Стереометрия — это раздел геометрии, в котором изучаются фигуры в... 1.Какова бы ни была плоскость, существуют точки, принадлежащие этой плоскости,... Основными фигурами
advertisement
Стереометрия — это раздел геометрии, в котором изучаются фигуры в пространстве. Основными фигурами в пространстве являются точка, прямая и плоскость. 1.Какова бы ни была плоскость, существуют точки, принадлежащие этой плоскости, и точки, не принадлежащие ей. 2. если две различные плоскости имеют общую точку, то они пересекаются по прямой, проходящей через эту точку. 3. если две различные прямые имеют общую точку, то через них можно провести плоскость, и притом только одну. Существование плоскости, проходящей через данную прямую и данную точку Теорема Через прямую и не лежащую на ней точку можно провести плоскость, и притом только одну. Пересечение прямой с плоскостью Теорема Если две точки прямой принадлежат плоскости вся прямая принадлежит этой плоскости. Существование плоскости, проходящей через три данные точки Теорема Через три точки, не лежащие на одной прямой, можно провести плоскость, и притом только одну. Параллельные прямые в пространстве Две прямые в пространстве называются параллельными, если они лежат в одной плоскости и не пересекаются. Теорема Через точку вне данной прямой можно провести прямую, параллельную этой прямой, и притом только одну. Теорема Две прямые параллельные третьей прямой, параллельны. Теорема Если прямая, не принадлежащая плоскости, параллельна какой-нибудь прямой в этой плоскости, то она параллельна и самой плоскости. Признак параллельности плоскостей Две плоскости называются параллельными, если они не пересекаются, то есть не имеют общих точек. Теорема Если две пересекающиеся прямые одной плоскости соответственно параллельны двум прямым другой плоскости» то эти плоскости параллельны. Существование плоскости, параллельной данной плоскости Теорема Через точку вне данной плоскости можно провести плоскость, параллельную данной, и притом только одну. Перпендикулярность прямых в пространстве две прямые называются перпендикулярными, если они пересекаются под прямым углом. Теорема Если две пересекающиеся прямые параллельны соответственно двум перпендикулярным прямым, то они тоже перпендикулярны. Прямая, пересекающая плоскость, называется перпендикулярной этой плоскости, если она перпендикулярна любой прямой, которая лежит в данной плоскости и проходит через точку пересечения данной прямой и плоскости Если плоскость перпендикулярна одной из двух параллельных прямых, то она перпендикулярна и другой. Теорема Две прямые, перпендикулярные одной и той же плоскости, параллельны. перпендикуляром, опущенным из данной точки на данную плоскость, называется отрезок, соединяющий данную точку с точкой плоскости и лежащий на прямой, перпендикулярной плоскости. Конец этого отрезка, лежащий в плоскости, называется основанием перпендикуляра. Расстоянием от точки до плоскости называется длина перпендикуляра, опущенного из этой точки на плоскость. Теорема о трех перпендикулярах Теорема Если прямая, проведенная на плоскости через основание наклонной, перпендикулярна ее проекции, то она перпендикулярна наклонной. И обратно: если прямая на плоскости перпендикулярна наклонной, то она перпендикулярна и проекции наклонной. Признак перпендикулярности плоскостей Две пересекающиеся плоскости называются перпендикулярными, если третья плоскость, перпендикулярная прямой пересечения этих плоскостей» пересекает их по перпендикулярным прямым. Теорема ЕСЛИ ПЛОСКОСТЬ проходит через прямую, перпендикулярную другой плоскости, то эти плоскости перпендикулярны. Двугранный угол Двугранным углом называется фигура, образованная двумя полуплоскостями с общей ограничивающей их прямой. Полуплоскости называются гранями, а ограничивающая их прямая — ребром двугранного угла. Трехгранным углом Трехгранным углом (abc) называется фигура, составленная из трех плоских углов. многограник Многогранник — это такое тело, поверхность которого состоит из конечного числа плоских многоугольников. Многогранник называется выпуклым, если он расположен по одну сторону плоскости каждого плоского многоугольника на его поверхности. призма Призмой называется многогранник, который состоит из двух плоских многоугольников, лежащих в разных плоскостях и совмещаемых параллельным переносом, и всех отрезков, соединяющих соответствующие точки этих многоугольников. Прямая призма Призма называется прямой, если ее боковые ребра перпендикулярны основаниям. В противном случае призма называется наклонной Призма в основании которой правильный прямоугольник наз-ся прямоугольной призмой Правельная призма-правильный многоугольник. Боковая поверхность призмы называется сумма площадей боковых граней. Полная поверхность призмы равна сум ме боковой поверхности и площадей оснований. Полная поверхность призмы-равна сумме площадей всех ее граней. Теорема Боковая поверхность примой призмы равна произволении» периметра основания на высоту призмы , Т. е. на длину бокового ребра. Высотой призмы наз-ся расстояние между его основаниями Диагонали призмы наз-я отрезок соединяющий вершины не принадлежащие одной плоскости Сечение проведенное вертикально будет прямоугольным Сечение проведенное наклонно- параллелограмм Параллельно основанию- равно основанию Параллелепипед Если основание призмы есть параллелограмм, то она называется параллелепипедом. Теорема У параллелепипеда противолежащие грани параллельны и равны. Теорема Диагонали параллелепипеда пересекаются в точке и точкой пересечении делятся пополам. Точка пересечения диагоналей параллепипеда является его центром симметрии. Теорема В прямоугольном параллелепипеде квадрат любой диагонали равен сумме квадратов трех его измерений. Оюйем прямоугольного паралепипеда равен произведению трех его измерений. Объем любого прал-да или объем призмы= произв. Площади основ. На высоту. Пирамида Пирамидой называется многогранник, который состоит из плоского многоугольника — основания пирамиды, точки, не лежащей в плоскости основания, вершины пирамиды и всех отрезков, соединяющих вершину пирамиды с точками основания. Пирамида Пирамидой называется многогранник, который состоит из плоского многоугольника — основания пирамиды, точки, не лежащей в плоскости основания, вершины пирамиды и всех отрезков, соединяющих вершину пирамиды с точками основания. Высотой пирамиды называется перпендикуляр, опущенный из вершины пирамиды на плоскость основания. Отрезки, соединяющие вершину пирамиды с вершинами основания, называются боковыми ребрами. Усеченная пирамида Теорема Плоскость, пересекающая пирамиду и параллель на я ее основанию, отсекает подобную пирамиду. Правильная пирамида Пирамида называется правильной, если ее основанием является правильный многоугольник. Высота боковой грани правильной пирамиды, проведенная из ее вершины, называется апофемой. Боковой поверхностью пирамиды называется сумма площадей ее боковых граней. Теорема Боковая поверхность правильной пирамиды равна произведению полупериметра основания на апофему. Полная и баковая поверхность пирамиды = сумме площадей всех ее баковых граней т площади основания. Правильные многогранники Выпуклый многогранник называется правильным, если его грани являются правильными многоугольниками с одним и тем же числом сторон и в каждой вершине многогранника сходится одно и то же число ребер. Существует пять типов правильных выпуклых многогранников (рис. 115): правильный тетраэдр, куб, октаэдр, додекаэдр, икосаэдр. У правильного тетраэдра грани — правильные треугольники; в каждой вершине сходится по три ребра. Тетраэдр представляет собой треугольную пирамиду, у которой все ребра равны. У куба все грани — квадраты; в каждой вершине сходится по три ребра. Куб представляет собой прямоугольный параллелепипед с равными ребрами. У октаэдра грани — правильные треугольники, но в отличие от тетраэдра в каждой его вершине сходится по четыре ребра. У додекаэдра грани — правильные пятиугольники. В каждой вершине сходится по три ребра. У икосаэдра грани — правильные треугольники, но в отличие от тетраэдра и октаэдра в каждой вершине сходится по пять ребер. Цилиндр Цилиндром называется тело вращения , которое состоит из двух кругов, не лежащих в одной плоскости и совмещаемых параллельным переносом, и всех отрезков, соединяющих соответствующие точки этих кругов. Целиндр наз-ся прямым, ели его образующие перпендикулярны осноываниям. Осевое сечение –прямоугольник Параллельно оси- круг Произвольно-овал теорема плоскость, параллельная плоскости основания цилиндра, пересекает его боковую поверхность по окружности, равной окружности основания. Призмой, вписанной в цилиндр, называется такая призма, у которой плоскостями оснований являются плоскости оснований цилиндра, а боковыми ребрами — образующие цилиндра . Конус Конусом (точнее, круговым конусом) называется тело, которое состоит из круга — основания конуса, точки, не лежащей в плоскости этого круга, — вершины конуса и всех отрезков, соединяющих вершину конуса с точками основания. Сечение ч/з вершину треугол. Сечение парл-но осн. –круг Осевое сечение усеченного конуса явл. Трапеция. Шар Шаром называется тело, которое состоит из всех точек пространства, находящихся на расстоянии, не большем данного, от данной точки. Эта точка называется центром шара, а данное расстояние — радиусом шара. Граница шара называется шаровой поверхностью или сферой. Отрезок, соединяющий две точки шаровой поверхности и проходящий через центр шара, называется диаметром. Сечение шара плоскостью Теорема Всякое сечение шара плоскостью есть круг. Центр этого круга есть основание перпендикуляра, опущенного из центра шара на секущую плоскость. Любая диаметральная плоскость шара является его плоскостью симметрии. Центр шара является его центром симметрии. Линия пересечения двух сфер есть окружность. Вписанные и описанные многогранники Многогранник называется вписанным в шар, если все его вершины лежат на поверхности шара. Многогранник называется описанным около шара, если все его грани касаются поверхности шара.
