03_kl_z_reshx

Ключевые задачи
а)
Докажите равносильность утверждений:
1) тетраэдр является ортоцентрическим,
2) скрещивающиеся ребра тетраэдра взаимно перпендикулярны,
3) суммы квадратов длин скрещивающихся ребер тетраэдра равны.
Доказательство:
Докажем, 1⟹2
Рассмотрим тетраэдр 𝐷𝐴𝐵𝐶. (Рисунок 1)
Рисунок 1
Пусть 𝐷𝐻, 𝐶𝑁 – его высоты.
𝐶𝑁 ⊥ (𝐴𝐵𝐷) ⇒ 𝐶𝑁 ⊥ 𝐴𝐵
𝐷𝐻 ⊥ (𝐴𝐵𝐶) ⇒ 𝐷𝐻 ⊥ 𝐴𝐵
𝐴𝐵 ⊥ 𝐷𝐻, 𝐴𝐵 ⊥ 𝐶𝑁 ⇒ 𝐴𝐵 ⊥ (𝐷𝑁𝐻) ⇒ 𝐴𝐵 ⊥ 𝐷𝐶.
Аналогично, 𝐷𝐴 ⊥ 𝐵𝐶, 𝐷𝐵 ⊥ 𝐴𝐶.
Докажем, 2⟹1
Рассмотрим тетраэдр 𝐷𝐴𝐵𝐶. Пусть 𝐷𝐻, – его высота. Через прямую 𝐷𝐻 и
вершину 𝐶 построим плоскость, пусть она пересекает ребро 𝐴𝐵 в точке 𝐾.
𝐷𝐻 ⊥ (𝐴𝐵𝐶) ⇒ 𝐴𝐵 ⊥ 𝐷𝐻.
𝐴𝐵 ⊥ 𝐷𝐻, 𝐴𝐵 ⊥ 𝐷𝐶 ⇒ 𝐴𝐵 ⊥ (𝐷𝐶𝐾). В плоскости (𝐷𝐶𝐾) построим
перпендикуляр 𝐶𝑁 к прямой 𝐷𝐾, 𝐶𝑁 ⊥ 𝐷𝐾. 𝐴𝐵 ⊥ (𝐷𝐶𝐾) ⇒ 𝐴𝐵 ⊥ 𝐶𝑁.
𝐶𝑁 ⊥ 𝐴𝐵, 𝐶𝑁 ⊥ 𝐷𝐾 ⇒ 𝐶𝑁 ⊥ (𝐷𝐴𝐵) ⇒ 𝐶𝑁 – высота тетраэдра 𝐷𝐴𝐵𝐶.
Таким образом, высоты 𝐷𝐻 и 𝐶𝑁 пересекаются.
Аналогично высоты, проведенные из вершин 𝐴, 𝐵 пересекают каждую из
высот 𝐷𝐻 и 𝐶𝑁 ⇒ все высоты тетраэдра 𝐷𝐴𝐵𝐶 пересекаются в одной точке.
Следовательно, утверждения 1 и 2 равносильны.
Докажем 2⟹3
Рассмотрим тетраэдр 𝐷𝐴𝐵𝐶. (Рисунок 2) Пусть 𝐴𝐷 = 𝑎⃗, 𝐷𝐵 = 𝑏⃗⃗, 𝐷𝐶 = 𝑐⃗.
𝐷
𝑎⃗
𝑐⃗
𝑏⃗⃗
𝐴
𝐶
𝐵
Рисунок 2
Докажем, что 𝐴𝐵2 + 𝐶𝐷2 = 𝐴𝐶 2 + 𝐷𝐵2 . По теореме косинусов для
треугольников 𝐴𝐷𝐵, 𝐴𝐷𝐶: 𝐴𝐵2 = 𝐷𝐴2 + 𝐷𝐵2 − 2 ∙ 𝐷𝐴 ∙ 𝐷𝐵 ∙ cos ∠𝐴𝐷𝐵, 𝐴𝐶 2 =
𝐷𝐶 2 + 𝐷𝐴2 − 2 ∙ 𝐷𝐶 ∙ 𝐷𝐴 ∙ cos ∠𝐴𝐷𝐶. Тогда нужно доказать:
𝐶𝐷2 + 𝐷𝐴2 + 𝐷𝐵2 − 2 ∙ 𝐷𝐴 ∙ 𝐷𝐵 ∙ cos ∠𝐴𝐷𝐵 = 𝐷𝐵2 + 𝐷𝐶 2 + 𝐷𝐴2 − 2 ∙ 𝐷𝐶 ∙
𝐷𝐴 ∙ cos ∠𝐴𝐷𝐶, 2 ∙ 𝐷𝐴 ∙ 𝐷𝐵 ∙ cos ∠𝐴𝐷𝐵 = 2 ∙ 𝐷𝐶 ∙ 𝐷𝐴 ∙ cos ∠𝐴𝐷𝐶, т. е. 𝑎 ∙ 𝑏 ∙
cos ∠𝐴𝐷𝐵 = 𝑐 ∙ 𝑎 ∙ cos ∠𝐴𝐷𝐶. Докажем это:
𝐴𝐷 ⊥ 𝐵𝐶 ⟹ 𝑎⃗ ⊥ 𝑏⃗⃗ − 𝑐⃗ ⟹ 𝑎⃗(𝑏⃗⃗ − 𝑐⃗) = 0 ⟹ 𝑎𝑏 ∙ cos ∠𝐴𝐷𝐵 − 𝑎𝑐 ∙
cos ∠𝐴𝐷𝐶 = 0 ⟹ 𝑎𝑏 ∙ cos ∠𝐴𝐷𝐵 = 𝑎𝑐 ∙ cos ∠𝐴𝐷𝐶.
Аналогично, 𝐴𝐵2 + 𝐶𝐷2 = 𝐵𝐶 2 + 𝐷𝐴2 .
Следовательно, 𝐴𝐵2 + 𝐶𝐷2 = 𝐴𝐶 2 + 𝐷𝐵2 = 𝐵𝐶 2 + 𝐷𝐴2 .
Аналогичным образом, проведя рассуждения в обратном порядке,
получим: 𝐴𝐵2 + 𝐶𝐷2 = 𝐴𝐶 2 + 𝐷𝐵2 = 𝐵𝐶 2 + 𝐷𝐴2 ⟹ 𝐴𝐷 ⊥ 𝐵𝐶, 𝐵𝐷 ⊥ 𝐴𝐶, 𝐶𝐷 ⊥
𝐴𝐵, т. е. 3⟹2.
Следовательно, утверждения 2 и 3 равносильны. Значит, равносильны все
три утверждения.
б)
Найдите высоту правильного тетраэдра с ребром 𝑎, радиус
вписанной в него сферы и отношение, в котором центр сферы делит высоту.
(Рисунок 3)
Рисунок 3
Решение:
Рассмотрим правильный тетраэдр 𝑆𝐴𝐵𝐶. Пусть 𝑆𝐻 – его высота, точка 𝑂
– центр вписанной сферы. В грани 𝑆𝐴𝐵 построим апофему 𝑆𝐿. Тогда 𝐶𝐿 –
высота в треугольнике 𝐴𝐶𝐵. Так как треугольники 𝑆𝐴𝐵, 𝐴𝐶𝐵 – правильные со
стороной 𝑎, то 𝑆𝐿 = 𝐶𝐿 =
𝑎 √3
2
.
В равнобедренному треугольнике 𝑆𝐿𝐶 построим высоту 𝐿𝑀, которая
также является медианой. Из прямоугольного треугольника 𝐿𝑀𝐶 найдем:
3
𝑎2
4
4
𝐿𝑀2 = 𝑎2 −
=
𝑆𝐿𝐶, найдем 𝑆𝐻 =
2𝑎2
, 𝐿𝑀 =
4
𝐿𝑀∙𝑆𝐶
𝐿𝐶
=
𝑎 √2
2
. Применив метод площадей для треугольника
𝑎 √6
3
.
Прямоугольные треугольники 𝐿𝑀𝐶, 𝐿𝐻𝑂 подобны по острому углу: угол
𝐿 – общий.
𝑂𝐻
𝑆𝐻
𝐿𝑀
𝐿𝐻
1
=
𝐶𝑀
𝑂𝐻
, 𝑂𝐻 =
𝐶𝑀∙𝐿𝐻
𝐿𝑀
=
𝑎 √6
12
.
= , следовательно, центр сферы делит высоту тетраэдра в отношении
4
3:1, считая от вершины.
Ответ:
𝑎 √6 𝑎 √6
3
,
12
, 3:1, считая от вершины.
а)
В правильный тетраэдр 𝑆𝐴𝐵𝐶 вписана сфера с центром в точке 𝑂.
Через каждые три точки касания проходит плоскость. Докажите, что эти
плоскости параллельны граням тетраэдра. (Рисунок 4)
Рисунок 4
Доказательство:
Так как тетраэдр 𝑆𝐴𝐵𝐶 правильный, то точки 𝑃, 𝑄, 𝑇, 𝐹 касания сферы
граней 𝑆𝐴𝐵, 𝑆𝐵𝐶, 𝑆𝐴𝐶, 𝐴𝐵𝐶 соответственно отсекают на апофемах тетраэдра
равные отрезки. Следовательно, высота тетраэдра 𝑆𝑃𝑄𝑇 проецируется в центр
𝐷 окружности, описанной около треугольника 𝑃𝑄𝑇, которая является сечением
сферы. Отрезок 𝐷𝑂 также перпендикулярен плоскости 𝑃𝑄𝑇. Следовательно, 𝑆𝐷
и 𝐷𝑂 перпендикулярны плоскости 𝑃𝑄𝑇 и проходят через точку 𝐷. Значит,
точки 𝑆, 𝐷, 𝑂 лежат на одной прямой – высоте тетраэдра 𝑆𝐴𝐵𝐶 и она
перпендикулярна плоскости 𝑃𝑄𝑇. Плоскости 𝑃𝑄𝑇 и 𝐴𝐵𝐶 перпендикулярны
высоте тетраэдра, а значит, параллельны друг другу. Так как тетраэдр 𝑆𝐴𝐵𝐶
правильный, то все плоскости, проходящие через каждые три точки касания
вписанной сферы, параллельны граням тетраэдра 𝑆𝐴𝐵𝐶.
б)
В правильный тетраэдр 𝑆𝐴𝐵𝐶 вписана сфера с центром в точке 𝑂.
Через каждые три точки касания проходит плоскость. Найдите длины ребер
образовавшихся тетраэдров, если 𝑆𝐴 = 𝑎. (Рисунок 5)
Рисунок 5
Решение:
Точки касания являются проекциями центра вписанной сферы на грани
тетраэдра и совпадают с центрами вписанных окружностей. А так как
треугольники правильные, то эти точки также являются точками пересечения
медиан, а значит, делят их в отношении 2:1, считая от вершины. Следовательно,
плоскости отсекают тетраэдры подобные данному с коэффициентом подобия
2
и длины их ребер равны 𝑎.
3
Ответ:
2
3
𝑎.
2
3