deltoid

Конкурс научных проектов школьников в рамках краевой научнопрактической конференции «Эврика» Малой академии наук учащихся Кубани
«ДЕЛЬТОИД»
Научно-исследовательский проект
Выполнен учащейся
9 класса МБОУ СОШ № 71,
муниципального образования
город Краснодар
Белинской Дарьей
Вадимовной
Научный руководитель:
учитель математики
МБОУ СОШ № 71
Деккер Галина Федоровна
Краснодар 2012
Аннотация
Белинская Дарья Вадимовна, Краснодарский край, г. Краснодар,
МБОУ СОШ № 71, 9 класс, «Дельтоид».
Научный руководитель: Деккер Галина Федоровна,
учитель математики МБОУ СОШ № 71
Изучая тему «Четырехугольник» мы решили, что четырехугольник дельтоид тоже может
быть интересен для изучения. Поэтому целью данной исследовательской работы «Дельтоид»
было
показать
широкие
возможности
творческой
деятельности
ученика,
которые
открываются при изучении этой фигуры.
Мы поставили задачу дать определение фигуры, определить ее свойства и признаки,
следя за их полнотой и непротиворечивостью; привести доказательства свойств и признаков
и , наконец, придумать достаточное количество интересных, разнообразных, разноуровневых
задач, дифференцированных по их сложности. Это оказались задачи на построение
дельтоида, задачи исследовательского характера, а также задачи на соотношение дельтоида,
окружности и четырехугольника.
Данная работа пример исследовательской деятельности ученика. Она позволила
ученику глубже осознать такие понятия как определения, свойства, признаки фигуры.
Познакомила ученика с профессией составителя текстовых задач учебника. Работа позволила
исследовать и сам учебник, чтобы найти задачи в чертежах в которых есть дельтоид.
Даша развивала свои математические способности
при доказательстве ее же
составленных определений, свойств, признаков и при решение авторских задач.
Белинская Дарья Вадимовна, Краснодарский край, г. Краснодар,
МБОУ СОШ № 71, 9 класс, «Дельтоид».
Научный руководитель: Деккер Галина Федоровна,
учитель математики МБОУ СОШ № 71
ОГЛАВЛЕНИЕ:
1.Введение:
а) Причины возникновения данного исследования. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .3-4
б) Историография дельтоида. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .5
2. Основная часть:
1) Определение дельтоида. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .7
2) Свойства дельтоида. . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .7
3) Признаки дельтоида. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .8
4) Задачи по теме «Дельтоид» . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .8-9
3. Заключение . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
4. Приложение 1 - Доказательства свойств дельтоида. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11-15
5. Приложение 2 - Доказательство признаков дельтоида. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .16-17
6. Приложение 3 - Решения задач. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18-31
7. Приложение 4 - Дельтоид как часть геометрического чертежа в задачах из учебника
Л.С. Атанасяна «Геометрия 7-9». . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32-33
8. Список используемой литературы. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34
1.Введение.
Белинская Дарья Вадимовна, Краснодарский край, г. Краснодар,
МБОУ СОШ № 71, 9 класс, «Дельтоид».
Научный руководитель: Деккер Галина Федоровна,
учитель математики МБОУ СОШ № 71
а. Причины возникновения данного исследования.
При изучении темы: «Четырёхугольник» дельтоид, как геометрическая фигура, не
рассматривается. Привычные школьные справочники Цыпкина А.Г., Гусева В.А. и
Мордковича А.Г., а также знаменитый справочник Бронштейна не содержат никаких
сведений о дельтоиде. Между тем эту фигуру часто встречаем в окружающем мире:
а) В биологии (Если схематизировать объекты);
1) Крона дерева туя
3) Лист дерева
2) Тело рыбы
4) Соединённые человеческие руки
5) Человеческий мозжечок имеет рисунок, который учёные называют (деревом жизни),
составной частью которого являются дельтоиды
6) Форма глаза, форма носа
Белинская Дарья Вадимовна, Краснодарский край, г. Краснодар,
МБОУ СОШ № 71, 9 класс, «Дельтоид».
Научный руководитель: Деккер Галина Федоровна,
учитель математики МБОУ СОШ № 71
б) В геологии:
Наблюдая за поверхностью открытого грунта отмечаем, что после оттаивания, его
поверхность покрывается дельтоидами.
Часто находят метеориты, имеющие форму дельтоида.
в) В физике:
Составной частью летательных аппаратов служит дельтоид. Например: части ракет,
дельтапланов, самолётов. Изображение воздушного змея выглядит так:
г) На уроках математики дельтоид встречается в задачах №123, №142, №172, №175, №247,
учебника по геометрии 7-9 Л.С. Атанасян. Также в сборниках для подготовки к ГИА 9 класс
Белинская Дарья Вадимовна, Краснодарский край, г. Краснодар,
МБОУ СОШ № 71, 9 класс, «Дельтоид».
Научный руководитель: Деккер Галина Федоровна,
учитель математики МБОУ СОШ № 71
под редакцией Ф.Ф Лысенко, 5 вариант 22 задание, как часть чертежа. В 2011 году в краевой
работе для 9 классов в задании 2 был дельтоид , и ребята приняли его за параллелограмм.
б. Историография дельтоида.
Белинская Дарья Вадимовна, Краснодарский край, г. Краснодар,
МБОУ СОШ № 71, 9 класс, «Дельтоид».
Научный руководитель: Деккер Галина Федоровна,
учитель математики МБОУ СОШ № 71
В настоящее время мало известных работ ученых и исследователей, которые занимаются
исследованием дельтоида. На самом деле почти нет, но я нашла известную работу Я.
Штейнера с созвучным названием «Дельтоида»
Дельтоида (кривая Штейнера) — плоская алгебраическая кривая, описываемая
фиксированной точкой окружности, катящейся по внутренней стороне другой окружности,
радиус которой втрое больше радиуса первой.
Дельтоида является частным случаем гипоциклоиды при k = 3.
Название кривая получила за сходство с греческой буквой Δ. Её свойства впервые
изучались Л. Эйлером в XVIII веке, а затем Я. Штейнером в XIX.
2.Основная часть.
1. Определение дельтоида
Белинская Дарья Вадимовна, Краснодарский край, г. Краснодар,
МБОУ СОШ № 71, 9 класс, «Дельтоид».
Научный руководитель: Деккер Галина Федоровна,
учитель математики МБОУ СОШ № 71
Дельтоид - выпуклый четырёхугольник, у которого есть только две пары равных смежных
сторон.
Главная диагональ дельтоида это - линия соединяющая вершины не равных углов дельтоида.
Неглавная диагональ дельтоида - назовем вторую диагональ дельтоида.
Средняя линия дельтоида это – прямая соединяющая середину смежных сторон дельтоида.
2. Свойства дельтоида.(Доказательства свойств - приложение 1)
2.1 Неглавная диагональ делит дельтоид на два равнобедренных треугольника.
2.2 Углы, лежащие по разную сторону от главной диагонали равны.
2.3 Главная диагональ является биссектрисой углов дельтоида.
2.4 Неглавная диагональ дельтоида точкой пересечения с главной диагональю, делится
пополам.
2.5 Диагонали дельтоида взаимно перпендикулярны.
2.6 Средние линии дельтоида образуют прямоугольник, P которого равен сумме диагоналей
данного дельтоида.
2.7. В дельтоид всегда можно вписать единственную окружность
2.8 Площадь дельтоида определяется по формуле: 0,5 d1d2, где d1 и d2 - диагонали.
2.9 Периметр дельтоида определяется по формуле: 2(а+в), где а и в смежные неравные
стороны дельтоида.
3. Признаки дельтоида.(Доказательства признаков – приложение 2)
Белинская Дарья Вадимовна, Краснодарский край, г. Краснодар,
МБОУ СОШ № 71, 9 класс, «Дельтоид».
Научный руководитель: Деккер Галина Федоровна,
учитель математики МБОУ СОШ № 71
3.1 Если в четырехугольнике одна из двух взаимно перпендикулярных диагоналей является
биссектрисой, не равных противоположных углов, а другая не является биссектрисой другой
пары углов, то этот четырехугольник- дельтоид.
3.2 Если в четырехугольнике только одна из диагоналей точкой пересечения с другой
диагональю делится пополам и перпендикулярна ей, то этот четырехугольник-дельтоид.
4. Задачи по теме «Дельтоид» ( Решения задач – приложение 3)
4.1 Построить дельтоид по двум неравным сторонам и углу между ними.
4.2 Построить дельтоид по стороне, главной диагонали и углу между ними.
4.3 Построение дельтоида по двум диагоналям: АС, BD, причем главная диагональ в точке
пересечения делится в отношении 2:3.
4.4 Построить дельтоид по двум данным равным смежным сторонам и тупому углу между
ними, причём диагонали этого дельтоида равны.
4.5 Построить дельтоид по двум равным диагоналям, одна из которых в точке пересечения
делится в отношении 2:7.
4.6 Построить дельтоид по двум неравным сторонам и главной диагонали.
4.7 Построить дельтоид по двум равным сторонам, углу между ними и главной диагонали.
4.8 Построить дельтоид, вписанный в окружность данного радиуса, если известно, что его
диагонали относятся, как 2:3
4.9 Построить дельтоид по двум неравным сторонам , диагонали , выходящей из точки их
пресечения и углу между стороной и диагональю.
4.10 Исследовать возможность получения дельтоида из различных типов треугольников,
используя прямые содержащие стороны треугольников как оси симметрии.
4.11 Провести прямую проходящую через его вершину и делящую его на две равновеликие
части.
Белинская Дарья Вадимовна, Краснодарский край, г. Краснодар,
МБОУ СОШ № 71, 9 класс, «Дельтоид».
Научный руководитель: Деккер Галина Федоровна,
учитель математики МБОУ СОШ № 71
4.12 Разделить дельтоид на три равновеликие части прямой проходящей через точку
пересечения его равных сторон.
4.13 Доказать что точка пересечения диагоналей описанного вокруг окружности дельтоида
совпадает с точкой пересечения диагоналей четырехугольника вершинами которого служат
точки касания сторон дельтоида с окружностью.
4.14 найти стороны и диагонали дельтоида если его периметр равен 116 см. разность
боковых сторон равна 3 см. и главная диагональ точкой пересечения диагоналей делится в
отношении 2:1.
4.15 Доказать, что отрезки соединяющие середину его главной диагонали с серединами его
сторон, делит дельтоид на четыре равновеликих четырехугольника.
Белинская Дарья Вадимовна, Краснодарский край, г. Краснодар,
МБОУ СОШ № 71, 9 класс, «Дельтоид».
Научный руководитель: Деккер Галина Федоровна,
учитель математики МБОУ СОШ № 71
3. Заключение.
К работе над данным исследованием меня подтолкнула изящная красота дельтоида.
Меня увлекло то, что сама фигура неизвестна в школьном курсе математики и мало известна
в математической литературе, а встречается на каждом шагу. При всей кажущейся простоте
этой фигуры, я придумала много занимательных, увлекательных и достаточно трудных задач.
Вместе с тем, я составила задачи посильные как семиклассникам, так и девятиклассникам, а
так же задачи для внеклассной работы.
Белинская Дарья Вадимовна, Краснодарский край, г. Краснодар,
МБОУ СОШ № 71, 9 класс, «Дельтоид».
Научный руководитель: Деккер Галина Федоровна,
учитель математики МБОУ СОШ № 71
Приложение 1 - Доказательства свойств дельтоида.
2.1 Неглавная диагональ делит дельтоид на два равнобедренных треугольника.
Дано: ABCD- дельтоид, AC- неглавная диагональ
Доказать: ABC и ADC - равнобедренные
Доказательство:
1) По определению, дельтоид - это четырёхугольник, у которого есть только две пары равных
смежных сторон, следует AB=BC, AD=DC.
2) Треугольник называется равнобедренным, если две его стороны равны, AB=BC, значит
ABC- равнобедренный; AD=DC, значит
ADC- равнобедренный. Ч.т.д.
2.2 Углы, лежащие по разные стороны от главной диагонали равны.
Дано: ABCD- дельтоид, BD-главная диагональ
Доказать:
A=
C
Доказательство:
1) По определению дельтоида - выпуклый четырёхугольник, у которого есть только две пары
равных смежных сторон. Значит AB=BC, AD=DC.
2)
А входит в
3) Рассмотрим
BAD,
C входит в
BAD и
BCD:
BCD.
1) AB=BC, по доказанному
2) AD=DC, по доказанному
3) BD - общая, значит
А=
С. Ч.т.д.
BAD=
BCD, по трём сторонам (III приз.). Значит
Белинская Дарья Вадимовна, Краснодарский край, г. Краснодар,
МБОУ СОШ № 71, 9 класс, «Дельтоид».
Научный руководитель: Деккер Галина Федоровна,
учитель математики МБОУ СОШ № 71
2.3. Главная диагональ является биссектрисой углов дельтоида.
Дано: ABCD - дельтоид, BD - главная диагональ,
Доказать:BD- биссектриса,
1=
2,
3=
4
Доказательство:
1)
1и
3 входят в BAD,
2) Рассмотрим
BAD и
2и
4 входят в
BCD.
BCD:
1) АВ=ВС
по определению дельтоида
2) AD=CD
3) BD- общая,
1= 2,
BAD=
BCD, по трём сторонам(III приз.), значит
3= 4, BD- делит углы пополам т.е. является биссектрисой. Ч.т.д.
2.4. Неглавная диагональ дельтоида точкой пересечения с главной диагональю, делится
пополам.
Дано: ABCD- дельтоид, AC-неглавная диагональ,
BD- главная диагональ.
Доказать: АО=ОС
Доказательство:
1) По свойству 3.1, неглавная диагональ дельтоида, делит его на два равнобедренных
треугольника АВС и
АDC: АВ=ВС, AD=DC
2) По свойству 3.3, главная диагональ дельтоида является биссектрисой:
1=
2,
3=
4.
3) Биссектриса ВО проведенная из вершины равнобедренного треугольника является
медианой , то АО=ОС. Ч.т.д.
Белинская Дарья Вадимовна, Краснодарский край, г. Краснодар,
МБОУ СОШ № 71, 9 класс, «Дельтоид».
Научный руководитель: Деккер Галина Федоровна,
учитель математики МБОУ СОШ № 71
2.5 Диагонали дельтоида взаимно перпендикулярны.
Дано: ABCD- дельтоид, АС- неглавная диагональ,
BD- главная диагональ
Доказать: АС ┴ BD
Доказательство:
1) По свойству 3.1, неглавная диагональ дельтоида, делит его на два равнобедренных
треугольника
АВС и
АDC: АВ=ВС, AD=DC
2) По свойству 3.3, главная диагональ дельтоида является биссектрисой:
1=
2,
3=
4.
3) Биссектриса ВО проведенная из вершины равнобедренного треугольник является
медианой и высотой.
4), т.е. ВО ┴ АС следовательно АС ┴ BD. Ч.т.д.
2.6 Средние линии дельтоида образуют прямоугольник, периметр которого равен сумме
диагоналей данного дельтоида.
Дано: ABCD- дельтоид, L,E,F,M- середины сторон ( BD=DC,
CE=ED, DF=FA, BM=MA)
Доказать: MDEF- прямоугольник. РMDEF= СА + ВD
Доказательство:
1) ME//BD и LF//DB т.е. ME//LF
2) ML//CA и EF//CA т.е. ML//EF
3) СА┴ВD, значит и ML и ЕF ┴ MЕ и LF, отсюда следует, что
СА и MЕ+ LF= ВD.
1=
2,
3=
4, и ML+ ЕF=
Белинская Дарья Вадимовна, Краснодарский край, г. Краснодар,
МБОУ СОШ № 71, 9 класс, «Дельтоид».
Научный руководитель: Деккер Галина Федоровна,
учитель математики МБОУ СОШ № 71
4) Следует, что РMLEF= ML+ ЕF+ MЕ+ LF= СА + ВD. Ч.т.д.
2.7 В дельтоид всегда можно вписать единственную окружность
Дано: ABCD- дельтоид,
Вписать: окружность (о; r)
Доказательство:
1) Известно, что если суммы длин противоположных сторон выпуклого четырехугольника
равны, то в него можно вписать окружность.
2) По определению дельтоида, это выпуклый четырёхугольник, у которого есть только две
пары равных смежных сторон, следует. Значит АВ+ DC= AD+ ВС.
3) Точка О пересечение биссектрис СО и АО углов С и А. Следует: в дельтоид можно
вписать окружность. Единственную. Ч.т.д.
2.8 Площадь дельтоида определяется по формуле: 0,5 d1d2, где d1 и d2 - диагонали.
Дано: ABCD- дельтоид, d1- главная диагональ,
d2- неглавная диагональ
Доказать: SABCD=0,5d1d2
Доказательство:
1) Рассмотрим
DAB: равнобедренный, АО- высота. Площадь треугольника равна высота
умноженная на половину основания. SBAD= AO d2.
2) Рассмотрим
BCD- равнобедренный, СО- высота. Площадь треугольника равна
произведению высоты на половину основания SВСD= CO d2.
3) SABCD= SBAD+SBCD = AO d2 + CO d2 =0,5d2(AO+CO)= 0,5 d2d1. Ч.т.д.
Белинская Дарья Вадимовна, Краснодарский край, г. Краснодар,
МБОУ СОШ № 71, 9 класс, «Дельтоид».
Научный руководитель: Деккер Галина Федоровна,
учитель математики МБОУ СОШ № 71
2.9 Периметр дельтоида определяется по формуле: 2(а+в), где а и в смежные неравные
стороны дельтоида.
Дано:ABCD- дельтоид, АВ=AD =а , ВС=DC=в
Доказать: РABCD=2(а+в)
Доказательство:
1) Действительно, по определению дельтоид - это выпуклый четырёхугольник, у которого две
пары неравных смежных сторон равны.
2) Значит AB=AD=a; BC=DC=в. Периметр- это сумма всех сторон данной фигуры. Значит
РABCD=2(а+в). Ч.т.д.
Белинская Дарья Вадимовна, Краснодарский край, г. Краснодар,
МБОУ СОШ № 71, 9 класс, «Дельтоид».
Научный руководитель: Деккер Галина Федоровна,
учитель математики МБОУ СОШ № 71
Приложение 2 - Доказательство признаков дельтоида.
3.1 Если в четырехугольнике одна из двух, взаимно перпендикулярных диагоналей является
биссектрисой, не равных противоположных углов, а другая не является биссектрисой другой
пары углов, то этот четырехугольник- дельтоид.
Дано: Четырехугольник ABDC, d1-биссектриса (
d2- не является биссектрисой, d1 ┴ d2,
1= 2),
В= D
Доказать: ABDC- дельтоид
Доказательство:
1. АD входит в
АОD, АВ входит в
АОВ и AO┴DB.
2. Рассмотрим АОD и АОВ:
1) АО - общая
2)
1=
2, т.к. d1-биссектриса по условию,
АОD= АОВ, по катету и прилежащему острому углу, отсюда АD=АВ.
3. DС входит в СОD, ВС входит в
СОВ и CO┴BD.
4. Рассмотрим СОD и СОВ:
1) ОС - общая
2)
3=
4, т.к. d1-биссектриса по условию,
СОD= СОВ, по катету и прилежащему острому углу, отсюда DС=ВС.
5. АDС не равнобедренный, т.к. АD=DС. ABDC- дельтоид по определению.
3.2 Если в четырехугольнике только одна из диагоналей точкой пересечения с другой
диагональю делится пополам и перпендикулярна ей, то этот четырехугольник-дельтоид.
Дано: Четырехугольник ABDC, d1 ┴ d2, АО=ОС
Доказать: ABDC- дельтоид
Белинская Дарья Вадимовна, Краснодарский край, г. Краснодар,
МБОУ СОШ № 71, 9 класс, «Дельтоид».
Научный руководитель: Деккер Галина Федоровна,
учитель математики МБОУ СОШ № 71
Доказательство:
1. АD входит в
АОD, АВ входит в АОВ и AO┴DB.
2. Рассмотрим АОD и АОВ:
1) АО - общая
2)
1=
2, т.к. d1-по первому признаку,
АОD= АОВ, по катету и прилежащему острому углу, отсюда АD=АВ.
3. DС входит в
СОD, ВС входит в СОВ и CO┴DB.
4. Рассмотрим СОD и СОВ:
1) ОС - общая
2)
3=
4 , т.к. d1-биссектриса по свойству 3.1,
СОD= СОВ, по катету и прилежащему острому углу, отсюда DС=ВС.
5. Биссектриса равнобедренного треугольника проведенная из вершины равнобедренного
треугольника является и медианой, следует, АО и СО - медианы, значит DО=ОB.
6. DО- перпендикуляр, не является медианой т.к. АDС не равнобедренный.
ABDC- дельтоид по определению.
Белинская Дарья Вадимовна, Краснодарский край, г. Краснодар,
МБОУ СОШ № 71, 9 класс, «Дельтоид».
Научный руководитель: Деккер Галина Федоровна,
учитель математики МБОУ СОШ № 71
Приложение 3 - Решения задач
4.1 Построить дельтоид по двум неравным сторонам и углу между ними.
Дано:
I Анализ:
Построить:
Дельтоид ABCD
II Построение:
1)
g=
B
2) a=AB, b=BC
3)AC-главная диагональ
4) из В опустим ┴ к АС,
О тоже их пересечет.
5) ВО=ОD
6) АВСD-искомый
III Доказательство: АВСD - Дельтоид по определению, что если в четырехугольнике пара
противоположных углов равна, а другая пара углов не равна, то этот четырехугольникдельтоид.
Белинская Дарья Вадимовна, Краснодарский край, г. Краснодар,
МБОУ СОШ № 71, 9 класс, «Дельтоид».
Научный руководитель: Деккер Галина Федоровна,
учитель математики МБОУ СОШ № 71
IV Можно построить единственный дельтоид.
4.2 Построить дельтоид по стороне, главной диагонали и углу между ними.
Дано:
I Анализ:
Построить:
Дельтоид ABCD
II Построение:
1)
g=
е
2) АВ =а, АС= b
3)
АВС
4)
АDС= АВС
5)АВСD- искомый
III
Доказательство:
АВСD-
дельтоид
по
определению,
что
дельтоид-
четырехугольник у которого пара смежных сторон равны, а другая не равны.
выпуклый
Белинская Дарья Вадимовна, Краснодарский край, г. Краснодар,
МБОУ СОШ № 71, 9 класс, «Дельтоид».
Научный руководитель: Деккер Галина Федоровна,
учитель математики МБОУ СОШ № 71
IV Можно построить единственный дельтоид.
4.3 Построение дельтоида по двум диагоналям: АС, BD, причем главная диагональ в точке
пересечения делится в отношении 2:3.
Дано:
I Анализ:
О- точка их пересечения
СО:ОА=2:3
Построить:
II Построение:
Дельтоид ABCD
1) АС, АЕ=5 частей
2) разделим АС на 5 равных
частей, точка О искомая
3) Построим ВD ┴ АС через точку О
4) ВО= ВD и ОD= ВD
откладываем от точки О
5) АВСD-искомый
Белинская Дарья Вадимовна, Краснодарский край, г. Краснодар,
МБОУ СОШ № 71, 9 класс, «Дельтоид».
Научный руководитель: Деккер Галина Федоровна,
учитель математики МБОУ СОШ № 71
III Доказательство: АВСD-дельтоид, по признаку, если в четырехугольнике только одна из
диагоналей точкой пересечения с другой диагональю делится пополам и перпендикулярна ей,
то этот четырехугольник - дельтоид.
IV Можно построить единственный дельтоид.
4.4 Построить дельтоид по двум данным равным смежным сторонам и тупому углу между
ними, причём диагонали этого дельтоида равны.
Дано:
I Анализ:
а=b
Диагонали d=c
II Построение:
Построить:
Дельтоид ABCD
1)
g=
В
2) АВ=а, ВС=b
3)Разделим АС пополам
и построим через середину
АС ┴ ВD
Белинская Дарья Вадимовна, Краснодарский край, г. Краснодар,
МБОУ СОШ № 71, 9 класс, «Дельтоид».
Научный руководитель: Деккер Галина Федоровна,
учитель математики МБОУ СОШ № 71
4) Отложим ВD=АС
5) АВСD-искомый
III Доказательство: АВСD- дельтоид, по признаку, если в четырехугольнике только одна из
диагоналей точкой пересечения делится пополам и перпендикулярна ей , то этот
четырехугольник-дельтоид.
IV Можно построить единственный дельтоид.
4.5 Построить дельтоид по двум равным диагоналям, одна из которых в точке пересечения
делится в отношении 2:7
Дано:
I Анализ:
а=b
О делит а в
отношении 2:7
Построить:
II Построение:
Дельтоид ABCD
1) АС=а, на луче АЕ 9 частей
2) Разделим АС на 9 равных частей
3) Точка О искомая AО:ОС=7:2
Белинская Дарья Вадимовна, Краснодарский край, г. Краснодар,
МБОУ СОШ № 71, 9 класс, «Дельтоид».
Научный руководитель: Деккер Галина Федоровна,
учитель математики МБОУ СОШ № 71
4) Построим ВD через точку О
5) Отложим ВО=ОD= АС
6)АВСD-искомый
III Доказательство: АВСD-дельтоид, по признаку, если в четырехугольнике только одна из
диагоналей точкой пересечения делится пополам и перпендикулярна ей, то этот
четырехугольник-дельтоид.
IV Можно построить единственный дельтоид.
4.6 Построить дельтоид по двум неравным сторонам и главной диагонали
Дано:
I Анализ:
a
II Построение:
Построить:
Дельтоид ABCD
1) Построим
АВС по трем
сторонам и равный ему
АDС по трем этим же
Белинская Дарья Вадимовна, Краснодарский край, г. Краснодар,
МБОУ СОШ № 71, 9 класс, «Дельтоид».
Научный руководитель: Деккер Галина Федоровна,
учитель математики МБОУ СОШ № 71
сторонам
2) АВСD-искомый
III
Доказательство:
АВСD-дельтоид,
по
определению,
что
дельтоид-
выпуклый
четырехугольник у которого пара смежных сторон равны, а другая не равны.
IV Можно построить единственный дельтоид.
4.7 Построить дельтоид по двум равным сторонам, углу между ними и главной диагонали.
Дано:
I Анализ:
а=b
Построить:
II Построение:
Дельтоид ABCD
1)
АВС=
2) АВ=ВС=а
g
Белинская Дарья Вадимовна, Краснодарский край, г. Краснодар,
МБОУ СОШ № 71, 9 класс, «Дельтоид».
Научный руководитель: Деккер Галина Федоровна,
учитель математики МБОУ СОШ № 71
3) Луч ВD- биссектриса угла g
4) ВD=с
5) АВСD-искомый
III Доказательство: АВСD-дельтоид, по признаку, если в четырехугольнике одна из
диагоналей является биссектрисой не равных противоположных углов, а другая не является
биссектрисой другой пары углов, d1 ┴ d2, то этот четырехугольник-дельтоид.
IV Можно построить единственный дельтоид.
4.8 Построить дельтоид, вписанный в окружность данного радиуса, если известно, что его
диагонали относятся, как 2:3
Дано:
I Анализ:
a
а:b =2:3
Построить:
Дельтоид ABCD
II Построение:
1) Окр. (О;В), ВD -диаметр
Белинская Дарья Вадимовна, Краснодарский край, г. Краснодар,
МБОУ СОШ № 71, 9 класс, «Дельтоид».
Научный руководитель: Деккер Галина Федоровна,
учитель математики МБОУ СОШ № 71
2) е┴ ВD через О
3) Ок=Оf=
4) Построим прямую t║BD и kt , h║BD и kh
5) Окр.(о;В)t=А, Окр.(о;В)h=С
6) АВСD-искомый
III
Доказательство:АВСD-дельтоид,
по
определению,
что
дельтоид-
выпуклый
четырехугольник у которого пара смежных сторон равны, а другая не равны
IV Можно построить единственный дельтоид.
4.9 Построить дельтоид по двум неравным сторонам , диагонали , выходящей из точки их
пресечения и углу между стороной и диагональю.
Дано:
I Анализ:
Построить:
Дельтоид ABCD
II Построение:
Белинская Дарья Вадимовна, Краснодарский край, г. Краснодар,
МБОУ СОШ № 71, 9 класс, «Дельтоид».
Научный руководитель: Деккер Галина Федоровна,
учитель математики МБОУ СОШ № 71
1)
АВD=
g
2) АВ=а, BD= b
3) Построим прямую е, е┴ВD, Ае
4) Окр.(В;С)е=С
5) АВСD-искомый
III Доказательство: АВСD-дельтоид, по признаку, если в четырехугольнике только одна из
диагоналей точкой пересечения делится пополам и перпендикулярна ей , то этот
четырехугольник-дельтоид.
IV Можно построить единственный дельтоид.
4.10 Исследовать возможность получения дельтоида из различных типов треугольников,
используя прямые содержащие стороны треугольников как оси симметрии.
1) В случае остроугольного треугольника:
а) при равных сторонах дельтоид не получится.
б) в равнобедренном треугольнике ось должна
содержать только любую из боковых сторон.
в) в разностороннем треугольнике ось симметрии
может содержать любую сторону.
2) В случае тупоугольного треугольника:
а) равнобедренный треугольник дельтоидов не дает.
Белинская Дарья Вадимовна, Краснодарский край, г. Краснодар,
МБОУ СОШ № 71, 9 класс, «Дельтоид».
Научный руководитель: Деккер Галина Федоровна,
учитель математики МБОУ СОШ № 71
б) в разностороннем треугольнике, ось симметрии
содержит большую сторону.
3) В случае прямоугольного треугольника:
а) равнобедренный треугольник дельтоидов не дает.
б) в разностороннем треугольнике ось симметрии
содержит гипотенузу в треугольнике.
4.11 Провести прямую проходящую через его вершину и делящую его на две равновеликие
части.
Решение №1
Если вершена А находится на пересечении равных сторон, то искомой будет главная
диагональ, так как мы знаем, что главная диагональ делит дельтоид на два равных
треугольника.
Белинская Дарья Вадимовна, Краснодарский край, г. Краснодар,
МБОУ СОШ № 71, 9 класс, «Дельтоид».
Научный руководитель: Деккер Галина Федоровна,
учитель математики МБОУ СОШ № 71
Решение №2
Дано:ABCD-дельтоид
Разделить: дельтоид на 2 равновеликие части
Доказательство:
1)Отложим отрезок ВО от вершины D и проведем КЕ прямую к АС
2)Заметим, что
S ADE= * S ACD
3) Треугольник АВС и треугольник АСD имеют общее, поэтому и площади относятся как их
высоты:
S ABC= * S ACD
4)Треугольник KDE подобен треугольнику ODC, так как KE║AC
, но
KD=OB
5) S ADE= * S ACD= * S ACD = S ABC
6)Значит медиана треугольника АСЕ и будет лежать на искомой прямой.
4.12 Разделить дельтоид на три равновеликие части прямой проходящей через точку
пересечения его равных сторон.
Чтобы разделить дельтоид на 3 равновеликие части, разделим треугольник АСD и
треугольник АВС на 3 части каждый.
Чтобы разделить треугольник на 3 равновеликие части, разделим одну из его сторон на 3
равные части и соединим эти точки с противоположной вершиной все эти треугольники
будут равны по площади ( из формулы: )
В итоге у нас получается шесть равных по площади треугольников, поэтому, разделив
дельтоид по треугольникам, учтем, что в каждой из частей дельтоида должно быть по два
треугольника.
Белинская Дарья Вадимовна, Краснодарский край, г. Краснодар,
МБОУ СОШ № 71, 9 класс, «Дельтоид».
Научный руководитель: Деккер Галина Федоровна,
учитель математики МБОУ СОШ № 71
4.13 Доказать что точка пересечения диагоналей описанного вокруг окружности дельтоида
совпадает с точкой пересечения диагоналей четырехугольника вершинами которого служат
точки касания сторон дельтоида с окружностью.
Дано: ABCD-дельтоид, EHGF четырехугольник, окр (М, r)
Доказать: М=М1
Доказательство:
1)FHAC=M, EGAC=M1
2) Угол АНМ = углу ВFМ ( как углы между касательной и хордой) отсюда следует
sinAHM = sinBFM, поэтому: тоесть
Aналогично: 1
Т.е. прямые FH, EG и AC пересекаются в одной точке. Аналогичные рассуждения
показывают, что прямые FH, EG и BOпересекаются в одной точке, отсюда диагонали AC, BD,
FH и EGпересекаются в одной точке.
4.14 найти стороны и диагонали дельтоида если его периметр равен 116 см. разность
боковых сторон равна 3 см. и главная диагональ точкой пересечения диагоналей делится в
отношении 2:1.
Дано: ABCD-дельтоид, ВО:ОD=2:1,
Р ABCD=116 см., АВАD на 3 см.
Белинская Дарья Вадимовна, Краснодарский край, г. Краснодар,
МБОУ СОШ № 71, 9 класс, «Дельтоид».
Научный руководитель: Деккер Галина Федоровна,
учитель математики МБОУ СОШ № 71
Найти: AB, BC, CD, DA, AC, BD.
Решение:
1)Пусть АD= Х см, тогда АВ=(Х+3)см. Получим:
2( х + (х+3)) = Р
2( х + х+3) = 116
2( 2х+3) = 116
2х+3 = 58
2х = 55
Х = 27,5
Отсюда DС = АD = 27,5, ВС = АВ = 27.5+3=30,5
2) Пусть АО = у, ОD = к, тогда ОС = у, ВО = 2к, составим систему и решим её:
+ у2 = 930, 25
к2+у2 = 756, 25
у2 = 756, 25 - к2
+756, 25 - к2 = 930, 25
3к2 = 174
к2 = 58, тогда у2 = 756, 25 - 58 = 698, 25
отсюда АС = 2 , ВD = 3
Ответ: АВ=ВС=30,5см., АD=DС=27,5см., АС = 2 , ВD = 3
4.15 Доказать, что отрезки соединяющие середину его главной диагонали с серединами его
сторон, делит дельтоид на четыре равновеликих четырехугольника.
Дано: ABCD-дельтоид, Р - середина АС,
N - середина AD, M - серединаAB,
L - середина CB, K - середина DC.
Белинская Дарья Вадимовна, Краснодарский край, г. Краснодар,
МБОУ СОШ № 71, 9 класс, «Дельтоид».
Научный руководитель: Деккер Галина Федоровна,
учитель математики МБОУ СОШ № 71
Доказать:S ANPM = S KPLC = S MBLP = S DNPC
Доказательство:
1) В
АВС МL - средняя линия, значит МL∕∕АС. Построим МН и LН1 перпендикулярные
АС. Тогда НМ∕∕H1L∕∕OB и Н1L=HM=OB по свойству средней линии .
2) Sтр. APM=0,5 АР*НМ, Sтр. CPL=0,5 СР* LН1
Но АР=СР и Н1L=HM. тогда Sтр. APM= Sтр. CPL.
В силу симметричности дельтоида APM=
APN,
CPL= CPK т.е. ANPM=PKCL.
По-свойству площадей S ANPM= S PKCL.
3) Покажем, что Sтр. MLP= Sтр. APM: МL=0,5 АС = АР, HM=PH2 и Н1L = НМ, тогда
Sтр. MLP=0,5 МL*РН2=0,5 АР*НМ= Sтр. APM.
Аналогично, Sтр. MLP= Sтр. MLВ, Следует S ANPM = S KPLC = S MBLP = S DNPC. Ч.т.д.
Приложение 4 - Дельтоид как часть геометрического чертежа в задачах из учебника Л.С.
Атанасяна «Геометрия 7-9»
№123
На биссектрисе угла А взята точка D, а на сторонах этого угла - точки В и С такие, что
АDВ=
АDС. Докажите, что ВD=СD
Дано: А, биссектриса а (
1=
2) ,
АDВ= АDС
Белинская Дарья Вадимовна, Краснодарский край, г. Краснодар,
МБОУ СОШ № 71, 9 класс, «Дельтоид».
Научный руководитель: Деккер Галина Федоровна,
учитель математики МБОУ СОШ № 71
Доказать: ВD=СD
Доказательство:
1) ВD входит в
АВD, СD входит в
2) Рассмотрим
АВD и
АСD.
АСD:
1)
1=
2, по условию
2)
АDВ=
АDС, по условию
3) АD- общая, следует
АВD=
АСD,
по стороне и двум прилежащим углам (II признак равенства треугольников), из этого ВD=СD.
Ч.т.д.
№142
Равнобедренные треугольники АDС и ВСD имеют общее основание DС. Прямая АВ
пересекает отрезок СD в точке О. Докажите, что:
1)
АDВ=
АСВ
2) DО=ОС
Дано: АDС и ВСD, прямая АВ
Доказать: 1)
АDВ=
АСВ; 2) DО=ОС
Доказательство:
1) DО и
АDВ входят в
2) Рассмотрим
ВDА и
ВDА, ОС и
АСВ входят в
ВСА:
1) АС=АD, т.к.
АDС- равнобедренный
2) DВ=ВС, т.к.
ВСD- равнобедренный
3) АВ - общая, значит
треугольников), значит
ВСА.
ВDА=
ВСА, по трем сторонам (III признак равенства
АDВ= АСВ, DО=ОС. Ч.т.д.
Белинская Дарья Вадимовна, Краснодарский край, г. Краснодар,
МБОУ СОШ № 71, 9 класс, «Дельтоид».
Научный руководитель: Деккер Галина Федоровна,
учитель математики МБОУ СОШ № 71
Третий признак равенства треугольников.
Если три стороны одного треугольника равны трем сторонам другого треугольника, то такие
треугольники равны.
Дано: АВС и А1В1С1, АВ = А1В1, ВС= В1С1, СА= С1А1
Доказать:
АВС= А1В1С1
Доказательство:
1) Приложим
АВС и
А1В1С1, так чтобы вершина А совместилась с вершиной А1, вершина
В с вершиной В1, а вершины С и С1 оказались по разные стороны от прямой.
2) Рассмотрим случай где луч СС1 проходит внутри угла А1С1В1
3)Так как по условию ВС= В1С1, СА= С1А1 то
о равнобедренных треугольниках что,
1=
АВС, А1В1С1 - равнобедренные. По теореме
2,
3=
4, следует что
АВС=
А 1В1С1, по
первому признаку равенства треугольников ( по двум сторонам и углу между ними ). Ч.т.д.