Автореферат выложен 15.02.2008 (пт)
advertisement
Московский государственный университет им. М.В.Ломоносова механико-математический факультет На правах рукописи УДК 532.5:534.1 КОКОРЕВА Анастасия Владимировна ГИДРОДИНАМИЧЕСКИЕ МОДЕЛИ АВТОТРАНСПОРТНЫХ ПОТОКОВ Специальность 01.02.05 – механика жидкости, газа и плазмы АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук МОСКВА 2008 Работа выполнена на кафедре газовой и волновой динамики механикоматематического факультета Московского государственного университета им. М.В. Ломоносова. Научные руководители Официальные оппоненты Ведущая организация – доктор физико-математических наук, профессор Киселев А.Б. – доктор физико-математических наук, профессор Смирнов Н.Н. – член-корр. РАН, Б.Н.Четверушкин – доктор физико-математических наук, профессор К.В. Краснобаев. – кафедра промышленно-транспортной экологии Московского автомобильнодорожного института (Государственного технического университета). Защита состоится « 21 » марта 2008г. в 16 часов на заседании диссертационного совета Д501.001.89 при Московском государственном университете имени М.В. Ломоносова по адресу: 119991, г. Москва, Ленинские горы, МГУ, механикоматематический факультет, ауд. 16-24. С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке механико-математического факультета МГУ. Автореферат разослан « » 2008 г. Ученый секретарь диссертационного совета Д501.001.89 доктор физико-математических наук А.Н. Осипцов ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ Актуальность темы. Проблемы оптимизации движения транспорта в мегаполисе остаются одной из ключевых городских проблем, математическое моделирование играет все возрастающую роль в их решении. Существуют три традиционных подхода к решению этого вопроса. Микроскопические модели описывают воздействие предыдущего автомобиля на следующий при помощи обыкновенных дифференциальных уравнений, основанных на ньютоновской механике. Макроскопические модели основываются на уравнениях газовой динамики. Мезоскопические модели представляют собой промежуточное звено между двумя предыдущими моделями. Они основаны на кинетических уравнениях больцмановского типа. В рамках макроскопического или континуального подхода для описания движения потока транспорта используется уравнение неразрывности. В качестве второго уравнения ряд исследователей использовали эмпирическое соотношение, связывающее плотность и расход. Такая система позволяет описывать движение локально равновесного потока. Для описания неравновесного потока было предложено уравнение движения, учитывающее стремление водителя привести свою скорость в соответствие с некой равновесной скоростью. Однако такой подход не позволяет адекватно описывать возникновение ударных волн плотности. Существующие газодинамические модели не учитывают влияние движения впереди идущих транспортных средств на движение автомобилей, следующих позади, и стремление водителя привести свою скорость в соответствие с максимальной безопасной скоростью. На решение этих проблем и направлена диссертация. В данной работе предложена модель, использующая два балансовых уравнения, что позволяет правильно качественно и количественно описывать 1 условия обеспечения максимальной пропускной способности, а также возникновение и эволюцию «подвижных пробок». Цель работы построение математической модели движения неравновесного транспортного потока, рассматривающей поток транспорта с точки зрения механики сплошной среды. модель должна учитывать конечность времени реакции водителя на изменение дорожной обстановки, а также ограничения, продиктованные техническими характеристиками транспортных средств вычисление выбросов загрязняющих веществ потоком транспорта, как линейным источником. Основные задачи получение системы уравнений для описания движения потока транспорта, которая должна служить для определения скорости и плотности потока. получение точных решений данной системы, которые будут являться тестовыми для численного алгоритма. численное решение полученной системы. использование полученного численного алгоритма для моделирования движения потока транспорта по однополосным и двухполосным участкам магистралей с учетом основных элементов регулирования дорожного движения. вычисление значения величины выбросов загрязняющих веществ потоком транспорта на основе полученных значений скорости, плотности и ускорения потока. Методы исследования. В работе применяются методы механики сплошных многофазных сред, методы анализа систем дифференциальных уравнений, в частности, метод характеристик, а также численные методы решения уравнений в частных производных. 2 Научная новизна. Развивая ранее известный подход [Lighthill M.G., Whitham G.B. Proc. Roy. Soc. London. Ser.A. 1955. V. 229. No. 1178], в диссертации предлагается дополнить систему уравнений модели дифференциальным уравнением движения, содержащим ограничения на скорость и ускорение транспортного потока, технические характеристики транспортных средств и особенности реакции водителя на изменение дорожной обстановки. В модели впервые учтена возможность изменения зоны видимости водителем дорожной обстановки впереди себя. Этот подход отличается от ранее использовавшихся тем, что не имеет прямой гидродинамической аналогии. В работе предлагается дальнейшее развитие модели [Киселев А.Б., Никитин В.Ф., Смирнов Н.Н., Юмашев М.В. ПММ. 2000. Т. 64. Вып. 4.], в частности вводится переменная скорость распространения возмущений навстречу потоку. В ходе реального эксперимента автором впервые экспериментально установлено значение скорости распространения возмущений в потоке транспорта при начале движения потока в очереди перед светофором. Построенная модель дает возможность сравнить различные стратегии регулирования дорожного движения. Рассмотрено регулирование движения потока при помощи «лежачих полицейских» и светофора. Впервые изучено влияние величины дистанции между «лежачими полицейскими» на пропускную способность участка дороги. Построена новая модель двухполосного транспортного потока, учитывающая перестроения, на основе подхода механики многофазных сред. На основе полученных параметров потока, вычислена величина выбросов потоком транспорта вредных веществ, а также проанализированы различные стратегии регулирования движения с точки зрения экологической безопасности. В отличие от применяющихся в мировой практике моделей загрязнения окружающей среды, которые оперируют с интенсивностью дорожного движения как с заданным внешним параметром, данная модель 3 учитывает основное свойство транспортных потоков – свойство самоорганизации. Практическая значимость работы. Результаты исследования могут быть использованы при проектировании и тестировании новых систем регулирования дорожного движения. Модель позволяет получать предельные значения плотности транспортного потока, которые не приводят к возникновению «затора». Задавая плотность входящего потока, можно получать значения длительности циклов работы светофора, которые не приводят к «заторам». Модель позволяет просчитать экологическое воздействие проектируемой системы. На основе созданной модели возможна оптимизация работы уже существующих систем организации дорожного движения путем соответствующей регулировки циклов работы светофоров, дистанции между «лежачими полицейскими», а также максимально разрешенной скорости движения. Результаты, полученные в работе, могут быть использованы в работе таких организаций как: РосДорНИИ, ГИБДД, МАДИ. Достоверность и обоснованность результатов. Достоверность результатов гарантируется применением подходов и методов механики многофазных сред, основанных на законах сохранения, применением аналитических методов решения и надежных численных схем, а также хорошим согласованием теоретических и экспериментальных данных. Апробация и публикации. Результаты, полученные в диссертации, использованы при работе по грантам ГА-91/02 финансовой поддержки Правительства г. Москвы и грантам Правительства региона г. Брюсселя. Результаты семинарах исследования докладывались механико-математематического на научно-исследовательских факультета МГУ им. М.В. Ломоносова: по механике многофазных сред (рук. профессор Н.Н. Смирнов), семинаре кафедры газовой и волновой динамики (рук. академик РАН Е.И. Шемякин), семинаре кафедры аэромеханики (рук. 4 академик РАН Г.Г. Черный), на семинаре Института математического моделирования РАН (рук. член-корр. РАН Б.Н. Четверушкин), а также на конференциях «Ломоносовские чтения» в 2003-2007 гг. (Москва, МГУ) и на Европейской конференции по вычислительной гидродинамике (European Conf. on Computational Fluid Dynamics, Egmond aan Zee, The Netherlands, 5-8 Sept. 2006) и получили положительную оценку. По теме диссертации опубликовано 9 научных работ. Структура и объем диссертации. Диссертационная работа состоит из введения, четырех глав, заключения, списка литературы, включающего 101 наименование, и содержит 123 страницы, включая 8 таблиц и 53 рисунка. КРАТКОЕ СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ Во введении обоснована актуальность проблемы, сформулированы цели и задачи диссертационной работы, обоснованы научная новизна и практическая значимость результатов исследования. Описана структура работы и основные результаты. В главе 1 делается краткий обзор истории вопроса изучения движения автотранспортных потоков, обзор научных проблем, возникающих при моделировании движения потока транспорта и методов их решения, а также рассматривается современное состояние исследований в этой области. В главе 2 предлагается модель нестационарных транспортных потоков с учетом основных элементов регулирования дорожного движения. В параграфе 1 предлагается модель движения однонаправленного потока машин по однополосной дороге. Вводится эйлерова координата x вдоль автомагистрали в направлении движения потока и время t . Средняя плотность потока x, t определяется как отношение площади полосы движения, занятой транспортными средствами, к площади всего рассматриваемого участка полосы движения: hn hL n L n1 , где h – ширина полосы движения, L – длина контрольного участка дороги, – средняя длина транспортного средства с минимальным расстоянием между 5 стоящими автомобилями, n – количество транспортных средств на контрольном участке, n1 - среднее число автомобилей на единицу длины. Так введенная плотность является безразмерной величиной и изменяется в интервале 0 1. Вводится скорость потока v (x , t ) , которая может 0 0 изменяться в пределах 0 £ v £ vmax , где vmax – максимально разрешенная скорость движения. Записывается закон изменения «массы» на автомагистрали, где «массой», сосредоточенной на участке длины L , условно L называется величина m dx . Для непрерывного потока машин имеет место 0 уравнение неразрывности: ¶ r ¶ t + ¶ (r v ) ¶ x = 0 и уравнение изменения скорости: dv dt = a ; a a 1 a max a ; min a ; a ; a k 2 x ; x a t , y dy V v , где a – ускорение x транспортного потока; a – максимально возможное ускорение разгона; a – ускорение экстренного торможения; величины; – «расстояние принятия решения», то есть длина участка магистрали перед участником движения, где изменение режима движения транспортных средств влияет на динамику транспортного средства, находящегося в точке х; – безразмерный параметр 0 1 характеризующий «вес» локальной ситуации по сравнению с ситуацией на некотором расстоянии впереди автомобиля. Параметр k 0 является скоростью распространения возмущений («скоростью звука») в транспортном потоке. Параметр имеет смысл времени задержки, обусловленной конечностью скорости реакции водителя на изменение дорожной обстановки и техническими характеристиками транспортного средства, он отвечает за стремление водителя привести скорости автомобиля в соответствие с максимальной безопасной скоростью движения V ( ) . В выражении для ускорения транспортного потока a первое слагаемое отвечает за влияние на поведение водителя локальной ситуации, второе - за 6 влияние ситуации вперед по потоку, а третье - за стремление водителя привести свою скорость в соответствие с максимальной безопасной скоростью. Получена система двух квазилинейных уравнений в частных производных: t v x 0; v t v 2 x a В параграфе исследуются 2 основные характеристики (1) системы. Рассматривается случай, когда параметр k постоянен. Данная модель обладает высокой степенью точности для относительно низких значений плотности потока. Полученная система (1) является гиперболической при 1 и . Условия вдоль характеристик C ± :dx dt v k , dv kd . В транспортном потоке распространение информации происходит навстречу потоку. Для волн, распространяющихся влево, с постоянными параметрами, имеет место интеграл Римана, полученный из соотношения на характеристике C : v v 0 k ln 0 . Из этого соотношения, с учетом ограничения на максимальную скорость получено выражение для 0 , ïìï - k ln r , v < v max максимальной безопасной скорости потока: V (r ) = í 0 Оценка 0 ïï v max , v ³ v max . ïî величины скорости распространения возмущений k 35 км/ч сделана в работе [Киселев А.Б., Никитин В.Ф., Смирнов Н.Н., Юмашев М.В. ПММ. 2000. Т. 64. Вып. 4.], что хорошо согласуется с экспериментальными данными, приведенными в работе [Greenberg H. Operations Research. 1959, Vol. 7.]. Рассматривается случай, когда параметр k , при k k1 k0 , k 1 , т.е. зависит от плотности потока. Тогда k0 , при k . максимальная безопасная скорость ìï ì r ³ r k, ïï 0 ïïï k1 1 r - 1 при V (r ) = min í u max , í ïï ïï (k - k )- k ln r r при r < r . 0 1 0 k k ïî îï ( ) потока: ü ïï ïý . Описана методика, с ïï ïþ помощью которой в работе было экспериментально определено значения 7 параметра k1 ( k1 4,1 м/с ). В параграфе 3 проведен анализ решений системы уравнений. Существующая модель дополнена возможностью возникновения сильных разрывов. Рассмотрены возможные решения задач о распаде разрывов в начальных условиях. Для случая, когда против потока распространяется волна торможения в форме сильного разрыва, получены выражения для скорости волны и плотности затормозившегося потока. В параграфе 4 решена модельная задача о динамике движения потока по прямолинейной, однополосной, однонаправленной дороге. В параграфе 5 рассмотрен однонаправленный поток машин по двухполосной дороге при подъезде к светофору. При t 0 транспортные средства, которые должны проехать светофор в левом и правом ряду, равномерно распределены между полосами, плотность потока по каждой полосе k х; t 1,k 2,k , где x – координата вдоль полосы по направлению движения, 1,k – плотность транспортных средств, которые должны двигаться по данной полосе, 2,k – плотность транспортных средств, которые должны перестроиться в соседний ряд до светофора. Уравнения баланса транспортных средств на соседних полосах: 1,m t 1,k t 1,kk km 2,m , k , x 1,mm mk 2,k , m , x изменения 2,m t 2,k t 2,kk mk 2,k , m ; x 2,mm km 2,m , k . Уравнения x количества движения: 1,k 2,k dvm 1,m 2,m dvk k2 k2 ; . dt 1,k 2,k x dt 1,m 2,m x Здесь mk – поток транспорта с полосы k на полосу m . В главе 3 представлены результаты численного моделирования. В параграфе 1 сформулирована задача о движении однополосного, однонаправленного транспортного потока. Для описания динамики потока получается система (1). Начальные условия: на участке длиной x0 , считая от входа x 0 , магистраль занята потоком машин плотности 0 , движущимся с 8 максимальной безопасной для данной плотности скоростью V 0 , а при x0 x L магистраль свободна от машин (r = 0, v = 0). Граничные условия на концах рассматриваемого участка ( 0 x L ): при отсутствии «пробки»: 0,t 0 ; v (0, t ) = V (r 0 ). В условиях подвижной или неподвижной «пробки», примыкающей к входному участку дороги x x0 0 , v 0, t V . Наличие или отсутствие «подвижной пробки», примыкающей к левой границе расчетной области, определяется по критерию: если x x0 0 и 0 , то имеется «подвижная пробка». При x L ставится условие «свободного выхода»: x 0 , ¶ v ¶ x = 0 . Представлена модель регулирования движения потока при помощи светофора. Основными параметрами светофора являются длительность частей цикла его работы: зеленого, желтого и красного сигналов, соответственно t g , te , tr и система ограничения полицейскими», скорости она 0 движения vmax < vmax потока, моделируется которая называется заданием максимальной «лежачими скорости в месте расположения «лежачих полицейских», расположенных на расстоянии d друг от друга. Проводится сравнение аналитических решений полученных в параграфе 4 главы 2 и результатов численного моделирования. Анализ профилей плотности и скорости показывает, что алгоритм обладает требуемой точностью. Проведен сравнительный анализ двух систем регулирования дорожного движения на основе численных расчетов. В расчетах варьировалась плотность входящего потока 0 и t g . Результаты исследования зависимости величины предельной начальной плотности потока 0 , при которой не образуется «подвижная пробка», от длительности зеленого сигнала светофора t g описывается формулой: 0 a ln bt g , где a, b – параметры, зависящие от многих факторов, включая длительность красного сигнала t r . Расчеты показывают, 9 что при прохождении потоком машин участка локализации «лежачих полицейских» образуются два участка повышенной плотности, что при 0 0, 2 не препятствует препятствия. Если же свободному прохождению потока через 0 0, 2 , то образуется «подвижная пробка». Исследовано влияние частоты переключения сигнала на пропускную способность светофора. В расчетах варьировалась частота переключения сигнала светофора (1/час) , m - отношение длительности красного сигнала светофора к длительности зеленого сигнала, t g , 0 . Получена зависимость предельной начальной плотности потока 0 0 ;m . Расчеты показывают, что при увеличении частоты , 0 увеличивается незначительно, для соответствующих значений m . Изучено влияние расположения «лежачих полицейских» на уменьшение скорости потока транспорта. В расчетах варьировались дистанция между полицейскими d 50 200 м и величина расстояния принятия решения 50 100 м . В результате проведения серии расчетов получены зависимости 0 0 d и v v d , где v - максимальная скорость, развиваемая потоком на участке между «лежачими полицейскими». Результаты представлены на рис. 1. Проведено сравнение результатов численного эксперимента с аналитическими исследованиями, проведенными в работе [Greenberg H. Operations Research. 1959, Vol. 7.]. На рис. 2 изображены аналитическое решение и результаты численного эксперимента. двухполосного учитывающая В параграфе транспортного 2 формулируется потока межрядовые задача регулируемого перестроения. о движении светофором, Рассматривается однонаправленный поток машин по двухполосной дороге. Для описания динамики автотранспортного потока получается система (1). При t 0 на участке длиной x0 , считая от входа, магистраль занята потоком машин плотности 0 , движущимся со скоростью v V 0 , при x0 x L1 магистраль свободна от машин (r = 0, v = 0). Плотности транспортных 10 средств на полосах при 2,0 k 1 p 100 0 , t 0: 2,0 m 0 p 100 , 1,0m 1 p 100 0 , 1,0k 0 p 100 , p – процент транспортных средств, которые должны оказаться на левой полосе m до светофора. 0.26 0.22 ρ* 0.18 Δ=50 m Δ=100 m 0.14 0 50 d 100 150 200 250 Рис. 1. Зависимость предельной начальной плотности потока 0 , при которой не образуется «подвижная пробка», от дистанции между полицейскими d (м), для значений расстояния принятия решения 50 м и 100 м. 0.4 0.3 ρ* 0.2 0.1 0 100 t 200 300 Рис. 2. Зависимость предельной начальной плотности потока 0 , от длительности зеленого сигнала светофора t g . Сплошной линией изображена зависимость, полученная Гринбергом, точками – результаты численного эксперимента. 11 Граничные условия такие же как и в параграфе 1. Изучено влияние перестроений транспортных средств на пропускную способность магистрали и Т-образного перекрестка. В Главе 4 вычисляется и анализируется величина выбросов загрязняющих веществ транспортным потоком. В параграфе 1 транспортный поток рассматривается как линейный источник выбросов. Зависимости среднего и мгновенного выброса загрязняющих веществ от координаты расчетной области выполнены на основе моделей, предложенных в главе 2. По известной скорости, плотности и ускорению, на основе методики [Методика определения выбросов автотранспорта для проведения сводных расчетов загрязнения атмосферы городов. - М.: Государственный комитет Российской Федерации по охране окружающей среды, 1999. С. 7-8.], вычисляется величина выбросов. В работе использованы зависимости расхода топлива от скорости, приведенные в [Луканин В.Н., Буслаев А.П., Трофименко Ю.В., Яшина М.В. Автотранспортные потоки и окружающая среда-2. 2001]. Расчеты выбросов выполняются для следующих веществ: CO , NOx , CH , SO2 , соединения свинца, формальдегид, бензапирен. Выброс i-го загрязняющего вещества (г/мин) автотранспортным потоком определяется по формуле: ( ) ( ) ki (u ) = 1 60 ×m 1uk 0, 1 60 ×m 1uk 0 ® k 0i , при v ® 0 , где m i - значения пробеговых выбросов для различных загрязняющих веществ (г/км), u скорость автомобиля (км/ч), k 0 - безразмерный коэффициент, учитывающий изменение количества выбрасываемых вредных веществ в зависимости от скорости автомобиля, k 0i - значение пробегового выброса (г/мин) для автомобилей, работающих на холостом ходу. Вычисляется среднее значение t выброса i-го загрязняющего вещества pi (г/мин·м): pi ki dt t , где - 0 средняя длина автомобиля (м). В случае положительного ускорения pi ¢ = f (u ) pi , где f (u ) - безразмерный поправочный коэффициент. 12 10 10 Δр Δр 8 8 6 6 4 4 2 2 0 0 0 250 500 750 x 1000 10 10 Δр Δр 8 8 6 6 4 4 2 2 0 250 500 750 x 1000 0 250 500 750 x 1000 0 250 500 750 x 1000 0 0 0 250 500 750 x 1000 10 10 Δр Δр 8 8 6 6 4 4 2 2 0 0 0 250 500 750 x 1000 Рис. 3. Профили зависимости среднего выброса NOx ( p мг/м/сек) от координаты расчетной области ( x , м), при 0 0.18 . 13 В случае отрицательного ускорения ki = k 0i . В параграфе 2 проводится анализ выбросов на основе численных расчетов. Рассматриваются выбросы загрязняющих веществ однополосным транспортным потоком, регулируемым светофором. При расчетах варьировалась частота переключения сигнала светофора , длительности различных этапов цикла работы светофора и плотность входящего потока 0 . Получены зависимости среднего и мгновенного выброса загрязняющих веществ от координаты расчетной области. На рис. 3 а – д изображена зависимость среднего выброса NOx от x . Длительности работы сигналов светофора даны в табл. 1, плотность входящего потока 0 0.18 , что соответствует свободному движению потока. Суммарный выброс Представлены NOx результаты ( p ) снижается при увеличении частоты. моделирования выбросов однополосным и двухполосным транспортными потоками для различных режимов движения. ω, 1/ч 10 20 30 40 50 tr , сек t y , сек t g , сек 82 40 27 20 15 5 5 5 5 5 273 135 88 65 52 Δр, мг/сек 7.74·10² 7.57·10² 7.56·10² 7.36·10² 6.99·10² Табл. 1. Интегральная величина выброса NOx на всем рассматриваемом участке в зависимости от частоты переключения сигнала светофора. ОСНОВНЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ И ВЫВОДЫ Построена модель движения однополосного транспортного потока, учитывающая стремление водителей привести свою скорость в соответствие с максимальной безопасной скоростью и влияние автомобилей идущих впереди, на ускорение последующих транспортных средств. Проведено исследование основных характеристик предлагаемой системы для случаев постоянной и переменной скорости распространения возмущений в потоке транспорта. Для переменной скорости распространения возмущений проведен эксперимент по определению значения этой скорости при начале движения потока. 14 Проведен численный расчет динамики автотранспортного потока, с учетом основных элементов регулирования дорожного движения, для случая регулирования движения однополосного потока транспорта «лежачими полицейскими», впервые получена зависимость предельной начальной плотности потока, не приводящей к образованию «затора», от длины дистанции между «лежачими полицейскими». При регулировании движения однополосного потока светофором, получена зависимость предельной начальной плотности потока, не приводящей к образованию «затора», для различных режимов работы светофора. Построена модель движения двухполосного транспортного потока учитывающая перестроения, использован подход механики многофазных сред. На основе построенной модели движения двухполосного транспортного потока проведен численный расчет движения транспорта по Т-образному перекрестку, регулируемому светофором. Изучено влияние перестроений на пропускную способность участка магистрали, на основе проведенных расчетов сделан вывод о том, что наличие перестроений снижает пропускную способность дороги в среднем в 2 раза. На основе полученных значений скорости, плотности и ускорения потока транспорта, вычислена величина выбросов загрязняющих веществ потоком транспорта, как линейным источником выбросов. ПУБЛИКАЦИИ ПО ТЕМЕ ДИССЕРАЦИИ 1. Киселев А.Б., Кокорева А.В., Никитин В.Ф., Смирнов Н.Н. Математическое моделирование автотранспортных потоков на регулируемых дорогах // ПММ. 2004. Т. 68. Вып. 6. С. 1035–1042. 2. Киселев А.Б., Кокорева А.В., Никитин В.Ф., Смирнов Н.Н. Математическое моделирование движения двухполосного автотранспортного потока, регулируемого светофором. // Вестн. Моск. ун-та. Сер. 1. Матем. Механ. 2006. № 4. С. 35–40. 15 3. Киселев А.Б., Кокорева А.В., Никитин В.Ф., Смирнов Н.Н. Математическое моделирование динамики автотранспортных потоков на регулируемых дорогах. - Ломоносовские чтения. Научная конф. Секция механики. Апрель 2003 года. Тезисы докладов. - М.: Изд-во Моск. ун-та, 2003. - С. 70. 4. Киселев А.Б., Кокорева А.В., Никитин В.Ф., Смирнов Н.Н. Динамика автотранспортных потоков на регулируемых участках дорог – поиск стратегии оптимального регулирования. - Ломоносовские чтения. Научная конф. Секция механики. Апрель 2004 года. Тезисы докладов. - М.: Изд-во Моск. ун-та, 2004. - С. 94. 5. Киселев А.Б., Кокорева А.В., Никитин В.Ф., Смирнов Н.Н. Оптимальное регулирование автотранспортных потоков. - Ломоносовские чтения. Научная конф. Секция механики. Апрель 2005 года. Тезисы докладов. - М.: Изд-во Моск. ун-та, 2005. - С. 115-116. 6. Киселев А.Б., Кокорева А.В., Никитин В.Ф., Смирнов Н.Н. Некоторые задачи моделирования автотранспортных потоков. - Ломоносовские чтения. Научная конф. Секция механики. Апрель 2006 года. Тезисы докладов. - М.: Изд-во Моск. ун-та, 2006. - С. 82-83. 7. Киселев А.Б., Кокорева А.В., Никитин В.Ф., Смирнов Н.Н. Моделирование автотранспортных потоков методами механики сплошных сред. - Ломоносовские чтения. Научная конф. Секция механики. Апрель 2007 года. Тезисы докладов. - М.: Изд-во Моск. ун-та, 2007. - С. 84-85. 8. Kiselev A.B., Kokoreva A.V., Nikitin V.F., Smirnov N.N. Computational modelling of traffic flows // European Conf. on Computational Fluid Dynamics (Egmond aan Zee, The Netherlands, 5-8 Sept. 2006). Book of Abstracts.Delft: 2006. – P. 265. 9. Kiselev A.B., Kokoreva A.V., Nikitin V.F., Smirnov N.N. Computational modelling of traffic flows // European Conf. on Computational Fluid Dynamics (Egmond aan Zee, The Netherlands, 5-8 Sept. 2006). Proc. on CD-ROM. – 10 p. 16
