микродефектов типа субмикроскопических и микроскопических трещин сразу «внушительных» (по сравнению с размерами атомов) размеров. Исследования
процессов одномерного растяжения полимеров показывают [27,63], что субмикроскопические трещины образуются сразу же определенных размеров,
зависящих от материала и не зависящих ни от процесса деформирования образца, ни от времени деформирования. Это позволяет принять основным кинетическим параметром процесса образования субмикроскопических
трещин их концентрацию и ввести понятие объемной плотности
 sm   sm (t ) субмикроскопических трещин:
nsm
,
(1.1)
V
где nsm  nsm (t ) - количество субмикроскопических трещин в объеме твердого тела V . В отличие от размеров субмикротрещин их объемная плотность является чувствительной характеристикой напряженного состояния и
характеризует разрушение тела, связанное с их критической концентрацией
[63]. Стабильность размеров субмикротрещин создает возможность накопления их высоких концентраций, особенно, вблизи поверхности тела. В процессе взаимодействия соседних субмикротрещин расстояния между ними становятся соизмеримыми с характерными размерами самих трещин [63,66], что
ведет к их слиянию и возникновению микротрещин. Поверхностные микротрещины распространяются вдоль поверхности тела и достигают размеров
нескольких миллиметров (превращаются в макротрещины). Скорость распространения микротрещин (размером до 0.01 мм) вглубь твердого тела на 2-3
десятичных порядка меньше скорости распространения вдоль поверхности.
Субмикроскопические трещины развиваются одновременно с зарождением новых трещин и превращаются в микроскопические трещины при монотонном деформировании до 2-4% . Микротрещины в кристаллических телах
появляются также на границе включения вследствие возникновения концентрации напряжений из-за нарушения строения кристалла или развиваются из
самого включения. В ориентированных кристаллических полимерах микротрещины появляются вследствие разрывов межатомных связей во внутрифибриллярных аморфных прослойках, в аморфных неориентированных по-
 sm  lim
V 0
лимерах – на межглобулярных границах, а в кристаллических неориентированных полимерах – в аморфных прослойках, разделяющих границы кристаллов.
После достижения макро-текучести процесс разрушения твердого тела состоит из двух взаимосвязанных процессов – разрыва и восстановления межатомных связей и взаимного перемещения элементов структуры. На микроуровне происходит перераспределение межатомных сил между движущимися
структурными элементами твердого тела, в процессе которого идет нарастание «хаоса». При этом количество связей между атомами уменьшается с одновременным увеличением энергии оставшихся связей за счет увеличения
расстояния между ними. В результате этих процессов возникают так называемые «структурные завалы» на площадках действия максимальных касательных напряжений. Они увеличивают сопротивление тела сдвигу за счет
уменьшения его сопротивления отрыву. Физическая природа предела текучести определяется для монокристалла критической величиной сдвига по системам скольжения, для поликристаллов – состоянием границ, объемом беспорядочно ориентированных зерен. При этом на его значение влияет вся
предыстория воздействий на твердое тело: режимы термообработки, упрочнения, радиации и т.д. При повышенных и высоких температурах активизируется процесс скольжения по границам зерен, процесс диффузии вакансий к
границам зерен и зарождение клиновидных микротрещин. Важной особенностью этого процесса является то, что в нем на макроуровне участвуют только
приращение напряжений и соответствующее ему приращение упругопластической деформации, и после снятия внешних сил в теле остаются фиксированными остаточные пластические деформации. Остаточный характер
пластической деформации на микроуровне объясняется переплетением дислокационных петель. На площадках текучести и в областях больших деформаций связь между атомами является слабой или полностью отсутствует
(имеет место, например, явление сверхтекучести).
Уже на стадии образования субмикротрещин идет локализация процесса
разрушения твердого тела. Эта локализация обусловлена неравномерностью
накопления микротрещин в теле, при этом наибольшая их концентрация, в
основном, происходит в поверхностных слоях. Рост микротрещин приводит
к появлению коротких трещин, длины которых лежат в интервале от характерных размеров зерен до 0.2-0.1 мм, а затем к появлению и росту макротрещины (длиной до 1 мм). Закономерности развития коротких трещин отличаются от закономерностей развития макротрещин [32,33]. Эксперименты показывают, что форма коротких и макротрещин, так же, как и субмикроскопических трещин, зависит от материала [63]. Локализация разрушения в твердом теле происходит еще до окончательного разрушения, что позволяет
предсказать его характер.
Таким образом, в процессе разрушения твердого тела выделяют две ос12
новные стадии [32,37,49]:
- первая стадия – зарождение и накопление множества стохастически
рассеянных повреждений в виде субмикроскопических ( 107 - 106 мм),
микроскопических ( 104 - 102 мм) и коротких ( 102 - 0.1 мм) трещин и
формирование в наиболее опасной зоне тела одной или нескольких
макротрещин (длиной до 1 мм);
- вторая стадия – рост макротрещин вследствие увеличения концентрации напряжений у ее вершины вплоть до разрушения с разделением
твердого тела на части в момент достижения трещиной критических
размеров.
Первая стадия разрушения может занимать значительную часть времени
жизни (долговечности) твердого тела. Например, при монотонном осевом
растяжении образца на первую стадию приходится 90-95% от полной критической осевой деформации. Для многих элементов конструкций образование
макротрещины уже делает элемент непригодным к эксплуатации.
В процессе прорастания микро и макротрещин зарождаются новые субмикротрещины в их окружении, увеличивается их концентрация и продолжается их слияние.
Концентрация микроскопических и коротких трещин на различных стадиях возникновения и развития меняется на несколько порядков, поэтому по
аналогии (1.1) для описания накопления микроскопических и коротких трещин можно ввести объемную плотность микроскопических трещин
m  m (t ) и объемную плотность коротких трещин s  s (t ) следующим
образом:
n
 m  lim m ,
(1.2)
V 0 V
n
 s  lim s ,
(1.3)
V  0 V
где nm , ns - соответственно количество микроскопических и коротких трещин в объеме твердого тела V .
Процесс разрушения тела - это накопление предельных концентраций
субмикроскопических, микроскопических и коротких трещин, образование
макротрещин, которые затем растут вплоть до разделения тела на части.
1.1.3. Исследования второй стадии процесса разрушения – роста макротрещин, сопровождающегося их возможным слиянием, образованием сквозных трещин и завершающегося критическим раскрытием, проводятся в механике разрушения твердых тел и основаны на понятии трещины как идеального разреза нулевой толщины, рост которой вызван локальной концентрацией напряжений в ее кончике. Установлена функциональная зависимость
скорости роста трещины от коэффициента интенсивности напряжений
(см. пункт 6.4 шестой главы), параметры которой учитывают различные ме-
таллургические (микроструктуру, наличие включений, размер зерна и т.п.) и
эксплуатационные (температуру, коррозию, интенсивность радиоактивного
облучения и др.) факторы. Оценка критического раскрытия трещины осуществляется через характеристики трещиностойкости тела (способности
тела сопротивляться распространению в нем трещины) - критический коэффициент интенсивности напряжений (п. 6.2), предельную интенсивность
освобождающейся энергии или критическое значение J- интеграла (п. 6.7,
6.8).
Методами микрофрактографического анализа установлено, что при монотонном нагружении твердого тела распространение в нем трещин (вторая
стадия процесса разрушения) приводит к следующим основным видам разрушений в зависимости от его структуры:
- хрупкое разрушение как результат лавинообразного роста макротрещин
(со скоростями до 1/3 от скорости звука), при котором макроупругая деформация достигает такой величины, что разрушаются межатомные связи внутри
зерен (межзеренный скол) или на их границах (транскристаллитный
скол), отсутствуют предварительные пластические деформации или они сосредоточены в тонком приповерхностном слое (квазихрупкое разрушение);
такое твердое тело относят к хрупким твердым телам;
- вязкое разрушение, которое происходит после существенной пластической деформации, например, с образованием шейки при осевом растяжении
образца; такое твердое тело относят к пластичным твердым телам.
Хрупкое разрушение – наиболее распространенный вид разрушения элементов кораблей, мостов, топливных танкеров и др. В электронный микроскоп видно, что в пределах одного зерна поверхность разрушения сравнительно плоская и параллельна определенной кристаллографической плоскости. Схематично картину хрупкого разрушения можно представить следующим образом. Дислокации подходят к границе зерна, являющейся для них
барьером, останавливаются и с увеличением напряжений преодолевают этот
барьер. В результате этого на определенных площадках (как правило, площадках максимальных нормальных напряжений) возникает локальный разрыв – образование микротрещины. Каждая последующая дислокация «сваливается» в этот разрыв, увеличивая размер трещины, что и приводит к сколу
без возникновения пластических деформаций, т.е. к хрупкому разрушению.
Ступеньки скола могут также зародиться внутри кристалла при прохождении
трещины через винтовую дислокацию [32,45]. Несколько ступенек скола могут объединиться и образовывать составную ступеньку. Объединение противоположных ступенек приводит к их исчезновению. Такой рисунок разрушения называют речным узором. При низких температурах и больших скоростях деформирования вероятность наступления хрупкого разрушения увеличивается. Отметим, что отнесение тел к хрупким зависит от вида напряженно-деформированного состояния и различных факторов: наличия геометри14
ческих концентраторов напряжений, температуры, скорости деформирования, агрессивности рабочей среды, облучения и т.п., т.е. его разрушение в
зависимости от этих факторов может быть как хрупким, так и нет.
Процесс вязкого разрушения реализуется, в основном, вследствие интенсивного скольжения дислокаций по плоскостям действия максимальных
напряжений сдвига, в результате которого образуются поры, они затем объединяются в микротрещину, рост которой приводит к зарождению макротрещины, и, наконец, к вязкому разрушению. При этом пластическое деформирование на парных плоскостях скольжения ведет к образованию шейки с
ямками и уменьшению поперечного сечения образца.
Гидростатическое нагружение практически существенно изменяет вид
разрушения. При значительном всестороннем растяжении разрушение твердого тела становится, в основном, хрупким, а при всестороннем сжатии - вязким. К примеру, хрупкие материалы (например, бронза) могут разрушаться
вязко после значительной пластической деформации, если приложить достаточное гидростатическое сжатие.
Анализ микроскопической картины изломов при разрушении разных тел
показал, что фактически поверхность любого излома представляет собой совокупность микроплощадок, лежащих как в плоскости действия максимальных касательных, так и в плоскости действия максимальных нормальных
напряжений, количественное соотношение которых меняется в зависимости
от материала, процесса нагружения, температуры и др. Первая стадия разрушения – появление микротрещин - обычно вызывается максимальными касательными напряжениями, а их рост заканчивается либо хрупким изломом в
плоскости действия наибольших нормальных напряжений, либо вязким разрушением, как правило, по плоскости действия наибольших касательных
напряжений. Соответственно этому рассматривают два вида сопротивляемости разрушению тел: сопротивляемость отрыву и сопротивляемость сдвигу [77]. Это послужило основой формирования классических механических
теорий прочности: теории максимальных нормальных и теории максимальных касательных напряжений (см. вторую и третью главы).
Процесс накопления повреждений в теле под действием циклических
нагружений или деформаций, приводящий к образованию и развитию трещин, называют процессом усталостного разрушения. Как правило, упругое
циклическое деформирование тела приводит к зарождению и распространению трещин без образования сколько-нибудь значительной зоны пластических деформаций вокруг вершины трещины, т.е. усталостное разрушение тел
происходит без искажения их формы и изменения размеров и носит хрупкий
характер. Оно обусловлено структурной неоднородностью тела, заключающейся в случайном распределении размеров зерен, направлений их кристаллографических плоскостей, в наличии различных фаз, включений, дефектов
кристаллической решетки. В зернах, неблагоприятно ориентированных к
внешнему нагружению, возникают линии сдвига в результате движения и
объединения дислокаций по определенным кристаллографическим плоскостям уже на ранней стадии нагружения (1-10% долговечности), что можно
наблюдать, например, с помощью металлографического микроскопа [22,32].
Образование первых следов сдвига, а вместе с ними начальных усталостных
повреждений, начинается, как правило, на поверхности образца по плоскостям
максимальных касательных напряжений вследствие облегченных условий деформирования зерен в этой зоне и наличия концентрации напряжений от микронеровностей поверхности. С увеличением числа циклов растет обьемная
плотность дислокаций и происходит их объединение в микродефекты – образуется микротрещина. Устойчивые линии сдвига переходят на соседние зерна, интрузии двигаются внутрь образца и на поверхности образца зарождается начальная макроскопическая трещина усталости – конец первой стадии
разрушения. При циклическом деформировании формируется своеобразный
рельеф поверхности тела (выступы, впадины, ступеньки). При многоцикловом нагружении на поверхности часто «выдавливаются» или в него «втягиваются» тонкие слои – экструзии и интрузии. Основания ступенек, впадин и
дно интрузий – концентраторы, у которых развиваются микродефекты [32]. В
области малоцикловой усталости (до 5*10 4 циклов) процесс разрушения начинается с дробления зерен поликристалла на области и возникновения на границах этих областей пор. По мере развития процесса нагружения число пор увеличивается, они объединяются, образуя пустоты вдоль границ, которые в
дальнейшем перерастают в микротрещины. Когда объемная плотность микротрещин значительно возрастает, они объединяются в макротрещины, выходящие за границы зерна. В процессе развития усталостной макротрещины заметную роль играет явление ее закрытия на стадии циклического сжатия: после
полного цикла нагружения открытие трещины при последующем растяжении
происходит не сразу, а в момент достижения нагрузкой некоторого значения.
Процесс усталостного разрушения завершается усталостным изломом, который имеет следующие характерные участки (см. рис.1.2):
Рис.1.2. Усталостный излом
1- зона фокуса излома, 2- усталостные линии, 3- ступеньки и рубцы, 4- зона ускоренного развития изло-
16
ма, 5- зона долома
зона фокуса излома - очаг разрушения (участок 1) , находящийся обычно вблизи поверхности тела в местах концентрации напряжений или иных сосредоточенных дефектов, в котором образуется макротрещина и откуда начинается ее развитие;
усталостные линии (участок 2) , волнообразно расходящиеся от очага разрушения,
форма которых зависит от конфигурации твердого тела и вида нагружения;
ступеньки и рубцы (участок 3), возникающие на поверхности излома вследствие зарождения трещин из разных фокусов при их последующем слиянии; направление развития усталостной трещины может меняться, при этом образуются зародыши «пасынковых» трещин, которые развиваются в других направлениях и образуют вторичные ступеньки и рубцы;
зона ускоренного развития излома (участок 4);
зона долома (участок 5), образующаяся на последней стадии излома и обладающая
признаками, характерными для макрохрупкого разрушения, при котором смещение
берегов трещины происходит по типу нормального отрыва и происходит в направлениях, перпендикулярных действию максимальных нормальных напряжений. Возникновение же трещины вызывается, в основном, максимальными касательными
напряжениями.
Импульсная механическая нагрузка твердого тела приводит к откольному
динамическому разрушению [7,24,38,46,52]. Причиной такого разрушения
является возникновение критических состояний при прохождении и сложении
возникающих в теле волн напряжений и деформаций. Если на части поверхности твердого тела прикладывается нестационарное ударное нагружение, то в
нем возбуждаются нестационарные ударные волны сжатия. Волна сжатия проходит через твердое тело, достигает его свободной поверхности и отражается
от нее в виде волны растяжения. Эти волны распространяются навстречу друг
другу и отраженная волна растяжения взаимодействует с падающей волной
сжатия. При определенных значениях скорости деформирования и максимального напряжения сжатия на некоторой глубине от поверхности максимальное
результирующее напряжение растяжения достигает некоторого предельного
значения и происходит откол части тела. При этом волна растяжения характеризуется тем, что ее амплитуда больше половины максимального напряжения
сжатия. В опытах найдено, что характерный размер отколовшейся части обычно в два или три раза превышает минимальный размер тела, а его толщина составляет от 0.1 до 0.5 этого минимального размера. Интересной особенностью
динамических нагружений является то, что откол слоя происходит в массивных участках твердого тела, в то время как при статических нагружениях разрушение происходит по минимальному сечению. Процесс образования откола
начинается с зарождения микротрещин и заканчивается появлением магистральной трещины – полным отделением отколовшегося слоя твердого тела,
т.е. также состоит из двух стадий. Для некоторых материалов, например, для
ряда сталей, при больших уровнях растягивающих напряжений микроповреждения локализуются в очень узкой зоне, и реализуется практически гладкий
откол уже на первой стадии разрушения.
Основой аналитического описания деформирования и разрушения твердого тела является теория термомеханических процессов. Пусть в частице
тела (или в образце с однородным состоянием) известны как функции времени на интервале t  [0, t * ] тензор деформаций ˆt  (или тензор напряжений
ˆ t  ) и температура t  , т.е. задан термомеханический процесс деформирования или нагружения. Тогда, в соответствии с постулатом макроскопической определимости [14], остальные параметры процесса, в том числе и характеризующие критическое состояние или условие прочности (строгое математическое определение этих понятий будет дано ниже), известны как
функционалы по этому процессу и времени. Из этого принципа вытекает
важное утверждение:
процессы последовательного накопления плотностей субмикроскопиче m   m (t )
 sm   sm (t ) , микроскопических
ских
и коротких
 s   s (t ) трещин на интервале времени t  0, t *  функционально опре-
деляются процессом нагружения, начальным распределением дефектов
кристаллической решетки и характерными базовыми значениями этих
величин.
Параметры функционалов определяются из опыта и результатов физических
исследований прочности. Ниже будут рассмотрены некоторые методы экспериментального определения плотности субмикроскопических  sm   sm (t ) ,
микроскопических  m   m (t ) и коротких  s   s (t ) трещин.
1.1.4. Методы механических испытаний твердых тел позволяют находить
различные характеристики прочности тела и исследовать процесс зарождения
и развития трещин, т.е. процесс его разрушения. Однако такие методы являются разрушающими. На практике для контроля за процессом разрушения натурных конструкций и установления их остаточного ресурса (т.е. оставшегося
времени жизни конструкции) применяют методы неразрушающего контроля. Самым доступным является визуально-оптический – визуальный
осмотр тела с помощью оптических приборов. Основанием для использования
методов неразрушающего контроля является то, что реальные физические явления (ультразвуковое излучение, магнитная проницаемость, акустическая
эмиссия и др.), позволяющие диагностировать дефекты и дающие информацию о трещинах, могут быть измерены различными методами: ультразвуковым
анализом, магнитной дефектоскопией, рентгеноструктурным анализом, электронной дефектоскопией, вихре-токовым анализом, акустико-эмиссионным
анализом, радиационной дефектоскопией, шумами Баркгацзена. Исследовав
элементы конструкции и обнаружив дефекты и трещины, следует ответить на
18
вопрос: каков остаточный ресурс конструкции, надо ли остановить ее эксплуатацию и провести текущий или капитальный ремонт или ее следует вывести из
эксплуатации.
Одним из основных методов обнаружения и измерения трещин является
метод ультразвуковой дефектоскопии, основанный на измерении ультразвуковым дефектоскопом интенсивности ультразвукового излучения. Ультразвуковой дефектоскоп представляет собой автоматизированный диагностический прибор, предназначенный для определения дефектов ультразвуковыми датчиками, которые устанавливаются нормально к поверхности тела
или под различными углами с целью увеличения зоны контакта с телом, поверхность которого искривлена. В качестве источников ультразвуковых колебаний используют пьезоэлектрические и магнитострикционные преобразователи. Пьезоэлектрический кристалл преобразователя (излучатель) располагают между электродами, на которые подается переменный ток ультразвуковой частоты. Излучатель вибрирует с частотой тока, при этом излучая ультразвук. Амплитуда излучения пропорциональна напряжению на электродах.
После излучения датчиком ультразвукового импульса происходит отражение
сигнала от различных поверхностей и дефектов в теле. Отраженные сигналы
также фиксируются этим же датчиком. Диагностику дефектов в конструкции
проводят по величине эхосигнала. О форме и ориентации дефекта относительно оси звукового поля судят по форме и высоте эхо-сигнала. Такие данные получают с помощью импульсной спектрометрии – анализом эхоимпульсов от дефектов как функции частоты и амплитуды импульсов датчика. Этот метод особенно эффективен при проверке различных элементов на
расслоение, когда неоднородности характеризуются большой протяженностью в направлении по нормали к звуковому лучу, для получения коррозионной карты повреждений, а также для обнаружения неглубоких произвольно
ориентированных трещин у поверхности тела.
Магнитный метод дефектоскопии основан на искривлении линий магнитного поля около трещины или дефекта из-за местного изменения магнитной
проницаемости. Магнитные дефектоскопы оснащены постоянными магнитами,
которые создают в теле мощное магнитное поле, или источниками переменного или импульсного напряжения. Высокочувствительные индуктивные датчики, установленные между магнитными полюсами, регистрируют уровень магнитного потока, изменяющийся из-за повышения магнитного сопротивления
или преломления магнитных силовых линий вследствие наличия различных
особенностей, дефектов, трещин и т.п., имеющихся в теле. Для обнаружения
поверхностных трещин используют магнитно-порошковый метод с применением магнитного порошка в виде черных, цветных или флюоресцирующих
ферромагнитных частиц размером около 10 мкм, взвешенных в жидкой эмульсии или газовой взвеси. Этот порошок притягивается на поверхность трещины
в результате действия больших градиентов магнитного поля в ее зоне, создавая
некоторый рисунок. Этот метод позволяет выявить поверхностные трещины
длиной от 0.01 мм и шириной раскрытия от 0.001 мм (т.е. короткие трещины и
макротрещины), а также подповерхностные нарушения сплошности на глубине до 0.3 мм.
Электронная дефектоскопия основана на сканировании поверхности
разрушения электронным лучом высокой интенсивности и возбуждении
электронами этого луча на трещинах вторичных электронов, которые дают
изображение трещины. Этот метод позволяет измерять поверхностные трещины длиной от 0.1 мм (макротрещины).
В акустико-эмиссионном методе используют акустическую эмиссию,
при которой в процессе нагружения тела регистрируется излучение упругих
волн напряжений развивающимися трещинами вследствие локальной динамической перестройки дислокационной структуры тела. Акустические волны
содержат информацию о происходящих физических процессах и распространяются на большие расстояния без значительного затухания. Применение
акустической эмиссии позволяет определить инкубационный период развития
микротрещин и контролировать процесс кинетики их роста.
Метод проникающих веществ используется для выявления поверхностных трещин при вытекании из них жидкости. Например, исследуемое тело погружается в горячее масло, затем его поверхность очищается и покрывается
мелом. По мере выделения масла из трещин на меловой поверхности тела образуется пятно.
Радиационная дефектоскопия обеспечивает фиксацию изображений различных дефектов (непроваров, пор, трещин, раковин, включений) при просвечивании тела на рентгеновской пленке или на флюоресцирующем экране. Размеры дефектов определяют по распределению интенсивности просвечивания в
виде почернений на рентгеновской пленке. При радиометрическом контроле
производят сканирование узким пучком излучения с фиксацией данных в цифровом виде.
Важно, что электронная, ультразвуковая и радиационная дефектоскопия
позволяет экспериментально определять процесс изменения во времени плотности субмикроскопических  sm   sm (t ) , микроскопических  m   m (t ) и
коротких  s   s (t ) трещин в теле под действием механического нагружения.
1.2. Экспериментальная механика разрушения твердых тел
1.2.1. Пусть тело под действием термо-механических воздействий находится в однородном напряженно-деформированном состоянии. В дальнейшем (например, в п. 1.3) рассматриваются и элементы конструкций, находящихся в неоднородных напряженно-деформированных состояниях.
Под начальным состоянием твердого тела понимают его естественное
недеформированное состояние с равными нулю компонентами тензора
20
напряжений и деформаций и определенными физическими структурными
параметрами материала, состоянием поверхности тела, толщиной коррозионного слоя, характерными длинами поверхностных или пространственных
микротрещин и т.п. При этом внешние воздействия отсутствуют, и твердое
тело сколь угодно большое время сохраняет это состояние.
Под действием различных нагрузок механическое и физическое состояние
твердого тела переходит из некоторого начального состояния в момент времени t  0 в определенное конечное состояние в момент времени t  t * .
Разрушение твердого тела - это достижение его структурой критических
конечных состояний. Условия могут быть различными: достижение
наибольшим главным напряжением предела текучести или статического предела прочности; достижение критических концентраций субмикроскопических, микроскопических или коротких трещин; достижение наибольшей из
макротрещин критической длины, сопровождающееся в дальнейшем ее неустойчивым ростом, и т.п.
Критические состояния твердого тела характеризуются определенными
прочностными параметрами материала. Считается применимой гипотеза
макродетерминизма [14,21], согласно которой в базовых макроэкспериментах возможно выявить прочностные свойства и характеристики разрушения твердых тел.
1.2.2. Рассмотрим основные экспериментальные результаты лабораторных
исследований прочности тел при различных процессах одномерного нагружения. Эти испытания проводятся по нормам государственных или отраслевых стандартов ( ГОСТ или ОСТ) [56]. Например, статические испытания на
растяжение и их обработка для сталей и сплавов при комнатной температуре
проводятся по ГОСТ 1497-84. Испытания металлов на ползучесть, машины и
приборы, применяемые для этих испытаний, формы и размеры образцов
должны отвечать требования ГОСТ 3248-81. Испытания на усталость и обработка экспериментальных данных устанавливаются ГОСТ 23207-78, а требования к оборудованию, форме, размерам и изготовлению образцов при этих
испытаниях определяются ГОСТ 25.502-79.
По характеру изменения нагрузки во времени лабораторные испытания
образцов подразделяются на статические, динамические и циклические.
В инженерных расчетах статической прочности твердых тел используются
следующие базовые характеристики, найденные в испытаниях трубчатых образцов на статическую прочность:
одномерное растяжение образца:
 11   * ,
 ij  0 , i, j  1, 2,3,  i, j   1,1 ,
(1.4)
P*
где  
, P* - приложенная разрушающая нагрузка, S 0 - первоначальная
S0
*
площадь поперечного сечения образца;  *   в - временное сопротивление
или предел статической прочности при растяжении (если под разрушением понимать достижение текучести материала, то  *   s – предел текучести при растяжении);
11   * ,  22   33   * ,
 ij  0 , i  j , i, j  1, 2,3 ,
(1.5)
l *
где  
- относительное удлинение образца на базе l0 ,  *   в - преl0
*
дельная осевая деформация при растяжении или  *   s - условная предельная деформация текучести при растяжении);
кручение образца:
 12   * ,
 ij  0, i, j  1,2,3, i, j   1,2,
(1.6)
M*
, M * - приложенный предельный крутящий момент, W p - полярWp
ный момент сопротивления поперечного сечения (для круглого сечения диа d 2
метра d : Wp 
,  - толщина стенки образца),  *   в - временное со2
противление или предел статической прочности при сдвиге или  *   s –
предел текучести при сдвиге;
12   * ,
 ij  0 , i, j  1,2,3, (i, j )  (1,2) ,
(1.7)
где  * 
 *
,  * - предельный относительный поворот сечения образца,
2
 *   в - предельная сдвиговая деформация при кручении или  *   s условная предельная сдвиговая деформация текучести.
Базовыми характеристиками являются также пределы статической прочности при одномерном сжатии  в ,с и  в,с , если у тел наблюдается различная
сопротивляемость растяжению и сжатию.
На основе многочисленных экспериментальных исследований с анализом
видов разрушений предлагается следующая классификация: тела, разрушающиеся хрупко без предварительных пластических деформаций, отнесем к
где  
22
в

или  2  s ); пластичв
s
ные тела, разрушающиеся вязко после существенной пластической деформации, с отношением 3  2  2 отнесем ко второму классу [12].
1.2.3. При статических нагружениях (для металлов в области высоких температур при T  0.5Tпл , где Tпл - температура плавления, для полимеров T  Tхр , где Tхр - температура хрупкости) возникает явление ползучести, т.е.
изменение компонент тензора деформации во времени при постоянных значениях тензора напряжений, или явление релаксации напряжений, т.е. изменение компонент тензора напряжений во времени при постоянных компонентах тензора деформаций.
Ползучесть материалов изучают в испытаниях образцов на однородное
растяжение постоянной нагрузкой P , в процессе которого определяют отнопервому классу при отношении 1  2  3 (  2 
сительное удлинение  
l
образца на базе l0 в зависимости от времени
l0
t  0, t *  , т.е.    (t ) . В результате испытаний партии образцов при разных
величинах P и фиксированной температуре T получают серию первичных
l (t )
кривых ползучести  (t ) 
и кривую длительной прочности
l0
   дл (t * ) . Кривая ползучести имеет следующие характерные участки: I –
dc
участок неустановившейся ползучести с убыванием скорости
, где
dt
 c   c (t ) - деформация ползучести; II - участок установившейся ползучести:
dc
dc
 const ; III – резкое возрастание скорости ползучести
вплоть до
dt
dt
разрушения. Кривая релаксации напряжений состоит в основном из двух стадий: I – стадия неустановившейся релаксации; II – стадия установившейся
релаксации напряжений. Серии опытов повторяют при разных температурах
T.
Итак, для процесса нагружения вида:
 11   *h(t ),  *  const ,
 ij  0 , i, j  1,2,3, i, j   1,1,
(1.8)
P*
, h(t ) - функция Хевисайда: h(t )  0 при t  0 и h(t )  1 при t  0 ,
S0
или для процесса деформирования вида:
11   *h(t ) ,  22   33   *h(t ) ,  *  const
где  * 
 ij  0 при (i, j )  (1,1), (2,2), (3,3) ,
(1.9)
находят функцию длительной прочности при растяжении  *   дл (t * , T )
или функцию предельной осевой деформации в условиях ползучести
 *   дл (t * , T ) . Как правило, кривая длительной прочности является возрастающей функцией T .
При аппроксимации функции длительной прочности  дл.   дл. (t * ) используют такие эмпирические зависимости:

 дл  t0 
,

 0  t * 
(1.10)

t 
 дл
 1  lg  0*  ,
или
(1.11)
0
t 
где  0 , t 0 ,  и  - функции материала, зависящие от температуры.
Длительный сдвиг в условиях ползучести до разрушения определяется
следующим тензором напряжений:
 12 (t )   *h(t ) ,
 ij  0, i, j  1,2,3, i, j   1,2
(1.12)
из которого экспериментально находится зависимость предельного напряжения  *   дл  t *  - функция длительной прочности при сдвиге. Длительный
сдвиг в условиях релаксации напряжений имеет вид:
12   *h(t ),
 ij  0 , (i, j )  (1,2) ,
(1.13)
где экспериментально определенная функция    дл (t ) - функция предельной деформации сдвига в условиях релаксации.
Отнесем, как и в п. 1.2.2., тела с отношением пределов длительной проч (t * )
ности при растяжении и сдвиге в пределах: 1  2  дл *  3 к первому
 дл (t )
*
*
 дл (t * )
 2 ко второму классу.
 дл (t * )
Для многих материалов характеристики  s ,  s  в ,  в ,  s ,  s  в ,  в ,
 дл   дл (t * ) ,  дл   дл (t * )  дл   дл (t * )  дл   дл (t * ) в широком диапазоне темпе-
классу, а тела, для которых
3  2 
ратур известны и содержатся в справочниках наряду с модулем Юнга, коэффициентом Пуассона и другими характеристиками материалов [13,32].
1.2.4. Нагружение, которое характеризуется периодическим законом изменения нагрузок с одним максимумом и одним минимумом в течение периода,
24
относят к регулярным циклическим нагружением. Циклом напряжений
называется совокупность последовательных значений напряжений за один
период их изменения. В общем виде циклическое регулярное одномерное
нагружение на интервале времени t  0, t * можно представить таким образом:
в напряжениях
 
S
 11   m    s ,a sin  s t   s  ,
(1.14)
s 1
 ij  0 , i, j  1,2,3, (i, j )  (1,1) , 1  0 ,
в деформациях
S
 11   m    s ,a sin  s t   s  ,  22   33  11 ,
(1.15)
s 1
 ij  0 , i, j  1,2,3, i  j ,  1  0 ,
где  - коэффициент Пуассона. Характеристиками цикла являются следующие величины:  m ,  m - среднее значение напряжения и деформации цикла
   min
соответственно:  m  max
,  max и  min - максимальное и минимальное
2
   min
напряжения,  m  max
,  max и  min - максимальная и минимальная де2
формации;    max   min (    max   min ) - размах напряжения (деформации);  s,a (  s,a ) - амплитуды напряжения (деформации), при s  1(одночастотное нагружение)  a 
 max   min
2
(a 
 max   min
2
);  s  2f s - круговая
t*
;
s
 s , s - сдвиг фаз между s-ой компонентой напряжения и деформации соответственно. Коэффициентом асимметрии цикла r называют отношение мичастота нагружения с амплитудой  s,a (  s,a ) и периодом действия Ts 
нимального к максимальному напряжению или деформации: r 
 min
 max
и
 min
. Для постоянной нагрузки имеем r  1 , для симметричного цикла
 max
r  1 ,  m  0 (рис. 1.3 в), для пульсирующего цикла r  0 (при  m  0
изображен на рис. 1.3 б), при  m  0 ,  max  0 - на рис. 1.3 г)). На рис. 1.3 а) и
r
1.3 д) представлены произвольные циклы со средними растягивающим
 m  0 и сжимающим  m  0 напряжениями.
max
t
m
max
m
max
б)
min
Max
min
а)
m
min
m
max
Отметим, что циклические деформации и напряжения в теле могут возникать также в
результате действия циклически меняющегося температурного поля. Разрушения,
вызванные циклически меняющимися температурными полями, носят названия термической усталости [32,65].
По результатам экспериментов на сериях образцов с постоянными характеристиками цикла напряжений (в так называемых условиях мягкого нагужения) или характеристиками цикла деформирования (в условиях жесткого нагружения) на специаль-
в)
г)
д)
Рис. 1.3. Асимметричные циклы одномерного напряжения
ных машинах для испытаний на усталость (см., например, [9,32,65]) строятся кривые
*
зависимости максимального разрушающего напряжения  max
от числа циклов до
разрушения N * для симметричного одномерного растяжения-сжатия и сдвига (также рассматриваются пульсирующие циклы)– кривые усталости Вэлера. Число циклов N * (или время t * ) до разрушения называется долговечностью.
Часто усталостное разрушение твердого тела наступает при максимальных напряжениях значительно меньших предела текучести и даже предела пропорциональности.
Выделяют следующие характерные точки на кривых Вэлера.
Предел выносливости  1 – максимальное значение напряжения в цикле, при котором не достигается критическое состояние (усталостное разрушение) на базе неограниченного числа циклов, т.е. при дальнейшем их увеличении значение  1 не меняется; для
металлов и сплавов принимается N *  10 7 циклов. Если горизонтальной асимптоты у кривой Вэлера нет, как, например, для цветных металлов или высокопрочных легированных сталей, то рассматривается условный предел выносливости  1 на базе некоторого числа циклов N * , N *  k *106 , k  2,5 . Аналогично получают предел выносливости  1 при симметричном одночастотном
сдвиге.
Предел
многоцикловой
усталости
при
растяжении-сжатии
26
 1   1  s , N *  , 2 N *  t * , и предел многоцикловой усталости при сдви-
ге 1   1  s , N *  - амплитуды предельных напряжений симметричного растяжения-сжатия и сдвига с частотой  s соответственно. Явление многоцикловой
усталости (с хрупким разрушением при макроупругих деформациях) в основном
происходит в диапазоне N  2 *10 5 ,2 *10 6 циклов.


Пределы ограниченной усталости при растяжении-сжатии  1   1  s , N * 
и сдвиге  1   1  s , N *  - амплитуды напряжений симметричного растяжениясжатия и сдвига соответственно, вызывающие усталостное разрушение в диапазоне
N  5 *10 4 ,2 *10 5 циклов (при упруго-пластическом деформировании).
Пределы
малоцикловой
усталости
при
растяжении-сжатии
*
*
 1   1  s , N  и сдвиге  1   1  s , N  - амплитуды напряжения симмет-


ричного одночастотного растяжения-сжатия и сдвига, вызывающие усталостное
разрушение в диапазоне N  10 0 ,5 *10 4 циклов (с образованием значительных
остаточных деформаций).
Используются следующие аналитические аппроксимации экспериментальных кривых усталости [24,32]:


*
 max
N 
 1  lg  0*  ,
0
N 
k
*
 max
N 
  0*  ,
0  N 
где коэффициенты  0 , N 0 , k и m - материальные константы.
(1.16)
m
или
(1.17)
Отметим условный характер единой кривой усталости. Пределы усталости в
общем случае являются функцией двух переменных: частоты нагружения и
числа циклов (времени) до разрушения. На практике построение единой кривой
производится отдельно для каждой из областей нагружения: малоцикловой усталости, ограниченной или многоцикловой усталости. Это обьясняется тем, что эксперимент по ограниченной и, особенно, по малоцикловой усталости сопровождается существенным разогревом образцов, поэтому его производят на низких частотах (около
1 Гц). Если при такой частоте проводить многоцикловые испытания, то потребовалось бы не меньше полугода до разрушения, поэтому в областях многоцикловой
усталости проводятся эксперименты с большей частотой в диапазоне 10-200 Гц. В
результате исследований влияния частоты на пределы усталостной прочности для различных материалов выявлено, что в достаточно широком диапазоне
частот (5, 200) Гц это влияние незначительно (наблюдается увеличение пределов усталости на 2-8%) и им можно пренебречь. С учетом этого данные из различных экспериментов изображаются одной условной кривой. Отметим, что с
увеличением частоты нагружения до 103 Гц пределы усталости возрастают, в
среднем, до 15% [9, 32, 45]. Например, на рис. 1.5 приведены зависимости предела выносливости  1 при симметричном растяжении-сжатии от частоты
нагружения f для ряда конструкционных сплавов на базе 108 циклов. Из рисунков видно, что в диапазоне до 10 4 циклов с увеличением частоты нагружения пределы выносливости возрастают, а при ее дальнейшем увеличении
для ряда сталей снижаются. Некоторые исследователи это уменьшение связывают с влиянием возросшей температуры тела; в их опытах, которые велись с принудительным охлаждением образцов из титана и его сплавов, пределы выносливости увеличивались [32,45].
 ( , t * )
Отнесем тела с отношением 1  2  1
 3 к первому классу, а
 1 ( , t * )
тела, для которых
3  2  2 ко второму классу.
/
В
0,7
/
5
0,6
В
4
5
0,5
0,5
4
0,4
0,4
3
2
0,3
0,3
1
0,2
10
Х
3
Х
Х
2
Х
1
0,2
10
2
10
а)
3
10
4
f ,Гц
10
10
2
10
3
10
4
f ,Гц
б)
Рис. 1.4. Зависимость безразмерных значений предела выносливости при симметричном растяжении –сжатии  1 /  в от частоты напряжения f для следующих конструктивных сплавов:
 1 =742 МПа;2- сталь ХН35ВТ,  1 =785 МПа;3- сталь Х18Н9,
 1 =632 МПа;4- сталь1Х2М,  1 =531 МПа;5- сталь 12Х2М, 623 К,  1 =444 МПа;
б)1- сплав Д16Т,  1 =562 МПа;2- сплав ВТ20У,  1 =1005МПа;3- сплав ОТ4-1,
 1 =675 МПа;4- сплав ВТ22М,  1 =1175 МПа 5- сплав ОТ4,  1 =856 МПа [4]
а)1- сталь 45,
1.2.5. В области малоцикловой усталости возникают существенные пластические
деформации, поэтому предел малоцикловой усталости обычно представляют в виде
*
зависимости максимальной предельной деформации  max
от числа циклов до разрушения N * . Так, пределом малоцикловой усталости при симметричном растяжении-сжатии является функция  1   1 ( N * ) , 2 N *  t * , а пределом мало28
цикловой усталости при сдвиге – функция  1   1 ( N * ) .
Циклически стабильными называются материалы, остаточные деформации в
которых не меняются от цикла к циклу (сталь 45, ряд титановых сплавов и др.) Для
циклически разупрочняющихся материалов характерно увеличение остаточных
деформаций и рост суммарной пластической деформации. Если остаточная деформация уменьшается от цикла к циклу, а суммарная пластическая деформация стремится к некоторому предельному значению, то такой материал называется циклически упрочняющимся. На рис. 1.5. а) изображена петля гистерезиса (кривая одномерного симметричного нагружения в координатах  ,   ) в условиях мягкого
нагружения (в процессе нагружения циклические напряжения сохраняют свои исходные значения и наблюдается рост размаха пластической деформации) для циклически разупрочняющегося материала с увеличением ширины этой петли (характерно для титановых сплавов, стали 30ХГСА и др.). Цифрами обозначены номера
полных циклов нагружения.
2
1
3
50
3
10
30
2
1
0
0
а)
б)
Рис. 1.5. Петля гистерезиса
а) при мягком симметричном растяжении-сжатии для циклически разупрочняющегося материала
б) при жестком симметричном растяжении сжатии для циклически упрочняющегося материала
На рис. 1.5. б) изображена петля гистерезиса при одномерном симметричном
жестком нагружении (в процессе нагружения остаются постоянными циклические
деформации и наблюдается рост размаха напряжений от цикла к циклу) для циклически упрочняющегося материала с уменьшением ее ширины (характерно для алюминиевых сплавов).
У многих материалов петля гистерезиса существенно изменяется при первых
циклах деформирования, а затем стабилизируется и остается практически постоянной. Предел текучести при последующем сжатии, как правило, меньше предела текучести при растяжении - так называемый эффект Баушингера. Возможной
причиной изменений пределов текучести, упругости и др. в цикле при нагружении обратного знака являются остаточные микронапряжения, возникающие в предшествующем цикле с пластической деформацией и способствующие более раннему возникновению пластической деформации при нагрузке
другого знака.
Экспериментальные данные показывают, что зависимость предельного
размаха пластической деформации  *p от числа циклов до разрушения N *
описывается в логарифмических координатах прямой с наклоном от –0.5 до –
0.7 (см. рис.1.7).
10
р
1
0,1
(1)
0,01
0,1
1
10
100
1000
10000
Рис.1.6. Результаты испытаний на малоцикловую усталость
(1) точки разрушения при монотонном напряжении, отожженный алюминий,
отожженная медь, отожженная углеродистая сталь 1018,
отожженная нержавеющая сталь 347, отожженный никель, дюраль 24ST (по данным [4])
Зависимость для размаха пластической деформации  *p  f ( N * ) записана
Л. Коффином и С. Мэнсоном в следующем виде:
1
,
(1.18)
 *p ,a N *m  C  ln
1 
где  - коэффициент поперечного сужения, т.е. отношение площадей поперечного сечения образца до деформирования и после разрыва, C , m - константы материала. Так, для алюминиевого сплава АМГ6: m  0.25, C  0.045;
для алюминиевого сплава Д16: m  0.3, C  0.06; для титанового сплава:
m  0.2, C  0.05. Экспериментальные данные для областей малоцикловой и
ограниченной усталости описывают зависимостью между предельной амплитудой полной деформации  a* ,  a*   e*,a   *p,a (  e*,a и  *p ,a - соответственно предельные амплитуды упругой и пластической деформации) и долговечностью
N * в таком виде (Б. Лэнджер):
30

*
p ,a
*m

*
N *n  C ,
(1.19)
E
где  * - предельное значение напряжения, m , n - константы материала:
m  0.5  0.8, n  0.05  0.15.
Площадь петли гистерезиса W равна энергии, рассеиваемой за цикл единицей объема деформируемого тела [39]. По предположению Д. Мартина разрушение при малоцикловом одномерном нагружении (1.15) наступит, когда площадь
петли гистерезиса W достигнет своего критического значения W * , найденного
из базисного эксперимента, например, при одночастотном растяжениисжатии:
W W*.
(1.20)
Отметим, что при несимметричном одномерном нагружении и значительном
уровне средних компонент напряжений может возникнуть циклическая ползучесть, например, при мягком нагружении с поддержанием постоянными  max и
 min диаграмма циклического деформирования будет растягиваться по оси
деформаций (что схематично изображено на рис.1.7), при жестком нагружении ( с постоянными  max и  min ) возможна релаксация начального уровня
напряжений.
min
max
N
Рис.1.7. Петля гистерезиса при мягком несимметричном растяжениисжатии
1.2.6. Экспериментальные данные зависимости предельной амплитуды
напряжений  a* от среднего  m* при асимметричном нагружении с частотой ω
при числе циклов N* до разрушения представляют диаграммой предельных
амплитуд напряжений  a*  f ( m* ) . Испытание образцов проводят по двум
путям - при постоянном среднем значении напряжения  m находят предельную амплитуду напряжений  a или сохраняют постоянным коэффициент
асимметрии цикла r , меняют при переходе от образца к образцу  a и  m и
определяют предельную амплитуду  a* при заданном числе циклов.
 a*
от сжимающих
 1
На рис. 1.8 представлены опытные данные зависимости
 m*
*
 0 и растягивающих m  0 напряжений для ряда сталей, алюминиевых
s
s
сплавов и чугунов. Как видно из рисунка, предельные амплитуды напряжений при наличии средних значений сжатия существенно возрастают. Учет
этой зависимости особенно важен при анализе закономерностей влияния
остаточных напряжений в поверхностном слое.
α
/
+
+
+
+
1,0
+
++ ++
+
0,5
-1,0
- 0,5
0
1,0
0,5
m
Рис. 1.8. Диаграмма зависимости
/
s


от
для различных материалов
 1
s
*
a
*
m
алюминиевый сплав,
дюраль, + - углеродистая сталь,
Ni-Cr-Mo сталь, - мягкая сталь(по данным [65])
- серый чугун,
Диаграммы предельных амплитуд напряжений аппроксимируются теоретическими зависимостями для различных классов материалов:
линейная зависимость Гудмана-Гербера:
 a*  m*

 1,
 1  в
(1.21)
 a*  m*

 1,
 1  s
(1.22)
зависимость Зодерберга:
линейное условие Зодерберга при асимметричном сдвиге:
32
 a*  m*

 1,
 1  s
(1.23)
парабола Гербера -Марина:
2
2
  a*    m* 
  1,

 
  1    в 
зависимость Смита (кривая 4 на рис. 1.9.):
  a*    m* 
 m*
,
1


1




в
  1   в 
зависимость Р.Хейвуда:
 a*   m*    1  m*   m*    1  
 1 


2
 1 
 .
 в   в    в 3 в 
 в    в 
α
/
1,2
0,8
0,8
0,4
0,4
0,2
0,4
0,6
0,8
а)
α
0
1,0
/
m
0,2
α
1,2
0,8
0,8
0,4
0,4
0,2
0,6
0,4
в)
0,8
0
1,0
m
/
0,8
б)
1,2
0
(1.26)
0,6
0,4
в
/
(1.25)
/
α
1,2
0
(1.24)
1,0
m
/
в
/
0,2
0,6
0,4
0,8
1,0
г)
m
в
Рис. 1.9. Результаты исследования
/
в
*
 a*
от m для:
 1
s
а) сталей, б) алюминиевых сплавов, в) медных, никелевых и магниевых сплавов, г) чугунов
+ - серый чугун, серый чугун при кручении по максимальному главному напряжению, ковкий чугун [66]
Материалы, для которых диаграмма предельных амплитуд напряжений
 a*  f ( m* ) имеет выпуклость вниз или линейна, отнесем к первой группе;
остальные материалы - ко второй группе.
В качестве примеров приведем результаты исследования влияния средних
 m*
 a*
на предельную амплитуду
при одномерном нагружении
в
 1
гладких образцов некоторых сталей (рис. 1.9 а)), алюминиевых сплавов (рис.
1.9 б)), сплавов на основе никеля, магния и меди (рис. 1.10 в)) и чугунов (рис.
1.9 г)). Как видно из рис.1.9, стали и алюминиевые сплавы по большей части
принадлежат ко второй группе, никелевые, медные и магниевые сплавы, а
также чугуны - к первой группе.
1.2.7. Для получения экспериментальных данных по усталости при симметричном изгибе
значений
с кручением вида:
 11   a sin  t ,
 12   a sin  t ,
(1.27)
 ij  0, i, j,  1, 2,3,  i, j   1,1 , 1, 2  .
Г. Гафом была предложена оригинальная схема и проведены усталостные испытания
0
3
2
1
L
6 5
7
М х =М sin α
х
М
8
М у =M cos α
4
9
0
10
Рис. 1.10. Схема машины Г. Гафа для испытания образцов на усталость при одновременном действии изгибающего M x и M y моментов: 1- образец, 2,5- зажимы, 3- суппорт,4-шкала, 6- цапфы,7-нагружающий рычаг, 8- тяга, 9- диск, 10- неуравновешенная масса
для большого количества сталей, сплавов и чугунов. С пециальная усталостная машина Г.
Гафа схематично представлена на рис. 1.10. Полый цилиндрический образец 1,
закрепленный с помощью зажимов 2 в суппорте 3, нагружается симметричным изгибающим и
крутящим моментами одновременно с помощью рычага 7, жестко соединенного с зажимом 5, в
котором укреплена вторая головка образца. При установке образец может быть повернут относительно рычага 7 за счет цапф 6 так, что ось образца будет составлять некоторый угол  с
плоскостью рычага, в которой он и совершает вертикальные колебания под действием центробежной силы от неуравновешенной массы 10, вращающейся вместе с диском 9. Поворот образца
на угол  осуществляется вместе с суппортом 3 и контролируется по шкале 4. Полный момент
M изменяется по симметричному циклу. Вследствие наличия угла  этот момент дает две
составляющие, а именно: изгибающий момент M y  M cos  и
34
M x  M sin  , т.е. в образце возникает напряженное состояние вида
M a cos 
(1.27). При этом амплитуда изгиба  a 
, а амплитуда касательного напряжения
 rср2
M sin 
 a  a 2 , где величина rср - средний радиус цилиндра толщины  . При   0 имеет
2 rср
крутящий момент
место чистый изгиб образца (из такой серии опытов получают кривые усталости при изгибе
 1   1  ,t * ),
  90  — чистое кручение (из такой серии опытов получают кри*
вую усталости при сдвиге  1   1  ,t  ), а в промежуточных положениях — совместный
при
изгиб с кручением.
На основе экспериментальных данных по выносливости Г. Гафом предложена зависимость предельных напряжений изгиба с кручением для первого класса ( 1  2 
 1
 3 ):
 1
/1.6, МПа
α
/ 1.6, МПа
α
IX
200
200
I
II
100
100
VII
VIII
III
а)
α
α
200
100
0
300
200
100
0
/ 1.6, МПа
/1.6, МПа
α
200
в)
300
400
α
/ 1.6, МПа
/1.6, МПа
100
VI
ХI
IV
50
100
V
0
200
100
300
б)
α
/
Х
α
/ 1.6, МПа
50
0
α
1
150
г)
-1
1,0
100
/
α
/ 1.6, МПа
-1
1,0
0,8
2
0,6
0,5
0,4
0,2
0
0,2
0,6
0,4
д)
α
/
-1
0
0,5
1,0
е)
/ -1
Рис.1.11. Диаграммы предельных амплитуд напряжений при симметричном изгибе с кручением цилиндрических образцов из следующих материалов [12]:
а)I –сталь 0,1% С η2 =1,77, II – сталь 3% Ni, η2=1,67, III – сталь 3,5%, N-iCr, η2 =1,54;
б)IV – сталь 0,9% С, η2 =1,46, V – сталь 3,5% С, η2 =1,66,VI – сталь Ni-Cr-Mo
η2 =1,71-1,86; в) VII – сталь Cr-Va, η2 =1,66, VIII – сталь Ni-Cr-Mo, η2 =1,93,
IX – Ni-Cr, η2 =1,79; г) X – чугун, η2 =1,1, XI –чугун, η2 =1,2;д) расчетная кривая (1) – по
уравнению (1.29), кривая (2) – по уравнению (1.28), - экспериментальные данные для сталей I, VI, VIII, IX, указанных выше; - экспериментальные данные для сталей II, III, IV, V,VII
указанных выше; е) расчетная кривая по уравнению (1.29), , - экспериментальные данные
для сталей S45C; , - экспериментальные данные для сталей S15C
α
36
2
2
  a* 
  a* 
 a*



1

2


1.
   2 
 
2
 1
  1 
  1 
Для тел второго класса ( 3  2 
(1.28)
 1
 2 ) предельная кривая описывается такой зави 1
симостью:
2
2
  a*    a* 
  
  1.
  1    1 
(1.29)
На рис.1.11 а) – г) представлены экспериментальные данные ряда сталей второго класса
(кривые I, VI, VIII, IX), а на рис. 1.11 д) кривая 1 – график уравнения (1.29), которое их аппроксимирует. Экспериментальные данные ряда сталей первого класса (кривые II, III, IV,
V,VII на рис.1.11 а) – в)) описываются уравнением (1.28) (  2  3 ), представленном на рис.
1.11 д), кривая 2. На рис.1.11 г) представлены некоторые данные для чугунов, относимых к
первому классу, и хорошо описывающие их зависимости (1.28). На рис. 1.11 е) представлены
экспериментальные данные для сталей S45C и S15C и теоретическая зависимость (1.29).
1.2.8. Из результатов опытов по определению откольной прочности при
соударении пластин в конкретных температурно-временных условиях можно
получить критическое значение амплитуды растягивающих напряжений
 отк   отк (t * ) . Рассмотрим, например, удар свободно летящего алюминиевого
диска-ударника толщиной h уд по неподвижному алюминиевому диску-образцу
толщины hобр ( hуд  (6  7)hобр ) при условии: 2 
hобр C уд
 3 , где C уд , Cобр hудСобр
скорости звука в материале ударника и образца соответственно, в интервале
времени нагружения (0.1  1.0)*106 с [7]. Взрывная волна, падающая на ударник, а затем на образец, инициируется генератором плоских волн. В образце
возбуждаются нестационарные ударные волны сжатия. Когда такая волна сжатия проходит через образец и достигает его свободной поверхности, она от нее
отражается в виде волны растяжения. Эти волны распространяются навстречу
друг другу и отраженная волна растяжения взаимодействует с падающей волной сжатия. При определенных значениях скорости деформирования и максимального напряжения сжатия на некоторой глубине от поверхности максимальное результирующее напряжение растяжения становится равным или
начинает превышать предельное нормальное разрушающее напряжение  отк и
происходит откол части образца. Имеющиеся экспериментальные данные показывают, что  отк значительно больше  в и существенно зависит от толщины образца, размеров и скорости ударника, длительности импульса нагружения (более подробно о результатах экспериментов см. в [7]). В случае сверхскоростных нагружений можно ожидать приближения откольной прочности
к теоретической прочности.
Эмпирические зависимости откольной прочности представляют приближенными соотношениями:

 отк
в
n
, t *  M  отк
(1.30)
t  Ke
где K , M ,  , n - постоянные величины, определяемые по экспериментальным
данным.
1.2.9. Характеристики длительной, усталостной и динамической прочности тел имеют большое рассеяние значений даже при условии испытания идентичных образцов, изготовленных из материала одной плавки при одинаковой
механической обработке и высокой точности задаваемых нагрузок
[5,22,23,32]. Причинами такого рассеяния являются факторы, связанные с
различиями в микроструктуре, со случайным распределением размеров отдельных зерен материала и направлений их кристаллографических плоскостей,
с наличием случайных включений и дефектов кристаллической решетки (вакансий, дислокаций), с различием поверхностных слоев и т. п.
В связи с этим возникает необходимость построения вероятностных диаграмм предельных напряжений от числа циклов до разрушения N * - кривых
В. Вейбулла [5]. Кратко изложим алгоритм построения такой кривой.
Пусть из испытаний s образцов при заданном максимальном нормальном
*
напряжении  max
известны числа циклов до разрушения (долговечность) N k* ,
*
k  1,...s . Расположим логарифмы этих чисел X k  lg N k* , k  1,...s , в возрастающем порядке таким образом:
X1  X 2  ...  X s .
(1.31)
Построим эмпирическую функцию распределения долговечности в координатах  X , P  , где по оси абсцисс откладываются значения X k  lg N k* ,
k  1,...s , а по оси ординат — вероятность разрушения Pk , k  1,...s , заданные
по следующей формуле:
k  0.5
Pk 
*100% .
(1.32)
s
На рис.1.12 изображены функции распределения долговечности при различ*
ных напряжениях  max
в зоне концентрации напряжений для симметричного
одночастотного изгиба с вращением (1.27) образцов из стали 40X с гиперболическими выточками [22]. Такие графики называют полной вероятностной
*
диаграммой усталости в координатах N * , P с параметром  max
. Предполага-


ется, что функция распределения долговечности X  lg N * является нормальной [5,22,24].
38
Р, %
99
98
=
95
m
90
00
14
П
М
а
5
12 7
а
МП
ax
80
1140 МПа
70
60
50
40
1000 МПа
30
20
870 МПа
10
5
2
1
0,5
2
3
4 5 6 7 8 10 5
2
3
4 5 6 7 8 10
6
2
3
4 5 6 7 8 10
7
N,цикл
Рис. 1.12. Функции распределения долговечности N* при симметричном изгибе
с вращением образцов из стали 40Х с гиперболическими выточками [24]
Полная вероятностная диаграмма усталости может быть также представлена в
*
координатах  max
, N *  с параметром P , т.е. в виде семейства кривых усталости, соответствующих различным вероятностям разрушения P (см. рис. 1.13).
Различными значками (например, крестиками для вероятности разрушения
P  70% ) на рис.1.13 нанесены точки, взятые из разных графиков рис. 1.12
при фиксированных значениях P . Аналогично можно построить и кривые
зависимости вероятности разрушения P от максимальных значений нор*
мальных напряжений  max
при фиксированных числах циклов N * (см. рис.
1.14). Точки, взятые из пересечения графиков на рис.1.12 с вертикальными
линиями при фиксированном значении N * на рис.1.14 обозначены значками,
обведенными кружками, а точки, взятые из пересечения вертикальных линий
с графиками на рис.1.13 – значками.
ma x
,МПа
150
х
140
130
Р=95%
х
120
Р=70%
р=50%
Р=30%
х
х
110
100
Р=15%
90
80
70
2
3
4 5 6 7 8 10
5
2
3
4 5 6 7 8 10
6
2
4 5 6 7 8 10 7
3
N,цикл
Рис. 1.13. Кривые усталости, соответствующие различным вероятностям разрушения Р, образцов из стали 40Х с гиперболическими выточками
при симметричном изгибе с вращением
Расположение значков практически по линии при фиксированном значении N * говорит о правомерности использования нормальной функции распределения долговечности [5,22]. Из рис.1.13 видно, что, например, при
*
, определяемое по формуле:
P  50% среднее значение  max
*
 max

1 I *
  max,i ,
I  1 i 1
(1.33)
*
где I  число различных значений  max,i
, равно 113МПа , при этом среднее
квадратичное отклонение S :
1/ 2
2
 1 I  *
1 I *  
S
 max,i  
   max,i  I 
i 1
 
 I  1 i 1 
(1.34)
равно 10МПа .
То, что линии на рис. 1.14. параллельны, говорит о совпадении средних квадратичных отклонений для различных N * . Отметим, что для построения полной вероятностной диаграммы усталости требуется большое количество об*
разцов (например, для пяти разных значений  max,
i , i  1,...5, по 25 образцов
при каждом значении необходимо 125 образцов). В связи с этим существуют
различные методики [22,23], позволяющие построить полную вероятностную
диаграмму усталости по результатам испытаний меньшего количества образ40
Р, %
98
95
10
7
90
80
70
50
4* 10
5
30
20
10
5
2
0,5
800
850
900
950
1000
1050
1100
1150
max
,МПа
Рис.1.14. Функции распределения максимальных предельных напряжений
*
 max
в зоне их концентрации, соответствующих различным Р
цов с использованием различных закономерностей.
1.3. Механико-математические основы прочности элементов конструкций
1.3.1. Характеристики прочности элементов конструкций даже при базовых экспериментах (при различных одномерных номинальных нагружениях) существенно отличаются от найденных на лабораторных образцах..
Это связано прежде всего с тем, что в элементе конструкции при номинальном равномерном нагружении возникает неоднородное двумерное
или трехмерное напряженно-деформированное состояние, которое может
быть следствием различных факторов:
- концентрацией напряжений и деформаций, связанной с геометрией
элемента;
- неоднородностью материала и случайным распределением различных включений, дефектов кристаллической решетки и др. как следствие
технологии изготовления элемента конструкции и связанного с ней масштабного фактора, т.е. влияния размеров элемента;
- состоянием поверхности элемента и контактом ее с окружающей
средой, качеством ее механической, термической, химической и др. видов
обработки, и следствиями применения технологических методов поверхностного упрочнения;
- эксплуатационных факторов (температуры, коррозии, различных
видов облучений и т.п.)
Результаты экспериментальных и теоретических исследований влияния
этих факторов на предельные характеристики различных элементов конструкций представлены в обширной литературе по этим вопросам (см.,
например, [8,12,24,29,32,51,66]:). Здесь кратко приводятся лишь начальные сведения.
В элементах конструкций имеются различные геометрические концентраторы напряжений (выточки, отверстия, надрезы, вырезы, заплечики, болтовые и заклепочные соединения, насадки, сварные соединения,
основания зубьев шестерен, впадины, винтовые резьбы и т.п.), что ведет к
возникновению неоднородных полей напряжений и деформаций уже при
однородных нагружениях на границе. Это является одной из причин отличия пределов прочности, полученных из экспериментов на стандартных
гладких образцах с круговым или прямоугольным поперечным сечением,
от этих характеристик для элемента конструкции при различных нагружениях (статических, симметричных и пульсирующих циклах и т.п.). Что касается пределов статической прочности элементов с концентраторами
напряжений, то они в целом несколько выше, чем соответствующие пределы статической прочности гладких образцов [78]. При этом уменьшение
вязкости ведет к уменьшению пределов статической прочности с концентраторами. Для хрупких материалов типа стекол пределы статической
прочности для элементов с концентраторами и гладких образцов практически совпадают. Влияние вида концентратора таково, что элементы с
кольцевой выточкой имеют наибольший предел прочности при растяжении, приблизительно в 1.3 раза превышающий предел прочности при растяжении гладких образцов. Другие типы концентраторов, например, галтель или поперечное отверстие, обнаруживают меньшую чувствительность к концентрации напряжений, пределы статической прочности для
элементов с такого типа концентраторами и гладких образцов практически
совпадают. Значения пределов выносливости в элементах конструкций с
концентраторами, в целом, приблизительно в 2-6 раз меньше предела выносливости гладких полированных лабораторных образцов из такого же
материала. Например, предел выносливости гладких лабораторных образцов из стали, идущей на изготовление осей вагонов для железных дорог,
приблизительно равен  1  300МПа , а предел выносливости натурной
оси составляет  1  70МПа . Предел выносливости лабораторных образцов из стали 3 -  1  220МПа , а предел выносливости конструктивных
элементов из этой стали  1  40МПа .
Влияние масштабного фактора на прочность элементов конструкций можно
объяснить влиянием технологии изготовления элемента в целом, например, нали42
чием остаточных напряжений, ухудшением механических свойств с ростом размеров элемента, что накладывается на неоднородность материала, которая связана со
случайным характером распределения начальных микротрещин, различных неоднородностей и т.п. Выше говорилось о том, что различным характеристикам
сопротивления усталости свойственно большое рассеяние даже в результате
лабораторных экспериментов на идентичных образцах, изготовленных из материала одной плавки при возможно одинаковых условиях механической обработки и высокой точности задаваемых нагрузок. Это рассеяние характеристик прочности тем выше, чем больше абсолютные размеры детали, так как
при этом усиливается неоднородность материала, затрудняется качественное
проведение термической обработки по всему объему элемента и механической обработки его поверхности, что ведет к возникновению остаточных
напряжений в элементе. Согласно данным справочной литературы значения
пределов выносливости, определенные на лабораторных образцах, снижаются, в среднем, на 10% для углеродистых сталей и до 20% для легированных
сталей при увеличении диаметра образца с 10 мм до 500 мм. Например, предельная амплитуда изгиба при симметричном изгибе с вращением в области
выносливости образцов из стали 2.8%Ni-0/33%Cr-0/35%Mo снижается
с  a*  387 МПа для образцов диаметром 11,9 мм до  a*  253МПа для образцов диаметром 228 мм (т.е. на 35%). Предел выносливости гладких 2-мм листов из алюминиевого сплава типа Al-Cu уменьшается с  1  105МПа до
 1  49МПа при увеличении ширины листов с 19 мм до 227 мм [78]. Чтобы
исключить влияние технологии изготовления на усталостную прочность
применяют различные методы, например, отжиг в вакууме, снимающий остаточные напряжения и др.
Одной из серьезных проблем является исследование прочности элементов
конструкций, контактирующих между собой и разрушающихся в зоне контакта. Это происходит, например, во многих технологических процессах обработки металлов (дробление, измельчение, резание и др.) [20], а также при
эксплуатации в результате абразивного, эрозионного изнашивания (возникающего при потоке частиц на поверхность элемента), фреттинга (возникающего в зоне контакта при циклическом нагружении), контактного ударного
нагружения и т.п. [37]. При контактном нагружении в большинстве случаев в
элементе реализуется сложный процесс деформирования.
В литературе [45,66,78] представлены результаты испытаний образцов на
прочность в различных коррозионных средах. Различают следующие виды
коррозии: химическую, электрохимическую (элементы из различных металлов образуют электрическую цепь, замыкаемую некоторой коррозионной
средой), щелевую (капли коррозионной среды задерживаются в различных
щелях, трещинах и т.п., имеющихся в элементах), точечную (локализованные
воздействия коррозионной среды), межкристаллическую (на границах зерен,
как правило, после неправильной технологии изготовления или сварки), кавитационную (пузырьки и каверны лопаются у поверхности элемента), биологическую (вследствие активности живых организмов), а также водородное
растрескивание. В целом, наблюдается значительное отрицательное влияние
коррозионной среды на прочность материалов. Например, для сталей с
 в  60МПа пределы выносливости снижаются в пресной воде в среднем в 23 раза, в морской воде – в 4-6 раз; для сталей с  в  100МПа коррозия в
пресной воде приводит к снижению пределов выносливости в 3.5-5 раз, а в
морской воде – в 7-11 раз. Аналогичное снижение пределов выносливости
установлено и для алюминиевых сплавов. В условиях воздействия коррозионной среды также усиливается влияние асимметрии цикла на предел прочности. Так, наложение средних сжимающих напряжений на амплитуду одномерного нагружения образцов из различных сталей уменьшает ее предельное
значение в воде по отношению к значению в воздухе приблизительно на 5%,
однако при пульсирующем цикле со средними растягивающими напряжениями предельная амплитуда в воде становится в 10 раз ниже.
Механическая обработка элемента оставляет на его поверхности неровности, которые являются концентраторами напряжений и приводят к резкому
снижению пределов прочности (до шести раз), особенно в коррозионных средах, при износе и при так называемых фреттинг-коррозионных процессах,
протекающих в местах напрессовки деталей (шестерен, колец подшипников и
т.п.) на валы или оси, а также в соприкасающихся элементах. В связи с тем,
что степень развития коррозионных и фреттинг-коррозионных процессов зависит от времени пребывания элемента в агрессивной среде, существенными
параметрами становятся частота и число циклов нагружения. В областях малоцикловой усталости при сравнительно небольших числах циклов до разрушения влияние коррозии незначительно, а, например, в областях многоцикловой усталости пределы усталости уменьшаются до 50% по сравнению с
гладкими образцами. Например, для алюминиевых сплавов и некоторых сталей при симметричном многоцикловом кручении с изгибом предельная амплитуда напряжения может понизиться на 50 % в условиях контактной коррозии [78]. Совместное действие концентрации напряжений и фреттингкоррозии приводит при симметричном растяжении-сжатии к снижению до
80% предела выносливости элементов из алюминиевых сплавов, содержащих
болтовые соединения, проушины и др. концентраторы.
Повышение пределов прочности деталей достигается различными методами поверхностного упрочнения, к которым относятся:
- поверхностное пластическое деформирование: полировка, шлифовка, обдувка дробью, обкатка роликами, алмазное выглаживание (особенно эффективен для элементов, нагружаемых в условиях коррозии), пескоструйная очистка;
44
- химико-термические методы (науглероживание, хромирование, никелирование, кадмирование, цементация, азотирование, цианирование);
- поверхностная закалка с нагревом токами высокой частоты;
- лучевые методы (лазерная обработка, ионная имплантация, обработка
электронным лучом);
- введение между контактирующими поверхностями различных прокладок,
пленок из неметаллических материалов и т.п.
Для повышения пределов циклической прочности элементов с напрессовками, в которых возникает фреттинг-коррозия, производят различные конструктивные изменения: создание различных разгружающих выточек, введение утоненных поясков и т.п.
Использование этих методов позволяет повысить пределы прочности до
трех раз и долговечность до десяти раз [9,22,23,78]. Например, рассмотрим
симметричное одномерное нагружение образца с амплитудой  a , в поверхностном слое которого имеются остаточные сжимающие напряжения. Тогда
в нем возникает несимметричное нагружение с сжимающими средними
напряжениями и предельная амплитуда существенно возрастает. Отметим,
что при неправильной технологии упрочнения поверхностного слоя в нем
могут возникнуть растягивающие напряжения, что приведет к резкому
уменьшению предельной амплитуды.
Температурное поле элементов конструкций оказывает существенное
влияние на их прочность. При высоких температурах статическая нагрузка
вызывает ползучесть материала. Значения пределов длительной прочности с
повышением T быстро уменьшаются [13,33,42,60,62] и могут стать меньше
пределов усталости. Влияние повышенных температур (обычно, T  0.5Tплав ,
где Tплав - температура плавления) на пределы статической, усталостной прочности и текучести аналогично: с увеличением T их значения уменьшаются, а
с уменьшением T – несколько увеличиваются. Для аустенитных сталей – это
температура выше 600  700 С , для сплавов на основе никеля и кобальта –
1000 С , а для алюминия - комнатная температура. Особенностью процесса
усталостного разрушения твердых тел при высоких температурах является
тесная связь с процессом ползучести, особенно, при асимметричных циклах
нагружения. С повышением температуры исчезает горизонтальный участок
кривой Вэлера и физический предел усталости для многих материалов. При
этом усиливается влияние частоты на пределы усталостной прочности. Авторы отмечают, что явление ползучести, возникающее при высоких температурах, оказывает такое же влияние на закономерности усталостного разрушения, как коррозионная среда при комнатных температурах.
1.3.2. В механике деформируемого твердого тела определение «местных»
напряжений вблизи значительных изменений формы поверхности тела выделяют в отдельную проблему – проблему концентрации напряжений.
у
у
11
11
22
22
М
М
х
22
а
М
в
а
М
х
22
11
а)
11
б)
Рис. 1.15. Прямоугольная пластина с круговым (а) и эллиптическим (б) отверстиями при двумерном растяжении.
Теоретическому и экспериментальному изучению концентрации напряжений посвящено много книг [26,78]. Одной из основополагающих задач о концентрации напряжений в упругих телах является хорошо известная задача
Кирша о концентрации напряжений в упругой бесконечной пластине с круговым отверстием радиуса
r  a при одномерном растяжении
 11   н ;  22  0 (см. рис. 1.15а)).
Из имеющегося решения этой задачи следует, что возникающие на контуре отверстия в т. M и M  тангенциальные напряжения   превышают  н в
три раза:   max  3 н ( r ,  - полярная система координат). В случае равномерного растяжения той же пластины (рис. 1.15а)) на всем контуре отверстия достигается максимальное значение   max  2 н .
Из известного решения другой задачи (см. например, [40]) при одномерном
растяжении  11   н ;  22  0 упругой бесконечной пластины с эллиптическим
отверстием (рис. 1.15б)) следует, что в этом случае наибольшее тангенциальa

ное напряжение   достигается в т. М и М  :   max   н 1  2  . При
b

двумерном равномерном растяжении  11   22   н той же пластины
(рис.1.15б)) максимум тангенциального напряжения также достигается в точa
ках М и М  и равен:   max  2 н . При b  0 в обеих задачах эллиптиb
46
ческое отверстие вырождается в прямолинейный разрез нулевой толщины и
тангенциальное напряжение обращается в бесконечность. Приведем выражения для распределения напряжений на продолжении большой полуоси:
xx 2  a 2 
 11   н
,  12  0 ,
x 2  a 2  b 2 3 2
(1.35)
2
2
2
xx  a  2b 
 22   н
, x  a, y  0 .
3
2
2
2 2
x  a  b 
Из них видно, что в точке x  a, y  0 при b  0 напряжения (1.35) сингулярны, причем они имеют следующую особенность по расстоянию от вершины разреза:
н a
н a
 11   н
 ... ,  22   н
 ... .
(1.36)
2 xa
2 xa
Это свойство является фундаментальной характеристикой поля напряжений у
кончика разреза нулевой толщины в механике разрушения.
При произвольных нагружениях элементов конструкций необходимо
находить напряженно-деформированное состояние, решая соответствующую
задачу теории упругости, теории пластичности и др. В частных случаях разрабатываются различные приближенные методы оценки напряженнодеформированного состояния в зонах концентрации напряжений. Кратко
опишем их основные положения.
Пусть даны две упругие пластины: одна - гладкая прямоугольная пластина шириной h и толщиной  , а другая (изображена на рис. 1.16) – прямоугольная пластина ширины H , толщины  с симметричными боковыми вырезами глубиной t и радиусом закругления у дна выреза  (минимальная
ширина равна h ).
К обеим пластинам приложена равномерно распределенная растягивающая сила величины P . В пластине без вырезов возникает однородное одномерное напряженное состояние с напряжением  1   н , равным:
P
н 
.
(1.37)
h
Напряжение  н , найденное для пластины без вырезов при заданных граничных условиях, называется номинальным нормальным напряжением для
пластины с вырезами при тех же граничных условиях [78].
В упругой пластине с вырезами при действии силы P возникает плоское
напряженное состояние, которое является решением соответствующей задачи
теории упругости. Эпюра главного напряжения  1 для сечения OO1 изображена на рис.1.16. В сечении OO1 возникает второе главное напряжение  2 ,
Р
у
δ
1
С
ma x
А
n
n
Н
В
θ
0
Х
0
h
ρ
1
t
Н
2
Р
2
1
Рис. 1.16. Концентрация напряжений в пластине с боковыми надрезами
при растяжении
направленное по оси x и равное нулю в точках O и O1 . При этом наибольшим главным напряжением является напряжение  1 . Набольшее значение
 max достигается в точках O и O1 .
Теоретическим коэффициентом концентрации напряжений  называется
отношение наибольшего значения главного напряжения  max к номинальному напряжению в точке его действия, вычисленному по минимальной площади при упругом деформировании [78]:

  max .
(1.38)
н
Так введенный коэффициент не отражает картину распределения напряжений в элементах сложной конфигурации даже при одномерных нагружениях
на границе и служит только для приближенной оценки напряженнодеформированного состояния. В литературе представлены значения
   (t ,  ) для различной геометрии вырезов и нагружений [26,78].
Теперь пусть в пластинах возникают упруго-пластические деформации. По
аналогии с теоретическим коэффициентом концентрации напряжений  вводится [66,78] коэффициент концентрации упруго-пластических напряжений
 в виде:

  max
(1.39)
н
где  max - наибольшее значение нормального напряжения, найденное из реше-
48
ния упруго-пластической задачи, и коэффициент концентрации деформаций
  в виде:

   max
(1.40)
н
где  max - наибольшее значение деформации нормального волокна.
Приближенно значения  ,   и  связывает формула Х. Нейбера:
     2
(1.41)
Аналогично для трубчатых гладкого образца и с концентратором при сдвиге,
вводится коэффициент концентрации напряжений  [78]:

  max ,
(1.42)
н
где  max - наибольшее значение касательного напряжения в образце с концентратором,  н - номинальное касательное напряжение.
Теперь рассмотрим результаты испытаний до разрушения обеих пластин.
Для гладкой пластины находятся пределы статической прочности  в , а для
пластины с вырезами – предел  вк (наибольшее значение главного предельного напряжения). Эффективный коэффициент концентрации статических
нормальных напряжений  ст определяется так:

ст  вк .
(1.43)
в
По аналогии эффективный коэффициент концентрации статических касательных напряжений  ст записывается в виде:

ст  вк ,
(1.44)
в
где  в - предел статической прочности при сдвиге и  вк - наибольшее значение
касательного предельного напряжения в образце с концентратором.
По результатам опытов при одномерном симметричном растяжениисжатии тех же пластин найдем пределы выносливости пластины без вырезов
 1 и с вырезами  k1 (наибольшее значение главного напряжения). Эффективным коэффициентом концентрации циклических напряжений  ,1 назовем:
 ,1 
 1
,
 k1
(1.45)
а коэффициентом чувствительности материала к концентрации напряжений
q - отношение вида:
q 
  1
,
  1
(1.46)
где под  понимают или  ст , или  ,1 . При   1 имеем q  0 , т.е. материал не чувствителен к концентрации напряжений, при    коэффициент
q  1 и материал обладает полной чувствительностью к концентрации
напряжений. Аналогично вводятся эффективный коэффициент концентрации
касательных напряжений  ,1 и коэффициент чувствительности материала к
концентрации напряжений q в виде:
 ,1 
 1
 1
, q  
,
k
 1
  1
(1.47)
где  1 и  k1 - пределы выносливости при сдвиге для гладкого образца и с
концентратором соответственно, под  понимают  ст или  ,1 .
50
Глава 2. Предельные состояния и механические теории
прочности
Классический феноменологический подход к теоретическому описанию
прочности твердых тел основан на гипотезе о том, что в точке тела достигается предельное состояние (разрушение), если некоторая универсальная
функция инвариантов тензоров напряжений, деформаций или их комбинаций достигает определенного значения.
Не обсуждая вид этой универсальной функции, отметим одно принципиальное положение – в критериях прочности этого типа собственно процесс
нагружения не участвует: принимается, что если f  ij    * , то состояние в
точке безопасно и будет оставаться таковым как угодно долго. Если
f  ij    * , то в точке произойдет мгновенное разрушение независимо от
того, каким образом это напряженное состояние достигнуто. Таким образом,
появление критического состояния не будет зависеть от предыстории процесса нагружения на интервале времени t  0, t *  , а будет определяться значениями компонент тензоров напряжений и деформаций в момент t * :
 ij (t * )   ij* ,  ij (t * )   ij * . При этом влияние немеханических параметров (температуры, радиационного облучения, агрессивности окружающей среды и
т.п.) на прочность тел в гипотезах прочности учитывается через экспериментально определяемые константы и функции моделей.
Недостаточность описанного подхода очевидна: при интенсивных внешних воздействиях (температура, другие физические поля, циклические и динамические нагружения и др.) в теле могут возникнуть (и это допускается)
пластические деформации, проявиться ползучесть, могут произойти изменения внутренней структуры материала и т.п. Тем не менее, в различных приложениях при определении надежности такой подход широко используют.
Итак, рассмотрим классические механические теории прочности. Расположим главные значения  k   k  t  , k  1,2,3, тензора напряжений  ij таким
образом:  1  t    2  t    3  t  , t  0, t *  .
2.1. Гипотеза максимальных нормальных напряжений:
разрушение твердого тела произойдет при достижении модулем максимального главного напряжения  1 предельного значения  * :
1   *.
(2.1)
Величина  * равна пределу статической прочности  в или пределу текучести  s при растяжении, если  1  0 ; и соответственно  в ,с и  s ,c при сжа-
тии, если  1  0 .
На основе анализа многих экспериментальных данных найдено, что уравнение (2.1) хорошо описывает поведение тел первого класса, для которых па-
*
(под  * понимается предел статической прочности  *   в
*

или предел текучести  *   s при сдвиге) находится в диапазоне:
раметр  2 
1  2  3 .
(2.2)
К таким телам относятся керамики, чугуны, различные марки закаленных
сталей и др.
Если учитывать характер разрушения, то гипотеза максимальных нормальных напряжений, в основном, описывает разрушение хрупких твердых
тел, когда макро-деформации остаются упругими.
Экспериментально установлено, что при всестороннем сжатии (в пределах нагружений, характерных для инженерной практики) ни пластических
(остаточных) деформаций, ни разрушения в обычных конструкционных материалах не возникает, что не предсказывается гипотезой максимальных
нормальных напряжений, согласно которой предельное состояние текучести
возникнет, когда    s . При объемном расширении разрушение происходит
при среднем напряжении  , вдвое превышающим  в , в то время как по гипотезе (2.1) предсказывается разрушение при    в .
2.2. Гипотеза максимальных касательных напряжений:
разрушение твердого тела произойдет при достижении максимальным
касательным напряжением  max предельного значения  * , под которым
понимается временное сопротивление при сдвиге  *   в или предел текучести при сдвиге  *   s :
 max 
1   3
*.
(2.3)
2
В экспериментах обнаружено, что гипотеза максимальных касательных
напряжений описывает вязкие разрушения с образованием шейки в результате пластической деформации. Причиной текучести и, в дальнейшем, разрушения являются сдвиги на площадках действия наибольших касательных
напряжений. При этом на основе результатов экспериментов принимается,
что уравнение (2.3) будет выполняться для тел с параметром 2 , лежащем в
диапазоне:
3  2  2
(2.4)
Если рассмотреть частный случай статического объемного расширения
или сжатия:  ij   ij , то для него по гипотезе максимальных касательных
52
напряжений предельные состояния не возникают (левая часть уравнения (2.3)
равна нулю).
2.3. Гипотеза максимальной главной деформации:
разрушение твердого тела произойдет при достижении максимальной
главной деформацией предельного значения  * , под которым понимается
предельная осевая деформация  в или условная предельная деформация текучести  s материала при растяжении.
Пронумеруем главные значения  k , k  1,2,3, тензора деформаций  ij таким образом, чтобы  1   2   3 , тогда условие максимальной главной деформации примет вид:
1   * .
(2.5)
Критерий максимальной главной деформации применяется в расчетах на
прочность элементов из подкрепленных композиционных материалов при
различных напряженных состояниях. Эта гипотеза будет рассмотрена в шестой главе для тел с трещинами в качестве критерия вязкого разрушения в
случае развитых пластических деформаций.
2.4. Гипотеза максимальных деформаций сдвига:
разрушение твердого тела произойдет при достижении максимальной
деформацией сдвига  max известного значения  * , под которым понимается предельная сдвиговая деформация  в или условная предельная сдвиговая
деформация текучести  s материала при сдвиге.
При  1   2   3 условие гипотезы максимальных деформаций сдвига
имеет вид:
 max 
1   3
  *.
2
(2.6)
Отметим, что математические формулировки гипотез максимальных нормальных и максимальных касательных напряжений (2.1), (2.3) и гипотез максимальных главных и сдвиговых деформаций (2.5), (2.6) эквивалентны для
разных физических тензоров (тензора напряжений и тензора деформаций).
Теперь перейдем к формулировке энергетических критериев прочности.
2.5. Гипотеза плотности полной энергии деформации:
разрушение твердого тела произойдет, если плотность полной внутренней энергии деформации u (на единицу объема тела) достигнет предельной величины при растяжении u * :
 ij
u    ij d  ij  u* .
0
(2.7)
Разложим полную внутреннюю энергию деформации U на две составляющие: энергию дилатации U d (связанную только с изменением объема тела)
и энергию формоизменения U f : U  U d  U f . Экспериментально установлено, что разрушение тел связано, в основном, с энергией изменения формы,
т.е. с энергией U f . Это учитывается следующим критерием плотности энергии формоизменения:
разрушение твердого тела произойдет при достижении плотностью энер*
гии формоизменения u f предельной величины u f :
ij
S d
ij
 uf ,
*
ij
(2.8)
0
ij и S ij - компоненты девиатора деформаций и напряжений соответствен-
но.
Для упругого тела плотность энергии формоизменения равна:
9 1   
uf  
Sij Sij ,
(2.9)
4  3E 
т.е. пропорциональна квадрату интенсивности напряжений
3
 и (t ) 
Sij (t ) Sij (t ) ; следовательно, для упругих тел критерий (2.8) стано2
вится эквивалентен критерию интенсивности напряжений.
2.6. Критерий интенсивности напряжений:
разрушение твердого тела произойдет при достижении интенсивностью
напряжений предельного значения  * :
 и   *,
(2.10)
где под величиной  * понимается предел статической прочности  в или предел текучести  s при растяжении.
Соотношение (2.10) применимо для оценки прочности упругого тела.
Однако его также используют при оценке прочности твердых тел при малых
упруго-пластических деформациях, что не противоречит экспериментальным
данным.
2.7. Критерий интенсивности деформаций:
разрушение твердого тела произойдет, когда интенсивность деформаций
достигнет предельного значения  * :
 и   *.
(2.11)
Под  понимается предельная осевая деформация    в или условная
*
54
*
предельная деформация текучести  *   s материала при одномерном растяжении.
Если записать плотность энергии формоизменения упругого тела в деформациях, то на основании (2.8) гипотеза интенсивности деформаций окажется
следствием гипотезы плотности энергии формоизменения.
2.8. Гипотеза прочности Мора:
разрушение твердого тела произойдет при касании наибольшим кругом
Мора, соответствующим рассматриваемому напряженному состоянию,
огибающей кругов Мора, построенных по результатам экспериментов по
разрушению образцов при растяжении, сжатии и сдвиге.
Гипотеза прочности Мора применяется, в основном, для хрупких тел, обладающих различной сопротивляемостью разрушению при действии растягивающих и сжимающих нормальных напряжений.
Построим круги Мора. Для этого введем в точке М твердого тела декартовую систему координат ei , i  1, 2,3, и координатный тетраэдр, наклонная
3

грань которого имеет единичную нормаль n  (n1 , n2 , n3 ) ,  ni2  1 . На этой
i 1

грани рассмотрим вектор напряжения Pn , который можно разложить на сум

му векторов нормального напряжения  n и касательного напряжения  n :



(2.12)
Pn   n n   n m .

Координаты единичного вектора m определяем как решение следующей
системы уравнений:
3
  
 
(2.13)
n, Pn , m  0 , n, m  0 ,  mi2  1 .


i 1
В выражении (2.12) нормальное напряжение  n представляется через
компоненты тензора напряжений  ij в виде:
 n   ij ni n j ,
(2.14)
а касательное напряжение  n - в виде:
 n   ij n j  ei , m ,
1/ 2
2
2
 3
(2.15)
 n     ij ni    ij ni n j   .
 1

Нормальное напряжение  n и касательное напряжение  n на произволь
ной площадке с нормалью n представим точкой на плоскости в координатах
( n , n ) (см. рис.2.1 а)).Изобразим круги Мора – круги радиусов:
r1 
 2 3
2
, r2 
 3  1
2
, r3 
1   2
2
(  1   2   3 ) с центрами в точках:
    3    3  1   1   2 
, 0;
, 0
, 0  соответственC1 , C2 , C3 с координатами:  2

 2
  2
 2
но. Как нетрудно заметить, всем произвольным площадкам с различными

нормалями n будут соответствовать точки, лежащие в заштрихованной области между кругами Мора (см. рис.2.1 а)) [67]. Отметим, что максимальное
значение касательного напряжения  n при фиксированном нормальном
напряжении  n достигается на наибольшем круге: на рис. 2.1 а) в точке N.
Рассмотрим три предельных круга Мора: круг радиуса rр 
 в, р
2
с цен-
  в, р 
тром в точке C p : 
,0  , соответствующий разрушению при одномерном
 2

 в ,c
  в ,c 
с центром в точке Cс : 
,0  , соот2
 2 

ветствующий разрушению при одномерном сжатии, и круг радиуса rсд  в с
2
центром в начале координат, соответствующий разрушению при сдвиге. Построим огибающие этих кругов таким образом, чтобы они касались всех трех
кругов (см. рис.2.1 б)). Тогда если предельную кривую аппроксимировать
прямой, проходящей через точки A и C (см. рис.2.1б)), то критерий Мора будет иметь вид:
 1  m 3   * ,
(2.16)
 в, р
где m 
, под величиной  * понимается временное сопротивление те в ,с
растяжении; круг радиуса rc 
ла при растяжении  *   в .
Пример 2.1. Рассмотрим балку длины 2l , лежащую на двух опорах, как

показано на рис. 2.2. На длине 2a распределена нагрузка q в направлении
положительной оси y . Начало координат проходит через центр тяжести поперечного сечения, и оси координат x и y являются главными центральными
осями сечения. Найти форму поперечного сечения балки, имеющего минимальную площадь (такую форму назовем рациональной формой).
Решение. На участке I рис. 2.2 перерезывающая сила Qy постоянна и равна Qy  qa , на участке II эта сила линейно убывает (см. рис. 2.2), а на
участке III – снова постоянна и равна Qy  qa . Изгибающий момент M x на
56
n
N
r
3
С1
2
r
r
С2
С3
1
n
а)
n
Огибаю ща я круг
С
в,с
ов Мора
А
0
n
кругов М
Оги ба ю щая
гра-
ор а
б)
Рис.2.1. а) Круги Мора
б) Гипотеза прочности Мора
ницах между первым и вторым и между вторым и третьим участками одинаков и равен: M x  qa  l  a  . На участках I и III эпюра модуля изгибающего
момента M x прямолинейна, на участке II – парабола (см. рис. 2.2). Максимальное значение M x достигается в середине балки и равно:
II
_
q
III
I
2а
Z
Qy
2l
Qy
Z
Мх
Мх
Z
y

Рис. 2.2. Балка, нагруженная распределенной нагрузкой q
 a
max M x  M x ,max   q a  l   .
(2.17)
 2
В упругой балке при действии изгибающего момента M x возникает одномерное напряженное состояние (следствие уравнений равновесия, закона Гука и выражения для компоненты тензора деформаций  zz с учетом гипотезы
плоских сечений) следующего вида:
M y
(2.18)
 zz  x ,
Ix
где величина I x - осевой момент инерции сечения F:
I x   y 2 dF .
(2.19)
F
По гипотезе максимальных нормальных напряжений максимальный изгибающий момент и геометрические параметры поперечного сечения балки
связаны следующим соотношением:
 y
(2.20)
M x ,max max     s .
 Ix 

Таким образом, при заданной нагрузке q для рациональной формы поперечного сечения имеем уравнение:
58
s
y
.
(2.21)

I x M x ,max
Рациональное сечение должно удовлетворять условию прочности растянутой и сжатой зон. Распределение напряжений при изгибе симметрично относительно нейтральной оси Ox . Поэтому рациональными сечениями являются некоторые сечения, симметричные относительно нейтральной оси. К
таким сечениям относится, например, прямоугольное сечение (рис. 2.3 а)).
Однако в этом случае материал, находящийся в зоне нейтральной оси, недогружен и такое сечение не имеет минимально возможную площадь. Чтобы
получить рациональное сечение, необходимо возможно большую часть материала переместить в зоны, максимально удаленные от нейтральной оси. Таким сечением является, например, симметричный двутавр (см. рис. 2.3 б)).
max
у
у
у
ZZ
-
МХ
в
δ
х
х
0
х
0
0
+
а)
б)
в)
Рис.2.3. Различные формы рациональных сечений балки,
изображенной на рис. 2.2
Отметим, что если временное сопротивление при растяжении  в , р не равно временному сопротивлению при сжатии  в ,с , то двутавр должен быть
несимметричен со следующим отношением максимальных размеров по оси
y в областях растяжения y max, р и сжатия y max, с :
 в., р
.
(2.23)
y max, с  в., с
Пример 2.2. Рассмотрим стержень эллиптического поперечного сечения
под действием изгибающего момента M x и крутящего момента M z (см. рис.
2.4). Ось z направим по оси стержня, ось x по направлению полуоси a, ось
y - по направлению полуоси b . Пусть для определенности a  b . На основе
классических гипотез прочности найти критический изгибающий момент
y max, р
Mx
*
при заданном отношении k 

Mx
. Критическим назовем наименьшее
Mz
*
значение изгибающего момента M x , при котором хотя бы в одной точке достигается текучесть материала согласно хотя бы одному критерию.
Мz
Ру
у
Z
Мz
z
Ру
х
Мz
z
МХ
Рис. 2.4. Стержень под действием изгибающего Мz и
крутящего Мх моментов
Решение. Распределение моментов по оси стержня схематично представлено на рис. 2.4. Эллиптическое сечение стержня определяется уравнением:
x2 y2

 1.
(2.24)
a2 b2
Из известного решения задачи о кручении упругого стержня эллиптического поперечного сечения известно следующее распределение напряжений:
M za2 y
M b2 x
 zx  2 3 3 ,  zy  2 z 3 3 .
(2.25)
a b
a b
Отсюда касательное напряжение в задаче о кручении стержня эллиптического сечения равно:
 2
Mz
a 4 y 2  b4 x2
 a 3b3
.
(2.26)
Решение задачи о чистом изгибе стержня моментом M x имеет одну отличную от нуля компоненту нормальных напряжений  zz :
M y
 zz  x ,
(2.27)
Ix
60
b3a
где осевой момент инерции эллиптического сечения равен: I x 
.
4
Выражения (2.25) и (2.27) являются точными решениями соответствующих задач линейной теории упругости. В линейном случае решение задачи о
совместном действии изгиба с кручением представляется в виде суммы решений двух задач: задачи о чистом изгибе и задачи о чистом кручении
стержня.
Рассмотрим напряженное состояние стержня при совместном действии изгиба с кручением.
Отметим, что наибольшие касательные напряжения кручения достигаются
в точках y  b . Действительно, при подстановке уравнения эллипса в соотношение (2.26) имеем:
  2a
Mz
(a 2  b 2 ) y 2  b 4
 a 3b3
.
(2.28)
Отсюда максимальное значение по переменной y выражения (2.28) достигается при y  b и равно:
2 Mz
.
(2.29)
 max 
 ab2
В этих же точках y  b максимум достигают напряжения изгиба (2.27),
как в точках, наиболее удаленных от нейтральной оси изгиба x :
M b 4M
 zz ,max  x  2 x .
(2.30)
Ix
ab 
Теперь перейдем к оценке предельных состояний стержня.
По гипотезе максимальных касательных напряжений разрушение стержня
при кручении с изгибом произойдет в точках y  b при условии, что
1/ 2
*2


*2
zz ,max

(2.31)
  max    s ,
 4



откуда после подстановки  zz ,max и  max согласно (2.29) и (2.30) имеем сле-
дующее соотношение ( k 
Mx
):
Mz
Mx
*
4
s .
(2.32)
 ab
k2
По гипотезе максимальных нормальных напряжений разрушение стержня
при кручении с изгибом произойдет в точках y  b при условии, что
2
1
1/ 2
*2


*
*2
zz ,max
(2.33)
0.5 zz ,max  
  max    s .
 4



Откуда после подстановки  zz ,max и  max согласно (2.29) и (2.30) имеем:
*
Mx 
4 
2

1

(2.34)

 s .
 ab 2 
k 2 
По гипотезе максимальной интенсивности напряжений разрушение стержня при кручении с изгибом произойдет в точках y  b при условии, что

2
 zz ,max *  3 max *

2 1/ 2
s .
(2.35)
Откуда после подстановки вместо  zz ,max и  max их выражений согласно
(2.30) и (2.29) имеем:
*
2 Mx
3
1 2   s .
(2.36)
2
 ab
k
По гипотезе Мора после подстановки в (2.16) следующих главных напряжений в точках y  b при кручении с изгибом:
1/ 2
  zz ,max 2

2
 1  0.5 zz ,max  
  max  ,  2  0 ,
 4



1/ 2
и  zz ,max и  max
ношение:
  zz ,max 2

2
(2.37)
 3  0.5 zz ,max  
  max  ,
 4



согласно (2.30) и (2.29) имеем следующее предельное соот*
Mx 
4 
2(1

m
)

(1

m
)
1

 s .
2 
 ab 
k 2 
(2.38)
 s, р
.
 s ,с
Проанализируем соотношения (2.32), (2.34), (2.36), (2.38).
где m 
При k 
*
Mx 4

для любых материалов критический изгибающий момент
Mz 3
M x достигается по гипотезе максимальных нормальных напряжений и равен:
62
Mx 
*
 s ab2
.
(2.39)

4 
 2  1 2 
k 

*
Действительно, если в этом случае подсчитать критический момент M x по
трем рассмотренным гипотезам, то значение (2.39) будет минимальным из
всех значений, т.е. достигается текучесть в точках y  b по гипотезе максимальных нормальных напряжений.
M
4
При k  x  будем иметь различные случаи в зависимости от свойств
Mz 3
материала. Введем следующие обозначения:
k2  3
,
k2  4
2(1  m)k
f (m, k ) 
1 m .
k2  4
g (k )  2
При условиях
g (k )   , f (m, k )  g (k )
и
g (k )   , f (m, k )   ,  
(2.40)
s
,
s
(2.41)
*
критический изгибающий момент M x достигается по гипотезе Мора и равен:
Mx 
 s ab 2
*
При условии
4
2(1  m)  (1  m) 1  2
k
g (k )   , f (m, k )  g (k )
.
(2.42)
(2.43)
*
критический изгибающий момент M x достигается по гипотезе максимальной интенсивности напряжений и равен:
 s ab 2
*
Mx 
.
(2.44)
3
2 1 2
k
При условии
g (k )   , f (m, k )  
(2.45)
*
критический изгибающий момент M x достигается по гипотезе максимальных касательных напряжений и равен:
Mx 
*
 s ab 2
.
(2.46)
4
1 2
k
*
Таким образом, найден критический изгибающий момент M x для стержня
эллиптического сечения при различных заданных отношениях изгибающего
 s, р
и крутящего моментов для материалов с различными параметрами m 
и
 s ,с

s
.
s
64
Глава 3. Гипотезы накопления повреждений
Классические механические теории прочности (см. главу 2) основаны
на гипотезе о том, что разрушение тела происходит при достижении некоторыми инвариантными характеристиками напряженно-деформированного состояния критических значений. Переход же тела из начального
состояния в критическое сопровождается последовательностью промежуточных состояний, т.е. является процессом накопления повреждений.
Согласно постулату макроскопической определимости процесс
накопления повреждений является функционалом на процессе нагружения (или деформирования). Напомним, что под процессом нагружения тела на интервале t  [0, t * ] понимается известная зависимость тензора
напряжений от времени  ij   ij (t ) , а под процессом деформирования –
зависимость тензора деформаций от времени  ij   ij (t ) . Такой процесс
будет предельным процессом, если он переводит тело из некоторого
начального состояния при t  0 в определенное критическое состояние
при t  t * однократно [12]. При этом время t * называется долговечностью.
Первой попыткой построить функцию повреждений для определения
предельного процесса было введение параметра поврежденности  ,
d
 f  , t ,  k  , в число паопределяемого из кинетического уравнения
dt
раметров которого входит температура, тензоры напряжений и деформаций, характеристики структуры тела и др. В исходном теле   0 ; в момент t * , когда происходит разрушение тела,   1 .
В дальнейшем понятие поврежденности было обобщено, были введены
векторы и тензоры повреждений как функционалы процесса, меры повреждений как их инварианты, соответствующие условия прочности. Переосмыслены классические подходы к описанию прочности на основе построения вектора повреждений как функции процесса изменения максимальных главных напряжений, максимальных касательных напряжений,
максимальной главной деформации, максимальных деформаций сдвига,
максимальной интенсивности напряжений и деформаций для простых
процессов нагружений. Под простым процессом нагружения (деформирования) понимается процесс, изображаемый в пятимерном пространстве
А.Ильюшина лучами, исходящими из начала координат, компоненты которого или не зависят от времени, или пропорциональны одной функции
времени.
Отметим, что понятия функции, вектора или тензора повреждений являются математическими понятиями, используемыми для построения математических моделей (что характерно для феноменологического подхода)
и, строго говоря, физического смысла не содержат. Конкретный вид функций и функционалов устанавливается экспериментально с использованием
результатов материаловедческих исследований. Однако, в определенном
смысле (см. главу 1), возрастание функции повреждений в процессе
нагружения можно трактовать как увеличение объемной плотности субмикроскопических, микроскопических и коротких трещин.
3.1. Скалярные свойства повреждений. Гипотезы линейного и нелинейного суммирования повреждений для одномерных процессов
нагружения
Рассмотрим одномерный процесс нагружения твердого тела на некотором интервале времени t  [0, t * ] в виде последовательности синусоидальных циклов с амплитудами напряжений  s,a , s  1,...S , и средними значениями  q,m , q  1,...Q :
 11    q ,m  h  t  tq 1,m   h  t  tq ,m   
Q
q 1
S
   s ,a sin  s t   s   h  t  ts 1,a   h  t  t s ,a  
s 1
,
(3.1)
 ij  0 при  i, j   1,1
или в деформациях – с амплитудами деформаций  r ,a , r  1,...R, и средними значениями деформаций  l , m , l  1,...L , в виде:
L
11    l ,m  h  t  tl 1,m   h  t  tl ,m  
l 1
R
  r ,a sin  r t  r   h  t  tr 1,a   h  t  tr ,a  
,
(3.2)
r 1
 22   33  11 ,  ij  0 при  i, j   1,1 ,  2, 2 , 3,3 .
Величины t q ,m , q  1,...Q и t s , a , s  1,...S - характерные времена действия
соответствующих средних значений напряжений  q,m и амплитуд напря-
жений  s,a , h  htˆ  - функция Хевисайда (под аргументом функции Хевисайда tˆ понимаются разности tˆ  t  t q,m , q  1,...Q , или разности
tˆ  t  t s,a , s  1,...S ); аналогично задается процесс в деформациях,  - коэффициент поперечной деформации. Нагружение (3.1) и (3.2) является нерегулярным нагружением, которым моделируют различные произвольные
переменные случайные нагружения. Существует много различных методов приведения случайного нагружения к виду (3.1) или (3.2), т.е. к виду
66
повторяющихся ступенчатых блоков. Наиболее известными являются: метод максимумов, метод размахов, метод потока дождя, метод полных циклов и т.п. [24,66]. Отметим, что модели, рассматриваемые в этой главе, относятся к традиционным детерминированным моделям повреждений.
Учеными разрабатываются также различные модели описания процесса
нагружения как случайного процесса, например, как эргодического стационарного гауссовского процесса и др., что в данном пособии не рассматривается.
Постулируем, что существует положительная скалярная величина  :
0    1 , называемая скалярной поврежденностью [18,53]. Начальное
состояние тела характеризуется значением   0 , а критическое состояние
(разрушение) – значением   1 . Наиболее известным является определение скалярной поврежденности  s , s  1,...S , для симметричного нагружения (3.1) (  q ,m  0 , q  1,...Q ) согласно А. Палмгрену и М. Майнеру:
s 
ns
N  s , a 
, s  1,...S ,
(3.3)
где ns - число циклов действия нагрузки с амплитудой  s,a , N  N  s ,a  долговечность при симметричном одномерном растяжении-сжатии с амплитудой  s,a и частотой  s , s  1,...S .
Гипотеза линейного суммирования повреждений формулируется так:
разрушение твердого тела наступит, когда выполнено следующее условие:
S

s 1
s
 1.
(3.4)
При этом нагружение, не приводящее к разрушению, характеризуются неравенством: левая часть (3.4) меньше единицы.
Если действуют ступенчатые постоянные нагрузки в условиях ползучести
материала (нагружение вида (3.1),  s,a  0 , s  1,...S ), то повреждения  q
определяют в виде:
q 
tq ,m  tq 1,m
t * (
q ,m
, q  1,...Q ,
(3.5)
)
где разность  tq ,m  tq 1,m  - время действия средних значений напряжения
 q ,m , t *  t * (
q ,m
) - время до разрушения тела в условиях ползучести при
действии постоянного напряжения  q ,m , q  1,...Q .
Разрушение твердого тела наступит, при условии, когда
Q

q 1
q
 1.
(3.6)
Уравнение (3.6) с учетом (3.5) обычно используется для оценки накопления повреждений в условиях ползучести в результате действия в различные интервалы времени различных температур и напряжений.
Гипотеза линейного суммирования повреждений при асимметричном процессе нагружения (3.1) формулируется так:
Q
S
  
s
s 1
q 1
q
1.
(3.7)
Некоторые авторы под поврежденностями  s в уравнении (3.4) понимают
отношения амплитуд напряжений:  s 
формаций:
s 
 s ,a
,
 1,s
 s ,a
, s  1,...S , или амплитуд де 1, s
s  1,...S ,
где

 1, s   1  s ,

2 ns 

s 
и

2 ns 
 - пределы усталости на базе предельного числа циклов
s 

ns и частоты  s .
Гипотеза линейного суммирования повреждений использует одно из самых простейших представлений о том, что поврежденность накапливается
равномерно с ростом числа циклов действия амплитуд напряжений или
времен действия средних значений напряжений. Она широко применяется
при оценке прочности различных конструкций, например, для конструкций атомных электростанций (подробнее см. главу 7).
В случае произвольного одномерного длительного нагружения в условиях ползучести
(3.8)
 11   11h  t  , t  0, t *  ,
 1, s   1  s ,
 ij  0 при  i, j   1,1 ,
где h  h  t  - функция Хевисайда, гипотеза линейного суммирования повреждений формулируется так:
t*
dt
 t    1 ,
0
дл
(3.9)
где t  t  дл  - время разрушения тела в условиях ползучести, т.е. функция,
обратная к пределу длительной прочности при растяжении (см. п.1.2.2
первой главы).
Рассматриваются также более сложные гипотезы нелинейного суммирования повреждений, основанные на уравнении (3.4), в котором под
68
поврежденностью  s понимают различные зависимости [12,24,22],
например по Х. Кортену и Т. Долану:
m


ns
  s ,a

, s  1,...S ,
(3.10)
s 

N ( s ,a )  max  s ,a  
 s 1,...S

где m - константа материала.
Для описания откольных разрушений при соударении упругопластических предлагается так называемый интеграл повреждений Тулера-Батчера [7]:
t*
 
   dt  K ,
n
11
(3.11)
0
где  , n - постоянные параметры, определяемые по экспериментальным
данным, K - значение интеграла, при котором происходит откольное разрушение. В момент времени t  0 имеем  11   . Например, для меди
значения констант равны: n  2 ,   0.75ГПа , K  0.19 ГПа / мкс (при
этом толщина ударника находилась в диапазоне 1.5  4.0 мм, толщина мишени - 4-9 мм, скорость соударения 80-300 м/с и температура - в диапазоне 20  425 С ).
Гипотезы линейного суммирования повреждений являются историческими первыми и наиболее распространенными в инженерной практике
гипотезами накопления повреждений. Однако в результате многочисленных экспериментальных исследований получено, что опытные данные
плохо согласуются с расчетами как по линейным гипотезам суммирования
повреждений, так и по значительному количеству их модификаций
[12,15,24]. Они не описывают процесса нагружения, последовательности
приложения напряжений различных уровней, которая оказывает значительное влияние на процесс накопления повреждений. Значения правой
части уравнения (3.9.) лежат в интервале (0,1 – 10).
3.2. Функции повреждений для трехмерных процессов нагружения
В развитие кинетической концепции описания разрушения Ю. Работновым, В. Болотиным и Л.Качановым была введена положительная возрастающая функция    t  , называемая функцией повреждений, такая,
что   0 при t  0 (нулевая поврежденность твердого тела), в критическом состоянии   1 при t  t * . Функция  удовлетворят кинетическому
уравнению [2,18,39,53] :
d
 F  ,  11  t  , t  .
(3.12)
dt
Вид функции F  F  ,  11  t  , t  был предложен многими авторами
[12,18,39,53]. С. Канаун и А.Чудновский [16] функции повреждений
   t  придали физический смысл концентрации включений в теле с
отличными от основного материала свойствами и, исходя из соотношений
термодинамики необратимых процессов, определили функцию F .
Рассмотрим произвольный процесс трехмерного нагружения на интервале времени t  0, t *  :
 ij   ij (t ) , i, j  1, 2,3 .
(3.13)
В. Новожиловым и его школой в качестве параметра функции повреждений    t  в уравнении (3.12) рассматривается длина дуги s  s  t  в
пространстве деформаций:
t
st     иp  d ,
(3.14)
0
2 p
 ij    ijp   - интенсивность пластических деформаций,  ijp 3
компоненты девиатора пластических деформаций. При этом кинетическое
уравнение имеет вид:
d
 F  , s  t  , t  .
(3.15)
dt
Согласно В. Тамужу [27,58,63] поврежденность твердого тела характеризуется функцией     ,  ,t  на единичной сфере F с центром в точке
где  иp 
тела,  ,   - сферические координаты. Функция     ,  ,t  зависит от
 n   n  t  - модуля нормального напряжения (2.14),  n   n  t  - модуля
касательного напряжения (2.15) в точке на единичной сфере 1, ,   и
трех
инвариантов
тензора
напряжений:
I1    t  ,
I2   и t  ,
I3  det  ij  t  . Кинетическое уравнение записывается в виде:
d
 F    t  ,  n (t ), n (t ), I1 (t ), I 2 (t ), I 3 (t ), t  .
dt
В предельном состоянии максимальное значение
    ,  ,t  достигает критического значения  * :


max ( ,  , t ) : 0     ,0    2 ,0  t  t *   * ,
или среднее значение по сфере F равно  * :
*
*
   , , t   .

F
70

(3.16)
функции
(3.17)
(3.18)
Автором рассматриваются частные случаи функций     ,  ,t  :
  
если нормальное напряжение – растяжение:   A n  ,
1  
если нормальное напряжение – сжатие:   0 ,
(3.19)
где A, n - константы материала.
А.Чудновский в качестве функции повреждений    t  предложил
рассмотреть плотность энтропии S  S  t  , которая в критическом состояn
нии при t  t * равна предельному значению S *  S  t *  , характерному для
данного тела. При этом уравнение для нахождения этого критического
значения имеет вид:
t*


S  S0    S   Si  dt ,

0
*
(3.20)
где S 0 - начальная плотность энтропии, S   S   t  - изменение потока
плотности энтропии, Si  Si  t  - скорость производства энтропии, обусловленная различными необратимыми процессами. Отметим, что распределение плотности энтропии носит случайный характер, поэтому уравнение (3.20) формулируется для распределения плотности вероятности случайной функции S  S  t  в процессе случайного нагружения [16].
В.Болотиным [2] предложены два уравнения, задающие функцию повреждений    t  на различных стадиях процесса разрушения: функция
   t  меняется от значения   0   0 в начальном состоянии до значения   tˆ   1 в момент t  tˆ окончания первой стадии разрушения – образования макроскопической трещины длины l и удовлетворяет уравнению:
t
(3.21)
  t   F  s   0 , t  0, tˆ  ,
где F  F  s    0 - функционал длины дуги траектории деформаций:
t

s     и  d  . На второй стадии процесса разрушения изменение дли0
ны l  l  t  макроскопической трещины вплоть до разрушения удовлетворяет уравнению следующего вида:
l  t   G  s   ,   tˆ ,
t*
(3.22)
где G  G  s   ,   tˆ - функционал, зависящий от длины дуги траектоt*
рии деформаций s  s   и функции повреждений      , при этом
    1 на интервале времени t  tˆ, t *  (критическое состояние  tˆ  1 -
окончание первой стадии процесса разрушения), а на второй стадии функция    t  возрастает от  tˆ   1 до некоторого значения     t *  .
Обобщая понятия поврежденности тела, Л. Качанов ввел вектор по 
вреждений    t  , направленный по нормали n к произвольной площадке наклонной грани и имеющий длину  n   n  t  , при условии, что
 n  0 для неповрежденного тела,  n  1 при разрушении и удовлетворяющий кинетическому уравнению:
d n
 F  n ,  n (t ), t  ,
(3.23)
dt
где  n   n  t  - модуль нормального напряжения (2.14).
Пусть теперь компоненты тензора напряжений (3.13) имеют вид (3.1).
Рассмотрим интенсивность напряжений для такого процесса:
3
(3.24)
 u (t ) 
Sij (t ) Sij (t ) ,
2
где Sij (t ) -девиатор напряжений, в виде:
 u (t )   um h  t    ua ( N ) sin  t ,
(3.25)
где  um - среднее значение интенсивности напряжений,  ua - эквивалентная амплитуда напряжений частоты  . Для таких процессов В. Москвитин [39] предложил гипотезу суммирования повреждений в таком виде:
 t  t  dt
1  m  
t  (t )  


t*
m2
*
N*
 1  m1    N *  n 
m1
dn
1,
(3.26)
1 m1
 N *  ua  


*
*
где t  t  u  - время разрушения тела в условиях ползучести – функция,
2
0
*
m
и
1 m2
0
обратная к пределу длительной прочности при растяжении  u   дл. (t * ) ,
N *  N *  и ,а  - число циклов до разрушения тела при симметричном цик-
лическом нагружении с амплитудой  u ,a , т.е. обратная функция к кривой
 2N * 
 , m и m2 - константы материала.
усталости  и ,а   1  ,
  1

3.3. Тензорные свойства повреждений. Теория накопления повреждений А. Ильюшина
А. Ильюшин значительно расширил возможности кинетического под72
хода введением тензора повреждений второго ранга     ij  с компонентами pij  pij  t  . Процесс нагружения твердого тела считается известным.
Постулируется существование тензора повреждений     pij  как
функционала от процесса нагружения на интервале времени t  0, t *  , который характеризует накопление повреждаемости (дефектов) в теле и состояние тела, непосредственно предшествующее разрушению.
На основе тензора  могут быть определены неотрицательные меры
повреждений M k  M k    , k  1,..., m , такие, что если для любого k
имеем M k     Ck , где Ck характеризуют свойства материала, то состояние частицы прочно; если же для некоторого k  m : M m     Cm , а для
k  1,..., m  1 : M k     Ck , то в теле произойдет разрушение «типа m ».
Тензор     pij  представляется в форме свертки Стилтьеса:
t
pij  t    ijkl  t    d kl   , i, j  1, 2,3 ,
(3.27)
0
где для изотропных материалов:
1
ijkl  t     t   ik  jl   il jk    2  t   ij kl ,
2
отсюда:
(3.28)
t
pij  t      t    d ij     ij 2  t    d kk   
(3.29)
0
Тензор напряжений запишем как сумму шаровой части и девиатора:
 ij  Sij   ij , 3   kk ; аналогично представим тензор повреждений:
pij   ij   ij , 3  pkk ;
(3.30)
после этого (3.29) преобразуется к виду:
t
 ij  t      t    dSij   ,   t   1  t    d   ,
t
0

(3.31)
0
здесь  1    3 2 .
Заметим, что меры повреждений M k должны быть функциями инвари-
антов тензора  pij  . В общем случае меры – функции всех трех инвариантов тензора повреждений  ,  и ,   : M  M  ,  и ,    . Если ограничиться
рассмотрением мер повреждений только в виде квадратичных форм от ин-
вариантов и принять справедливым постулат изотропии [14,15], мера
тензора повреждений M  M    будет представляться в виде:
2
3
 3

(3.32)
M      pkk  C   pkk   D  pij pij .
k 1
i , j 1
 k 1

Следующий этап в построении теории – выбрать меры повреждений
M k и экспериментально определить ядра     t  и 1  1  t  функционалов (3.31).
Двумя простейшими мерами, характеризующими для одного и того же
материала два возможных вида накопления повреждений, являются алгебраически наибольшее главное значение тензора повреждений  и
наибольшая разность двух главных значений этого тензора, соответствующие разрушениям отрыва и сдвига.
Базовые эксперименты теории – это опыты на ползучесть (до разрушения) при чистом сдвиге, одномерном растяжении и равномерном всестороннем растяжении (мысленный опыт для выяснения смысла ядра
1  1  t  ).
В опытах на ползучесть при сдвиге имеем для компонент девиатора
напряжений и среднего напряжения:
(3.33)
S12  S120 h  t  , Sij    0 ,  i, j   1, 2  ,
3
где S120 - постоянное напряжение, h  t  - функция Хевисайда. По (3.31)
найдем:
(3.34)
12  t     t  S120 ,  ij  t     t   0 ,  i, j   1, 2 
Единственный инвариант этого тензора -  12   12  t  . Следовательно, при
разрушении в момент времени t * должно быть:
 12  t *   C1 ,
(3.35)
где C1 - константа материала.
При этом из серии экспериментов с различными значениями S120 известна
зависимость t *  t * S120 и обратная ей функция - функция длительной
 
прочности при сдвиге: S120   дл  t *  . Таким образом должно выполняться
условие:
 12  t *     t *  дл  t *   C1 .
(3.36)
Отсюда находится ядро     t  по кривой зависимости различных предельных напряжений от соответствующих им времен до разрушения в виде:
74
 t  
C1
(3.37)
 дл  t 
с точностью до постоянного множителя C1 .
Аналогично из опыта на всестороннее растяжение можно найти ядро
1  1  t  также с точность до константы C2 :
1  t  
C2
ˆ дл  t 
,
(3.38)
где ˆ дл  ˆ дл  t  - кривая длительной прочности при всестороннем растяжении.
На практике ядро 1  1  t  находят из эксперимента на ползучесть образца при растяжении (в силу сложности проведения экспериментов по всестороннему растяжению):
(3.39)
 11   110 h  t  ,  ij  0 ,  i, j   1,1 .
При этом для компонент тензора повреждений получим:
p
p11
p
   t    2  t  , 220  330   2  t  .
(3.40)
0
 11
 11  11
При разрушении  110   дл  t *  , где  дл - кривая длительной прочности при
одномерном растяжении образца.
Далее функции     t  и 2  2  t  определяются из условий нормировки: при разрушении в опытах на сдвиг имеем:
 12  t *   p12  t *   1 ,
(3.41)
отсюда:
 t  
1
 дл  t 
;
(3.42)
в опытах на одномерное растяжение:
p11  t *   1 ,
(3.43)
тогда из (3.40) следует:
2  t  
1

1
 дл  t   дл  t 
, 1  t  
3

2
 дл  t   дл  t 
.
(3.44)
Отсюда из подобия кривых длительной прочности находим константу C2 :
 3
2 
.
C2  ˆ дл  t *  

*
*
  дл  t   дл  t  
Таким образом, в выражениях для компонент тензора повреждений
(3.29) функции     t  (3.37) и 2  2  t  (3.44) являются функциями материала и находятся из опытов на ползучесть при одномерном растяжении
и сдвиге. В заключение отметим, что при построении нелинейных теорий
накопления повреждений компоненты тензора повреждений представляются в более общем виде n-кратными интегралами [15]:

pij  t    pij( n )  t  ,
n 1
t
t
0
0
pij( n )  t    ... Fiji1 j1 ...in jn  t   1 ,..., t   n  i1 j1  1 ... in jn  n  d 1...d n ,
(3.45)
где функции Fiji1 j1 ...in jn  Fiji1 j1 ...in jn  t 1 ,..., t  n  должны быть найдены из
некоторой системы базисных экспериментов.
Пример 3.1. Найти выражение для долговечности тела по теории А.
Ильюшина (3.31)-(3.44) и гипотезе линейного суммированного повреждения (3.10) для следующих четырех видов одномерного нагружения:
- постоянное нагружение в условиях ползучести;
- нагружение с постоянной скоростью возрастания;
- мгновенное нагружение с последующей разгрузкой с постоянной скоростью убывания;
-асимметричное циклическое нагружение.
Решение. Для одномерного растяжения из (3.40), (3.41) и (3.44) следует:
t*
d 11  
(3.46)
0  дл t*    1 .
Примем известные аппроксимации кривых длительной прочности в виде
(1.10). Введем безразмерные величины:
  

t*
  ,   , S    11
.
(3.47)
t0
0
t0
Тогда моменты разрушения  1 и  2 находятся по (3.10) и (3.46):
2

  S   d  1 ,
0
1
 
1
   dS    1 ,

(3.48)
0
при этом   1,   1 .
При одномерном нагружении вида: S    S0 h   ( h   - функция Хевисайда) , из (3.47) следует совпадение времен  1 и  2 :  1   2  S0 .
При одномерном нагружении с постоянной скоростью: S    V из
(3.47) получим:
76
  1   
2
1
1
V


1
 1 
,  

  
1
1
V

1
(3.49)

1
1
 1    1  1 при любом   0 отличается от еди2

ницы не более чем на 20%, а от скорости нагружения  1 и  2 зависят оди-
Отношение
наково.
Для мгновенной нагрузки, а затем разгрузки с постоянной скоростью:
S     S0  V  h   из (3.48) имеем:
V  2  S0   S01  1   V 
1
1
,  1  

V 1
 S0
1 
(3.50)
Очевидно, должны выполняться условия:
1
S
S0   i  0 , S0  1   V  1 .
V
Рассмотрим циклическое одномерное нагружение:
S    S0 1  m sin  h   , m  1 . Из (3.47) при заданных S 0 ,  , m получим:
(3.51)
K2  m 2 S0  1 ,
1
где K 2  m  
2
2
 1  m sin x 
0

dx ;
K1  m, N1*   1S0  1 ,

(3.52)

2
N1 1


 2 k  x 
cos xdx , k  0,1,..., N1*  1 ;
где K1  m, n   1  m  I k  , I k   1 
* 


2 N1 
k 0
0 


*
 1
- предельное число циклов для данного нагружения. Как
2
видим, формула (3.50) дает зависимость времени до разрушения  2 от S 0
число N1* 
и m , а формула (3.51) – от S 0 , m и предельного числа циклов N1* .
3.4. Оператор повреждений. Обобщения механических теорий
прочности
3.4.1. Построим в произвольной точке М твердого тела декартову систему координат ei , i  1, 2,3 и координатный тетраэдр, наклонная грань
3

которого имеет единичную нормаль n  (n1 , n2 , n3 ) ,  ni2  1 . Из компоi 1
нент ni выберем две независимые, например, n2 и n3 , и назовем их коор
динатами ориентации наклонной грани с нормалью n в пространстве. На
этой грани рассмотрим вектор напряжения Pn  Pn (t ) , который задает процесс нагружения в точке М. Из уравнений равновесия тетраэдра следует
представление вектора напряжений Pn  Pn (t ) через компоненты тензора
напряжений  ij   ij (t ) в виде:



(3.53)
Pn (t )  Pi (t )ei   ij (t )n j ei .
Вектор Pn  Pn (t ) можно разложить как сумму вектора нормального




напряжения  n   n (t ) и касательного напряжения  n   n (t ) по выражению (2.12):





(3.54)
Pn (t )   n (t )   n (t )   n (t )n   n (t )m .

Координаты единичного вектора m , задающего направление касательного
напряжения на наклонной грани, определяем как решение системы уравнений (2,13):
3
 

 
(3.55)
n, Pn (t ), m  0 , n, m  0 ,  mi2  1 ;


i 1
в выражении (3.54) функция  n   n (t ) представляется в виде (2.14):
 n (t )   ij (t )ni n j ,
(3.56)
а функция  n   n (t ) - в виде (2.15):
 n  t    ij t  n j  ei , m ,

1/ 2

 n (t )     ij (t )ni    ij (t )ni n j   .
3
2
2
(3.57)
 i 1

Ограничимся следующими частными случаями процессов нагружения твердого тела:
(1) трехмерное статическое нагружение:
(3.58)
 ij   ij0 , (i, j )  (1,2,3) ,
(2) трехмерное длительное нагружение в условиях ползучести:
(3.59)
 ij (t )   ij0 h(t ) ,
где h(t ) - функция Хевисайда,
(3) симметричное одночастотное нагружение:
(3.60)
 ij (t )   ija sin t ,
где  ija - амплитуды напряжений.
Нагружения (3.58)-(3.60) относятся к простым процессам, так как изображаются в пятимерном пространстве напряжений А. Ильюшина  5 лучами,
78
исходящими из начала координат, и их компоненты не зависят от времени
или пропорциональны одной функции времени.
Далее рассмотрим однопараметрическое семейство процессов нагружения заданного вида:


Pn  Pn (t ) ,
(3.61)
где  - произвольное положительное действительное число. Предположим, что на интервале времени t  [0, t * ] существует такое значение  * ,
что при нагружении:


(3.62)
Pn* (t , t * )   * (t * ) Pn (t ) ,
достигается конкретное критическое состояние в момент времени t * . Про

цесс Pn*  Pn* (t , t * ) будет предельным процессом, соответствующим данно

му нагружению Pn  Pn (t ) . Функция  *   * t * при этом называется
функцией прочности.
Для процессов (3.58)-(3.60) направляющие косинусы вектора касательного
 (t )
напряжения e  n
не зависят от времени, и пара функций  n , n  об n (t )
разует двумерное векторное пространство. Отобразим это пространство в

двумерное пространство повреждений. При этом вектору Pn поставим в
 
соответствие определенный вектор повреждений J  ( J1 , J 2 ) с помощью

t
интегрального оператора J i  J i t , Pn    0 , i  1, 2, с ядрами, позволяющими учитывать прочностные свойства материала. Модуль вектора повреждений J  ( J1 , J 2 ) представим в виде:


1/ 2
J   J12  J 22 
(3.63)
Постулируем, что при разрушении твердого тела достигается максимум нормы вектора повреждений по координатам ориентации и
времени на интервале t  [0, t * ] . В наиболее общем виде это утверждение запишем так [12]:
t*


max  J t , Pn* ( , t * , n2 , n3 ) 
t  0, t *  , n2 , n3   1
(3.64)
 0




Здесь Pn*  Pn* ( , t * , n2 , n3 ) - вектор предельных напряжений на наклонной

n  (n1 , n2 , n3 ) в
,
грани
с
нормалью
момент
времени


  *
t*
*
J  J t , Pn ( , t , n2 , n3 )   0 - вектор повреждений.
В дальнейшем рассматривается наиболее представительный класс операторов - линейные интегральные операторы повреждений. Отметим, что
получены решения для многих процессов нагружения, и большинство известных гипотез прочности, имеющих серьезное экспериментальное обоснование, содержится в них как частные случаи [12]. В качестве операторов
повреждений возможно использование нелинейных интегральных операторов вида суммы n-кратных интегралов [15] или нелинейные операторы,
ядра которых зависят от нагружения.
Соотношение (3.64) является уравнением для нахождения предельного


процесса нагружения Pn*  Pn* t ,t * ; с учетом (3.62) для функции прочно-
 
сти    (t ) имеем:
1
 J t , P ( , n , n ) t * t  0, t * , n , n 

max
(3.65)

n
2
3  0
2
3
 * (t * )


Представление вектора повреждений в форме функционалов будет рассмотрено в следующей главе. Здесь исследуем случаи нагружений (3.58)(3.60), когда компоненты J1 и J 2 принимают в следующем виде:
*
*
*


 
1/ 2
   * (t * ) 2 
 4  * *   1
J1 

3 * (t * )    (t ) 

1
 n ( , n1 , n2 ) , J 2 
 n ( , n1 , n2 )
 * (t * )
(3.66)
Коэффициенты при функциях  n и  n - базовые функции, в которых для
нагружений вида (3.58) -  *   в и  *   в , где  в и  в - временное сопротивление при растяжении и сдвиге соответственно, или  *   s и
 *   s , где  s и  s - пределы текучести; для (3.59) -  *   дл. (t * ) и
 *   дл. (t * ) ; здесь  дл.   дл. (t * ) и  дл.   дл. (t * ) - кривые длительной
прочности тела при одномерном растяжении и сдвиге; для (3.60)  *   1 ( , t * ) и  *   1 ( , t * ) , где  1   1 ( , t * ) и  1   1 ( , t * ) - кривые усталостной прочности при симметричном одночастотном растяжении-сжатии и сдвиге.
После подстановки (3.66) и (3.63) в уравнение (3.64) критерий прочности
 * (t * )
будет иметь вид ( * *  2 (t * ) ):
 (t )
2 *


 4-2 (t ) 2

max 
 n  t,n 2 ,n 3    n2  t,n 2 ,n 3  , t  0, t *  , n2 , n3    * (t * ) . (3.67)
2 *
 32 (t )



Если рассмотреть вектор напряжений Pn0   0 (t * ) Pn0  , n2 , n3  на интервале
времени  [0, t * ] при другом произвольном значении  0 , подставить его
в уравнение (3.64) вместо предельного нагружения Pn*  Pn*  , t * , n2 , n3  и
80
при этом окажется, что левая часть этого уравнения меньше единицы, то
такой процесс не будет предельным (т.е. является безопасным).
Во второй главе подробно рассматривались механические гипотезы
прочности, которые формулировались для статических нагружений (3.58).
С развитием науки о прочности исследователи стали применять классические подходы для описания процессов вида (3.59) и (3.60). Покажем, что
классические гипотезы максимальных нормальных и касательных напряжений являются частными случаями уравнения (3.67). По гипотезе максимальных нормальных напряжений процесс нагружения Pn  Pn (t ) бу

дет предельным процессом Pn*  Pn* (t , t * ) , если он удовлетворяет уравнению (3.67) при следующем условии ( 2 (t * ) 
2 (t * )  1 .
 * (t * )
):
 * (t * )
(3.68)
Действительно, при фиксированном времени t компоненты вектора по
вреждений J (3.66) являются функциями компонент тензора напряжений,
его норма (3.63) – модуль вектора напряжений на наклонной грани с нор
малью n . Максимальное значение этой нормы по переменным n2 и n3
будет модулем максимального главного напряжения 1  1 (t ) , а после
нахождения ее максимального значения по t - наибольшим значением
максимального главного напряжения. С другой стороны, критерий (2.1)
как раз и предполагает, что наибольшее значение по t максимального
нормального предельного напряжения на интервале времени t  [0, t * ] равно известному значению  *   * (t * ) . Таким образом, имеем условие гипотезы максимальных нормальных напряжений в виде:
(3.69)
max  1 (t ) : t  0, t *    * (t * ) .


Гипотеза максимальных нормальных напряжений (3.69), в основном, описывает разрушение хрупких твердых тел, т.е. в случаях, когда тело в макроприближении остается упругим, и  2 лежит в диапазоне 1   2 (t * )  3 .
В результате многих исследований, посвященных усталостным многоцикловым нагружениям ( N  2 *105 ,2 *106 циклов) (см., например, [32]),
найдено, что усталостный излом также происходит по плоскостям, перпендикулярным действию максимальных нормальных напряжений , т.е.
можно применять критерий (3.69).
Одной из особенностей хрупких твердых тел является их различная сопротивляемость растягивающим и сжимающим напряжениям, т.е. прочность
хрупких тел при всестороннем (гидростатическом) сжатии значительно


выше, чем при растяжении. Поэтому, если известно, что наибольшее главное напряжение – напряжение сжатия, то при статическом нагружении вида (3.58) целесообразно выбрать  *   в ,с , где  в ,с - временное сопротивление при сжатии или  *   s,c , где  s,c - предел текучести при сжатии;
при нагружении вида (3.59) -  *   дл.,c (t * ) , где  дл.,c   дл.,c (t * ) - кривая
длительной прочности тела в условиях ползучести при сжатии.
Критерий максимальных нормальных напряжений в виде (3.69) также
применяется для описания предельных откольных разрушений. При
этом под функцией  *   * (t * ) понимается максимальное растягивающее
напряжение  отк .   отк . (t * ) , полученное из эксперимента по соударению
пластин, t * - время откольного разрушения.
Теперь сформулируем условие максимальных касательных напря

жений: процесс нагружения будет предельным Pn*  Pn* (t , t * ) , если он
удовлетворяет уравнению (3.67) при следующем условии:
(3.70)
2 (t * )  2
Действительно, после подстановки (3.70) условие (3.67) превращается в
условие максимальных касательных напряжений: наибольшее значение по времени максимального касательного напряжения  max   max (t * ) ,
известной функции  *   * (t * ) , для предельного нагружения за время t *
достигает значения единицы:
(3.71)
max  max (t ) : t  0, t *    * (t * )


Уравнение (3.71) предлагается в случаях вязких разрушений с образованием шейки в результате пластической деформации при 3   2 (t * )  2 .
Многочисленные эксперименты на образцах из пластичных материалов
показывают, что причиной текучести и, в дальнейшем, разрушения являются сдвиги на площадках действия наибольших касательных напряжений
[32].
3.4.2. Рассмотрим функции  i   i t  , i  1, 2,3 - деформации волокон
координатных осей ei и вектор деформации  n , являющийся их суммой
вида:
 n (t )  i (t )ei .
(3.72)

На наклонной грани с нормалью n вектор  n можно представить через
компоненты тензора деформации  ij   ij (t ) таким образом:
n (t )  i (t )ei  ij (t )n j ei .
При этом деформация волокна в направлении n равна:
82
(3.73)
 n (t )   ij (t )ni n j ,
(3.74)

а деформация волокна в направлении m (3.55), касательного к грани, имеет вид:
 n  t    ij  t  n j  ei , m ,

1/ 2

 n (t )     ij (t )n j    ij (t )ni n j   .
3
2
2
(3.75)
 i 1

Рассмотрим некоторые частные случаи деформированных состояний:
- трехмерное статическое деформирование:
(3.76)
ij  ij0 , (i, j )  (1,2,3) ,
- трехмерное длительное деформирование в условиях релаксации
напряжений:
(3.77)
ij (t )   ij0 h(t ) , (i, j )  (1,2,3) ,
где h(t ) - функция Хевисайда,
- трехмерное симметричное одночастотное деформирование:
(3.78)
ij  ij ,a sin t , (i, j )  (1,2,3)
* *
Процесс деформирования  n   n (t , t * ) переводит твердое тело из
начального состояния при t  0 в критическое состояние при t  t * и будет предельным на интервале времени t  0, t * . Примем по аналогии с
(3.62):
*n   *  t *   n (t ) ,
(3.79)
 
где  *   *  t *  - функция прочности. Для процессов (3.76)-(3.78) направ-
 nm

деформации волокна в направлении m не заn
висят от времени, и пара функций  n ,  n  образует двумерное векторное
ляющие косинусы e 
пространство. Отобразим это пространство в двумерное пространство по
вреждений. При этом вектору  n поставим в соответствие вектор повреJ  ( J1 , J 2 )
с
помощью
интегрального
оператора

t
J i  J i t ,  n    0 , i  1, 2, с ядрами, позволяющими учитывать прочностные свойства материала тела, и нормой:

1/ 2
J  J 12  J 22 .
(3.80)
ждений




Рассмотрим компоненты J1 и J 2 в виде функций:
   * (t * )  2 
1
 4
  t , n , n  , J   n t , n 2 , n3  ,

(3.81)
J1 

1
2
n
2
3
*
*

 * (t * )
3 * (t * )    (t ) 

*
где для процессов (3.76) –    в и  *   в , или  *   s и  *   s ; при де1/ 2
формировании (3.77) -  *   дл. (t * ) и  *   дл. (t * ) - предельные осевая и
сдвиговая деформации тела в условиях ползучести при одномерном растяжении и сдвиге соответственно; для (3.78) -  *   1 ( , t * ) и
 *   1 ( , t * ) - предельные осевая и сдвиговая деформации при симметричном одночастотном растяжении-сжатии и сдвиге соответственно.
Постулируем, что при разрушении твердого тела достигается максимум нормы вектора повреждений по координатам ориентации и
времени на интервале t  [0, t * ] . Таким образом, справедливо следующее
утверждение [12]:
 *
t*

*
*
max 
(3.82)
 J t ,  n ( , t , n2 , n3 )  0 t  0, t , n2 , n3   1 .


С учетом (3.79) для функции прочности  *   *  t *  имеем:


 
t*
1
 


 *

max
J
t
,

(

,
n
,
n
)
(3.83)
  n
2
3   0 t   0, t  , n2 , n3  .
* *
 (t )


После подстановки (3.80) и (3.81) в уравнение (3.82) получим следующий
 * (t * )
критерий прочности ( * *   2 (t * ) ):
 (t )
2 *


 4- 2 (t ) 2

2
*
* *


max 

t,n
,n


t,n
,n
,
t

0,
t
,
n
,
n




n
2
3
n
2
3
2
3    (t ) . (3.84)
2 *


3

(
t
)
2




Безопасным процессом деформаций будет процесс, для которого левая
часть уравнения (3.82) меньше единицы, а предельным – процесс, для которого левая часть (3.82) равна или превышает единицу.
Определим условие разрушения по гипотезе максимальной главной
деформации :
процесс деформирования  n   n (t ) будет предельным *n  *n (t , t * ) , если
он удовлетворяет (3.84) при следующем условии:
 2 (t * )  1 .
(3.85)

Действительно, в этом случае норма вектора J есть модуль вектора деформаций волокна  n   n (t ) . После нахождения максимума по перемен-
ным n2 и n3 в правой части уравнения (3.84) возникает модуль максимальной главной деформации 1  1 (t ) , а после нахождения максимума по
84
времени – наибольшее значение этого модуля, которое в предельном случае достигает известной величины  *   * (t * ) . Критерий максимальной
главной деформации (2.5) это утверждение и предполагает:
(3.86)
max 1 (t ) : t  0, t *    * (t * ) .


Гипотезу максимальной главной деформации применяют при расчетах на
прочность элементов из подкрепленных композиционных материалов при
различных напряженных состояниях, а также для описания откольных
разрушений, при этом под функцией  *   * (t * ) понимают предельную
откольную деформацию растяжения  отк   отк (t * ) , полученную из эксперимента по соударению пластин, t * - время откольного разрушения.
Сформулируем условие разрушения по гипотезе максимальных деформаций сдвига: процесс деформирования будет предельным


*n  *n (t , t * ) , если он удовлетворяет уравнению (3.84) при следующем
условии:
(3.87)
 2 (t * )  2 .
При подстановке (3.87) в выражения (3.81) первая компонента J1  0 и
уравнение (3.84) есть достижение величины  *   * (t * ) наибольшим значением деформации касательного волокна по переменным n2 , n3 и времени, т.е. условие гипотезы максимальных деформаций сдвига (2.6) в виде.
max  max (t ) : t  0, t *    * (t * ) .
(3.88)


Отметим, что математическая формулировка гипотез максимальных нормальных и максимальных касательных напряжений (3.69) и (3.71) и гипотез максимальных главных деформаций и максимальных деформаций
сдвига (3.86) и(3.88) для предельных процессов нагружений.
3.5. Предельные
процессы нагружения в пространстве
А.Ильюшина
Произвольный процесс деформирования  ij   ij (t ) можно представить в
пятимерном изображающем пространстве деформаций  5 [14]. При этом

радиус-вектор процесса деформаций  в этом пространстве определяется
в виде:


 k (t) ek  (11 ε, ( 22   33 )/ 3, 2 12 / 3, 2  23 / 3, 2  31 / 3) , (3.89)
где  ij - компоненты девиатора деформаций,  - средняя деформация:

 ij  ij  ij ,    ii / 3. Модуль вектора деформаций  равен интенсивности деформаций:
2
(3.90)
ij (t ) ij (t ) .
3
Если в точке тела задан процесс деформации, то известны его траектория в
пространстве деформаций  5 и для каждой точки траектории средняя деформация    (t ) . Эта траектория определяется пятью внутренними геометрическими параметрами – длиной дуги траектории деформаций
s  s (t ) :
 (t )   и  t  
t
 (t )   d  ( )
(3.91)
0
и четырьмя компонентами  k (t ) , k  1,...4, характеризующими ее кривизну.
Процессы (3.76)-(3.78) являются простыми (изображаются лучами в
пространстве А. Ильюшина, исходящими из начала координат), их кривизны равны нулю. Таким образом, эти процессы определяются только
длиной дуги s  s (t ) и средней деформацией    (t ) . Формулируя для них
уравнение (2.11), имеем следующее утверждение гипотезы интенсивности деформаций: длина дуги траектории деформаций   (t ) в пространстве  5 для предельного нагружения на интервале времени t  [0, t * ] достигает определенного значения  * :
(3.92)
 (t * )   * (t * ) ,
*
где  находят для одного из предельных нагружений вида (3.76), (3.77) и
(3.78).
Рассмотрим нагружения (3.76)-(3.78) при плоской деформации в главных деформациях и пусть  1 (t )  0   2 (t ). Тогда уравнение (3.84) эквива-
 * (t * )
лентно уравнению (3.92) при следующем отношении ( * *   2 (t * ) ):
 (t )
*
 2 (t )  3 .
(3.93)

Действительно, в данном случае норма оператора J (3.80) преобразуется
к виду:
 n*  3 n*
,
(3.94)
J 
 * (t * )
максимальное значение которой по n2 и n3 равно интенсивности дефор2
2
маций. Таким образом, в этом случае уравнения (3.92) и (3.84) совпадают.
Произвольный процесс нагружения  ij   ij (t ) также можно представить в пятимерном изображающем пространстве напряжений  5 [12] . При
86

этом радиус-вектор процесса нагружения  в этом пространстве определяется в виде:


3
   k (t) ek  (S11   , (S 22  S 33 )/ 3 , 2S12 / 3 , 2S 23 / 3 , 2S31/ 3 ) , (3.95)
2
где S ij - компоненты девиатора напряжений,  - среднее напряжение:

 ij (t )  Sij (t )   ij ,    ii / 3 . Модуль вектора нагружения  равен интенсивности напряжений:
3
(3.96)
 (t )   и  t  
Sij (t ) Sij (t )
2
и длина дуги траектории нагружения определяется таким образом:
t
s (t )   d ( ) .
(3.97)
0
Для простых процессов (3.58) – (3.60) критерий прочности можно записать
в виде, аналогичном соотношению (3.92):
(3.98)
s  s(t * )   * (t * ) .
*
Функцию  находят для одного из предельных напряжений вида (3.58),
(3.59) и (3.60).
При плоском напряженном состоянии отличны от нуля три компоненты
тензора напряжений:  11 (t ),  22 (t ), 12 (t ) , или в главных компонентах

 1 (t ) и  2 (t ). Рассматривая компоненты вектора J в виде (3.66) при отношении
 2 (t * )  3 ,
(3.99)
имеем условие разрушения в виде (3.98).
Глава 4. Теория простого предельного нагружения
Содержание предыдущих глав позволяет читателю осознать необходимость построения общей теории, в которой процесс разрушения твердого
тела определялся бы всей предысторией его нагружения. В классических
теориях прочности второй и третьей глав рассматриваются нагружения на
различных характерных плоскостях в точке твердого тела: на октаэдрической плоскости, на плоскости максимальных касательных напряжений или
сдвигов, на плоскости максимальных нормальных напряжений или деформаций и т.п. Эти теории отражают либо хрупкое (отрыв), либо вязкое
разрушение (сдвиг). Естественно предположить, что они должны быть
частными случаями более общей теории, в которой и положение критической площадки, и предельное нагружение определяется всей предысторией процесса. Представленная в данной главе теория прочности основывается на исследовании процессов нагружения на площадках, выбор которых осуществляется путем нахождения максимума нормы вектора повреждений по координатам ее ориентации в пространстве; предельным процессом нагружения является такое нагружение, для которого наибольшее
значение этого максимума по времени достигает определенной величины
[12].
4.1. Оператор повреждений. Критерий прочности
Пусть задан процесс нагружения тела в главных осях тензора напряжений cо следующими нормальными компонентами  kk (t )   k (t ) :
 k (t )  Sk  t    0 t   S1 k f (t )   f1 (t ) , t  [0, t * ],
f (t )  1,
k  1, 2,3,
f1 (t )  1,
(4.1)
и равными нулю касательными компонентами, где Sk (t )  S1 k f (t ) - ком3
поненты девиатора напряжений,  0 (t )  
 k (t )
  0 f1 (t )  S1 f1 (t ) - сред3
нее напряжение. Такое нагружение является простым процессом, который изображается в пятимерном пространстве А.Ильюшина лучом [14].
Пронумеруем главные напряжения  k (t ), k  1, 2,3, таким образом, чтобы
k 1
выполнялись неравенства: 1  2  3 . Из равенства нулю девиатора
3
напряжений следует, что

i 1
венства:
Вектор
88
i
 0 и можно выполнить следующие нера-
1  1, 1  2  0.5, 0.5  3  0 .
напряжений
Pn  Pn (t )
на
наклонной
грани
(4.2)
с
нормалью
3
n   nk ek представим суммой нормального и касательного напряжений,
k 1
как уже рассматривалось в третьей главе - формулы (3.53) - (3.57). Для
процесса (4.1) запишем нормальное напряжение
 n   n (t )
в виде:
 n (t )  S n (t )   0 ,


где Sn (t )  Sn (t ), n  S1 k nk2 f (t ) ,
 0 (t )  S1 f1 (t ) ,
а касательное напряжение  n   n (t ) - так:
(4.3)
1/ 2
2
 3
(4.4)
 n (t )  S1 f (t )   k2 nk2   k nk2   .
 k 1

Здесь nk - координаты нормали n к наклонной грани (названные координатами ориентации этой грани в пространстве).
Пара функций  n , n  образует двумерное векторное пространство.
Отобразим это пространство в двумерное пространство повреждений. При
этом вектору Pn   n , n  поставим в соответствие определенный вектор
повреждений J  ( J1 , J 2 ) при помощи интегрального оператора

t
J i  J i t , Pn    0 , i  1, 2, с ядрами, позволяющими учитывать прочностные свойства материала. Построим его.
Вспомним понятие о двух классах, введенное в п.1.2 первой главы.


Первый класс задается неравенством: 1  2 
ем
3  2 
*
 3 , второй – отношени*
*
 2 , где под функциями  *   * (, t * ) и  *   * ( , t * ) по*

нимаются пределы статической, длительной или усталостной прочности
при одномерном нагружении и сдвиге соответственно.
Определим модуль вектора повреждений J  ( J1 , J 2 ) для первого класса в
виде [12]:
J  J1  J 2 ,
(4.5)
а для второго класса – таким образом:
1/ 2
J   J12  J 22  .
(4.6)
Отметим, что в третьей главе рассматривался модуль вида (4.6) (выражение (3.63)). Такой выбор модуля вектора повреждений для первого и второго классов позволяет получить известные критерии прочности для хруп-
ких и пластичных тел соответственно, обоснованные большим количеством экспериментальных данных.


Теперь рассмотрим предельный процесс нагружения Pn*  Pn* (t , t * ) , при
котором тело переходит из начального при t  0 в критическое состояние
при t  t * . Для него имеет место выражение (3.62):


(4.7)
Pn* (t , t * )   * (t * ) Pn (t ) ,
где функция    (t ) - функция прочности, и следующее основное
утверждение [12].
Предельный процесс нагружения на интервале времени t  0, t * удовлетворяет уравнению, согласно которому максимальное значение
модуля вектора повреждений J  ( J1 , J 2 ) на временном интервале
нагружения по координатам ориентации в пространстве достигает
единицы.
Таким образом, критерий прочности записывается в виде (см. (3.64)):
t*


max  J t , Pn* ( , t * , n2 , n3 ) 
, t  0, t *  , n2 , n3   1 .
(4.8)
 0


Отсюда для функции прочности  *   * (t * ) имеем:
1
 J t , P ( , n , n ) t * t  0, t * , n , n  .

max
(4.9)

n
2
3  0
2
3
 * (t * )


*
*
*
 


 
Зададим компоненты вектора повреждений J  ( J1 , J 2 ) . В п.1.2.6 тела,
для которых диаграмма предельных амплитуд напряжений при асимметричном
одномерном одночастотном нагружении  a*  f ( m* ) имеет выпуклость вниз
или линейна, отнесены к первой группе, остальные - ко второй группе. В
качестве компонент J1 и J 2 вектора повреждений для первой группы выбираем выражения [12]:
J1  1 t , Sn ( ) 0   0 t ,  0 ( )  0 ,
t*
t*
J 2   2 t , n ( ) 0 .
t*
(4.10)
Здесь функции Sn  Sn ( ) и  o   0 ( ) определяются по (4.3), а касательное напряжение  n   n ( ) задается соотношением (4.4). Подстановкой

(4.10) в (4.5) получим модуль вектора повреждений J для первой груп
пы первого класса, а в (4.6) – выражение, определяющее функцию J для
первой группы второго класса.
Теперь обратимся к определению вектора повреждений J  ( J1 , J 2 ) для
90
второй группы. Его компоненты зададим в виде:
S n2 (t )
 02 (t )
J1 

,
t*
t*
1 t , S n ( )  0  0 t ,  0 ( )  0
J2 
 n2 (t )
 2 t , n ( )  0
t*
.
(4.11)
Подстановкой выражений (4.11) в (4.5) получим модуль вектора повре
ждений J для второй группы первого класса, а в (4.6) – для второй группы второго класса.
В общем случае необходимо построить функционалы  i t , g ( ) 0 ,
t*
i  0,1, 2 (под g  g ( ) понимаются Sn  Sn ( ) ,  o   0 ( ) или  n   n ( ) ),
входящие в выражения (4.10) и (4.11). Рассмотрим их представление в виде ряда:

 i t , g ( )  0  i g (t )   i ( s, t * ) g s (t * ) s (t ) , i  0,1, 2,
t*
(4.12)
s 0
t*
1
g s (t )  *  g ( ) s ( )d ,
t 0
*
(4.13)
где  s   s (t ) - полная ортогональная система функций на интервале
2 st
2 st 

, cos *  , s  1, 2,.... В соотношения (4.11)
*
t
t 

входят материальные константы i и функции i  i (0, t * ) , i  i ( s, t * ) ,
s  1, 2,.... , i  0,1, 2 , для которых необходимо построить определяющую
их систему экспериментов.
Таким образом, для первого и второго классов первой группы критерий
прочности представляется в виде (4.8), где модуль вектора повреждений
J  ( J1 , J 2 ) определяется по (4.5) для первого и (4.6) для второго классов,
его компоненты – по (4.10), (4.12), (4.13); материальные константы i и
t  [0, t * ] :
 s (t )  1,sin
функции i  i (0, t * ) , i  i ( s, t * ) , s  1, 2,.. , i  0,1, 2 определяются из системы базисных экспериментов.
Для первого и второго классов второй группы в критерии прочности (4.8)
вектор повреждений J  ( J1 , J 2 ) задается выражениями (4.5) и (4.6) соответственно, в которых компоненты определяются по (4.11) – (4.13) с материальными константами i и функциями i  i (0, t * ) , i  i ( s, t * ) ,
s  1, 2,.... , i  0,1,2.
4.2 Определение максимума нормы оператора повреждений
Приступим к нахождению максимума модуля вектора повреждений

J по координатам n2 и n3 для процесса (4.1). Подставив (4.1) в выражения (4.12) и выразив компоненты J1 и J 2 по (4.10) и (4.11), имеем для
нормы оператора повреждений J с учетом (4.5) и (4.6) следующее выражение:
q/2
q
J  F  t , n2 , n3   S1 p2  y1 p1   p0    y2  y12   ,
(4.14)


где знак (+) выбирается для первой группы, знак (-) – для второй группы,
значения q  1 - для первого класса и q  2 для второго класса и введены
следующие обозначения:
y1   k nk2 , y2   k2 nk2 ;
(4.15)
для первой группы:
1/ q
 0,q t , f1 ( )  0
t*
p2 (t )   2,q t , f ( )  0 , p0 (t ) 
t
*
1,q t , f ( )  0
t*
, p1 (t ) 
p2 (t )
p2 (t )
(4.16)
для второй группы:
p2 (t ) 
f 2 (t )
 2,q t , f ( )  0
t*
p1 (t ) 
f12 (t )
1
, p0 (t )  2
,
*
f (t ) p (t )  t , f ( ) t
2
0, q
1
 0
1
p2 (t ) 1,q t , f ( )  0
t*
;
(4.17)
S1 , f1 (t ) , f (t ) ,  - известные параметры и функции процесса (4.1).
Найдем максимальное значение функции F  F  t , n2 , n3  , определенной
выражением (4.14), по переменным n2 и n3 при условии t  const . Отметим, что область значений переменных n2 и n3 определяется неравенством: n22  n32  1 . Необходимым условием достижения экстремума функции F  F  t , n2 , n3  является следующая система двух уравнений:
 F
 n  0,
 2
(4.18)

 F  0
 n3
После нахождения значений частных производных F  F  t , n2 , n3  как
сложной функции по переменным y1 и y2 вида (4.15), система уравнений
92
(4.18) сводится к следующим системам двух уравнений для нахождения
критических значений n2 и n3 при условии  2   3 :
n3  0,
n2  0,


или
(4.19)
F
F
 F
 F
 y  1   3  y  0
 y  1   2  y  0
 1
2
 1
2
Для первого класса обоих групп при условии q  1 после подстановки
в (4.19) выражения (4.14) находим значения переменных n2* и n3* , при которых достигается максимум функции F  F  t , n2 , n3  при  2   3 :
n2*  0,

 *2 1 
n3  2 1 


n3*  0,

 *2 1 
n2  2 1 



или
(4.20)
p1 


p12  1 
p12  1 
При условии  2   3   * процесс (4.1) имеет следующие компоненты:
p1
 2 (t )   3 (t )   1 (t ) для всех значений переменной t , т.е. является симметричным в плоскости (e2 , e3 ) . Отсюда экстремумы функции J достигаются при n*  n2*  n3* .
 J
n2
На основании равенства нулю производной:
 0 и достаточного условия максимума функции
J :
2 J
 n2 
2
0,
имеем при  2   3 :
1
p1 
.
(4.21)
n*2  1 
2

4
p

1
1


После подстановки в критерий прочности (4.9) максимального значения
выражения (4.14) при значениях n2* и n3* в виде (4.20) или (4.21), получим
для первого класса следующее уравнение:
 1

   1 p (t )  2  p (t )

1
i
1
0
2
*





S
max
p
(
t
)
p
(
t
)

1

1


:
t

0,
t
,
i

2,3

 (4.22)
1
2
1
i


2
 * (t * )
2


p
(
t
)

1
1




В уравнении (4.22) знак (+) выбирается для тел первого класса первой
группы, а знак (-) – для тел первого класса второй группы. Функции
pi  pi (t ) , i  0,1,2 , задаются выражениями (4.16), (4.17); повреждения
 i t , g ( ) 0 , i  0,1,2 определяются по (4.12). Система базисных экспериt*
ментов
по
определению
материальных
констант
i
и
функ-
ций i  i (0, t ) , i  i ( s, t ) , s  1, 2,.... , i  0,1, 2 , будет построена ниже.
*
*
Теперь обратимся ко второму классу ( q  2 ). Аналогичное решение
системы уравнений (4.18) при условии  2   3 приводит к таким значениям n2* и n3* :
n3*  0,
n2*  0,


1


1
2
2
или
(4.23)
 2 p1   p0 p1   3  1
 2 p1   p0 p1   2  1
*
*
2
2
n3 
n2 


1   3   p12  1
1   2   p12  1
При равенстве  2   3   * из условия симметрии, как и в предыдущем
случае, имеем следующее выражение для n*  n2*  n3* :
1 *
2
p


p
p

  1
1
0
1
2
2
n* 
.
2 1   *  p12  1
(4.24)
После подстановки соотношений (4.23), (4.24), (4.14), (4.15) в (4.9) предельный простой процесс нагружения для второго класса удовлетворяет
уравнению:


1
1
 S1 max  p2 (t ) 

 * (t * )
2


 
i
 1 p1 (t )  2  p0 (t ) 
1  p12 (t )
2
 1   i 
2


 : t  0, t *  , i  2,3 .(4.25)






В уравнении (4.25) знак (+) выбирается для второго класса первой группы,
а знак (-) – для второго класса второй группы. Функции pi  pi (t ) ,
i  0,1,2 , определяются по (4.16) и (4.12) для второго класса первой группы
и по (4.17) и (4.12) для второго класса второй группы. Напомним, что неизвестными
в
(4.12)
остаются
константы
и
функции
i
i  i (0, t * ) , i  i ( s, t * ) , s  1, 2,.... , i  0,1, 2 , которые находятся из системы базисных экспериментов. Приступим к определению этой системы.
Сделаем одно замечание. На прочность реальных элементов конструкций влияет значительное количество факторов, раздельный учет которых в
критериях прочности затруднен. В связи с этим к функциям прочности,
найденным по критериям прочности, вводят поправки в виде коэффициентов запаса прочности по напряжениям, деформациям и по долговечности.
Коэффициентом запаса прочности по напряжениям называется число n ,
на которое необходимо разделить функцию прочности  *   * (t * ) , чтобы
~
предельный процесс вида: ~ * (t , t * )   * (t * ) (t ) был допускаемым проij
ij
цессом нагружения для элемента конструкции, т.е. имеем:
94
 
*
 * (t * )
.
(4.26)
n
Коэффициент n учитывает опыт эксплуатации конструкции. Значение
n находится в следующем интервале: n 1.5,3.5 .
Аналогично вводят коэффициент запаса прочности по деформациям n :
 
*
 * (t * )
n
,
(4.27)
так, что ~ij* (t , t * )  ~ * (t * ) ij (t ) является допускаемым процессом деформирования, 2 * n  n   * n .
Коэффициент запаса прочности по долговечности nt определяет допусти~
мую долговечность t * через время t * таким образом:
t*
t* 
.
(4.28)
nt
В большинстве случаев nt  5, 20 .
В нормативных документах по проектированию простого предельного
нагружения конструкций (летательных аппаратов, ракет, судов, энергетических установок и т.п.) используют различные сочетания вышеупомянутых коэффициентов запаса прочности.
4.3. Определяющие функции теории
Рассмотрим чистый сдвиг, при котором:
(4.29)
 1   2    S1 f (t ) ,  3  0 , 1  1 ,  2  1 ,  3    0 .
После подстановки (4.29) в уравнение (4.22) для первого класса при сдвиге
получим следующее соотношение:
1
p2 (t ) 
,
(4.30)
 * 1  p12 (t )
а подстановка (4.29) в уравнение (4.25) для второго класса приводит к такому выражению:
1
p2 (t )  * .
(4.31)

В выражениях (4.30) и (4.31) в случае статического нагружения  * обозначает константу  в или  s , при длительном нагружении в условиях ползучести - функцию  *   дл (t * ) , а при симметричном одночастотном нагружении – кривую усталости  *   1 ( s, t * ) .
Выразим по выражениям (4.16), (4.17) и (4.12) константы 2 и функции
2  2 (0, t * ) , 2  2 ( s, t * ) , s  1, 2,.... для первого класса первой группы
(обозначены знаком (+)) и первого класса второй группы (обозначены знаком (-)) через p2  p2 (t ) по (4.30). Тогда имеем:
1
2 


1
 ,

 в 1  p12  t  


1


1
 ,
2  2 (0, t * )  
 дл 1  p12  t  


1


1


*

 , s  1, 2,.... ,
(4.32)
2   ( s, t ) 
 1  s, t *  1  p12  t  


Показатель (+1) в правых частях этих выражений выбирается для первой, а
(-1) – для второй группы соответственно.
По (4.16), (4.17), (4.12) и (4.31) находим материальные функции для второго класса первой группы (со знаком (+)) и второй группы (со знаком (-)):
1
2

1
  ,
 в 
1
 1 
   (0, t )    ,
 дл 

2

2
*
1


1
 , s  1, 2,.... .
(4.33)
   ( s, t )  
*
 1  s, t  
В (4.33) введены обозначения, аналогичные (4.32). Отметим, что вместо  в
можно рассматривать  s .
Теперь обратимся к одномерному процессу нагружения вида (4.1), в котором:
3
 1  S1 f (t ) ,  2   3  0 , 1  1 ,  2   3  0.5 ,
2
(4.34)
  0.5 , f (t )  f1 (t ) .
Подставив выражение (4.34) в уравнение (4.22), для первого класса с уче*
том (4.30) имеем (  2  * ):

p (t )
1 3

2  1  p12 (t )  1  p0 (t )   1  p12 (t ) .
(4.35)
3 2
2

Здесь знак (+) выбирается для первого класса первой группы, а знак (-) –

2
96

2
*
для первого класса второй группы.
После подстановки (4.31) и (4.34) в (4.25) для второго класса при одномерном нагружении получим уравнение:
1/ 2
2
p1 (t )  9 
1  1

2 

p
(
t
)

 0
  
3 1  p12 (t ) 
2  4 
1,
(4.36)
которое со знаком (+) описывает предельный одномерный процесс для
первой группы, а со знаком (-) – для второй группы. Отметим, что неизвестными функциями в уравнениях (4.35) и (4.36) являются p0  p0 (t ) и
p1  p1 (t ) .
Рассмотрим равномерное двумерное нагружение вида:
3
(4.37)
 1  0 ,  2   3   S1 f (t ) ,  2   3  0.5 ,   1, 1  1 .
2
Аналогично предыдущему с учетом (4.30) из уравнения (4.22) для двумерного равномерного нагружения (4.37) следует ( 1 
*
):
*
2  3
p1 (t )

2
1

p
(
t
)

 2 p0 (t )   1  p12 (t ) .
1

31  2
2

(4.38)
Здесь знак (+) выбирается для первого класса первой группы, а знак (-) –
для первого класса второй группы.
Подставив выражение (4.31) для функции p2  p2 (t ) в (4.25) для второго
класса при нагружении (4.37), прейдем к уравнению:
1/ 2
2  1 
p1 (t )  9 

 2 p0 (t ) 
  
2
31 1  p1 (t ) 
2  4 
2
1,
(4.39)
которое со знаком (+) описывает предельный процесс для второго класса
первой группы, а со знаком (-) – для второго класса второй группы.
Итак, для неизвестных функций p0  p0 (t ) и p1  p1 (t ) имеем системы
из двух уравнений: (4.35), (4.38) для первого и (4.36), (4.39) для второго
классов, из которых найдем эти функции. Затем из (4.16) и (4.17) через
найденные функции p0 , p1 и p2 определим константы 0 , 1 и функции
0  0 (0, t * ) , 1  1 (0, t * ) и 0  0 ( s, t * ) , 1  1 ( s, t * ) , s  1, 2,.... (для
первой группы - знак (+), для второй группы - знак (-)) по следующим
формулам:


pi  i ,
2

     (0, t * )
pi  i  i *
,
2 (0, t )

   i ( s, t * )
pi  i
, s  1, 2,.... , i  0,1 .
2  2 ( s, t * )
Таким образом, для первого класса имеем такие выражения:

1
0  3q0 1 , 1  3q11 , 2   9q12  2
в

    0, t
*
    s, t
*

0

0

0

0
  3q
1
,  
 0, t   3q
  3q
1
,  
 s, t   3q
0
0

1

1

1

1
где q0 
1
1
*
1

*

1

*
1

 ,


2
,  

2
,  
1
1
*

2

2
, q1 
4

*
1
 0, t 

1
  9q12  2


дл

 ,

 s, t 

1
  9q12  2
 1


 , (4.41)

*
*

2

*

а для второго класса обоих групп (при условии q3 
q2 
(4.40)
1
*
;
1


2
2
1
9
0,
16
12 9

 0 ) – следующее:
22 16
1
1
Q 
Q 
   2  , 1   1  , 2   в 1 ,
 в 
 в 

0
    0, t

0

0
1
1
Q 
Q 
  2  , 1  1  0, t *    1  , 2  2  0, t *    дл1 ,
  дл 
  дл 
*


 Q

 Q

1
2
1
 , 1  1  s, t *   
 , 2  2  s, t *    1  s, t *  ,

*
*
  1  s, t  
  1  s, t  




1
    s, t

0

0
*
где Q1  Q 2 
1
q2
, Q2  Q 1  q2  , Q 

q3
q3 


2 q2
.
(4.42)
2

q 
1  16  2  2  q2
q3 

В соотношениях (4.41) и (4.42) верхний знак выбирается для тел первой
98
группы, а нижний знак - для тел второй группы.
Таким образом, константы i , i  0,1, 2, в выражении (4.12) определяются по (4.41) и (4.42) для первого и второго классов через константы
 *   в ,  *   в и  *   в (пределы статической прочности при одномерном растяжении, сдвиге и двумерном нагружении (4.37) соответственно);
функции i  i (0, t * ) определяются по (4.41) и (4.42), в которых
 *   дл (t * ) ,  *   дл (t * ) и  *   дл (t * ) (пределы длительной прочности при
одномерном растяжении, сдвиге и двумерном равномерном растяжении
соответственно); функции i  i ( s, t * ) , s  1, 2,.... , входящие в выражение
(4.12), определяются по (4.41) и (4.42) через функции материала
 *   1 ( s, t * ) ,  *   1 ( s, t * ) и  *   1 ( s, t * ) - пределы усталостной прочности при симметричных одночастотном растяжении-сжатии, сдвиге и
двумерном равномерном растяжении-сжатии соответственно.
Пример 4.1. Классические гипотезы прочности тел включают гипотезу
максимальных касательных напряжений (см. третью главу). Сформулируйте эту гипотезу как частный случай рассматриваемого подхода.
Решение. При условии на материальные функции:  *   *  2 * найдем
p1 и p0 ( p2   *  ) и подставим их в выражения (4.25) для второго клас-
са. В этом случае (4.25) совпадет с уравнением (3.71), т.е. предельное
нагружение определяется гипотезой максимальных касательных напряжений.
Пример 4.2. Классические теории прочности содержат теорию максимальных нормальных напряжений. Получите эту теорию как частный случай уравнения (4.22).
Решение. Рассмотрим тела, для которых  *   *   * . При этом условии найдем из (4.40) и (4.41) функции p1 и p2 ( p0  0 ), которые затем
подставим в уравнение (4.22) для первого класса обоих групп. Полученное
таким образом соотношение будет совпадать с уравнением (3.69), которое
есть условие максимальных нормальных напряжений.
Пример 4.3. Для различных статических, длительных и симметричных
циклических простых нагружений сформулируйте критерий прочности
хрупких тел.
Решение. Рассмотрим различные простые процессы вида (4.1), для которых
f (t )  f1 (t )   (t ) ,
2 t
4 t
2 t
4 t 

где  (t )  1,sin * ,sin * ,..., cos * , cos * ,...  .
(4.43)
t
t
t
t


Подставим выражения (4.30) и (4.40) с учетом (4.41) в уравнение (4.22),
откуда следует критерий прочности в виде:
1
 1  2 i
1 
2
1

 1
(4.44)
 max 
 3   *  *   3 1   i  *  * , i  2,3 .
*
*
S1

 
  


Функции  * ,  * и  * определяются из экспериментов в зависимости от
того, какова функция    (t ) . Например, для статических нагружений это
известные пределы статической прочности материала при сдвиге, растяжении и двумерном растяжении соответственно.
Пример 4.4. Для нагружений примера 3 сформулировать критерий
прочности пластичных тел.
Решение. Рассмотрим простые процессы нагружения вида (4.1) с условием (4.43) для второго класса второй группы (к которым, в основном,
принадлежат пластичные тела). Подставим в уравнение (4.25) выражения
(4.31), (4.40) и (4.42), откуда получим следующий критерий прочности:

1
1

 * max 
*
S1 


1   i 
4
2
1
 q3  
2

2


 q2

q2
 1  2 
1   i   , i  2,3 ,

q3
 q3




(4.45)
в котором функции q3 и q2 выражаются через пределы прочности  * ,  *
*
*
12 9
9




и
,
,
.
q


2
2
* 1 *
22 16
22 16
Пример 4.5. Запишите критерий прочности (4.44) при плоском напряженном состоянии ( 3   ), используя максимальное касательное
и  * по выражениям: q3 
1

S1 1   2 
и максимальное нормальное напряжение на
2
площадке
действия
максимального
касательного
напряжения
S 1   2  2 
n  1
. Материал подчиняется закону:  *   * .
2
S 1   2 
3S 1   2 
Решение. В этом случае имеем  max  1
, n  1
. Кри2
2
терий прочности имеет вид:
 2

*
(4.46)
 max
   1  n*   * .

 2 
В первой главе рассмотрены экспериментальные данные по предельному синхронному нагружению (1.27) тонкостенных цилиндров осевой силой с крутящим моментом (см. п.1.2.7). В этом случае наибольшее касательное напряжение и нормальное напряжение на площадке максимально-
напряжение  max 
го касательного напряжений соответственно равны: 2 max   a2  4 a2 и
100
2 n   a , подставив которые в (4.46), получим уравнение:
2
2
  a* 
  a* 
 a*



1

2


1.
(4.47)




 


2
2
 1
  1 
  1 
Соотношение (4.47) совпадает с соотношением Г. Гафа (1.28), подтвержденным большим количеством экспериментальных данных.
Пример 4.6. Получите критерий прочности для тел второго класса в
виде критерия из примера 5.
Проделав выкладки, аналогичные изложенным в примере 5, для второго класса обоих групп при нагружении (4.1) , (4.43) и плоском напряженном состоянии, получим следующий критерий прочности в виде соотношения между предельными наибольшими касательным напряжением и
нормальным напряжением на площадке действия максимального касательного напряжения:
2
2
 4

*
(4.48)
 max
  2  1  n*   *2 .
 2

В частном случае нагружения (1.27) уравнение (4.48) преобразуется к виду:


 
a  a 
(4.49)
 *   *  1
   
и совпадает с формулой Гафа (1.29), которая обоснована многочисленными экспериментами по выносливости различных сталей.
Пример 4.7. Сформулируйте критерий прочности для тел первого класса при нагружении:
 1 (t )   1 f (t ),

(4.50)
 2 (t )   1 f (t ), 1    1 ,
 (t )  0
 3
и зависимости от времени в виде следующего конечного ряда:
2
2
K
f (t )   f s s  t   s  ,
(4.51)
s 0
состоящего из членов – различных тригонометрических функций вида:
2 s  t  s 
2 s  t  s  

 s (t )  1,sin
,cos
(4.52)
.
*
t
t*


Решение. Выпишем материальные функции p0  p0 (t , t * ) , p1  p1 (t , t * ) и
p2  p2 (t , t * ) через 1  s, t *  
(4.41) с учетом (4.51) в виде:
 *  s, t * 
 *  s, t * 
и  2  s, t *  
 *  s, t * 
 *  s, t * 
по (4.40) и
  s, t *  f s s  t  s  

*
p2 (t , t )   
 *  s, t * 
s 0
K

1


1
 1  s, t *   1 f s s  t  s  
1
*

, p0 (t , t )  3  
,
*
*
   s, t * 
  s, t 
s 0 


K

1
 4  21  s, t *   2 f s s  t  s  
1

p1 (t , t )  3  
,
*
*
   s, t * 
  s, t 
s 0 


K
*
  s, t

* 

9  4  2  21    ,   s, t
2
2
2

* 

f 2 t 
9  4  2  21   22
.
(4.53)
2
В выражениях (4.53) знак (+) выбирается для первой, а знак (-) – для второй группы.
В предположении, что отношения пределов прочности тела не зависят от
частоты нагружения и долговечности: 1  s, t *   10 и  2  s, t *    20 в формулах (4.53) выражения, содержащие величины 10 и  20 , выходят за знак
суммирования. В этом случае критерий прочности (4.22) после подстановки в него (4.53) записывается так:
1
F (  )G (t * )  * * .
(4.54)
 1 (t )
Здесь  1* (t * ) искомая кривая усталости для нагружения (4.50), функция
G  G (t * ) имеет вид:


 K f   t  s 

: t  0, t *   ,
для первой группы: G (t * )  max   s s*
(4.55)
*

(
s
,
t
)
s

0








2
f (t )


: t  0, t *   . (4.56)
для второй группы: G (t * )  max  K
  * ( s, t * ) f   t   

s s
s
 

s 0
Функция F  F (  ) зависит от заданного отношения главных напряжений
 (t )
(см. (4.50)) следующим образом:
 2
 1 (t )
F (  )   20  1  
1    0
F (  )  1  2  5  3
0
0
1
F (  )  1    20  3   2   1
при
0    0.5
0.5    1
(4.57)
Отметим, что уравнение (4.54) при 2  1 , 1  1 (если 0    0.5 , то при
102
1  4 3 ) обобщает теорию максимальных нормальных напряжений (3.69)
на случай произвольного нагружения вида (4.50).
Пример 4.8. Сформулируйте критерий прочности для тел второго класса при нагружении примера 7.
Решение. Рассмотрим процессы (4.50) при условиях (4.51), (4.52) для
тел второго класса первой и второй групп. Вначале выпишем материальные функции p0  p0 (t , t * ) , p1  p1 (t , t * ) и p2  p2 (t , t * ) через 1 и 2 по
выражениям (4.31), (4.40) и (4.42) в виде:
 f s s  t  s  
p2 (t , t )   
 *  s, t * 
s 0
K
*
1


q s, t * 
Q  s , t *  2  2 

f

t


s s
s


q3  s, t * 
K




*
, p1 (t , t )  2 
*
*
  s, t 
s 0
1
,
(4.58)


q s, t * 
Q  s , t *  1  2 

f

t




s s
s
*


q
s
,
t

K
3


p0 (t , t * )   
*
*
  s, t 
s 0
1
,Q 
2 q2
2

q 
1  16  2  2  q2
q3 

В выражениях (4.66) знак (+) выбирается для первой, а знак (-) – для вто*
*
2 9
1 9
рой группы; функции q3  2 
и q2  12 
(  2  * , 1  * )


2 16
2 16
выражаются через пределы прочности  * ,  * и  * .
В предположении 1  s, t *   10 и 2  s, t *   20 в формулах (4.58) выражения, содержащие величины 10 и  20 , выходят за знак суммирования, и в
этом случае критерий прочности (4.25) для тел второго класса записывается в виде, аналогичном (4.54), так:
1
F (  )G (t * )  * * .
(4.59)
 1 (t )
В уравнении (4.59) функция G  G (t * ) имеет вид согласно (4.55) и (4.56).
Функция F2  F2 (  ) зависит от заданного отношения главных напряже (t )
ний   2
(см. (4.53)) для тел обоих групп следующим образом:
 1 (t )

1   2  0 2  1   2 4   0 2
1    0
2
2


2
q2 
 0 2 
2
0 2
при 0    0.5
4 F2 (  )  2   1  5  3
 4  2 
q
3 



2
0.5    1
q2 
 0 2 
0 2
2    3  3      2  q  4  2 
3 







(4.60)

Отметим, что при условии 2  3 , 1  1 уравнение (4.59) является обобщением энергетической теории прочности (2.10) для нагружения (4.50):
1
,
(4.61)
 и* 
G (t * )
где функция G  G (t * ) имеет вид согласно (4.55) и (4.56).
При условии 2  2 , 1  1 уравнение (4.59) для нагружения (4.50),
1    0 является обобщением теории максимальных касательных
напряжений (3.71), а при 0    1 - обобщением теории максимальных
нормальных напряжений.
104
Глава 5. Накопление повреждений и исчерпание запаса
пластичности при активном пластическом деформировании
В процессах развитого формоизменения (что характерно для технологий обработки давлением) в теле могут происходить нарушения сплошности: расслоения, образование каверн и т.п. При этом возникающее в теле
предельное состояние является следствием накопления недопустимо
больших (критических) уровней деформации. Теоретический подход,
предлагаемый для описания достижения предельного состояния при процессах развитого формоизменения, основан на понятии предельной пластичности  p   p  t *  - степени деформации, накопленной частицей тела к моменту разрушения в условиях простого нагружения при постоянных температуре и скорости деформации [20]. Обнаруживается существенная зависимость  p от температуры, скорости деформации, характера напряженного состояния.
5.1. Функция пластичности (по аналогии с функцией повреждений
  t  ) определяется по следующему соотношению:
и   d
,

T

,
k

,










p
и
0
t
p t   
(5.1)
3
ij (t )ij (t ) - интенсивность скоростей деформаций, T  t  - тем2
 t 
пература, k  0
,  0  t  - среднее напряжение,  и  t  - интенсив и t 
и (t ) 
ность напряжений. При t  0 значение p  0 .
Критерий разрушения сформулируем в виде:
t*
и   d
*
p t   
1.
0  p  T   , k   ,и   
(5.2)
Из (5.2) находится время t * , по его истечении в частице тела, состояние
которой меняется по законам T  T  t  , k  k  t  , и  и (t ) , произойдет
разрушение (достижение предельной пластичности).
Критерий (5.2) достаточно хорошо описывает результаты опытов при простых и близких к ним нагружениях; попытки описать на его основе результаты экспериментов, проведенных по программам сложных нагружений (например, при растяжении с кручением цилиндрических образцов),
приводят к расхождениям примерно в полтора раза. Экспериментально
показано, что предельная пластичность  p характеризуется по край-
ней мере двумя материальными функциями: 1p  1p  t *  - степенью
предельной осевой деформации при растяжении и  3p   3p  t *  - степенью предельной деформации при сдвиге с постоянными скоростями
деформаций.
Сделаем два замечания. Прежде всего, влияние напряженного состояния учитывается только показателем k  k  t  . Далее, предельная пластичность зависит от многих факторов технологического и металлургического
характера. Здесь эти вопросы обсуждаться не будут; как и выше, развивается феноменологическая точка зрения – способность материала деформироваться без разрушения характеризуется экспериментально определяемыми кривыми предельной пластичности.
5.2. Основные кинематические характеристики в процессах пластиче

ского течения – вектор скорости потока в точке тела v  vi x, t  в Эйлеровом описании движения и тензор-девиатор скоростей деформаций (приv
v
нимается условие несжимаемости тела): 2vij  i
: последнему
 j
x j
xi
в соответствие может быть поставлен пятимерный вектор скорости де
формаций V с компонентами [14]:
v v
2v
2v
2v
(5.3)
V1  v11 , V2  22 33 , V3  12 , V4  23 , V5  31 ,
3
3
3
3

1
1
при этом V  V  Vk Vk  2  vu  2vij vij 3 2 .
По аналогии с функцией пластичности p  p  t  (5.1) постулируется
существование тензора пластичности P  p ij t , который определяется

процессом скоростей деформаций vij  vij  t  (координаты x точки тела
везде в формулах опущены), функцией k  t  и температурой T  t  :
P  vij   , T   , k  
 t
 0
.
(5.4)
Тензор P  p ij t - трехмерный симметричный тензор второго порядка,

ему в соответствие можно поставить вектор пластичности P  Ps ,

1
1
s  1,...5, аналогично (3.89), при этом P  Pk Pk  2  pu  2 pij pij 3 2 .
Оба представления могут использоваться равнозначно.
Введем нормированные меры накопленной пластической деформации M s как инварианты тензора P , такие, что:
если M s  1 для любого s , то в частице не происходит нарушения сплошности,
106
если же для некоторого so станет M s0  1 , то происходит достижение предельной пластичности (разрушение).
Принимаются следующие гипотезы:
механические свойства материала характеризуются функциями
предельной пластичности  kp   kp  t *  ; таких функций, как отмечено
выше, не меньше двух ( k  1, 2 );
- тензор P является нулевым на отрезке 0,t  , соответственно меры
M s равны нулю, если на этом отрезке компоненты тензора скоростей
деформаций vij  0 ;
эксперименты по разрушению образцов, нагружаемых в условиях
простой деформации с изменяющимися параметрами процесса
 vи , T , k  , описываются критериями исчерпания пластичности на интер-
вале  0,t *  в виде (5.2):
и   d
 1.
(5.5)
T

,
k

,
v









u
0


Теорию накопления и исчерпания пластичности построим в предположении, что материал характеризуется двумя функциями предельной пластичности: при растяжении 1p  1p T  t *  , k  t *  , vu  t *  - и при сдвиге
t*



k
p


3p  3p T  t *  , k  t *  , vu  t *  .

Вектор пластичности P  Ps , построенный линейным образом на ос
нове пятимерного вектора скорости деформаций V , может быть представлен двояко:
t
Pi  t    Fij T   , k   0 dV j   ,
t 
(5.6)
0
t
Pi  t    Aij T   , k   V j   d , i, j  1,...,5 ;
(5.7)
0
здесь симметричные матрицы функционалов Fij или функций Aij должны
быть найдены из экспериментов. Будем полагать материал начально изотропным; тогда в качестве мер накопленной пластической деформации
можно принять:


а) M 1  P  p  pu - модуль вектора P ;
б) M 2  p1 - наибольшая главная компонента тензора P  p ij t ;
в) M 3  p1  p2 - наибольшее значение разности главных компонент тензора P . Здесь обозначены главные значения тензора P в каждый момент
времени: p1  p2  p3 . Предпочтительность каждой из мер устанавливается в опытах; заметим, что меры M1 и M 3 мало различаются между собой.
Известные теории в рамках сформулированных гипотез могут быть получены, если ввести в рассмотрение какую-либо инвариантную скалярную


характеристику тензора P или вектора P , например, P  p  pu . Разные
предположения относительно скорости роста p приводят к различным
вариантам теории. Если, например, положить  p   в то из условия
dp vи  t 

,
dt
p
(5.8)
откуда:
t
 t 
1
(5.9)
p
vu  d  u .

p 0
p
имеем критерий разрушения в следующем виде:
и  в ,
(5.10)
который означает, что при разрушении степень деформации достигает
критического значения - предельной осевой деформации  в . Уравнение
(5.10) является критерием максимальной интенсивности деформаций вида
(2.11).
В наиболее распространенном варианте скорость роста p задается так:
vи  t 
dp

,
(5.11)
dt  p T , k , vи 
где зависимость предельной пластичности от скорости деформации может
быть представлена в виде:
 k
v 
   k T , k   u  ,
(5.12)
 vok 
vok - некоторая характерная скорость деформации, показатель  k - константа материала. Это соотношение экспериментально подтверждено для
многих сплавов в достаточно широком диапазоне изменения vи .
Разберем вариант теории в виде (5.6). Положим
F11  F22  F1 ; F33  F44  F55  F3 ; Fij  0 при i  j . (5.13)
k
p
Функционалы F1 и F3 могут быть найдены из опытов по разрушению цилиндрических образцов при растяжении и кручении с постоянными скоростями деформации.
108
Рассмотрим опыт на растяжение:
v11  vt h  t  ,
(5.14)
где h  t  - функция Хевисайда при условии несжимаемости:
v22  v33  0.5v11 , v12  v23  v31  0 .

Отсюда для компонент вектора скоростей деформаций V имеем:
V1  vt h  t  , Vs  0 , s  2,...5 .
В соответствии с этим из (5.6) найдем:
(5.15)
(5.16)
P1  vt F1 T   , k   0  vt F1  t  .
t
(5.17)
r
В этом случае p  p1 , и на основании критерия M1  t *   P  pи  1 находим:
vt*  t *  F1  t *   1 .
(5.18)
С другой стороны, из (5.5) следует равенство:
1
d

,

vt*  t *  0 1p T   , k   , vt*  t *  


t*
(5.19)
которое дает зависимость между предельной скоростью деформации vt* и
временем до разрушения t * . Приняв во внимание (5.12), из (5.19) имеем:
1
vt*  t

* 1 1

1
1
v01
d
t*

0
*
*


1 T   , k   , vt  t  
.
(5.20)
Таким образом, для ядра F1  t  из (5.18) и (5.20) получим:
1
t

v01d
1
1 
1.
F1  t  

 , 1 


1  1
v01  0  1 T   , k    
(5.21)
В опыте на кручение имеем одну отличную от нуля компоненту тензора
скоростей деформаций:
v12  3
2
vs h  t  ,

и, соответственно, одну компоненту вектора V :
(5.22)
V3  vs h  t  .
(5.23)
Выражение для функционала F3  t  подобно выражению (5.21):
3
t

v03d
1
1 
 1,
F3  t  

  3 t  ,  3 
1  3
v03  0  3 T   , k    
(5.24)
при этом в общем случае 3  1 . Окончательно компоненты вектора пла
стичности P  Ps  записываются в виде:
1
t t 

v01d
1 
P1  t   P2  t  

 dV1   ,
v01 0  0  1    , k    
1
P3  t   P4  t   P5  t  
v03
3
 t 

v03d

0  0  3    , k    dV3   .



t
(5.25)
Рассмотрим частные случаи. Если функции предельной пластичности
не зависят от скорости деформации, то 1  3  0 , 1   3  1 ; тогда для
P1 , например, получим:
V1  t    d
t
P1  
0 1 
T   , k   
.
(5.26)
В другом частном случае независимости  kp от температуры и показателя
k (т.е. для процессов, в которых T и k меняются слабо) следует положить  k  ak  const ; тогда будем иметь:
1
 v01  t  t    1 dV1  
P1    
.
(5.27)
v01
 a1  0

Остальные компоненты вектора пластичности P находятся из (5.25)
аналогично.
Вариант теории, основанный на соотношениях (5.7), исследуется подобным же образом. Положим
(5.28)
A11  A22  A1 ; A33  A44  A55  A3 ; Aij  0 при i  j .
110

Ядро A1 определим из опыта на растяжение с постоянной скоростью деформации (5.14); подставим (5.14) в (5.7), откуда найдем:
t
P1  vt  A1 T   , k   , vt  d .
(5.29)
0
Из условия M 1  t *   1 получим критерий разрушения в виде:
t*
 A T   , k   , v  d  1 .
*
t
v
*
t
1
(5.30)
0
Такая же зависимость может быть найдена на основании (5.5):
t*
*
t
v

0
1
p
d
 1.
T   , k   , vt* 
(5.31)
Два последних выражения тождественны (они дают одинаковую зависимость между предельной скоростью деформации vt* и временем до разрушения t * ), если, в частности, положить:

A1 T , k , vu   1p T , k , vu 

1
.
(5.32)
.
(5.33)
Из опыта на кручение точно так же определим:

A3 T , k , vu   3p T , k , vu 

1

Теперь можно выписать вектор пластичности P в виде:
V1d
,

T

,
k

,
v









u
0


t
P1  t   P2  t   
1
p
V3d
.
0  
T   , k   , vu  
t
P3  t   P4  t   P5  t   
3
p
(5.34)
Рассмотренный вариант является обобщением скалярной теории.
Развитая выше теория накопления и исчерпания пластичности может
быть формально обобщена, если, например, в матрице Fij удержать боль-
шее число элементов. Однако фактическая возможность таких обобщений
должна базироваться на данных соответствующего числа независимых
экспериментов по определению функций предельной пластичности.
5.3. Теперь введем гипотезу о том, что свойства тела характеризуются
третьей (независимой) функцией предельной пластичности, а именно –
предельной пластичностью в условиях двумерного растяжения образца: 2p  2p t * .
 
Представим матрицу Fij таким образом:
F11  F22  F1 ; F12  F21  F2 ; F33  F44  F55  F3 , Fij  0 при i  j . (5.35)
Функционал F3 определяется, как и раньше, из опыта на чистый сдвиг в
виде (5.24), функционалы F1 и F2 - из экспериментов на одномерное и
двумерное нагружение. Для растяжения (5.14)-(5.16) из соотношения (5.6)
следует:
P1  vt F1 t  , P2  vt F2 t  , Ps  0 , s  3,4,5.
(5.36)
Далее, имеем:
2
(5.37)
p 2  vt  F12 t   F22 t 
и критерий разрушения – в виде:


v t  F t   F t   1 .
*
t
2
*
2
1
*
2
2
*
(5.38)
В соответствии с (5.5) с учетом (5.12) предельная скорость деформации
vt*  vt* t *  - известный функционал процесса (аналогично (5.21)):
1
t

v01d
1
1
1 
1,


  1  t *  , 1 

*
*
1  1
vt  t  v01  0  1 T   , k    
*
(5.39)
поэтому из (5.38) получаем:
(5.40)
F12  t   F22  t   12  t  .
При двумерном нагружении вида:
(5.41)
v11  v22  v~ht  , v33  2v11
для вектора скоростей деформаций имеем отличные от нуля две компоненты:
(5.42)
V1  v11  v~ht  , V2  3v11  3v~ht  .
Подставляя это в (5.6), найдем:
P1  F1 t   3F2 t  v~ , P2   3F1  t   F2  t   v , Ps  0 , s  3,4,5 ,




2
p 2  4v~  F12 t   F22 t   3F1 t F2 t  .

(5.43)
При разрушении p t *  1 , следовательно, имеем:
2
4 v~ t * F12 t *  F22 t *  3F1 t * F2 t *  1 .
(5.44)
 
     
112

 
   
В соответствии с (5.5) и (5.12) величина v~ - известный функционал процесса:
2
t

v02 d
1
1 
.


  2 t*  ,  2 

*
*
1 2
2v  t  v02  0  2 T   , k   
1
*
(5.45)
Подставив (5.45) в (5.44), находим:
F12  t   F22  t   3F1  t  F2  t    22  t  .
(5.46)
И, наконец, решая (5.40) и (5.46), для F1 и F2 имеем:
1
1
1
1
2
2
 
 
2
2
2
2
2
2


1 
1 
4  2 
4  2 


F1 
1  1  1  2    , F2 
1  1  1  2    , (5.47)
2   3  1   
2   3  1   




где  1 определяется по (5.39), а  2 - по (5.45) . В тех случаях, когда
функционалы  1 и  2 мало различаются (а нам представляется, что
именно так и будет в большинстве случаев), выражения (5.47) можно
 2

упростить. Действительно 1  2 2     1 , значит,  2  1 . Поэтому


1 
правые части выражений (5.47) можно разложить по малому параметру. В
результате такого разложения получим:
2
2

 2 
 1  2  

(5.48)
F1  1 1  1  2    1  t  , F2  1 1  22  .
6  1  
1 




Таким образом, с точностью до величины порядка  2 функционал
F1 определяется так же, как и в линейной теории (5.21), а различие в свойствах тела учитывается поправкой порядка  с помощью функционала
F2 .
5.4. В заключение рассмотрим один из возможных вариантов нелиней

ной связи между векторами P и V . Положим
t
t
Ps  t    B1 T   , k    0 dVs     B3 T   , k    0 Vs   dVs   .
 t 
0
 t 
0
s  1,...5
(5.49)
Функционалы B1 и B3 по-прежнему находятся из опытов на растяжение и
кручение. Из первого опыта на растяжение (5.14)- (5.16) следует:
2
(5.50)
P1 t   vt B1 t   vt  B3 t  .
Критерий разрушения представляется так:
vt* B1  t *    vt*  B3  t *   1 .
2
(5.51)
Но vt*  t *   1  t *  - известный функционал процесса (5.21), следовательно, имеем:
(5.52)
1  t  B1  t   B3  t   12  t  .
Из второго опыта на кручение (5.22), (5.23) имеем:
2
(5.53)
P3 t   vs B1 t   vs  B3 t  ,
и, аналогично предыдущему,
(5.54)
3  t  B1  t   B3  t   32 t  ,
1
где  3  t *  - известный функционал процесса вида (5.24).
Система (5.52), (5.54) имеет решение:
(5.55)
B1  t   1  t   3  t  , B3  t   1  t  3  t  .
Рассмотрим несколько примеров.
Пример 5.1. Осуществлено сложное нагружение трубчатого образца по
программе: растяжение с постоянной скоростью деформации: V1  v10 ht  ,
t  0, t1  , затем закручивание также с постоянной скоростью деформации:
V3  v30 ht  t1  до момента разрушения t * . На основе вышеизложенных
зависимостей получить уравнение для нахождения времени t * аналитически.
Решение. Учитывая соотношения (5.25), критерий разрушения записываем в виде:
21
2 3
  v 0 * t 
  v 0 *  t *  t  
1
1
1

  3
 1.
(5.56)
1
3
 p 


p




При 21  2 2  1.92 существует хорошее соответствие значений времени
до разрушения t * по (5.56) с экспериментальными данными.
Согласно (5.2) имеем линейное соотношение в виде:
 v  t   v  t
0 *
1
1
0 *
3
*
 t1 
 1,
(5.57)


которое приводит к различию между значениями времен по (5.57) и экспериментальных данных почти в полтора раза. Если воспользоваться выражениями (5.47), то снова приходим к формуле (5.56). Если воспользоваться выражениями (5.34), то критерий разрушения имеет вид:
1
p
3
p
2


2
 v10*t1   v30* t *  t1 

 
  1.
(5.58)
3
 1  


p
 p  

Отличие (5.58) от (5.56) обусловлено тем, что в (5.58) зависимость пре114
дельной пластичности от скорости деформации может быть произвольной
(в смысле ее аналитического выражения), а в варианте (5.56) эта зависимость принята в степенном виде. Они совпадут, если sp не будет зависеть от интенсивности скоростей деформаций vu .
Пример 5.2. Проведено простое нагружение трубчатого образца на
растяжение с внутренним давлением по программе: V1  v10 ht  , V2  V1
до разрушения, при условии, что растягивающая сила и давление поддерживаются в таком отношении, чтобы обеспечить равенство
v 22  0.5 3  1 v11 между поперечной и продольной скоростями деформаций. Найти время до разрушения t * аналитически.
Решение. По варианту теории, в котором удерживается три функционала в матрице Fij (см. п. 5.3) , имеем:


P1  v10 F1 t   F2 t ; P2  v10 F1 t   F2 t ; Ps  0 , s  3,4,5 .
Отсюда имеем
  


(5.59)

(5.60)
p 2  v10 1   2 F12 t   F22 t   4F1 t F2 t  .
Подставив сюда выражения (5.47) и воспользовавшись критерием
p t *  1 , получим уравнение для определения времени t * :
2
 



2 
  3  3  1 12  t *  
4  0 *
*  
 1.
(5.61)
v1  2  t  1 

2
*




4

2  t  
3


Случай равномерного двумерного растяжения следует при   3 ; случай
одномерного растяжения   0 получается из (5.61) как предельный.
Соотношения линейной теории получим, если положим 1   2 , тогда
F2 t   0 , P2 t   P1 t   F1 t , и вместо (5.61) будем иметь:
1   2  v10  1  t *   1 .
*
(5.62)
Отметим, что в предельном случае при    имеем v10  0 , при этом
v10  v 20 остается конечной величиной (деформация трубчатого образца
внутренним давлением в условиях плоской деформации), отсюда имеем
следующее уравнение
(5.63)
v20*1 t *  1 ,
по которому находится время до разрушения.
 
Глава 6. Основы механики разрушения твердых тел
Вторая (заключительная) стадия разрушения твердого тела – это развитие магистральной трещины, что приводит, в конце концов, к разделению
тела на части. Достаточно полно и математически строго описать это явление не представляется возможным, поэтому при построении математических моделей разрушения неизбежны схематизации. Трещина представляется как область «чечевицеобразной» формы «бесконечно» малой толщины, в которой выделяются берега трещины и ее фронт (см. рис. 6.1).
у
уу
уz
2
х
ху
хz
хz
zz
хх
r
ху
θ
уz
1
z
Рис. 6.1. Фронт (1) и берега (2) трещины в деформированном твердом
теле. Локальная система координат у вершины трещины и компоненты
тензора напряжений
Для тела с трещиной (или системой трещин) ставятся и решаются две
основные задачи: 1) в теле с трещиной заданной формы известно напряженно-деформированное состояние; устанавливаются критерии, по выполнении которых начинается раскрытие трещины (прослеживается полная аналогия с классическими критериями прочности); 2) ставится и решается задача кинетики трещины: формулируется математическая модель,
которая описывает форму области, занятой трещиной в произвольный момент времени t , если известна форма при t  0 и началось ее раскрытие;
записываются критерии критического раскрытия (трещиностойкость).
116
Таким образом, механика разрушения – это раздел механики деформируемого твердого тела, в котором изучается напряженно-деформированное
состояние тела, граница которого имеет особенности: замкнутые кривые
(фронт трещины) в пространстве и изолированные особые точки (концы
трещины) на плоскости. Разрушение хрупких тел изучается, как правило, в
рамках линейной теории упругости; критерии раскрытия трещин рассматриваются также с учетом пластических зон в окрестности кончика трещины. В настоящее время интенсивно развивается нелинейная механика разрушения [1,48-50].
В этой главе кратко изложены основные классические положения механики разрушения.
6.1. Линейная механика разрушения.
В процессе нагружения тела происходит смещение берегов трещины
(раскрытие), характер которого зависит от приложенной нагрузки; в зависимости от вида смещения берегов трещины различают три основных
конфигурации (см. рис. 6.2):
I
(х)
у
2l
у
II
х
z
(х)
у
Тип I
х
2l
Тип II
х
2l
Тип III
z
z
(х)
III
а)
б)
в)
Рис. 6.2. Три типа граничных условий
а) I - трещина нормального отрыва
б) II - трещина поперечного сдвига
в) III - трещина продольного сдвига
тип (I) - трещина нормального отрыва - перемещения берегов трещины перпендикулярны плоскости трещины;
тип (II) - трещина поперечного сдвига – берега трещины скользят
друг относительно друга под действием сдвиговых усилий, поперечных
фронту трещины;
тип (III) - трещина продольного сдвига - берега трещины скользят
друг относительно друга под действием сдвиговых усилий, направленных
вдоль линии фронта. Любое произвольное смещение берегов трещины
можно представить композицией этих трех типов смещений.
В линейной механике разрушения трещину заменяют математическим
разрезом нулевой толщины.
Исследуем известное решение плоской задачи линейной теории упругости для области твердого тела с внешним гладким контуром  и прямолинейной трещиной (математическим разрезом) длиной 2l при произвольных граничных условиях на  . Общее решение этой задачи строится на
основе метода комплексных потенциалов Колосова-Мусхелишвили [40,49]
и сводится к задачам теории аналитических функций. Структура решения
базируется на линейной суперпозиции трех независимых решений, соответствующих трем типам граничных условий, и имеет следующий вид
[1,19]:
1 II , III
 ij (r , ) 
K  f ij    O(1),
(6.1)

2r   I
u i (r , ) 
r
II , III
K       O(r


), i, j  x, y, z.
(6.2)
G 2  I
Здесь K ,   , ,  - коэффициенты интенсивности напряжений для
рассмотренных выше трех типов трещин: трещины нормального отрыва,
трещины поперечного и продольного сдвигов соответственно, они определяются соотношениями:
l
Y  l
lx
L
K       ( x )
dx .
(6.3)
lx
 l l
3/ 2
i
Функции  I ,  II и  III описывают распределение напряжений на разрезе
в теле без трещины; Oxyz  , Or  - соответственно декартовая и полярная
системы координат с началом в вершине разреза (трещины) – в точке О,
угол  отсчитывается от линии продолжения разреза (см. рис. 6.1) ; G l
модуль сдвига материала, Y= Y   - ограниченная функция, учитываю L
щая форму области, L - ее характерный размер; f ij ( ) - функции угла  ,
определяемые следующими соотношениями.
Случаю    (трещине нормального отрыва на рис. 6.2 а) соответствует
граничное условие:     yy  x  ; в формулах (6.1) функции f ijI ( ) имеют
вид:


3  


3 
f xx ( )  cos 1  sin sin
, f yy ( )  cos 1  sin sin
,
2
2
2 
2
2
2 
1
3
f xy ( )  sin  cos ,
(6.4)
2
2
118


при плоской деформации f zz ( )   f xx  f yy , при плоском напряженном
состоянии f ( )  0 , остальные f ( )  0. Функции  i ( ) (6.2) записываются в виде:
   -1

   1

(6.5)
 x ( )  cos 
 sin 2  ,  y ( )  sin 
 cos 2 ,  z ( )  0 .
2 2
2
2 2
2
При   II (трещина поперечного сдвига на рис. 6.2 б) граничное условие  II   xy ( x) , функции f ijI ( ) в (6.1) выражаются таким образом:

ij

zz
1
3

3  
 2  cos cos , f yy ( )  sin  cos ,
2
2
2
2
2 


3 
f xy ( )  cos 1  sin sin
(6.6)
,
2
2
2 
f zz ( )   f xx  f yy при плоской деформации, f zz ( )  0 при плоском
f xx ( )   sin



напряженном состоянии, остальные f ij ( )  0. Функции  iI ( ) в (6.2)
имеют вид:
  1

   1
  
 x ( )  sin 
 cos 2 ,  y ( )  cos  
 sin 2 ,  z ( )  0
2 2
2
2
2
2
(6.7)
при   3  4 в условиях плоской деформации,   (3   ) /(1   ) при
плоском напряженном состоянии,  - коэффициент Пуассона.
При    (трещина продольного сдвига на рис. 6.2 в) граничное условие имеет вид:  111   yz ( x) , функции f ij ( ) представляются в виде:
f xz ( )  sin

2
, f yz ( )  cos

2
, остальные f ij ( )  0,
(6.8)
в (5.2) функции  iIII ( ) равны:
 x ( )   y ( )  0,  x ( )   y ( )  0.  z ( )  sin

.
(6.9)
2
Если область совпадает со всей плоскостью, а граничные условия таковы, что   ( x)     Const ,   , ,  то по формуле (6.3) коэффициенты
интенсивности напряжений вычисляются элементарно:
K 

l
l

l
x l
 
lx
dx    l 2  x 2  2larctg
    l . (6.10)

lx
l  x  x l
l 
lx
Отметим, что понятие коэффициента интенсивности напряжений было
впервые введено Дж. Ирвиным.
Формулы (6.1)-(6.3) дают асимптотические представления решений в
окрестности кончика трещины; корневая особенность в выражении для
компонент тензора напряжений при r  0 (формула (6.1)) является следствием линейной модели упругости.
Полученное решение применяется для хрупких тел, например, из стекла
и керамики вблизи вершины трещины. Для большинства же твердых тел в
окрестности вершины трещины развиваются процессы упруго – пластического деформирования; перед фронтом трещины возникает пластическая
зона, обусловливающая конечные значения компонент напряжений (об
этом будет сказано ниже).
Экспериментально установлено [21], что применение линейной механики разрушения для трещины нормального отрыва обосновано при
напряжениях  I , не превышающих 0.8  s , при этом ширина пластической
зоны вблизи вершины трещины не превышает 20% от длины начальной
трещины; при дальнейшем увеличении нагрузки асимптотические представления вида (6.1)-(6.3) не могут быть использованы.
Для циклических нагружений тел с трещинами коэффициенты интенсивности напряжений, определяемые по (5.3), являются функциями времени K   K  t  ,   , ,  , в которых напряжения      x, t  - одномерное циклическое растяжения-сжатие, циклический поперечный и циклический продольный сдвиги соответственно.
При динамических нагружениях, когда вершина трещины перемещается вдоль некоторой гладкой кривой с модулем скорости v , в локальной
системе координат, связанной с вершиной трещины, тензор напряжений и
вектор перемещений представляется в виде (6.1) и (6.2) соответственно,
при этом K   K  t  ,   , , , а функции f ij  f ij (, v),  i   i ( , v),
i, j  x, y, z;   , , , зависят от модуля скорости v [48].
При оценке трещиностойкости элементов конструкций (способности
сопротивляться распространению трещин) большой интерес представляют
случаи, когда трещины распространяются от различных концентраторов
напряжений (подробнее см. п.1.3 первой главы). Рассмотрим трещину,
распространяющуюся от круглого отверстия радиуса R в бесконечной
пластине перпендикулярно растягивающему напряжению  I (см. рис. 6.3)
[69]. В случае l  R коэффициент интенсивности напряжений равен:
K I  1,12 I l .
(6.11)
При этом решение этой задачи рассматривают как решение задачи о трещине в пластине, растягиваемой напряжениями  I*   I , где  – теоретический коэффициент концентрации напряжений в точке M (1.39), в этом
случае   3 (задача Кирша). Отметим, что если напряжения на бесконеч-
120
ности прикладываются по направлению трещины, то коэффициент концентрации   2 .
у
I
h
b
М
I
х
R
Рис. 6.3. Трещина, распростроняющаяся от круглого отверстия радиуса R
Рис. 6.4. Прорастание трещины из
V-образного надреза
Если длина трещины сравнима с R , то предполагается, что напряженнодеформированное состояние в окрестности вершины трещины будет незначительно отличаться от состояния для пластины с трещиной длины
2l   2R  l и нагруженной на бесконечности напряжением  I , при этом
коэффициент интенсивности напряжений равен (решение Бови):
l 
K I   I l  g   ,
(6.12)
R
где значения функции g (l / R ) близки к единице.
Если 2l соизмеримо с шириной пластины b , то для коэффициента интенсивности напряжений принимается [69]:
 l 
K I   I l  g1   .
(6.13)
b
Для трещины, исходящей из вершины острого V-образного надреза (см.
рис 6.4), коэффициент интенсивности напряжений при углах   45 находят по следующему выражению:
(6.14)
K I  1,12 I  (l  h) ,
где h - глубина V-образного надреза.
При эксплуатации конструкций трещины часто зарождаются в углах и
на их поверхностях. Они распространяются преимущественно внутрь тела
и имеют форму раковин, близких к четверти или половине эллипса. Исходя из решения задачи о напряженно-деформированном состоянии в бесконечном теле с эллиптической полостью, находящейся под действием по-
стоянных растягивающих напряжений  I , перпендикулярных плоскости
полости [4], приближенно найден коэффициент интенсивности напряжений для трещины нормального отрыва в форме раковины:
a
K I  C I  ,
(6.15)
Q
где a - длина соответствующей полуоси эллипса раковины (глубина дефекта), Q – параметр формы раковины, зависящий от полуосей эллипса
раковины (длины и глубины дефекта) и отношения  I /  s (  s - предел текучести материала), С – корректирующий множитель.
Дж. Райсом получены численные значения коэффициентов интенсивности
напряжений при изгибе пластин с поверхностными трещинами и сделан
вывод, что для неглубоких поверхностных трещин (с отношением 2a/b<<1
, где b- толщина пластины) значение параметра Q приблизительно равно
единице и величина коэффициента интенсивности напряжений совпадает с
его значением для краевой трещины (5.10).
Задача определения коэффициентов интенсивности напряжений для реальных тел с трещинами является достаточно сложной. В специальной литературе опубликованы некоторые решения для бесконечных, полубесконечных и конечных, в том числе и неоднородных, пластин с системами
трещин различных форм; трещин, распространяющихся от различных отверстий, надрезов, выточек и др.; для различных пространственных тел с
трещинами, полостями и другими концентраторами напряжений
[32,61,66]. Рассмотрим несколько примеров.
Пример 6.1. Найти коэффициент интенсивности напряжений для неограниченной полосы при равномерном распределении нормальной
нагрузки по берегам внутренней трещины длины 2l и свободной от напряжений на бесконечности (см. рис. 6.5).
Решение. Представим решение задачи для полосы со свободной границей и трещиной, равномерно расклиненной нагрузкой  I , в виде суперпозиции равномерного сжатия полосы на бесконечности напряжением  I
(трещина при этом свободна от напряжений) с коэффициентом интенсивности напряжений равным нулю и ее равномерного растяжения на бесконечности напряжением  I со свободной от нагрузок трещиной, при этом
коэффициент интенсивности напряжений K I   I  l (из формулы (6.10)).
Таким образом, коэффициент интенсивности напряжений в рассматриваемой задаче равен коэффициенту интенсивности напряжений в задаче о
растяжении на бесконечности полосы со свободной трещиной,
т.е. K I   I  l .
122
у
у
Р
х
0
0
х
Р
2
2
z
z
Рис.6.5. Полоса под действием равномерно распределенной нагрузки σ1 по берегам внутренней трещины
длины 2l
Рис. 6.6. Полоса с трещиной длины
2l, расклиниваемой силами Р
Пример 6.2. Найти коэффициент интенсивности напряжений для неограниченной полосы с трещиной длины 2l , расклиниваемой двумя симметрично приложенными силами P в ее центре (см. рис. 6.6) .
P
Решение. Имеем: p ( x ) 
при  l  x  l , l  0. Найдем значе2 l
ние следующего интеграла:
l
1
lx
lim
dx  1.
(6.16)

l 0 2l
l

x
l
Тогда коэффициент интенсивности напряжений по формуле (6.3) равен:
P
KI 
(6.17)
l
Пример 6.3. Найти коэффициент интенсивности напряжений для неограниченной полосы со свободной трещиной длины 2l , образующей угол
 с осью Ox и равномерно нагруженной растягивающим напряжением  I
на границе (см. рис. 6.7) .
Решение. Приведем напряженное состояние вдали от трещины к плоскости, параллельной плоскости надреза в виде:
 I,α   I cos2  ,  I,α   I sin  cos  .
Подсчитывая в этом случае выражение для коэффициента интенсивности напряжений (6.10), получим:
 I cos 2
KI 
l
l

l
lx
lx
dx   I  lcos 2 .
(6.18)
у
I
α
2
0
х
z
Рис. 6.7. Полоса со свободной трещиной длины 2l, образующей угол α с
осью Ох, равномерно растягиваемая напряжением σ1
6.2. Критерии хрупкого разрушения
В задачах механики разрушения трещина рассматривается как математический разрез, способный распространяться. Поэтому важное значение
приобретает вопрос об условиях раскрытия трещины. Состояние тела в
момент раскрытия трещины рассматривается как предельное, а условие
раскрытия – как критерий разрушения. Критерий разрушения должен
устанавливать связь между критической длиной трещины и величиной
внешней нагрузки, при которой начинает ее рост. В линейной механике
разрушения описывается прежде всего хрупкое разрушение при условии
отсутствия пластических деформаций. Асимптотическое поведение
напряжений, деформаций и перемещений в окрестности конца трещины
(или ее фронта) вполне характеризуется коэффициентами интенсивности
напряжений (тип сингулярности один и тот же), поэтому критерии раскрытия трещины могут быть сформулированы в терминах этих коэффициентов. Например, следующим образом.
Раскрытие трещин нормального отрыва, поперечного или продольного сдвигов наступает при выполнении условия:
(6.19)
K  K ,c ,
где K  ,   I , II , III - значения соответствующих коэффициентов интенсивности
напряжений,
определяемые
соотношениями
(6.3),
K I ,c, , K II ,c , K III ,c - константы материала, определяемые из опытов по хрупкому разрушению образцов с трещинами определенных размеров, соответствующих действующим стандартам, и характеризующие способность
материала сопротивляться распространению трещин, т.е. его трещиностойкость. Отметим, что, как правило, экспериментальные значения K  ,c
определяются в условиях плоской деформации, при которых, в основном,
реализуется хрупкое разрушение всего образца (размер возникающей пла124
стической зоны вблизи трещины мал по сравнению с толщиной образца).
Подробное описание методик определения характеристик трещиностойкости представлено в литературе (см, например, [19,32, 48-50,79] и др.).
Значения коэффициентов трещиностойкости материала зависят от температуры и физико-химических характеристик окружающей среды.
Для трещины нормального отрыва     критерий (6.19) впервые
предложен Дж. Ирвиным, коэффициент K I* был назван вязкостью разрушения, его зависимость от критической длины трещины l * : K I ,c  K I ,c (l * )
представляется в виде так называемых R-кривых.
Значения вязкости разрушения K I ,c при плоской деформации для некоторых материалов [4,32] представлены в таблице 1:
Материалы
 s , МПА
 в , МПА
предел
текучести
предел
прочности
1470
1730
1240
1820
1850
1280
46
90
70,8
500
560
32
440
520
11,5
930
1050
37
сталь 4340
легированная сталь 300
мартенситностареющая сталь с 12% Ni
алюминиевый сплав
7075 Т6
алюминиевый сплав
типа В-95
сплав титана
Ti-6 %, Al- 4%
K I ,c , МПА  м
трещиностойкость
Таблица 1. Характеристики текучести, прочности и трещиностойкости некоторых сталей
Допустимый размер трещины, при котором прочность тела с трещиной
уменьшается вдвое по сравнению с пределом статической прочности  в ,
находится из условия  I ,c   в / 2 и формулы (6.10) и равен:
l 
*

4 K I ,c

2
.
(6.20)
 в2
Так, для материалов, представленных в табл. 1 , наименьший допустимый
размер трещины l *  0,62 мм у алюминиевого сплава типа В-95, а
наибольший – у алюминиевого сплава 7075 Т6 - l *  4,16 мм . Для легиро-
ванной стали 300 допустимый размер трещины l *  3,01мм , для мартенситно-стареющей стали с 12% Ni - l *  3,9 мм , для сплава титана Ti-6 %,
Al- 4% - l *  1,58 мм , и, наконец, для стали 4340 - l *  0,81мм .
При произвольном напряженном состоянии раскрытие трещины представляется следующей общей зависимостью:
(6.21)
( K  , K  , K  , K  ,c , K ,c , K ,c )  0.
Наиболее известен частный вид соотношения (6.21):
m1
m2
m3
 K 





   K     K    1.
(6.22)
K 
K 
K 
  ,c 
 ,c 
 ,c 
где m1 , m2 , m3  константы материала [32,79] . Например, для предельного
состояния при нормальном отрыве и продольном сдвиге зависимость
(6.22) конкретизируется соотношением:
n
m
 K    K  

 
  1,
(6.23)
K  K 

,
c

,
c

 

где при n  m  1 получают диаграмму Качанова, при n  m  2 - Эрдогана и Си.
Уравнения (6.21)-(6.23) с привлечением (6.3)- (6.10) позволяют находить или критическую длину трещины при заданном напряженном состоянии, или параметры критической нагрузки при заданной длине трещины.
Критерий (6.21) является локальным и определяет условие раскрытия
трещины перед ее фронтом. Сразу возникает вопрос об устойчивости подросшей трещины: если ее раскрытие неустойчиво, это приведет к разрушению тела в целом [49]. Полагают, что состояние раскрытия трещины
устойчиво, если для малого увеличения длины трещины требуется также
малое увеличение внешней нагрузки. Например, для трещины нормального отрыва:
dK I
(6.24)
 0.
dl
6.3. Трещиностойкость при динамическом нагружении.
Эксперименты по ударному нагружению образцов с трещинами позволили установить [38,46,47,79], что с уменьшением времени разрушения
образца критическое значение динамического коэффициента интенсивности напряжений нормального отрыва K  ,d возрастает и может существенно превосходить соответствующее значение при квазистатическом нагружении K  ,c . Для трещин нормального отрыва предложена следующая взаимосвязь динамической K  ,d и статической трещиностойкости K  ,c :
126
 
2
(6.25)
K  , d  K  ,c  C  t * .
Экспериментально также найдено, что для многих материалов при временах нагружения больше 50 мкс раскрытие трещин нормального отрыва,
трещин поперечного и продольного сдвигов можно определить по критерию [38]:
(6.26)
K  K ,d ,
где
K  ,d ,   I , II , III
- коэффициенты интенсивности напряжений,
найденные для конкретной динамической задачи, K,d , K,d , K,d - экспериментально определяемые константы материала, характеризующие его
динамическую трещиностойкость. Состояние тела в момент t  t * определяется как критическое, и уравнение (6.26) является критерием разрушения.
Пример 6.4. В начальный момент времени t  t0 имеется краевая сквозная трещина длины l0 в упругой полосе ширины b , l 0 / b  1 ; полоса
растягивается на бесконечности напряжением  I   I ( x) , перпендикулярно направлению трещины, которая при t  t 0 подрастает с некоторой скоростью V  V (t ) (см. рис. 6.8).
у
I
b
V (t)
0
0
(х)
х
(t)
Рис. 6.8. Динамические возмущения от движения трещины
со скоростью V(t)
Предполагается, что с течением времени внешние нагрузки не изменяются, поэтому динамические возмущения вызваны только ростом трещины.
Коэффициент динамической трещиностойкости K  ,d известен. Определить
момент времени t  t * , при котором скорость трещины будет критической,
т.е. удовлетворяющей уравнению (6.26).
Решение. Плоская задача динамической теории упругости для произвольной скорости V  V (t ) продвижения трещины нормального отрыва
решена Л.Фройндом [72]. Без учета отражений от границ тела, более точно, для плоскости с полубесконечной ( x  0 ) трещиной, коэффициент интенсивности напряжений:
l (t )
 yy ( x)
K (l ,V )  k (V ) 
dx ,
l (t )  x
0




1 V
C
R
,
(6.27)
k V   2 
 




V
V
 1   C 1  1  C  
R 
1 
 
- скорость рэлеевской волны, C1 - скорость продольной упругой
где C R
волны.
Таким образом, момент времени t  t * , при котором скорость трещины
будет критической, находится по критерию (6.26) из следующего уравнения:
 yy ( x)
l* ( t* )
K (l * ,V * )  k (V * )

l (t * )  x
0
dx  K I,d ,
(6.28)
t*
*
    V t dt.
l t
*
(6.29)
0
Если статическое поле постоянно:  yy   0 , то уравнение (6.28) примет
простой вид:
2k (V * ) 0 l (t * )  KI,d
(6.30)
Если при этом скорость роста трещины также постоянна, т.е.V  V0 , то
критическое время равно:
K I2,d
*
t  2
.
(6.31)
4k (V0 ) 02V0
Для полосы конечной ширины b с краевой трещиной начальной длины
l0 вследствие отражений упругих волн от границы тела возникает дополнительное поле динамических напряжений. Решение этой задачи также
приведено Л. Фройндом. Из этого решения в предположении симметричности дополнительных напряжений относительно оси x находится дополнительное растягивающее напряжение  d , yy   d , yy (t ) и дополнительный
коэффициент интенсивности напряжений [72]:
128
t
2 2c2
K1 (l , V , t ) 
k (V ) c1  c2   d , yy ( s) t  s ds ,
c1 c1
0
(6.32)
где c1 и c2 - скорости продольных и поперечных упругих волн соответственно.
Таким образом, суммируя два решения, для определения момента времени t * имеем уравнение:
t*
 l* (t* )  yy ( x)

2 2c2
*
* *
* 
K (l , V , t )  k (V ) 
dx 
c1  c2   d , yy ( s) t  s ds   K I,d
 0 l * (t * )  x

c1 c1
0


(6.33)
* *
где l (t ) в общем случае роста трещины определяется из (5.29).
Пример 6.5. В начальный момент времени t  t0 имеется сквозная
трещина длины l0 вдоль y  0 на упругой плоскости ( x, y ) . При t  0 на
ней задано касательное напряжение:  yz   ( x, t ) (начальные условия нулевые) (трещина продольного сдвига). Найти момент времени t  t * , при
котором наступит раскрытие трещины. Коэффициент динамической трещиностойкости при продольном сдвиге K III, d известен.
Решение. Из решения Б. Кострова [71] имеем коэффициент интенсивности напряжений K III в виде:
V 2  ( x, c2 t  x)
K III (V , t ) 
(1  ) 
dx,

C2 0
x
ct
2
(6.34)
где V  dl
- скорость распространения трещины длиной l  l (t ) , найденdt
ная из решения динамической задачи при действии касательного напряжения:  yz   ( x, t ) .
Момент времени t  t * , при котором наступит раскрытие трещины,
найдем из (6.26):
c t*
V * 2  ( x, c 2 t *  x )
K III (V , t ) 
(1  ) 
dx  K III,d .
(6.35)

C2 0
x
Частным случаем является распространение трещины со скоростью
V  V (t ) в статическом поле продольного сдвига:  yz    0 . В этом слу*
*
2
чае время t * находится из следующего выражения:
K III2 ,d
*
* *
.
t (c2  V (t )) 
2
8 0
(6.36)
6.4. Критерии роста трещин
При расчетах на прочность элементов машин и конструкций большой
интерес представляют исследования кинетики трещин, особенно, усталостных трещин, являющихся причиной многих разрушений. При циклическом нагружении зародившаяся после некоторого числа циклов трещина
медленно распространяется без образования сколько-нибудь значительной
пластической зоны в ее вершине. Характер разрушения в целом чаще всего близок к хрупкому, даже в случае материалов, разрушающихся вязко
при статическом нагружении (подробнее см. п.1.1 первой главы). Таким
образом, наряду с построениями критериев прочности, в которых предельным состоянием является зарождение усталостной трещины, развиваются подходы, в которых исследуется рост усталостных трещин и вводится новая характеристика сопротивлению усталости – циклическая
трещиностойкость, отражающая способность материала сопротивляться
распространению в нем трещины при циклическом нагружении.
На раннем этапе построения математических моделей по определению
скорости роста трещин ее связывали с параметрами номинальных напряжений (введены в п.1.3 первой главы) и длиной трещины. Например, скорость роста трещин dl dN для трещин нормального отрыва при симметричном циклическом нагружении: σ I  σ a sin ωt ,  ij  0 , (i, j )  ( x, x) ,
предлагалось описывать соотношением:
dl
 C am l n , С, m, n = Const,
dN
(6.37)
(при n  1 известна как зависимость Фореста-Дагдейла). Однако применимость таких зависимостей оказывалась ограниченной заданными конкретной формой и размерами образца, а также видом напряженнодеформированного состояния.
В дальнейшем для описания роста усталостной трещины П. Пэрисом было
предложено использовать характеристики механики разрушения тел с
трещинами. А именно, так как упругое напряженно-деформированное состояние в окрестности кончика трещины определяется коэффициентами
интенсивности напряжений, то предполагается, что между скоростью роста трещины и коэффициентами интенсивности напряжений существует
взаимосвязь.
Например, для скорости распространения трещины нормального отрыва
при произвольном одномерном асимметричном нагружении предложена
следующая степенная зависимость:
m
dl
C  K
,
(6.38)

dN

130

где K   K  ,max  K  ,min - размах коэффициента интенсивности напряжений
в цикле, K  ,max и K  ,min - соответственно наибольшее и наименьшее значения коэффициента интенсивности напряжений в цикле, C и m - константы
материала. Для металлов показатель степени m лежит в интервале от 2 до
10. Для многих материалов m  4 , при этом величина C лежит в пределах
от 1.5 до 3.5  10 9 мм 7 / H 4 .
Зависимость (6.38) имеет экспериментальное обоснование. На рис. 6.9
представлены результаты испытаний образцов из алюминиевых сплавов
при разных   ,max , но при одинаковом   ,min , близком к нулю (коэффициент асимметрии цикла напряжений r , r 
 I ,min
, равен 0.05) , из которых
 I ,max
видно, что скорость распространения трещины dl dN определяется размахом коэффициента интенсивности напряжений K .
Коэффициент асимметрии цикла напряжений r является одним из важных
параметров, влияющих на скорость роста трещин нормального отрыва.
Например, для высокопрочных сталей при изменении r от 0 до 0.5 среднее увеличение скорости роста трещин составляет 30% при заданном размахе коэффициента интенсивности напряжений K . На рис. 6.10 представлена зависимость максимального значения K  ,max от скорости роста
трещин dl / dN для алюминиевого сплава 2024-Т3 при разных значениях
коэффициента асимметрии цикла r , откуда видно уменьшение скорости dl dN при одинаковых K  ,max до 40% с увеличением r от 0.1 до 0.5.
Аппроксимация экспериментальной зависимости скорости роста трещин
нормального отрыва от r ( r  0 ) может быть записана в виде [35]:
K Im
dl
C
.
(6.39)
dN
1  R K I ,c  K I
(При коэффициенте асимметрии цикла r  0 циклические напряжения
становятся сжимающими и рост трещины не происходит).
На основании дислокационных представлений о разрушении материалов
Т.Екобори [10] получил уравнение, аналогичное уравнению (6.38), и зависимость коэффициента C от температуры. В общем, повышенные температуры увеличивают скорость распространения трещины, умеренно низкие температуры – уменьшают. Много исследований посвящено влиянию
коррозионно-активных сред на скорость роста трещины [4]. Показано, что
в воздухе нормальной влажности скорость распространения трещины может быть на порядок выше, чем в вакууме.
К I , МПа* м ½/
v10
I, ma x =75
100
90
МПа
2024-Т3
80
70
7075-Т6
60
50
40
2мм
30
70 мм
20
10
r =0,05
0,01
0,1
10
1
d / dN , мм/цикл
К I от скорости роста трещины нормального отрыва
Рис.6.9. Зависимость
d / dN для двух алюминиевых сплавов 2024-Т3 и 7075-Т6, r =0,05 [4]
К I, ma x, МПа * м
½
/
v10
80
70
60
r=0,1
r=0,2
r=0,3
r=0,4
r=0,5
50
40
(
(
(
(
(
)
)
)
)
)
30
20
15
0,01
0,1
1
d / dN , мм/цикл
Рис.6.10. Зависимость максимального значения коэффициента интенсивности
напряжений К I, ma x от скорости роста d / dN трещины нормального
отрыва при различных коэффициентах асимметрии цикла r для
алюминиевого сплава 2024-ТЗ [4]
132
Следующая зависимость Т.Екобори и К.Сато отражает влияние частоты
нагружения на скорость роста усталостных трещин в твердом теле:
dl
 C (K  ) n1 f n2 , C, n1 , n2  const ,
(6.40)
dN
где f - частота нагружения.
Экспериментальная зависимость dl dN от K  ,max ( K  ) имеет три типичные области (см. рис. 6.11), соответствующие различным механизмам
роста трещин, что следует из микрофрактографических и микроструктурных исследований. Первый участок низких скоростей соответствует значениям K  ,max , близким к K  ,th - пороговому значению коэффициента интенсивности напряжений, ниже которого отсутствует рост трещины
dl
 5*105 мм / цикл ). На этот период роста трещины приходится
(0 
dN
около 90% долговечности элемента [32,80]. Для большинства материалов
соотношения (5.37), (5.39), (5.40) описывают скорость роста трещин
dl
dl
5*105 мм / цикл 
 103 мм / цикл (второй участок
в
диапазоне
dN
dN
диаграммы на рис. 6.11).
На третьем участке диаграммы трещина быстро ускоряется при приближении к критическому значению K If,c , называемому циклической
вязкостью разрушения, по наступлению которого трещина начинается
развиваться спонтанно и наступает последний этап ее распространения –
долом. Отметим, что вязкость разрушения K If,c , экспериментально полученная при циклическом нагружении, вообще говоря, отличается (обычно
она меньше) от критического значения коэффициента интенсивности
напряжений K  ,c , найденного из статических испытаний.
В предположении, что скорость трещины определяется тремя компонентами тензора напряжений (нормальной компонентой, продольной и
поперечной сдвиговыми компонентами) независимо, можно сформулировать выражение для ее определения при двумерных и трехмерных нагружениях тела в следующем виде:
dl
  f  K  ,max , r , K f ,c , K  ,th ,
(6.41)
dN   I , II , III


Таким образом, величины K  ,th и K If,c характеризуют циклическую трещиностойкость материала. Критерий начала роста усталостной трещины формулируется в виде:
(6.42)
K  K ,th ,
d / dN , мм/цикл
К
К
I,th
I, f
К I, К I, ma x
Рис.6.11. Зависимость скорости роста dl/dN трещины нормального
отрыва от размаха ΔКI (максимального значения КI,max) коэффициента
интенсивности напряжения
а критерий усталостного разрушения – так:
K l *  Kf ,c ,
 
(6.43)
где K  ,   I , II , III - значения размахов коэффициентов интенсивности
напряжений для трещин нормального отрыва, поперечного и продольного
сдвигов соответственно. С методикой определения характеристик циклической трещиностойкости можно познакомиться в книге [32].
Если в дифференциальное уравнение (6.38) подставить выражение для коэффициента интенсивности напряжений в трещине нормального отрыва
по соотношению (6.10) и его проинтегрировать, то для предельного числа
циклов нагружения N c по критерию (6.38) в зависимости от критической
длины трещины l c получаются выражения (пусть  I ,min  0 ) :
при m  2
при m  2
Nc 
Nc 
2
m
 m  2  C m / 2 I,max
ln
lc
l0
 1
1 
  m  2 / 2   m  2 / 2  ,
lc
 l0

(6.44)
.
(6.45)
*2
C I,max
Отметим, что при циклическом нагружении в пластической зоне у вершины усталостной трещины возникают сжимающие остаточные напряжения, вызывающие закрытие вершины так называемое залечивание трещины. Это существенно усложняет моделирование роста трещины и решение
134
этой проблемы можно ожидать лишь в будущем [32] .
Наконец, по результатам экспериментальных данных зависимость для
da
скорости углубления полости поверхностной раковины
Q
dN (см. со-
отношение (6.15)) предложена в виде:
a
d 
 Q   f K , K
(6.46)
 I ,max  .
dN
К. Миллер и его школа [33] изучали усталостные разрушения твердых
тел с трещинами при различных номинальных плоских напряженных состояниях. Они предложили рассматривать соотношение для dl dN в виде:
dl
l
 Y    l f  max ,  n  ,
dN
L
где 
(6.47)
- размах максимального номинального касательного напряжеmax
ния,  - размах номинального нормального напряжения на площадке
n
действия максимального касательного напряжения.
Рассмотрим циклические нагружения твердого тела с трещиной, в
окрестности вершины которой имеется значительная пластическая зона,
как правило, при малоцикловой усталости. В этих случаях С. Серенсен и
Н. Махутов предложили ввести коэффициент интенсивности пластических деформаций, определяемый по аналогии с коэффициентом интенсивности напряжений, и скорость роста трещин связать с ним (по аналогии
с формулой (6.38)) следующим образом:
m
dl
 C  
l  1 ,
(6.48)
1  I, p 
dN
где 
- размах заданной номинальной осевой пластической деформаI, p
ции (для тела без трещины). C1 , m1 - константы материала.
К. Миллер развил эту мысль на случай плоского напряженного (деформированного) состояния и предложил выражение вида:
m
dl
(6.49)
 C  p l 2 ,
2
dN
где  p  0.5 p,max  s p,n , 
- размах номинальной максимальной
I, p
пластической деформации сдвига, 
- пластическая деформация норp, n
мального волокна на площадке действия максимальной пластической де-


формации сдвига, C2 , m2 , s,  константы материала [33].
6.5. Пластическая зона в окрестности вершины трещины
Как уже отмечалось в п.6.1, линейное решение задач механики разрушения требует уточнения в областях вблизи вершины трещины вследствие
возможного возникновения в них упруго-пластических деформаций. В
классической механике разрушения [19] предлагаются различные модели
пластической зоны вблизи вершины трещины в предположении ее малости.
Следуя Дж. Ирвину, пластическую зону для трещин нормального отрыва находят, используя критерий пластичности Мизеса. Из которого при
плоском напряженном состоянии для радиуса пластической зоны
rp  rp ( ) вокруг вершины трещины нормального отрыва (тип I) следует
уравнение:
K 2  3 2

2
(6.50)
 1  sin   cos    2 s ,
2 rp ( )  2

отсюда при   0 имеем
rp 
K  (l0 ) 2
2 s2
(6.51)
.
При плоской деформации пластическая зона определяется следующим
уравнением:
K 2  3 2

2
2
(6.52)
 sin   (1  2  ) (1  cos  )   2 s ,
2 rp ( )  2

при   0
-
rp 
K 2 (1  2 ) 2
2 s2
.
(6.53)
Аналогично получаем выражения для радиуса пластической зоны в кончике трещины поперечного сдвига (тип II). Для трещин продольного сдвига (тип III) зоной пластичности является круг радиуса rp 
2 K 2
, за преде s2
лами которого – упругое состояние. На рис. 6.12 изображены формы зон
пластичности для трещин типов I, II и III в безразмерном виде.
Следуя М. Леонову, В. Панасюку и Д. Дагдейлу [19,79] предположим,
что исходную трещину нормального отрыва длины 2l 0 можно заменить
модельной трещиной длины 2l  2(l 0  d p ) , на частях d p которой приложены сжимающие напряжения: 
l0  x l0  d p , y 0, z 0
  s (зона d p идеально-
пластическая), а на границе – напряжение  I (см. рис. 6.13). При этом в
кончике модельной трещины напряжения имеют конечные значения (т.к.
он не является кончиком исходной трещины, где они имеют особенность),
136
что, как видно из асимптотических выражений (6.1), возможно только при
у
rрπ
2
КI
0,5
s
1
2
у
θ
2
1
rрπ
2
КI
0,5
0,5
х
s
Тип II
θ
0,5
0,5
х
у
θ
0,5
+
+ +
Тип I
х
Тип III
Рис. 6.12. Формы зон пластичности в окрестности вершины
I – трещины нормального отрыва
II – трещины поперечного отрыва
III – трещины продольного отрыва
1 – плоское напряженное состояние
2 – плоская деформация
равенстве нулю коэффициента интенсивности напряжений для модельной
трещины K Im .С другой стороны, K Im можно найти, используя принцип
суперпозиции решений двух задач: для тела со свободной трещиной нормального отрыва длины l ( K I'   I l ) и для свободного на границе тела
с трещиной длины l , на концевых участках которой длины d p действуют
сжимающие напряжения 
l0  x l0  d p , y 0, z 0
  s (при этом коэффициент
интенсивности напряжений K I'' находится по формуле (6.3) и равен
 dp 
2 l
 ).
Таким
образом,
из
условия
K I''   s arccos1 
l 


K I  K I'  K I''  0 окончательно получаем выражение для определения d p :




1

d p  l0
 1 .
(6.54)

  I  
 cos 
 
 2 s  

Рассмотрим случай, когда  1   s (квазихрупкое приближение). Тогда,
 
разлагая выражение 1 / cos I
 2 s
слагаемые, из (6.54) имеем:

 в степенной ряд и отбрасывая малые

2
  K (l ) 
d p   I 0  ,
8  s 
(6.55)
где K I (l 0 )   I l 0 - коэффициент интенсивности напряжений, соответствующий трещине исходной длины l0 .
у
rр
s
rр
s
2
х
0
Рис. 6.13. Приближение Леонова-Панасюка-Дагдейла
Формула (6.55) определяет диаметр пластической зоны d p по модели
Леонова-Панасюка-Дагдейла, а формула (6.51) (или (6.53)) – половину
диаметра пластической зоны d p  2rp . Сравнение показывает, что расхождение в значениях d p только в числовых множителях и составляет 19
% . Так как при построении этих формул были использованы принципиально разные подходы, такое расхождение признается приемлемым [19].
Перейдем к исследованию смещений берегов трещины нормального отрыва. Наибольший интерес представляет величина раскрытия исходной
трещины в вершине:
 I  2u y (l 0 ,0,0) ,
(6.56)
которая выражается через перемещение вершины u y по y.
В линейном случае по соотношениям (6.1) раскрытие трещины в вершине  I  0 .
138
Найдем выражение для перемещения u y  u y (x,0,0) на поверхности
модельной трещины нормального отрыва по модели Леонова-ПанасюкаДагдейла, находящейся в упругом напряженно-деформированном состоянии, по выражению (6.2) [19,79]:
2
2
l s 
 sin    
 sin   sin   


u y x,0,0 
 cos  ln 
cos  ln 
 , (6.57)


E 
 sin   sin   
 sin    

 I
x
где   arccos ,  
.
l
2 s
Отсюда раскрытие исходной трещины в вершине (6.56) равно:
 l   
(6.58)
 I  8 s 0 ln  sec I  .
E 
2 s 
При d p  l 0 зависимость (6.58) можно разложить в ряд Тейлора и при
условии  I 
s
2
ограничиться первым слагаемым, тогда получим:
I 
 I2 l 0
.
E s
(6.59)
По модели Ирвина пластическая зона - круг радиуса rp (6.51) и раскрытие трещины  I в вершине (6.56) равно удвоенному перемещению
u y  u y (rp ,0,0) :
r
8
K p .
(6.60)
E
2
Аналогичные рассуждения проводят при плоской деформации.
Пример 6.6. Определить критическую длину трещины и число циклов
до разрушения (долговечность) для упругой однородной полосы с краевой
трещиной длиной l0  4 мм , которая подвергается циклическому несим-
 I  2u y (rp , 0, 0) 
метричному нагружению вида:  I   a (k  sin  t ), k  1.5 ,  a  114МПА
( r  0,2 ) перпендикулярно направлению трещины. Под разрушением понимается достижение длиной трещины критического значения согласно
критерия Ирвина (5.19). В предположении возникновения в кончике трещины пластической зоны, оценить ее радиус.
Исходные данные. Материал полосы - сталь 3.8% С – 0.48% Mn – 2.4% Si
с  s  620 МПа. Константы уравнения (6.38) для стали равны: m  3,
3 m  2 
2
MH
м
С  1,5 *10 11
, K I ,c  45 3 / 2 .
m
м
МН
Решение. Коэффициент интенсивности напряжений согласно формуле
(6.10) равен: K I ,max   max l , где  max  285 МПа.
Из критерия (6.19) в виде: K I ,max  K I ,c находим критическую длину трещины l * :
 K I ,c 
lc  
  9 мм.


 max

*
Для определения долговечности N используем формулу Уилсона (5.44),
согласно которой N *  5,5 *10 3 циклов.
Таким образом, получаем, что на распространение трещины от l 0  4 мм
до l *  9 мм нужно N *  5,5 *10 3 циклов. Если необходимо, чтобы элемент
конструкции работал большее количество циклов до разрушения, нужно
либо менять материал полосы, либо, изменив технологию изготовления
конструкции, уменьшить начальную длину трещины l 0 . Например,
уменьшение начальной длины до l 0  3 мм приводит к увеличению долговечности на 2 *10 3 циклов, в течении которых трещина растет от
l 0  3 мм до l 0  4 мм и суммарная долговечность при этом равна
N *  7,5 *103 циклов.
Радиус пластической зоны по Ирвину согласно (6.51) равен rp  0,42 мм ,
при этом критическая длина трещины равна l '  l *  2rp  9,84 мм и число
циклов до разрушения N *  9,8 *10 3 циклов. Отметим, что для достижения
критической длины l *  9 мм с учетом поправки Ирвина требуется меньKc
 258МПа.
шее напряжение:  max 
  lc  rp 
Диаметр пластической зоны по модели Леонова-Панасюка-Дагдейла (6.55)
d p  1,04 мм и трещина продвинется до l ''  l *  d p , т.е. до l ''  10,04 мм и
число циклов до разрушения по формуле (6.44) также будет несколько
больше, чем в случае поправки Ирвина: N *  18,9 *103 циклов; а для достижения длиной трещины l *  9 мм будет требоваться еще меньшее
напряжение:
Kc
 max 
 253МПа.
  lc  rp 
140
6.6. Критерии вязкого разрушения
Во второй главе сформулирована классическая гипотеза максимальной
главной деформации, согласно которой разрушение тела произойдет, когда максимальная главная деформация достигнет предельного значения  *
. В соответствии с этим подходом разрушение тела с трещиной длины
l 0 произойдет, когда раскрытие трещины в вершине    2u y (l 0 ,0,0)
достигнет предельного значения  * , которое является характеристикой трещиностойкости материала, определяемой экспериментально:
    * ,   , ,  .
(6.61)
В общем виде этот критерий может быть записан так [32]:
*
  I ,  II ,  III ,  I* ,  II* ,  III
 0.
(6.62)
Используют следующее частное представление уравнения (6.62):


m
n
k
  I    II    III 
 *    *    *   1.
      II    III 
(6.63)
6.7. Теория хрупкого разрушения А. Гриффитса.
Закон сохранения энергии при упруго-пластическом деформировании
твердого тела с трещиной формулируется в следующем общем виде
[18,19]: :
 U   K    A  Q ,
(6.64)
где U  U e  U p - вариация внутренней энергии деформации, состоящая из упругой U e и пластической U p составляющих соответственно,
K - вариация кинетической энергии тела,  - вариация поверхностной
энергии, затраченной при росте трещины, A - вариация работы внешних
сил, Q - приток тепла.
Рассмотрим медленные квазистатические процессы, для которых K  0 ,
при отсутствии внешних притоков тепла: Q  0 .
Потенциальной энергией тела  называется разность  U  A и из закона
сохранения энергии (6.64) следует:
   ,
(6.65)
т.е. если трещина растет, то освобождающаяся при этом потенциальная
энергия идет на образование новой ее поверхности.
А.Гриффитс представил вариацию поверхностной энергии тела  в случае подрастания одномерной трещины в виде:
  2 l ,
(6.66)
где  - интенсивность освобождающейся энергии при росте трещины. Если поверхностный слой атомов интерпретировать как растянутую упругую
тончайшую пленку [49], то, чтобы его оторвать, необходимо совершить
работу против сил поверхностного натяжения материала, за меру которой
и принята величина  .
Из соотношений (6.65) и (6.66) следует, что интенсивность освобождающейся энергии равна:
1 

.
(6.67)
2 l
Изменение потенциальной энергии линейно-упругого тела можно выразить через коэффициенты интенсивности напряжений так:
для трещины нормального отрыва
K2
       l ,
(6.68)
E
для трещины поперечного сдвига
K2
       l ,
(6.69)
E
для трещины продольного сдвига
2
(1   ) K 
    
l ,
(6.70)
E
где    1 - для плоского напряженного состояния,    1   2 - для плоской деформации.
Выразив вариацию потенциальной энергии через интенсивность освобождающейся энергии  по (6.67), имеем:
K 2
,
(6.71)
2E
K 2
 
,
для трещины поперечного сдвига
(6.72)
2E
1   K III2
III 
.
для трещины продольного сдвига
(6.73)
2E
Соотношения (6.71)-(6.73) определяют связь между силовыми
K I , K II , K III  и энергетическими I , II , III  характеристиками процесса
нагружения тела.
При плоском напряженном состоянии интенсивность освобождающейK 2
ся энергии в трещине нормального отрыва по (6.71) равна:  
. То2E
гда, если здесь выразить коэффициент интенсивности напряжений K  через раскрытие трещины  I согласно модели Леонова-Панасюка-Дагдейла
по соотношению (5.59), то для интенсивности освобождающейся энергии
для трещины нормального отрыва
142
 
 имеем:
1
   s  I .
(6.74)
2
По модели Ирвина из выражения (6.60) получим для  такое выражение:

 s I .
(6.75)
8
Потенциальная энергия, запасенная в упругом бесконечном теле с центральной трещиной нормального отрыва длины 2l , представляется площадью треугольника ОАВ на рис. 6.14.
Если длина трещины увеличится на величину 2dl , то деформация ОВ
будет достигнута при меньшей нагрузке (отрезок ОС) и упругая энергия
для тела с трещиной длины 2l  dl  будет равна площади треугольника
ОСВ. Отсюда увеличение длины трещины с 2 l до 2l  dl  приведет к интенсивности освобождающейся энергии, равной удельной площади S треdS
угольника ОАС ( 2 
).
dl
А.Гриффитс предположил, что трещина будет расти лишь в том случае, если освобождаемой энергии достаточно для обеспечения всех затрат
энергии, связанных с ее ростом.
Таким образом, для наступления критического состояния необходимо,
чтобы интенсивность освобождающейся энергии  достигла или превысила некоторого ее критического значения  * :
(6.76)
  * .
При этом для трещины нормального отрыва из выражения (6.71) получается выражение для критического значения  I* , необходимого для разрушения пластины с трещиной длины 2l * :
 
2 * E
.
(6.77)
l * 
А.Гриффитс получил экспериментальное подтверждение соотношения
(6.77) на основании опытов по разрушению стекол.
Е.Орован [18,45] предложил расширить область применимости соотношения (6.77) на тело с трещиной, в кончике которой возникают пластические деформации, в таком виде:
 I* 
2(*  *p ) E
 
,
 l * 
*
I
(6.78)
где  p* - максимальная удельная работа пластической деформации при образовании единицы поверхности трещины. Отметим, что для металлов
p*   * . Например, для сталей p*  103 * . Эта работа и обеспечивает хорошее сопротивление металлов хрупкому разрушению.
Выражения (6.71)-(6.73) связывают энергетические ( ,  ,  ) и сило2
d S= 2Г d
А
2(
+d
Напряжение
А
0
С
)
/
2
2(
/
+d
)
С
d S= J d
В
Деформация
В
/
Рис.6.14. Графическое представление интенсивности освобождающейся энергии Г и J- интеграла для трещины нормального отрыва
вые ( K  , K  , K  ) характеристики развития трещин в твердых телах
вплоть до достижения критического состояния. При этом величины
(I* , II* , III* ) являются энергетическими, а величины ( K  ,c , K ,c , K ,c ) силовыми характеристиками трещиностойкости материала.
Если использовать аддитивность отдельных составляющих энергии, то
для трещин смешанного типа критерий разрушения при произвольном
нагружении тела можно записать [19]:

 
1 
 K  ,c  K ,c 
K ,c    * ,
(6.79)
2E 


*
где  *  I*  II*  III
.
Пример 6.7. Определить критическую длину трещины и число циклов до
разрушения в однородной упругой полосе с центральной сквозной трещиной начальной длины l0  10 мм (рис.6.15).
Полоса подвергается циклическому несимметричному растяжениюсжатию с кручением вида:
 yy (t )   a (  sin t ),
,
(6.80)

 yz (t )   a (  cos t )
144
со значениями:   1 / 1   ,   0.2,  a  195 МПа.
Исходные данные. Материал полосы – низколегированная перлитная
сталь:   0.3,  s  583МПА ,  в  700МПА [66]. Коэффициенты в уравне-
у
х
z
уz
уу
Рис. 6.15. Полоса с центральной сквозной трещиной длины l, подвергающаяся циклическому несимметричному растяжению-сжатию с кручением
3m  2
нии (6.38) равны: m  2,69, C  1,129  10
для данного материала K  ,c  93,5
11
2
m
. Вязкость разрушения
MH m
MН
(при толщине образца 25 мм) и
3
м 2
критический коэффициент интенсивности напряжений при поперечном
MН
сдвиге K II ,c  62,4 3 .
м 2
Решение. Из критерия (6.19) при плоском напряженном состоянии
(6.80),  zz  0 (   1) для критического состояния имеем:
(6.81)
max K I  (1   ) K III   K I,c  (1   ) K III,c ,
t0, 2 
где: K I   yy (t ) l * , K III   yz (t ) l * согласно решениям линейной теории упругости для трещин нормального отрыва и продольного сдвигов соответственно (см.(6.10)).
Отсюда получаем критическую длину трещины в следующем виде:
( K I,c  (1   ) K III,c ) 2
*
(6.82)
l 
 127,7 мм .
2


  max  yy (t )  (1   ) yz (t ) 
 t0, 2 

С целью нахождения числа циклов до разрушения при процессе нагруже-
ния (6.80) предположим, следуя К.Миллеру [33], что уравнения для роста
трещины имеет вид:
m
dl
 C  max  l ,
(6.83)
dN
где  max - размах максимального касательного напряжения для полосы
без трещины.
Примем справедливой формулу для определения числа циклов до разрушения, аналогичную соотношению (6.44):
 1
2
1 

,
(6.84)
Nc 

m
(
m

2
)
/
2
(
m

lc 2) / 2 
(m  2)C m / 2  max   l0


где значение  max  426,82МПа . Отсюда N c  8,43  109 циклов до разрушения.
Пример 6.8. При решении динамических задач о распространении трещин используют следующее выражение для интенсивности освобождающейся энергии при движении трещины с модулем скоростью v  vt 
[46,47]:

1
v2
1 2 
2
2
  I  II  III 
K  t  , (6.85)
 1 K  t    2 K  t  
2
2 C 2 R 1 ,  2  
2

 v
где  i  1  
 Ci
2

 , C1 и C2 - скорости распространения волн расширения



и сдвига в упругом теле, R  4 1 2  1   22 - функция Рэлея. В пределе
при v  0 получаем выражение (6.79).
Рассмотрим распространение полубесконечной трещины продольного
сдвига в поле равномерно сдвигающего напряжения q . Для нее коэффициент интенсивности напряжений K  равен:
v
(6.86)
2C 2 t ,
C2

и интенсивность освобождающейся энергии:
v
1
C2
2 2

q C2 t
.
(6.87)
v

1
C2
Для трещин продольного сдвига анализ выражения (6.87) показывает, что
скорость их распространения не превышает скорости распространения
волн сдвига C 2 .В случае распространения полубесконечной трещины в
K  
146
2
2
q 1
поле растягивающих напряжений  при t   из ограниченности освобождающейся энергии следует, что скорость распространения трещины
приближается к скорости волн Рэлея.
Из анализа потока энергии в кончике трещины при различных нагружениях следует [47], что в интервале скоростей 0  v  C R ( C R - скорость волн
Рэлея) интенсивность освобождающейся энергии   0 , а при C R  v  C2
значение   0 , откуда имеем, что распространение трещин со скоростью,
большей скорости волн Рэлея C R , невозможно.
6.8. J-интеграл Райса-Черепанова. Критерии разрушения упругопластических тел
Интенсивность освобождающейся энергии при росте трещины  при
определенных предположениях может быть представлена в виде интеграла
по пути, значение которого не зависит от этого пути.
Рассмотрим полосу единичной толщины с трещиной длины l  l t  .
Концы контура L расположим на верхнем и нижнем берегах трещины, как
показано на рис. 6.16.
у
у
1
n
Рn
(t)
dL
L
х
х1
D
Рис. 6.16. Контур L, охватывающий вершину трещины

Обозначим n  ni  внешнюю нормаль к контуру L , а направление обхода
контура определим против часовой стрелки. Введем две системы координат: неподвижную с координатами x1 , y1  и подвижную x, y  , связанную
с перемещающейся вершиной трещины. Отбросим внешнюю по отношению к контуру L часть тела, заменив ее действием вектора напряжений
 

Pn : Pn   ij n j ei , действующим на контур L извне.
Для такой полосы Г. Черепановым и Дж. Райсом введена функция Jинтеграл в следующем виде:
 u 

(6.88)
J   Udy  Pn
dL  ,
x 
L
где U - внутренняя энергия деформации (для нелинейно-упругого тела

существует упругий потенциал W :  ij  W  ij , тогда U  W ), u - вектор
перемещения на контуре L .
Пример 6.9. Показать, что для нелинейно-упругого тела значение Jинтеграла равно с обратным знаком удвоенному значению интенсивности освобождающейся энергии при росте трещины  :
J  2 .
(6.89)
Решение. Закон сохранения энергии при приращении длины трещины
на l согласно (6.64), K  Q  0 имеет вид:
(6.90)
U e    A ,
где работа внешних сил A равна:
 u
A   Pn ldL ,
(6.91)
l
L

u - вектор перемещения на контуре L ; внутренняя энергия деформации
внутри контура L
W
U e  
ldxdy ,
(6.92)
l
D
W - упругий потенциал. Из (6.91) и (6.92) для вариации поверхностной
энергии  при росте трещины (затраты энергии на разрушение) имеем:
 u
W
  A  U e   Pn ldL  
ldxdy .
(6.93)
l
l
L
D
Рост трещины на l можно заменить на перенос начала координат в новую


 .
вершину, так, что
(6.94)
l
x
Тогда имеем
 u
W
    Pn ldL  
ldxdy .
(6.95)
x
x
L
D
Заменив интеграл по площади области D интегралом по контуру L , получим для плотности поверхностной энергии разрушения:
 u
d
   Pn dL   Wdy  J .
(6.96)
dl

x
L
L
Интеграл, стоящий в правой части, есть J-интеграл (6.87), а плотность поверхностной энергии при росте трещины согласно (6.66) равна удвоенной
интенсивности освобождающейся энергии , т.е. справедливо соотношение
(6.88).
Для нелинейно-упругих тел, а также для активных процессов при ма-
148
лых упруго-пластических деформациях J-интеграл не зависит от пути интегрирования (инвариантный интеграл); по любому контуру, ограничивающему произвольную область без вершины трещины, он равен нулю.
Если связь между напряжениями и деформациями степенная:
 u  А иn, p , то в окрестности кончика трещины можно написать асимптотическое разложение компонент тензора напряжений для произвольного
нагружения [19,47], в котором функции J  (6.86),   I , II , III , , входят
аналогично коэффициентам интенсивности напряжений K , т.е. они также являются осредненной характеристикой поля напряжений.
Если контур L совместить с внешней границей тела, то величина
U  A  есть потенциальная энергия тела  и имеет место равенство
(6.65). Тогда J-интеграл по (6.96) есть:

J 
,
(6.97)
l
т.е. он характеризует «скорость» уменьшения потенциальной энергии тела
 при увеличении длины трещины. Отсюда J-интеграл можно найти из
диаграммы, представленной на рис. 6.14: площадь dS между двумя кривыми OACC (см рис. 6.14), связывающими напряжения с деформациями
для трещин нормального отрыва, имеющих длину l и l  dl , равна:

dS 
dl  Jdl .
(6.98)
l
Сформулируем критерий разрушения тела с трещиной на основе Jинтеграла:
трещина начнет распространяться, когда J-интеграл достигнет своего
критического значения J I ,c , которое является характеристикой трещиностойкости материала –пластической вязкостью:
J  J I ,c .
(6.99)
Экспериментально пластическую вязкость J I ,c находят на лабораторных
образцах с трещиной нормального отрыва. Установлена инвариантность
(независимость) J I ,c по отношению к форме и размерам образцов.
В частном случае для активного процесса нагружения твердого тела критические значения удвоенной интенсивности освобождающейся энергии I* обратного знака и J I ,c совпадают:
(6.100)
2*I   J I ,c .
С учетом пластической зоны критическое значение J-интеграла можно
найти, например, по модели Леонова-Панасюка-Дагдейла. Для трещины
нормального отрыва при плоском напряженном состоянии критическое
значение J I ,c согласно (6.74) равно:
J ,c   s I* ,
(6.101)
где  I* - критическое раскрытие трещины нормального отрыва.
Рассматривая пластическую зону по Ирвину (соотношение для интенсивности освобождающейся энергии I в этом случае определяется по соотношению (6.75)), для значения J I, c имеем:
J  ,c 

 s  I* .
(6.102)
4
В случае значительной пластической деформации наибольшее применение находят энергетический критерий на основе J-интеграла (6.99) (т.к.
понятие коэффициента интенсивности напряжений утрачивает свой
смысл), критерии раскрытия трещины (6.62) и критерий на основе интенсивности деформаций (2.11).
150
Глава 7. Прочность, долговечность и безопасность объектов повышенной ответственности
7.1. Объекты повышенной ответственности
Авиационная и ракетно-космическая техника, атомная энергетика, судостроение (надводные корабли и подводные лодки), магистральные газонефтепроводы и т.п. являются объектами повышенной ответственности.
К потенциально опасным относятся, например, конструкции атомных
электростанций, составными частями которых являются:
реактор, парогенераторы, сосуды высокого давления, трубопроводы и
компенсирующие устройства (торовые, сильфонные и др.);
конструкции газо- и нефтедобывающих предприятий:
обвязки скважин, промысловые газопроводы, установки предварительной
и комплексной подготовки углеводородного сырья к транспортировке,
компрессорные и насосные станции, установки охлаждения газа и конденсата до температур вечномерзлых грунтов, подземные хранилища;
конструкции газотранспортных предприятий:
обвязочные трубопроводы компрессорных станций, магистральные газопроводы и продуктопроводы, газораспределительные станции и многие
другие.
Элементы таких конструкций в процессе эксплуатации подвержены
различным воздействиям:
внутреннее и внешнее давление, масса элемента и его содержимого, усилия от реакций опор и трубопроводов, температурные поля, сейсмические
нагрузки, вибрационные нагрузки, взаимодействия с грунтами и др.
Эксплуатационное нагружение таких объектов носит, в основном,
длительный повторно-статический характер с наложением значительных
динамических воздействий и температурных полей, т.е. является сложным процессом нагружения.
Под сроком службы конструкции понимается такое время t * ее эксплуатации, в течение которого она сохраняет работоспособность (отсутствуют предельные состояния конструктивных элементов) при сложившейся системе обслуживания и диагностики технического состояния и
удовлетворяет критериям безопасности. Долговечность (срок службы)
конструкций функционально зависит от процесса ее нагружения.
Предельными состояниями конструктивных элементов (т.е. аварийные состояниями конструкции) являются [44,57]: вязкое или хрупкое статическое разрушение; разрушение в условиях ползучести; возникновение
пластической деформации по всему сечению элемента; накопление циклической пластической деформации, которая приводит к недопустимому изменению размеров элемента или к циклическому разрушению; возникно-
вение макротрещины при циклическом нагружении, потеря устойчивости
и др.
7.2. Расчет на прочность и долговечность конструкций объектов
Расчеты на прочность и долговечность конструкций имеют общие этапы, которые кратко можно описать следующим образом:
на стадии проектирования:
- нахождение рациональных конструктивных решений, определение размеров элементов, металлоемкость, стойкость конструкции к негативным воздействиям природного и техногенного характера;
- приближенная оценка промышленной, социальной и экологической безопасности на основе имеющихся данных на объектаханалогах;
- нахождение технологических схем строительства объекта, энерго и ресурсосберегающих технологий, обеспечивающих минимальное загрязнение окружающей среды;
- расчет объекта на прочность при эксплуатационном нагружении
(поверочный расчет), вычисление сроков службы элементов,
определение конструкционного риска, расчет социальной,
промышленной и экологической безопасности объекта;
на стадии строительства, капитального ремонта, реконструкции:
- построение зависимости конструкционного риска от качества
контроля за работами;
- уточнение значений конструкционного, индивидуального, социального, промышленного и экологического рисков;
на стадии эксплуатации:
- построение взаимосвязи между долговечностью и параметрами
фактических действующих нагрузок: запуск объекта, стационарные режимы, остановки, испытания;
- оценка текущих значений конструкционного, социального, промышленного и экологического рисков;
- определение остаточных сроков службы объекта и техникоэкономических условий вывода объекта из эксплуатации.
Решение задачи определения основных размеров элемента на стадии
проектирования основывается на методе предельных нагрузок, соответствующих следующим предельным состояниям: вязкое статическое разрушение, охват пластической деформацией всего сечения элемента и потеря устойчивости[44]. После расчета по определению размеров к выбранной толщине стенки элемента добавляют величину, учитывающую коррозионное влияние рабочих сред.
7.2.1. Поверочный расчет на прочность элементов конструкции в боль152
шинстве норм расчетов в разных отраслях промышленности базируется на
построении предельной поверхности в виде функции от экстремальных
значений инвариантных характеристик тензоров напряжений или деформаций. Приведем алгоритм такого расчета, который содержится в Нормах
расчета на прочность оборудования и трубопроводов атомных энергетических установок [44].
В расчете на прочность элемента конструкции вначале определяют
компоненты тензора номинальных напряжений  ij   ij  t  на всем интервале времени эксплуатации t  0, t *  . С этой целью решают линейную
задачу о нахождении упругого напряженно-деформированного состояния
конструктивного элемента без концентраторов напряжений под действием приложенных нагрузок: внешнего и внутреннего давлений и температуры, меняющихся во времени в соответствии с режимами эксплуатации; осевых напряжений, напряжений кручения и изгиба и др.; методами
строительной механики стержневых систем, теории оболочек, теории
упругости или пластичности.
Далее в каждой точке элемента при каждом фиксированном моменте времени t главные значения найденного тензора напряжений  k   k  t  ,
k  1, 2,3, располагают в порядке убывания:  1  t    2  t    3  t  и их
разности называют приведенными номинальными напряжениями 12  ,
 23  , 13  :
 ij  t     i  t    j  t  , i, j  1, 2,3.
(7.1)
Процесс изменения во времени приведенных напряжений представляет
t*
собой ряд последовательных полуциклов n , n  1, 2,...
, в которых эти
4
напряжения одновременно меняются монотонно от максимального (минимального) до минимального (максимального) значений (например, на рис.
7.1 блок нагружения содержит шесть полуциклов).
Для всего процесса по времени на интервале t  0, t *  рассмотрим алгеб-
12 max ,  23 max ,
13 max и алгебраически минимальные приведенные напряжения 12 min ,
 23 min , 13 min .
раически максимальные приведенные напряжения
В качестве основных характеристик материалов, используемых при расчете элементов на прочность, принимаются: пределы статической прочности
материала при растяжении  в ,  в , пределы текучести  s ,  s , пределы дли-
тельной прочности при растяжении  дл   дл  t *  ,  дл   дл  t *  , пределы
усталости при растяжении-сжатии  1   1  ,t *  ,  1   1  ,t *  , критические
(
(
(
)
(
13
)=
1
-
2( α )
3
(
0 1
4
2
(
)=
12
)
) m ax
1
-
2
23
)=
2
5
-
6
(
3
7
8
10
11
12
13
)
Блок нагружения
Блок нагружения
Рис.7.1. Обобщенная зависимость приведенных напряжений (σ)
коэффициенты интенсивности напряжений K I ,c , K II ,c , K III ,c , характеризующие сопротивление материала хрупкому разрушению (трещиностойкость), коэффициенты запаса прочности по напряжениям n , деформациям n и долговечности nt .
Пусть расчетная температура такова, что она не вызывает ползучесть
элемента. Например, для алюминиевых и титановых сплавов она равна
20 С , а для углеродистых и легированных сталей - 350 С [44]. Критерий
прочности элемента формулируется согласно подходу теории максимальных касательных напряжений (см. вторую главу). Так, для элементов корпусов реактора, парогенераторов и других сосудов, а также различных
трубопроводов постулируется следующее утверждение:
разрушение элемента произойдет, когда хотя бы в одной его точке будет выполняться такое неравенство:

T 
(7.2)
max  ij    ij   , i, j  1, 2,3, i  j   2.5  sT   sT ,
max
min 

в 

где  вT и  sT - соответственно пределы статической прочности и текучести
при заданной температуре T (расчет производится только при температурах, не вызывающих ползучесть материала элемента).
Если расчетные температуры таковы, что в элементах развивается дефор-

154

мация ползучести, при поверочном расчете используют критерий длительной прочности в таком виде:
2 дл  t * , T 
T
,
(7.3)
2 s  max  ij    ij   , i, j  1, 2,3, i  j 
max
min 

n



где, например, n  1.5 для элементов оборудования и трубопроводов при
действии внутреннего давления, меньшего, чем внешнее давление; в других случаях выбирается n  2 .
При двух и более режимах нагружения в условиях ползучести, отличающихся по температуре и нагрузке (например, стационарный режим и аварийная ситуация), принимается гипотеза линейного суммирования повреждений (3.7).
Неравенства (7.2) и (7.3) оценивают прочность элемента без учета предыстории процесса нагружения, последовательности режимов его работы.
7.2.2. Так как главные напряжения  k   k  t  распределены неравномерно по площади поперечного сечения элемента S , то выделяют мембранную составляющую главных напряжений  km   km  t  :
 km 
1
S
   S  ds ,
(7.4)
k
S
и изгибную составляющую главных напряжений  kb   kb  t  :
 kb   k   km , k  1, 2,3 .
(7.5)
В областях концентрации напряжений: в зонах отверстий и галтелей;
соединений оболочек, трубопроводов и фланцев; присоединения патрубков к сосудам; в зонах перегрева или охлаждения; в антикоррозионной облицовке и биметаллических элементах с разными коэффициентами линейного расширения материалов и т.п., приведенные упругие напряжения
 ij  в формулах (7.1) предлагается рассчитывать по модифицированным
формулам в таком виде [44]:
 ij  n     ij  n, n  1    ij  n  1  ,
(7.6)
 ij  n, n  1  1     im     im  n    im  n  1   1     ib     ib  n    ib  n  1  
 1     mj     mj  n    mj  n  1   1     bj     bj  n    bj  n  1  , i, j  1, 2,3,
где
n - полуцикл изменения приведенных напряжений;
  n   ,
ij
  n  1  - приведенные напряжения в конце полуциклов n и  n 1 ; 
ij
 ,  , 
b
i
m
j
b
j
m
i
,
- теоретические коэффициенты концентрации мембранных
 ,  (7.4) и изгибных  ib ,  bj (7.5) составляющих главных напряжений
m
i
m
j
соответственно, определяемые экспериментально [44];  - константа
(выбирается равной 0 или 0.3, так, чтобы полученное значение  ij  было
большим из двух).
Построим обобщенную зависимость приведенных напряжений   , которая в каждый момент времени t состоит из наибольшего (или наименьшего) из трех упругих приведенных напряжений (см. рис. 7.1). Рассмотрим
цикл с наибольшей амплитудой на всем интервале времени нагружения:
(7.7)
 a   0.5  max   min  ,
где  max и  min - алгебраически наибольшее и наименьшее обобщенные
приведенные напряжения.
Пусть в конце полуцикла n в точке элемента возникли упругопластические деформации. Тогда обобщенное приведенное напряжение
 p  находят по следующей зависимости [44]:
 1
 1
  n     n  1  sign   n     n  1   R 
p

*
1
2 1 
2 1
1  
  n      n  1   
 R   ,



2
 2

(7.8)
1


 1
 sT

 ;
где R 
  2*103 E T   T  
s


T

 
0.73lg 1  1.4*10 2 T  вT 
s 



lg  2.3lg 100 100  T   2*10 3   sT E T  


*
lg  дл  t , T   s T 
при T  Tполз. ;

lg  дл  t * , T   s T 
при T  Tполз. ,
Tполз. - расчетная температура, при которой возникает деформация ползучести, E T - модуль Юнга и  T - относительное предельное сужение поперечного сечения при растяжении. В правой части соотношения (7.8) записаны обобщенное приведенное упругое напряжение   n 1  в конце  n  1 упругого полуцикла и так называемое условное упругое обоб-
щенное приведенное напряжение   n   в конце n полуцикла (условное
156
в том смысле, что деформации в конце n полуцикла уже пластические),
подсчитанные по приведенным напряжениям (7.6). Отметим, что модуль
напряжения  p  n   - наибольшее абсолютное значение среди всех предшествующих положительных и отрицательных значений обобщенных
приведенных напряжений   .
По обобщенной зависимости  p    p  n   выделяют цикл с наибольшей амплитудой на всем интервале времени нагружения аналогично (7.7):
(7.9)
 pa   0.5  * max   * min  .
7.2.3. Критерий циклической прочности элементов конструкции с
концентратором напряжений, в которых в процессе нагружения возникают
упруго-пластические деформации, записывают в следующем виде:
 вT 1  1.4*102 T 
E T eT
p *
при T  Tполз. ,
(7.10)

 a  
m1
1 r 

* m2
n  4 N * 
n  4 N  
1  r 

где величина n - коэффициент запаса прочности по напряжениям,
 
r
 
p
min
p
- коэффициент асимметрии цикла обобщенного приведенного
max
напряжения (7.8),
N * - долговечность, m1 и m2 - константы материала,
eT - характеристика пластичности:
 

p *
e  0.005
T
T
max
T
  sT
 
при  p
eT  0.005 T
при
 
p *
max
  sT ,
  sT . Зависимость (7.10) – зави-
2E
симость типа Коффина-Мэнсона (1.18) для предельной амплитуды обобmax
щенного приведенного напряжения  p a  , в которой учтена асимметрия
*
цикла.
Если предельное число циклов N *  106 , то уравнение для предельной амплитуды обобщенного приведенного напряжения представляют так:
 T 1  , t * 
E T eT
p *

.
 a  
m1
  T 1  , t *  1  r 
n  4 N * 
n 1 

 вT
1 r 


При этом из двух значений предельной амплитуды  p a  или предельно*
го числа циклов N * , найденных по уравнениям (7.10) и (7.11), выбирается
(7.11)
наименьшее.
Для расчета на длительную циклическую прочность элементов конструкций, работающих при температурах, вызывающих ползучесть, предлагается модифицировать уравнение (7.10) в таком виде:
T
 дл  t * , T  1  длT
E T eдл
p *
при T  Tполз. ,
(7.12)

 a  
0.5
1 r 

* m2
n  4 N * 
n  4 N  
1  r 

T
T
при этом eдл  0.005 дл - характеристика длительной пластичности


( дл - относительное предельное сужение поперечного сечения при растяжении в условиях ползучести).
В качестве условия циклической прочности конструктивных элементов при наличии различных циклических нагрузок принимают гипотезу
линейного суммирования повреждений (3.7), в которой повреждение равно отношению числа циклов действия нагрузки к долговечности при такой
нагрузке.
Поверочный расчет по критериям (7.2), (7.3), (7.10)-(7.12) проводят для
элементов конкретной конструкции и эксплуатационных условий ее
нагружения.
Расчет на сопротивление хрупкому разрушению и нахождение предельной температуры хрупкости проводят на основе критерия хрупкого разрушения (6.19). При этом численно или аналитически определяют коэффициенты интенсивности напряжений для элементов с трещинами технологического и эксплуатационного происхождения.
7.2.4. Теперь рассмотрим расчет на прочность по критериям прочности,
наиболее полно учитывающим временные свойства процесса эксплуатационного нагружения. Именно такой расчет требуется характером процессов нагружения, возникающих в элементах объектов повышенной ответственности.
Пусть из решения упруго-пластической задачи известно поле напряжений элемента  ij   ij t  без концентраторов напряжений, и оно имеет вид
(4.50) при условии (4.51), (4.52). Тогда критерием прочности такого элемента является уравнение (4.54) с учетом (4.55)-(4.57). При этом функция
 *   * (0, t * ) - кривая длительной прочности конструктивных элементов
по достижению предельной плотности микротрещин, и ее аппроксимируют следующим соотношением [30], [31]:
 * (0, t * )   1  t * ,  , ст , ng   2  t * , ng  .
(7.13)
T
Здесь  - теоретический коэффициент концентрации напряжений (1.39),
 ст - эффективный коэффициент концентрации напряжений (1.43), n g -
158
параметр, характеризующий опасность коррозионного повреждения металла элементов. Определяющие функции  *   * ( s, t * ) в соотношениях
(4.55), (4.56) представляют кривые циклической прочности конструктивных элементов по достижению предельной плотности микротрещин. Аппроксимацию этой функции выполняют следующей зависимостью [30],
[31]:
 s
 * ( s, t * )
(7.14)
 1  s, t * ,  ,  ,1 , ng  2
  3  s , t * , ng  .
в

где  ,1 - коэффициентом концентрации циклических напряжений.
Вид функций  1 , 2 , 1 ,  2 , 3 представлен в [31].
7.3. Критериальные условия оценки социальной, промышленной и
экологической безопасности
7.3.1. Процесс строительства и эксплуатации конструкций объекта повышенной ответственности по штатным и внештатным технологическим
режимам часто сопровождается различными негативными воздействиями: выбросом вредных веществ, гибелью людей, строений, представителей флоры и фауны. Разрушения при испытаниях и эксплуатации объекта
обусловлены, в основном, геометрическими и физическими концентраторами напряжений в его конструктивных элементах, находящихся под
действием испытательных нагрузок и длительного эксплуатационного
нагружения, длительным действием внутренних и внешних коррозионно-активных сред и внешними воздействиями природного и техногенного
характера. Факторы, воздействующие на окружающую среду при строительстве, ремонте и штатной эксплуатации объекта, можно отнести к
следующим группам:
химического воздействия:
- выбросы загрязняющих веществ в атмосферу и водную среду,
- токсическое воздействие химически опасных веществ,
- сбросы сточных вод на рельеф и в водные объекты,
- загрязнение почв и вод технологическими жидкостями,
- загрязнение осадков водных объектов и изменение их гранулометрического состава;
теплового воздействия:
- тепловое воздействие горящей струи истекающего газа, огневого
шара при воспламенении облака газовоздушной смеси,
- тепловое воздействие пожаров, в т.ч. лесных и торфяных,
- тепловые потоки в толщу многолетнемерзлых пород,
- нарушение условий тепловлагообмена на поверхности многолет-
немерзлых пород;
барического и сейсмического воздействий:
- ударные воздушные и сейсмические волны,
- ураганы,
- природные землетрясения, и т.п.;
механического воздействия:
- разлет фрагментов разрушенного объекта,
- разрушение конструкций зданий и сооружений,
- механические нарушения почв и почвенно–растительного покрова,
- природные оползни и просадки, проседания толщи пород под объектами при снижении пластового давления и ее горизонтальные
сдвиги,
гидрологического воздействия:
- воздействие фонтанов и зон с пониженной плотностью воды,
- изменение режима снегонакопления и поверхностного и грунтового
стоков на поверхности многолетнемерзлых пород,
- изменение гидрогеологического режима территории, в том числе
ее
подтопление, активизация склоновых процессов,
- изменение гидрологического режима движения наносов,
- увеличение мутности воды и концентрации взвеси,
- наводнения;
электромагнитного воздействия;
радиационного воздействия.
Безопасность эксплуатации объекта - это его свойство обеспечивать
на близлежащих к нему территориях в течение прогнозируемого срока
службы жизненно важные интересы личности и общества, окружающей
среды, а также сохранность зданий и сооружений, соседних объектов,
оборудования и транспортных средств, производственного и транспортного технологических процессов от аварий и их последствий.
Авария объекта - его механическое или коррозионное разрушение,
разгерметизация или неконтролируемый взрыв, сопровождающийся выбросом различных объемов продукта в окружающую среду.
Под безопасной эксплуатацией объекта повышенной ответственности
понимается его социальная безопасность, т.е. свойство обеспечивать в
течение срока службы интересы общества (исключение поражений людей), промышленная безопасность, т.е. сохранность зданий и сооружений, расположенных вблизи объекта, и экологическая безопасность –
сохранность окружающей природной среды (животного и растительного
мира).
160
Характеристикой безопасности объекта является риск – вероятность
негативных последствий для окружающей среды, жизни и здоровья людей, их имущества в течение всего срока эксплуатации объекта.
Конструкционный риск – вероятность появления определенного
числа разрушений (сквозных дефектов технологического, механического
и коррозионного происхождения, магистральных трещин, пробоин или
отверстий, появившихся в результате действий третьей стороны или актов вандализма; повреждений, вызванных разрушениями соседних объектов; барическим, геодинамическим и сейсмическим воздействиями
природного и природно-техногенного характера), т.е. таких разрушений,
которые в его конструктивных элементах в течение срока службы объекта формируют потенциальную опасность для человека и окружающей
среды.
Характеристиками социальной безопасности объекта являются индивидуальный и коллективный риски – вероятность поражения человека
(летальный исход, различная степень увечий) или группы людей при негативных воздействиях в процессах строительства, эксплуатации, аварийных ситуациях за весь период эксплуатации объекта. Они включают профессиональные риски (вероятность поражения сотрудников промышленных, сельскохозяйственных и транспортных объектов) и общегражданские
риски (вероятность поражения жителей).
Характеристикой промышленной безопасности является промышленный риск – вероятность поражения других объектов в результате негативных внешних воздействий, а экологической безопасности – экологический риск – вероятность поражения флоры и фауны в результате строительства объекта и его эксплуатации.
Оценка риска объекта - определение значений конструкционного,
социального, промышленного и экологического рисков в процессе строительства, штатной эксплуатации, аварийных ситуаций при его эксплуатации.
Теоретические основы оценки промышленной безопасности объекта
включают методы определения вероятности разрушения конструкций
объекта в процессе его строительства и эксплуатации; вероятности пространственно-временного распространения негативных воздействий (математические модели аэро-гидродинамики, физики горения, детонации,
физико-химических процессов в окружающей среде); вероятности гибели
людей, строений, представителей флоры и фауны (динамические теории
механики конструкций, математические модели физико-химических и
биологических процессов в окружающей среде, выживания живых существ и растительности при негативных воздействиях); приемлемых
уровней социального, промышленного и экологического рисков и сроков
службы объекта (теория долговечности конструкций при длительном
эксплуатационном нагружении, методы контроля качества и диагностики технического состояния объекта); экономического ущерба, нанесенного людям и окружающей среде в процессе строительства и эксплуатации
объекта (экономические аспекты инвестиционных проектов, правила
страхования). Основополагающими в этой проблеме являются критерии
социальной, промышленной и экологической безопасности - условия,
по которым производят сопоставление значений коллективного, суммарного промышленного и суммарного экологического рисков эксплуатации
газопровода для близлежащих к нему территорий в течение прогнозируемого (назначенного) срока службы с приемлемыми значениями соответствующих рисков.
7.3.2. Перейдем к формулировке критериев промышленной, социальной
и экологической безопасности, являющихся основой построения системы
безопасности эксплуатации объектов.
В общем виде критерии промышленной, социальной и экологической
безопасности имеют вид [11,57]:
I
2
R
i 1
0
0
 Yi  t *   d   g  r ,   g  r ,  Ri , g t * , r ,  rdr 
S
J
2
R
s 1
j 1
0
0
  I s  ts  X s , j  ts   d   g  r ,    g  r ,   R 'j , g  t s , r ,   rdr  K g  t *  ,
g  1,...4,
(7.15)
где I - количество факторов возможного поражения при строительстве и
безаварийной эксплуатации объекта,
Yi  Yi  t *  - вероятность появления i -го фактора поражения при строи-
тельстве и безаварийной эксплуатации объекта на интервале 0,t *  ,
 r,  - расстояние от источника поражения до точки пространства с радиус-вектором r , в которую помещен человек, сооружение или объект флоры (фауны),  - угол между r и некоторым выбранным направлением в
пространстве e ,
R - размер потенциально-опасной зоны,
g  g  r,  - функция распределения плотности людей ( g  1 ), сооружений ( g  2 ), представителей флоры ( g  3 ) и фауны ( g  4 ),
g  g  r,  - функция, устанавливающая значимость различных видов сооружений, находящихся в потенциально-опасной зоне ( g  1 ), эквивалентность различных возрастных групп людей ( g  2 ) по отношению к новорожденным (для которых полагается 2  1 ) или значимость различных видов флоры ( g  3 ) или фауны ( g  4 ) соответственно,
162
Ri , g  Ri , g  t * , r ,   - вероятность поражения человека ( g  1 ), сооружения
( g  2 ), объекта флоры ( g  3 ) или фауны ( g  4 ) от i -го фактора поражения при строительстве и безаварийной эксплуатации объекта,
S - количество потенциальных разрушений объекта на интервале 0,t *  ,
I s  I s  ts  - вероятность s - го разрушения объекта в момент времени
ts  ts  t *  ,
X s , j  X s , j  ts  - вероятность появления j -го фактора поражения при s - м
разрушении объекта в момент времени ts ,
R ' j , g  R ' j , g  tm, s , r ,   - вероятность поражения человека ( g  1 ), сооружения
( g  2 ), объекта флоры ( g  3 ) или фауны ( g  4 ) от j -го фактора при s м разрушении объекта в момент времени ts ,
K g  K g  t *  - приемлемая вероятность количества летальных исходов и
серьезно травмированных людей, допустимого для общества ( g  1 ), количества уничтоженных объектов, допустимость которого вытекает из
требований норм по эксплуатации ( g  2 ), допустимого количества уничтоженных представителей или зон обитания флоры ( g  3 ) и фауны
( g  4 ) (критерий экологической безопасности) за срок службы объекта
t* .
Функции I s  I s  ts  строятся на основе теории процессов разрушения,
изложенной в этой книге. Для нахождения других функций в выражении
(7.15) необходимо привлекать результаты исследований по аэродинамике,
физике горения и детонации; закономерности физико-химических и биологических процессов в окружающей среде, выживания живых существ и
растительности при экстремальных негативных воздействиях с учетом
экономических аспектов инвестиционных проектов и правил страхования.
ЗАКЛЮЧЕНИЕ
Одной из актуальнейших проблем создания современных наземных и
подземных сооружений, надводных и подводных судов, летательных аппаратов, различных образцов техники является обеспечение их безопасности в течение требуемых сроков эксплуатации. Тем не менее аварии и катастрофы периодически возникают и сопровождаются значительными материальными и людскими потерями. Поэтому подготовке специалистов,
творчески работающих на различных уровнях решения этой проблемы,
требуется уделять должное внимание.
В течение более полувека программа обучения механиков на кафедре
теории упругости механико-математического факультета МГУ включает
спецкурсы по теоретическим и экспериментальным аспектам прочности
материалов и элементов конструкций. Основополагающими на этом пути
явились учебники и научные труды Михаила Митрофановича ФилоненкоБородича, Алексея Антоновича Ильюшина и других сотрудников кафедры. Подготовкой настоящего пособия авторы стараются сохранить эту
традицию, отразив современный научный уровень и возросшие требования современной техники.
Литература по тематике пособия обширна и трудно обозрима. Использование общих подходов позволит специалистам ориентироваться в бурном потоке теоретических и экспериментальных результатов и находить
решения прикладных задач. Надеемся, что содержание пособия также будет способствовать этой цели.
164
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.
16.
Астафьев В.И., Радаев Ю.Н., Степанова Л.В. Нелинейная механика разрушения. – Самара: Сам.гос.ун-т, 2001. - 631 с.
Болотин В.В. Ресурс машин и конструкций. - М.: Машиностроение, 1990.- 448 с.
Браун У., Сроули Дж. Испытание высокопрочных материалов на
вязкость разрушения при плоской деформации.- М.: Мир, 1972.246 с.
Броек Д. Основы механики разрушения.- М.: Высшая школа,1980.-368 с.
Вейбулл В. Усталостные испытания и анализ их результатов.- М.:
Машиностроение, 1964. - 275 с.
Вычислительные методы в механике разрушения // Пер. с англ.:
под ред. С. Атлури.- М.: Мир,1990. - 392 с.
Глушак Б.Л., Куропатенко В.Ф., Новиков С.А. Исследование
прочности материалов при динамических нагрузках. - Новосибирск: Изд-во «Наука»,1992.- 295 с.
Гольденблат И.И., Бажанов В.Л., Копнов В.А. Длительная
прочность в машиностроении. - М.: Машиностроение,1976.- 246 с.
Динамика, долговечность и живучесть элементов машиностроительных конструкций в задачах и примерах: Учеб.пособие
ВСГТУ.- Улан-Удэ: Бурят. кн. изд-во,1997. - 286 с.
Екобори Т. Научные основы прочности и разрушения материалов.
- Киев: Наукова Думка,1978. - 352 с.
Завойчинская Э.Б., Завойчинский Б.И. Теоретические основы и
практические подходы анализа безопасности конструкций трубопровода (в четырех частях).- Инженерный журнал.- М.: Машиностроение. - № 5, 1998.- с. 48-52; № 6,1998.- с .41-47;
№ 1,1999.- с.31-40; № 4,1999. – с.47.: Машиностроение. -51.
Завойчинский Б.И. Долговечность магистральных и технологических трубопроводов (теория, методы расчета, проектирование).М.: Недра, 1992.- 271 с.
Закономерности ползучести и длительной прочности. Справочник
(под общей ред. Шестерикова С.А.). – М. .: Машиностроение,
1983 – 101 с.
Ильюшин А.А. Механика сплошной среды. - М.: Изд-во МГУ,
1990.-310 с.
Ильюшин А.А., Победря Б.Е. Основы математической теории
термовязкоупругости. - М.: Наука, 1970.- 280 с.
Канаун С.К., Левин В.М. Метод эффективного поля в механике
композитных материалов. - Петрозаводск: Изд-во Петрозаводско-
17.
18.
19.
20.
21.
22.
23.
24.
25.
26.
27.
28.
29.
30.
31.
32.
33.
34.
166
го ун-та, 1993.- 600 с.
Карзов Г.П., Марголин Б.З., Швецова В.А. Физикомеханическое моделирование процессов разрушения. - СПб.: Политехника, 1993.-391 с.
Качанов Л.М. Основы механики разрушения.- М.: Наука,1974.312 с.
Керштейн И.М., Клюшников В.Д., Ломакин Е.В., Шестериков
С.А. Основы экспериментальной механики разрушения. - М.:
МГУ, 1989. - 139 с.
Кийко И.А. Пластическое течение металлов // Научные основы
прогрессивной техники и технологии. – М.: Машиностроение,
1985. - 376 с.
Клюшников В.Д. Физико-математические основы прочности и
пластичности.- М.: Изд-во МГУ, 1994. – 189 с.
Когаев В.П. Расчеты на прочность при напряжениях, переменных
во времени. - М.: Машиностроение, 1977. - 232 с.
Когаев В.П., Дроздов Ю.Н. Прочность и износостойкость деталей машин.-М.: Наука, 1990. - 240 с.
Коллинз Дж. Повреждение материалов в конструкциях /анализ,
предсказание, предотвращение/.- М.:Мир, 1984.- 624 с.
Кудрявцев П.И. Нераспространяющиеся усталостные трещины.М.: Машиностроение,1982. - 174 с.
Мавлютов Р.Р. Концентрация напряжений в элементах конструкций. - М.: Наука, 1996. – 240 с.
Малмейстер А.К., Тамуж В.П., Тетерс Г.А. Сопротивление полимерных и композитных материалов.- Рига: Зинатне, 1980.- 572 с.
Матвиенко Ю.Г. Физика и механика разрушения твердых тел. М.: Эдиториал УРСС, 2000. - 74 с.
Махутов Н.А. Деформационные критерии разрушения и расчет
элементов конструкций на прочность.- М.: Машиностроение,
1981.- 272 с.
Машиностроение. Энциклопедия. Том IV. Надежность машин. М.: Машиностроение, 1998.- с. 525-585.
Методика оценки сроков службы газопроводов // Завойчинский
Б.И. и др.// – М.: ИРЦ Газпром, 1997. - 84 с.
Механика разрушения и прочность материалов: Справочное пособие: в 4 т. / Под ред. В.В. Панасюка - Киев, Наукова Думка. –
1988, т.1., 488 с.-1988, т.2, 620 с. – 1988, т.3, 436 с.- 1990, т.4, 680 с.
Миллер К. Ползучесть и разрушение.- М., Металлургия, 1986.119 с.
Мовчан А.А. Механика накопления повреждений в элементах
конструкций. – М., 1996. – 64 с.
35.
36.
37.
38.
39.
40.
41.
42.
43.
44.
45.
46.
47.
48.
49.
50.
51.
52.
53.
54.
55.
Морозов Е.М. Механика разрушения упругих тел.- М.: МИФИ,
1984 - 80 с.
Морозов Е.М. Механика разрушения упругопластических тел –
М.: МИФИ, 1986. - 88 с.
Морозов Е.М., Зернин М.В. Контактные задачи механики разрушения.- М., Машиностроение, 1999. – 544 с.
Морозов Н.Ф., Петров Ю.В. Проблемы динамики разрушения
твердых тел.- СПб, 1997. - 132 с.
Москвитин В.В. Циклические нагружения элементов конструкций.- М.: Наука, 1981. - 344 с.
Мусхелишвили Н.И. Некоторые основные задачи математической теории упругости. - М.: Наука, 1966.- 708 с.
Най Дж. Физические свойства кристаллов. - М.: Мир, 1967.- 391 с.
Никитенко А.Ф. Ползучесть и длительная прочность металлический материалов. - Новосибирск,1997.-278 с.
Нотт Дж. Ф. Основы механики разрушения.- М.: Металлургия,
1978. - 256 с.
Нормы расчета на прочность оборудования и трубопроводов
атомных энергетических установок.- М.: Энергоатомиздат, 1989.525 с.
Панасюк В.В. Механика квазихрупкого разрушения материалов.Киев: Наукова Думка, 1991.- 416 с.
Партон В.З., Борисковский В.Г. Динамическая механика разрушения. - М.: Машиностроение, 1985. - 264 с.
Партон В.З., Борисковский В.Г. Динамика хрупкого разрушения.
– М.: Машиностроение, 1988.- 240 с.
Партон В.З., Морозов Е.М. Механика упругопластического разрушения.- М.: Наука, 1985. - 504 с.
Пестриков В.М., Морозов Е.М. Механика разрушения твердых
тел.- Санкт-Петербург: Изд-во «Профессия», 2002.- 300 с.
Плювинаж Г. Механика упруго-пластического разрушения.- М.:
Мир, 1993. - 448 с.
Ползучесть элементов машиностроительных конструкций (под
ред. Подгорного А.Н.). - Киев: Наукова Думка, 1984.- 262 с.
Прочность и разрушение материалов и конструкций. - Межвуз.
сборник (под ред. Морозова Н.Ф.).-СПб.: Изд-во СПб.,1999.-304
с.
Работнов Ю.Н. Введение в механику разрушения. - М.: Наука,
1987.- 80 с.
Работнов Ю.Н. Механика деформируемого твердого тела. - М.:
Наука, 1988.-712 с.
Разрушение (под ред. Либовица Г.) – М.: Мир. – 1973 т.1, 616 c,
56.
57.
58.
59.
60.
61.
62.
63.
64.
65.
66.
67.
68.
69.
70.
71.
72.
73.
74.
168
1975, т.2, 763 с. – 1977, т.4,. 399 с.
Расчеты и испытания на прочность. Методы механических испытаний. Планирование механических испытаний и статистическая
обработка результатов // Методические указания РД 50-398-83.М.: Стандарты,1984. - 199 с.
Рекомендации по оценке безопасности и долговечности газопроводов при проектировании // Завойчинский Б.И., Завоичинская
Э.Б. и др.// - М.: ОАО «Газпром», 2002. - 160 с.
Ромалис Н.Б., Тамуж В.П. Разрушение структурнонеоднородных тел. - Рига: Зинатне, 1989. – 224 с.
Романов А.Н. Разрушение при малоцикловом нагружении. - М.:
Наука, 1988.- 282 с.
Скелтон Р.П. Усталость материалов при высокой температуре.М.: Металлургия, 1986. - 279 с.
Справочник по коэффициентам интенсивности напряжений: в 2 т.
(под ред. Ю. Мураками). - М.: Мир, 1990. - т.1, 448 с.- т.2, 1016 с.
Тайра С., Отани Р. Теория высокотемпературной прочности.- М.:
Металлургия, 1986. - 279с.
Тамуж В.П., Куксенко В.С. Микромеханика разрушения полимерных материалов. - Рига: Зинатне,1978.- 294 с.
Тимошенко С.П. История науки о сопротивлении материалов.М.: Гостехиздат, 1957. - 536 с.
Томсон Р. Физика разрушения//Атомистика разрушения.- М.:
Мир, 1987. – 310 с.
Трощенко В.Т., Сосновский Л.А. Сопротивление усталости металлов и сплавов (справочник). -Киев: Наукова Думка, 1988.- т.1,
510 с.
Филоненко-Бородич М.М. Механические теории прочности. -М.:
Изд-во МГУ, 1961. - 91 с.
Финкель В.М. Физика разрушения. Рост трещин в твердых телах.
– М.: Металлургия,1970. - 376 с.
Хейвуд Р.Б. Анализ циклов в технической термодинамике. - М.:
Энергия, 1979.- 279 с.
Хеллан К. Введение в механику разрушения.- М.: Мир,1988.-364
с.
Херцберг Р.В. Деформация и механика разрушения конструкционных материалов. - М.: Металлургия, 1989.- 576 с.
Черепанов Г.П. Механика хрупкого разрушения. - М.:
Наука,1974. - 640 с.
Черепанов Г.П. Механика разрушения композиционных материалов. – М.: Наука, 1983. – 296 с.
Черепанов Г.П. Механика разрушения горных пород в процессе
75.
76.
77.
78.
79.
80.
81.
бурения. – М.: Недра, 1987.- 308 с.
Черепанов Г.П., Ершов Л.В. Механика разрушения.- М.: Машиностроение, 1977.- 224 с.
Черных К.Ф. Введение в физически и геометрически нелинейную
теорию трещин. – М.: Наука,1996. - 287 с.
Ужик Г.В. Методы испытаний металлов и деталей машин на выносливость.- М.: Изд-во АН СССР, 1948. - с.15-17, 96-105.
Форрест П. Усталость металлов.- М.: Машиностроение, 1969. 504 с.
Циклическая деформация и усталость металлов. - т.1. Малоцикловая и многоцикловая усталость металлов (под ред. Трощенко
В.Т.)- Киев: Наукова Думка, 1985.- 216 с.
Шлюшенков А.П. Механика разрушения и расчеты на прочность
и долговечность элементов машин и конструкций с трещинами.Брянск: Брянский ГТУ, 1996. - 229 с.
Эшелби Дж. Континуальная теория дислокаций. – М.:Изд-во иностранной лит-ры,1963. – 247 с.
Завойчинская Элеонора Борисовна,
Кийко Игорь Анатольевич,
Введение в теорию процессов разрушения
твердых тел
М: Изд-во механико-математического факультета МГУ, 2004.
Подписано в печать
16.02.2004
Формат 60 х 90 1/6
Объем 10,5 п.л.
Заказ 31
Тираж 500 экз.
_______________________________________________________________________
Издательство ЦПИ при механико-математическом факультете МГУ, г. Москва,
Воробьевы горы.
Лицензия на издательскую деятельность ИД № 04059 от 30.02.200
__________________________________________________________________________
Отпечатано на типографском оборудовании механико-математического факультета и Франко-русского центра им. А.М. Ляпунова
170