От оригами к современным геометриям

Шеремет Г.Г.
От оригами к современным геометриям
(из опыта работы в гимназии №17)
Эти упражнения детских садов не только дают
интересное занятие мальчикам и девочкам, но и
подготавливают их ум к надлежащей оценке науки и
искусства.
С. Роу. Геометрические упражнения с куском бумаги. Одесса, 1910.
… трудность заключается в переходе от предмета к
знанию, который совершается посредством размышления.
Гегель.
… во всех случаях важно как можно лучше понимать
то, что ты делаешь.
Ж. Дьедоне.
Традиции преподавания способствуют рассечению
живого тела математики на изолированные органы,
жизнеспособность которых приходится поддерживать
искусственно.
А.И. Кострикин, Ю.И. Манин.
В маленьком квадрате бумаги, используемом для складывания
фигурок оригами, содержится бесконечное множество скрытых
возможностей.
Спрятанные,
едва
уловимые,
они
принимают
разнообразные формы – от выразительных животных до хитроумно
смоделированных геометрических фигур. В прошлом люди, увлечённые
оригами, делились на две категории: тех, кто был в поисках лирических
форм, и тех, кто пытался следовать геометрическим принципам. Однако
эти два принципа в оригами, соединяясь, дают наиболее интересные
результаты. Изучение превращений квадратного листа бумаги – один из
наиболее интересных путей не только к изучению серьёзных вопросов
классической евклидовой геометрии. оригами открывает дорогу и к
новейшим геометрическим исследованиям, связанным с неевклидовыми
геометриями, и в первую очередь с фрактальной геометрией.
Гимназия №17 в рамках дополнительного образования открыла своим
учащимся широкий путь от маленького квадратного листа бумаги к
современной математике. Это и кружок «Оригами» для учащихся
начальных классов, и серия кружков «По следам Пифагора» для учащихся
среднего звена, и серия спецкурсов «Многообразие геометрий» для
старшеклассников. Постараемся дать краткий обзор основных этапов этого
пути.
Первый этап – знакомство с искусством оригами. Основная задача
этого этапа – научиться читать схемы и по готовым схемам собирать
известные в оригами фигуры (см. [1], [2]). При этом происходит первое
знакомство с геометрическими фигурами (основные виды треугольников и
четырёхугольников) и практическое изучение свойств этих фигур.
Второй этап - творческое применение простейших оригамских фигур
для создания как плоских композиций, связанных с правильными
паркетами, периодическими и непериодическими покрытиями плоскости
различными многоугольниками, орнаментами на плоскости, так и
объёмных композиций, связанных с правильными, полуправильными и
другими видами многогранников.
Искусство оригами превращает изучение правильных паркетов в
удивительный,
творческий
процесс.
Каждый
из
правильных
многоугольников, представленный в правильных паркетах, имеет
разнообразные воплощения в оригами. Например, на рисунках 1 и 2 – два
различных образа правильного восьмиугольника.
рис. 1
рис. 2
рис. 3
рис. 4
Поэтому несмотря на то, что правильных паркетов с точки зрения
математики – конечное число (11), оригами позволяет создавать
бесконечное число вариаций на тему правильных паркетов. Например, на
рисунке 3 и 4 даны оригамская вариация и геометрическая схема одного из
паркетов. (Предлагаемый Вашему вниманию паркет собран студенткой 4
курса математического факультета Новиковой Натальей.)
Кусудамы – одни из самых древних и декоративных традиционных
японских изделий в технике оригами. «Кусури» на японском языке
означает «лекарство», «тама» – «шар». Следовательно, слово «кусудама»
можно перевести как «лекарственный шар». Вместе с тем так называются
декоративные шарообразные конструкции, собранные из бумажных
цветков, розеток или модулей другой формы ([3], [4]).
При чём же здесь многогранники? Оказывается, то, что оригамисты
называют «шарообразной конструкцией», с точки зрения геометрии
оказывается многогранником, который можно вписать в шар. Для этого
удобнее всего использовать архимедовы и платоновы тела. Проведённый
нами анализ показывает, что в традиционном оригами кусудамы чаще
всего строятся на основе только трёх многогранников: куб, усечённый куб
и додекаэдр. Оставшиеся три платоновых и тринадцать архимедовых тел
дают богатые возможности для творчества.
рис. 6
рис. 5
На рисунках 5 и 6 приведены две модели, построенные на основе
усечённого икосаэдра.
Так как при создании геометрических композиций как на плоскости,
так и в пространстве, необходимо, чтобы входящие в неё многоугольники
имели равные стороны, то становится необходимым следующий этап.
Третий этап – геометрический анализ превращений квадратного
листа бумаги, происходящих при складывании фигурки. На этом этапе
работу с квадратом можно назвать «Поле чудес»: разворачиваем фигуру, а
там…. Среди разнообразных линий, получающихся в результате
перегибания квадрата, выделяется решётка, образованная линиями,
параллельными сторонам квадрата, напоминающая решётку в тетради по
математике. Почему тетради по математике в клетку? Геометрия
клеточной бумаги – раздел геометрии, позволяющий при максимальном
использовании тетрадных клеточек от руки строить чертежи, точность
которых во многих случаях может превосходить точность чертежей,
построенных с помощью чертёжных инструментов.
Начало работы – конкурс рисунков на основной сетке, которая
получается при разбиении квадрата.
рис. 7
рис. 6
Автор – ученик 2 «б» класса
Автор – ученица 2 «а» класса
Денис Тетерин
Безматерных Мария
При этом во всех рисунках выделяются квадраты, прямоугольные
равнобедренные треугольники, и прямоугольные треугольники, катеты
которых лежат на линиях сетки. Поэтому следующая серия чертежей
связана с удивительной фигурой геометрии – «Пифагоровыми штанами».
рис. 9
рис. 8
Рисунки 8 и 9 представляют собой классические шаржи к чертежу
теоремы Пифагора.
рис. 10
рис. 11
1
Площади квадратов, построенных S  12   4  1
, где 12 – число узлов
на катетах, считаются легко (4 и 9).
2
В
квадрате,
построенном
на внутри квадрата, 4 – число узлов на
его границе
гипотенузе,
выделим
части,
составляющие
единичные
квадратики ( S = 13).
(Рисунки 10 и 11 выполнены учениками 7 «а» класса Фёдоровым
Михаилом и Шенкманом Романом).
Решётчатые многоугольники позволяют проводить подсчёт площадей
по узлам решётки. Пифагорова фигура – девятиугольник. Появляется
первая формулировка теоремы Пифагора и первое её доказательство.
Пифагоровы треугольники – один из основных инструментов
оригаметрии, поэтому их изучению уделяется большое внимание.
Основной результат: на множестве прямоугольных треугольников
пифагоровы треугольники играют такую же роль, как рациональные числа
на множестве всех действительных чисел. В частности, это означает, что
каким бы ни был данный угол, мы можем с помощью бумаги в клеточку
построить его с любой степенью точности. Точно так же любой угол мы
можем построить достаточно точно путём перегибания квадратного листа
бумаги.
Четвёртый этап – этап самостоятельных разработок в оригами.
Теорема Пифагора и свойства пифагоровых треугольников позволяют
доказать и обобщить центральную теорему оригаметрии – теорему Хага
([5]) о делении стороны квадрата на три равные части.
На
рисунке
14,
иллюстрирующем
теорему
Хага,
треугольники,
отмеченные
звёздочкой,
пифагоровы треугольники со
сторонами 3, 4, 5. Развитие
теоремы Хага включает в себя
перемещение
центральной
точки М на сторону бумажного
листа.
рис. 14
Пусть точка М делит
сторону DC в рациональном
отношении, т.е. МC = x есть
рациональное число.
CK  y ,
Пусть
тогда
KB  KM  1  y .
По теореме
Пифагора из треугольника
1  x2
.
2
Обозначим DL  z , ML  l .
MCK находим y 
Из подобия треугольников
МСК и LDM находим, что
рис. 15
2x
x  1  x 
1 x
, l
, LN  1  ML 
. Из подобия треугольников МСК и
1 x
1 x
1 x
1  x 2 . Итак, если сторону квадрата разделить
LNS следует, что AS  NS 
2
в отношении x : 1  x , то мы можем построить и такие части стороны:
2
z
x  1  x  1  x  2
2x
1 x2
,
,
,
. Полученные результаты сведём в таблицу:
1 x
2
1 x
2
x
1
2
1
3
1
4
1 x2
2
3
8
4
9
15
32
2x
1 x
2
3
1
2
2
5
x  1  x 
1 x
1
6
1
6
3
20
1  x 2
2
1
8
2
9
9
32
1
5
1
6
1
7
12
25
35
72
24
49
1
3
2
7
1
4
2
15
5
42
3
28
8
25
25
72
18
49
И так далее. Теорема Пифагора и прямоугольные треугольники с
рациональными сторонами позволили найти способ деления стороны
квадрата на любое количество равных частей. В таблице числа,
обведённые в рамочку, показывают начало складывания, а в
заштрихованных клетках выделены наиболее интересные результаты,
получающиеся при этом складывании.
Для того, чтобы достаточно точно построить методами перегибания
квадратного листа бумаги нужный нам острый угол, можно или
приблизить
соответствующий
ему
прямоугольный
треугольник
Пифагоровым треугольником, или приблизить тангенс данного угла
рациональным числом. Для дальнейших построений нам будут нужны
тангенсы половинных углов правильных многоугольников. Результаты,
которые применялись при разработке и построении моделей, следующие:
4
12
4
, tg 67,5  , и т.д.
(В самом деле, arctg  2944 / 42 // ,
7
5
7
12
arctg
 6722 / 48 // ). Проведённые вычисления позволяют разработать и
5
tg 30 
построить методами оригами не только рёберные модели правильных и
полуправильных многогранников, но и рёберную модель любого
многогранника, встречающегося при решении задач. Эти модели
интересно и удобно использовать при решении задач, в которых в данный
многогранник вписывается прямая, плоскость, другой многогранник,
сфера, …
Пятый этап – продолжение исследований превращений квадратного
листа бумаги методами не только евклидовой геометрии.
Любой правильный и полуправильный многогранник можно
поместить внутри сферы таким образом, что его центр совпадёт с центром
сферы. Спроектировав затем из центра на поверхность сферы рёбра
многогранника, мы получим сеть, состоящую из дуг больших окружностей
сферы. Эта сеть разбивает сферу на сферические многоугольники, каждый
из которых соответствует одной из граней многогранника. Плоскости
симметрий многогранника добавят к разбиению новые дуги. С учётом этих
новых дуг поверхность сферы будет разделена на сферические
треугольники. Сферические модели правильных и полуправильных
многогранников можно построить из бумаги с помощью клея. Наиболее
сложная часть в построении модели – математические вычисления. Когда
все необходимые углы вычислены, для построения модели нужны только
желание и терпение. Рассмотрим сказанное на примере построения
сферической модели икосододекаэдра.
В вершине икосододекаэдра сходится 2 треугольника и два
пятиугольника. У этого многогранника количество треугольных граней
равно 20 (как у икосаэдра), а количество пятиугольных граней равно 12
(как у додекаэдра). Поэтому при центральном проектировании
поверхность сферы разбивается на сеть из 20 треугольников и 12
пятиугольников. Вычислим углы этих сферических многоугольников.
Пусть углы сферического треугольника равны A , а пятиугольника - B ,
причём

3
 A   ,
3
 B   (рис. 22).
5
Стороны
треугольника
и
пятиугольника
равны,

следовательно,
и
cos   cos  .
Отсюда
Решая
рис. 22
систему,
2A  2B  2 ;


2
B
 cos 2
 cos A  cos 2 A cos
5
2 .


2

B
sin A
sin 2

2

находим
A  63,4349...  6326 / 06 // ... ;
B  116,5650...  11633 / 54 // ... .
рис. 23
рис. 24
Разбиваем каждый треугольник
осями
симметрий
на
шесть
треугольников. По двойственной
теореме
косинусов
находим
/
//
  1048 44 ... ,   18 ,   2054 /18 // ... .
Строим развёртку сферического
треугольника (рис. 23). Таких
треугольников
для
построения
сферической
модели
икосододекаэдра понадобится 120
штук.
Разбиваем каждый пятиугольник
осями
симметрий
на
10
треугольников.
Для
этих
/
 1  2633 54 // ... ,
треугольников
Строим
 1  3143 / 57 // ... .
 1  18 ,
развёртку
сферического
треугольника (рис. 24). Таких
треугольников
для
построения
модели понадобится 120 штук.
Склеивая из соответствующих
треугольников сначала сферические
правильные
треугольники
и
пятиугольники, а затем и эти
многоугольники
между
собой,
получаем
сферическую
модель
икосододекаэдра (рис. 17).
рис. 17
1.
2.
3.
4.
5.
Список литературы:
Афонькин С.Ю., Афонькина Е.Ю. Весёлые уроки оригами в школе и
дома: Учебник. – СПб.: Издательский дом «Литера», 2001. – 208 с.: ил.
Афонькин С.Ю., Афонькина Е.Ю. Игры и фокусы с бумагой. – М.:
Рольф, АКИМ, 1999. – 192 с., с ил.
Афонькин С.Ю., Афонькина Е.Ю. Волшебные шары – кусудамы. –
СПб.: Издательский дом «Кристалл», 2001. – 160с., ил.
Афонькин С.Ю., Афонькина Е.Ю. Энциклопедия оригами. – СПб.: ООО
«Издательский дом «Кристалл»», М.: ЗАО «Издательский дом
ОНИКС», 2000. – 272 с., ил.
Кунихико Касахара, Тоши Такахама. Оригами для знатоков. – СПб.:
ALSIO, 1988.