Дом Учителя Уральского федерального округа IX

Дом Учителя Уральского федерального округа
IX Международная Олимпиада по основам наук.
Первый этап
Научный руководитель проекта по предмету: Коробков Сергей Самсонович,
заведующий кафедрой алгебры и теории чисел Уральскогого Государственного Педагогического
Университета.
Автор заданий: Куценкова Ольга Викторовна, старший преподаватель кафедры
естественно-математических дисциплин ГБОУ ДПО ЧИППКРО, г. Челябинск.
Рецензент: Трубаева Наталия Валерьевна, учитель математики высшей квалификационной
категории, МОУ лицей №88, г. Екатеринбург.
Математика 11 класс
Проводится в честь Концевича Максима Львовича
Время выполнения работы 1 час 15 минут
__________
Фамилия
_______ _________
Имя
Отчество
___________
Нас. Пункт
________
Область
__________
ОУ №
______________
Код участника
Таблица ответов
Задание
1
Задание
Задание
Задание
Задание
Задание
Задание
Задание
Задание
Задание
Задание
Задание
Задание
Задание
Задание
Задание
Задание
Задание
Задание
Задание
Задание
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
2
1
1
1
1
1
3
4
2
2
2
2
2
5
3
3
3
3
3
4
4
4
4
4
5
5
5
5
5
Инструкция по выполнению работы
На выполнение олимпиадной работы отводится 1час 15 мин. Работа состоит из 4 частей
и включает 25заданий.
Часть 1 состоит из 5 заданий (1–5), оцениваемых в 1 балл.
Часть 2 состоит из 5 заданий (6–10), оцениваемых в 3 балла.
Часть 3 состоит из 10 заданий (11–20), оцениваемых в 5 баллов, из которых:
5 заданий (11–15) – на установление соответствия и 5 заданий (16–20) – на установление
правильной последовательности.
Часть 4 состоит из 5 наиболее сложных заданий (21–25), оцениваемых в 6 баллов.
Баллы, полученные за выполненные задания, суммируются. Постарайтесь выполнить как
можно больше заданий и набрать наибольшее количество баллов.
Постарайтесь выполнять задания в том порядке, в котором они даны. Для экономии
времени пропускайте задание, которое не удается выполнить сразу, и переходите к следующему.
К пропущенному заданию вы сможете вернуться после выполнения всей работы, если останется
время. Ответы занесите в специальную таблицу ответов.
Первая часть. Задания, оцениваемые в 1 балл
В заданиях 1–5 выберите один правильный ответ из четырех предложенных и укажите
его номер в таблице ответов.
x 33  1
1. Сократите дробь: 33
.
x  x 22  x11
õ11
1) 11
õ 1
õ11  1
2)
õ11
1
3) 11
õ
õ11  1
4)
õ11
2. Найдите значение выражения 6,8+2cos2x, если sinx=0,5.
1) 8,3
2) 7,8
3) 6,8
4) 9,3
3. Длины сторон прямоугольного треугольника равны:
1) 3 , 2 , 1
2)
3, 5 , 1
3)
3, 5 , 4
4)
3, 3, 4
4. Вычислите tg4x+ctg4x, если tgx+ctgx=5.
1) 625
2) 527
3) 125
4) 110
5. График какой функции изображен на рисунке?
1) у=2х–1,5
2) у=2х–2
3) у =2х–3
4) у=2–х–2
у
1
0 1
х
Вторая часть. Задания, оцениваемые в 3 балла
В заданиях 6–10 выберите три правильных ответа из шести предложенных и укажите их
номера в таблице ответов.
6. Высота над землёй подброшенного вверх мяча меняется по закону h(t)=1+12t–5t2, где h –высота
в метрах, t – время в секундах, прошедшее с момента броска. Выбери верные утверждения:
1) мяч поднимется на высоту больше 8 м
2) наибольшая высота, на которую поднимется мяч – 8м
3) за 1 секунду мяч поднимется на наибольшую высоту
4) меньше 2 секунд мяч будет находиться на высоте больше 5 м
5) за первые 2 секунды мяч окажется на высоте 5 м
6) через три секунды с момента подбрасывания мяч упадет на землю
7. Олимпиада проводится в честь Концевича Максима Львовича – выдающегося французского
математика, лауреата Филдсовской премии. Отметьте факты биографии Концевича М. Л.
1) М. Л. Концевич родился в 1964 году в г.Москва
2) М. Л. Концевич родился в 1964 году в Париже
3) дал своё имя интегралу (интеграл Концевича)
4) доказал теорему Концевича
5) в 2011году вошел в рейтинг журнала Форбс (Forbes) 50-ти русских, «завоевавших мир»
6) окончил Гарвардский университет
8. Выбери верные утверждения.
1) любые четыре точки лежат в одной плоскости
2) через прямую и не лежащую на ней точку проходит только одна плоскость
3) если три точки окружности лежат в плоскости, то и вся окружность лежит в этой
плоскости
4) две плоскости могут иметь только одну общую точку
5) прямая, проходящая через вершину треугольника, обязательно лежит в плоскости этого
треугольника
6) три вершины треугольника принадлежат одной плоскости
9. Из пункта А в пункт В вышел пешеход, через некоторое
время в этом же направлении выехал велосипедист. График
движения изображен на рисунке. Выберите верные
утверждения:
1) пешеход был в пути 3 часа
2) пешеход был в пути 17 часов
3) велосипедист догнал пешехода через 40 минут с момента
выезда велосипедиста
4) велосипедист догнал пешехода через 1час 20 минут с
момента выезда велосипедиста
5) скорость велосипедиста в два раза больше скорости
пешехода
6) скорость велосипедиста в 1,5 раза больше скорости пешехода
10. Какие из равенств верны при любых значениях входящих в них букв?
2
1) a  b   a 2  2ab  b 2
2) log a xy  log a x  log a y
3)
à2  à
a
a

b
b
3
5) (a–b) =a3–3a2b+3ab2–b3
6) |ab|=ab
4)
Третья часть. Задания, оцениваемые в 5 баллов
В заданиях 11–15 установите соответствие между содержанием первого и второго
столбцов. Впишите в таблицу ответы так, чтобы буква из второго столбца соответствовала
цифре первого столбца.
В заданиях 16–20 установите правильную последовательность. Запишите в таблицу буквы
(цифры) выбранных ответов (без пробелов и других символов).
11. Установите верные равенства в логарифмических выражениях.
1) log525=
А) 1
Б) 2
В) 25
Г) 5
Д) 0
2) log51=
3) (0,2)–1 +log50,2=
4) log25· log52=
5) lg500+ lg200=
12. Соотнесите график с уравнением.
Уравнение
1) у=3х-2
А)
2) у=2-х
Б)
3) у=3-х
В)
4) ó  log 1 x
Г)
График
2
5) y  log 3 x  2
Д)
13. Установите соответствия между основными свойствами логарифмической функции y=logax,
где a>0, a≠1, дополняя высказывания верными числовыми ответами.
Основные свойства
Числовые ответы
1) область определения функции
А) (–∞; +∞)
2) множество значений
B) (0; +∞)
3) функция убывает на всей своей области определения
C) при a>1
4) функция возрастает на всей своей области определения
D) при 0< a<1
5) график пересекает ось абсцисс
E) (1;0)
14. Пусть f ( x ) 
1) f(–x)
2) f ( 2  x )
3) f ( 2  x )
 1
4) f   
 x
5) f ( x  2)
x 1
, тогда при х≠±1 установите правильное соответствие.
x 1
Функция
Значение функции
3 x
А)
1 x
õ 1
Б)
õ 1
x3
В)
x 1
x 1
Г)
x3
Д) 
x 1
x 1
15. Соотнесите функцию с её наименьшим значением
Функция
Наименьшее значение функции
1) у=–х2–2х–1
А) –1
2) у=2sinx·cosx
Б) 0
2
3) у=tg х
В) невозможно определить
4) у=х2–6х+5
Г) 4
2
5) у=2sin(x) +6
Д) –4
16. Расположите в порядке возрастания числа:
A) (0,1) 2
Б) (0,1)4,2
В) (0,1)π
Г) (0,1)-1,3
Д) (0,1)0
17. Расположите в порядке убывания корни уравнений:
A) 0,35х–2=1
Б) 7·2х=112
В) 5х=125· 5
Г) 32х–1+32х=108
Д) 5х+5х+2=26
18. Пусть f(k) – наибольший нечётный делитель чиcла k, например: f(99)=99, f(100)=25.
Вычислите f(k) и запишите ответ в порядке возрастания.
A) f(52)
Б) f(54)
В) f(51)
Г) f(53)
Д) f(55)
19. Установите рейтинг стоимости Интернет-трафика в 500 Мб в месяц, начиная с самого
дешевого, исходя из следующих тарифных планов:
Тарифный
Абонентская плата
Плата за трафик
план
A) План «0»
нет
4 рубля за 1 Мб
Б) План «100»
100 рублей за 100 Мб трафика в месяц
3 рубля за 1 Мб сверх 100 Мб
В) План «400»
650 рублей за 400 Мб трафика в месяц
4 рубля за 1 Мб сверх 400 Мб
Г) План «700»
850 рублей за 700 Мб трафика в месяц
2 рубля за 1 Мб сверх 700 Мб
Д) План «1000»
1100 рублей за 1000 Мб трафика в месяц 1,5 рубля за 1 Мб сверх 10000 Мб
20. Вычислите значения выражений и расположите ответы в порядке убывания.
A) tg 2 45  cos30  ctg30
Б) tg( )  ctg  cos2 ( )  sin 2 
В)
2  sin 22,5  cos 22,5
Г) cos( 225 )
5
5
 cos
Д) 16 sin
12
12
Четвертая часть. Задания, оцениваемые в 6 баллов
В заданиях 21–25 ответ записывается в таблицу ответов, начиная с первой клеточки.
Каждую букву, цифру или символ пишите в отдельной клеточке, буквы должны быть
печатными. Расчетные значения записываются без единиц измерения.
Десятичные дроби заносятся через запятую, запятую пишите в отдельной
клеточке.
21. Площадь поверхности правильной треугольной призмы равна 6. Найдите
площадь поверхности призмы, если все ее ребра увеличить в три раза.
22. Найдите седьмой член геометрической прогрессии, если все члены прогрессии положительные
числа, шестой член равен 15, а восьмой равен 735.
23. В слове «КАПРИЗ» переставили буквы, и получилось слово «ПРИКАЗ». Установите
закономерность и сделайте такую же перестановку в слове «ЛИСТОК». В ответ запишите
полученное слово.
24. Ковровая дорожка толщиной 1см свернута в рулон так, что получится цилиндр диаметром 1м.
Вычислите приближенно длину дорожки в метрах, при π=3.
25. О какой единице измерения говорится в тексте: «центральный угол, опирающийся на дугу,
длина которой равна радиусу окружности, называется углом в 1 ….» .