Задачи с параметрами

Кармакова Тамара Сергеевна (МИФ-2, №4, 2005)
ЗАДАЧИ С ПАРАМЕТРАМИ
Представленные материалы содержат элементарные сведения о самых
распространенных задачах с параметрами – обратные уравнения и неравенства. В
конце статьи прилагаются контрольные задания.
Понятия темы
1.
Уравнение f ( x; a)  0 (неравенство f ( x; a)  0 ) называется уравнением
(неравенством) с параметром а и переменной х, если ставится задача для каждого
действительного числа а, решить это уравнение (неравенство) относительно х.
2.
Решить уравнение (неравенство) с параметром а – это значит, для каждого
действительного значения а найти значения х, удовлетворяющие этому уравнению
(неравенству), или установить, что таких значений нет.
3.
Значения параметра а, при которых уравнение f ( x; a)  0 (неравенство
f ( x; a )  0 ) качественно изменяется (меняется вид записи или изменяется
количество корней) называются контрольными значениями.
Примечания:
1.
Общих способов нахождения контрольных значений параметров и решения
уравнений и неравенств нет, поэтому на конкретных примерах различных типов и
видов уравнений и неравенств рассмотрим теоретические и практические основы
уравнений и неравенств с параметрами.
2.
Задачи, сводящиеся к решению уравнений (неравенств) с параметрами могут
быть сформулированы по-разному. Самые распространенные формулировки:
- решить уравнение (неравенство) при всех а;
- установить количество корней уравнения (решений неравенства) в
зависимости от а.
Примеры решения уравнений и неравенств с параметрами
Пример 1. Решить уравнение (a  a 2 ) x  a 2  5a  4
Решение. 1) Заменим данное уравнение равносильным ему:
a(a  1) x  (a  1)( a  4) …(*)
2) Найдем контрольные значения параметра а: а(а+1)=0, а1 = 0, а2 = -1.
3) Решим уравнение (*) на каждом подмножестве множества действительных
чисел:
A1  {0}, A2  {1}, A3  {a  0, a  1} .
а) Пусть а = 0, тогда уравнение (*) примет вид 0  x  4 . Такое уравнение не имеет
корней;
б) Пусть а = -1, тогда уравнение (*) примет вид 0  x  0 . Корнями такого уравнения
являются любые действительные числа. в) Пусть a  0, а   1, тогда из уравнения (*)
следует x 
a4
.
a
4) Обобщим полученные результаты и запишем ответ: если а = 0, то уравнение
корней не имеет; если а = -1, то x  R ; если a  0, а   1, то x 
a4
.
a
Пример 2. Решить неравенство a(a  1) x  (a  1)( a  4) .
Решение. 1) Найдем контрольные значения а: а1 = 0, а2 = -1.
2) Решим данное неравенство на каждом подмножестве множества действительных
чисел: A1  (;1) , A2  {1} , A3  (1;0) , A4  {0} , A5  (0; ) .
а) Пусть a < -1, из данного неравенства следует x 
a4
; б) Пусть a = -1, тогда
a
данное неравенство примет вид 0  x  0 , а такое неравенство не имеет решений;
в) Пусть –1<a<0, тогда из данного неравенства следует x 
a4
, так как а(а+1)<0;
a
г) Пусть а = 0, тогда данное неравенство имеет вид 0  x  4 , но такое неравенство
не имеет решений; д) Пусть a > 0, тогда из данного неравенства следует x 
a4
.
a
3) Обобщим полученные результаты и запишем ответ:
a4
; если а = 0 или a = -1, то неравенство
a
a4
решений не имеет; если –1<a<0, то x 
.
a
Пример 3. Для каждого а найдите число корней уравнения x 1  ax  2 .
если a < -1 или a > 0, то x 
Решение. 1) Используя определение модуля действительного числа, заменим
данное уравнение на совокупность двух смешанных систем и решим их:

 x  1,

 x  1,
 x  1,
а) 
a  1,

1  x  ax  2; (a  1) x  1; 
1
x  
;
a 1

 1
 a  1  1,

a  1,

1
x  
;
a 1

a 11
 a  1  0,

a  1,

1
x  
;
a 1

a  2
 a  1  0,

a  1,

1
x  
;
a 1


 x  1,

 x  1,
 x  1,
б) 
a  1,

 x  1  ax  2;  x(1  a )  3; 
3
x 
;
 1 a
 3
1  a  1,

a  1,

3
x 
;
 1 a
3 1  a
 1  a  0,

a  1,

3
x 
;
 1 a
2  a
 1  a  0,

a  1,

3
x 
;
 1 a
a  2, a  1,


1
 x   a  1 .
 2  a  1


3
 x  1  a ;
2) Обобщим полученные результаты и запишем ответ:
если a < -2, то x  
1
;
a 1
если  2  a  1, то x 
1
.
a 1
2  3x
0.
Пример 4. Решить неравенство для каждого действительного а
xa
2
Решение. Так как x   и x  a - это те значения х, при переходе через которые
3
если 1  a  1, то x1  
1
3
, x2 
;
a 1
1 a
3
;
1 a
если a  1, то x  
меняется знак или числителя или знаменателя левой части данного неравенства, то
и рассмотрим три случая взаимного расположения а и 
для каждого случая найдем решение.
2
на числовой прямой и
3
2
2
тогда неравенство выполняется при x  a или x   .
3
3
2
3(2  3 x )
2  3x
2) Пусть a   , тогда неравенство принимает вид
0 и
 0 или
2
3
3x  2
x
3
2
выполняется при всех х, отличных от  .
3
2
2
3) Пусть a   тогда неравенство выполняется при x  a или x   .
3
3
1) Пусть a  
Обобщим полученные результаты и запишем ответ:
2
2
3
3
2
2
если a   , то x  a или x   .
3
3
2
3
2
3
если a   , то x  a или x   ; если a   , то x  R , кроме x   ;
Пример 5. Решить уравнение (a  2) x 2  2ax  2a  3  0 .
Решение. 1) Найдем первое контрольное значение а: а – 2 = 0, а1= 2.
2) Пусть а = 2, тогда данное уравнение примет вид: 4х + 1 = 0 , т.е. x 
1
.
4
3) Пусть a  2 , результат решения зависит от дискриминанта.
D  4a 2  4(2a  3)(a  2)  4a 2  8a 2  28a  24  4a 2  28a  24  4(a 2  7a  6).
а)
б)

a  2,

2
 4(a  7a  6)  0,

2
 x  a   a  7a  6 ;

a2

a  2,

2
 4(a  7 a  6  0,

a
x 
;
a2

a  6,

 x  1,5;
a  1,

 x  1.

a  2,

1  a  6,

2
 x  a   a  7a  6 ;

a2
a  2,

в)  4(a 2  7 a  6)  0,
нет корней

a  6 или a  1,

корней нет
4) Обобщим полученные результаты и запишем ответ:
a   a 2  7a  6
;
a2
если а = 1, то х = -1; если а = 6, то х = 1,5; если a  6 или a  1 , то корней
1
4
если а = 2, то x  ; если 1  a  2, 2  a  6, то x 
нет.
Пример 6. Решить неравенство ax 2  (2a  1) x  a  0
Решение. 1) Найдем контрольное значение а: а = 0.
2) Пусть а = 0, неравенство примет вид x  0 .
3) Пусть a  0 , тогда неравенство будет иметь решение только при условии, что
дискриминант D  0 , т.е. 4a 2  4a  1  4a 2  0   4a  1  0  a 
1
.
4
1
4
Учитывая знак а, будем иметь 0  a  ,
1  2a  1  4a
1  2a  1  4a
x
.
a
a
4) Пусть a  0 , тогда условие a 
1
( D  0 ) будет выполнено и решение исходного
4
неравенства будет иметь вид x 
1  2a  1  4a
1  2a  1  4a
или x 
.
a
a
5) Обобщим полученные результаты и запишем ответ:
если a  0 , то x 
1
4
если 0  a  , то
1  2a  1  4a
1  2a  1  4a
или x 
;
a
a
если а = 0, то x  0 ;
1  2a  1  4a
1  2a  1  4a
x
;
a
a
1
4
если a  , то неравенство решений не имеет.
Контрольное задание для учащихся 9 классов (правила оформления – на
обложке)
М.9.2.1.
а)
Решите уравнения:
ax 2  (a  1) x  2a  1  0;
б) 2x  3  2a  3x ;
в)
x 2  (2a  1) x  a 2  a
0.
x 3
М.9.2.2.
Решите неравенства:
x2  a
0;
а) ax  6 x  4  0;
б)
в) ( x  3)( x  a)  0 .
x3
М.9.2.3.
При каких а уравнение (a  2) x 2  2(a  2) x  2  0 имеет единственный
2
корень?
М.9.2.4.
При
каких
а
уравнение
удовлетворяющее условию x  1?
a( x  1)  x  2
имеет
решение,