Уроки 15-16 Тема урока: «Медианы, биссектрисы и высоты треугольника. Свойства равнобедренного треугольника» I. Реши задач по готовым чертежам B 1. Дано: BDC BEA, AD EC, BD BE а) Доказать: ABD BEC. б) Найти BAD , если BCE 40 . A D C E В 2. Дано: AB AD, AC AE , D BAD CAE Верно ли, что BC AE, MCA KEA ? А С М Е К II. Самостоятельная работа B 1. Дано: BEC DFA (смотри рисунок) Доказать: а) ABC CDA; б) AEB CFD. C F E A D 1 B 2. Дано: BO OD, AO OC (смотри рисунок) Сколько пар равных треугольников на рисунке? Запишите все пары и докажите равенство треугольников. C O A D Решение задач самостоятельной работы 1. а) 1) BEC DFA (по условию задачи) BC AD, BE FD, BCA CAD, CBE FDA. 2) BC AD, BCA CAD, AC общая сторона ABC CDA (по двум сторонам и углу между ними). б) 1) ABC CDA AB CD, ABC CDA. 2) ABC CDA, CBE FDA, ABE ABC CBE , CDF CDA FDA ABE CDF. 3) AB CD, BE FD, ABE CDF AEB CFD (по двум сторонам и углу между ними). 2. BOC DOA, BOA DOC , ABC CDA, ABD CDB. Равенство треугольников докажите самостоятельно. III. Теоретические вопросы, изучаемые на уроке 1. Понятие перпендикуляра к прямой. Теорема о существовании и единственности перпендикуляра к прямой, проходящего через данную точку. 2. Понятие медианы, биссектрисы и высоты треугольника. Свойства медиан, биссектрис и высот треугольника (без доказательства). 3. Понятие равнобедренного треугольника. Понятие равностороннего треугольника. Свойства равнобедренного треугольника. Материал по рассматриваемым на уроках вопросам можно найти в учебной литературе (ее список указан ниже): [1]: глава II §2 (п.п.16-18). IV. Практические задания 1. Начертите остроугольный, прямоугольный и тупоугольный треугольники. С помощью масштабной линейки отметьте середины сторон и проведите медианы в каждом треугольнике. 2. Начертите остроугольный, прямоугольный и тупоугольный треугольники. С помощью линейки и транспортира проведите биссектрисы каждого треугольника. 2 3. Начертите остроугольный, прямоугольный и тупоугольный треугольники. С помощью чертежного угольника проведите высоты каждого треугольника. Выводы из практических заданий: 1) Медианы треугольника пересекаются в одной точке. Точка пересечения медиан треугольника находится внутри треугольника. 2) Биссектрисы треугольника пересекаются в одной точке. Точка пересечения биссектрис треугольника находится внутри треугольника. 3) Высоты треугольника или их продолжения пересекаются в одной точке. Точка пересечения высот или их продолжений в остроугольном треугольнике находится внутри треугольника, в прямоугольном треугольнике совпадает с вершиной прямого угла, в тупоугольном треугольнике находится за пределами треугольника. Эти утверждения нужно запомнить. Доказаны они будут в 8 классе. V. Задачи для решения в классе по теме «Медианы, биссектрисы и высоты треугольника. Свойства равнобедренного треугольника» 1. [1]: №109 Решение: 1) Так как по условию задачи AB AC, то P(ABC ) AB AC BC 2 AB BC 32 см. 1 2) P(ABM ) AB AM MB AB AM BC 24 см, 2 откуда 2 AB 2 AM BC 48 см. 3) Так как 2 AB BC 32 см и 2 AB 2 AM BC 48 см, то 32 2 AM 48 см, AM 8 см. Ответ: 8 см. A B 2. [1]: №110 Доказательство: Пусть дан произвольный треугольник MNK , в котором медиана MC является и высотой. Докажем, что MN MK . Это и будет означать, что треугольник MNK равнобедренный. Рассмотрим треугольники MNC и MKC. NC CK , MCN MCK , MC общая сторона. Следовательно, NMC KMC (по двум сторонам и углу между ними). Так как NMC KMC , то MN MK . Значит, треугольник MNK равнобедренный, что и требовалось доказать. M C M N C K Итак, если медиана треугольника совпадает с его высотой, то он является равнобедренным. 3 B 3. [1]: №114 Доказательство: Пусть ABC A1 B1C1 , BM и B1M1 медианы к равным сторонам. Докажем, что BM B1M1. ABC A1 B1C1 AB A1 B1 , A A1 , AC A1C1. AC A1C1 , AM A M C B1 1 1 AC , A1 M 1 A1C1 AM A1 M 1 . 2 2 AM A1M1 , AB A1 B1 , A A1 ABM A1 B1M1 (по двум сторонам и углу между ними) BM B1M1 , что и требовалось доказать. A1 M1 C1 Итак, в равных треугольниках медианы, проведенные к равным сторонам, равны. 4. [1]: №116 Доказательство: По условию задачи ABC равносторонний. Значит, AB BC AC. AB BC A C (по свойству равнобедренного треугольника). AB AC B C (по свойству равнобедренного треугольника). A C , B C A B C , что и требовалось доказать. B A C Итак, в равностороннем треугольнике все углы равны. 5. [1]: №119 Решение: 1) DEK равнобедренный, EF биссектриса, проведенная к основанию. Следовательно, EF медиана и высота DEK (по свойству равнобедренного треугольника). 2) EF медиана DEK KF 0,5DK 0,5 16 8 см. 3) EF высота DEK EFD 90. 4) EF биссектриса DEK DEK 2DEF 2 43 86. Ответ: 8 см; 86 ; 90 . E D F K 4 VI. Домашнее задание 1. Теория: [1]: глава II, §2, п.п. 16-18, вопросы 5-13. 2. Задачи: [1]: №104, №106, №113, №115, №117, №118. Список литературы для учащихся: 1. Геометрия, 7-9: учебник для общеобразовательных учреждений/(Л. С. Атанасян, В. Ф. Бутузов, С. Б. Кадомцев и др.). - 18-е изд. - М.: Просвещение, 2008. 2. Зив Б. Г. Геометрия: дидактические материалы для 7 класса/Б. Г. Зив, В. М. Мейлер.-13-е изд. - М.: Просвещение, 2007. 5