Вариант 1. прямая, проходящая через середины отрезков SB и SC, параллельна

Вариант 1.
№1. Точка S не лежит в плоскости ромба АВСД. Докажите, что
прямая, проходящая через середины отрезков SB и SC, параллельна
прямой АД.
№2. Дан равносторонний треугольник АВС со стороной 6 см. Из
вершины А восстановлен перпендикуляр АР к плоскости
треугольника. Найдите расстояние от точки Р до прямой ВС, если
расстояние от Р до плоскости треугольника АВС равно 13 см.
№3. Из данной точки к плоскости α проведены две равные
наклонные, угол между ними равен 60 градусов. Какой угол
образуют наклонные с плоскостью α, если их проекции взаимно
перпендикулярны.
Теория: 1) понятие угла между плоскостями, 2) теорема о равенстве
углов с сонаправленными сторонами.
Вариант 2.
№1. Точка М не принадлежит плоскости параллелограмма АВСД.
Докажите, что прямая, проходящая через середины отрезков МА и
МВ, параллельна прямой СД.
№2. Дан квадрат PQRS со стороной 4 дм. Из вершины Р
восстановлен перпендикуляр РМ к плоскости квадрата. Найдите
расстояние от точки М до прямой QS, если расстояние от точки М
до плоскости квадрата равно 8 дм.
№3. Из данной точки к плоскости проведены перпендикуляр, длина
которого равна 1 дм, и две равные наклонные. Найдите длины этих
наклонных, если угол между ними равен 60 градусам, а их
проекции взаимно перпендикулярны.
Теория: 1) понятие угла между прямыми, 2) признак
перпендикулярности плоскостей.
Вариант 3.
№1. Даны два прямоугольника АВСД и АВЕФ, не лежащие в одной
плоскости. Докажите, что четырёхугольник СЕФД также является
прямоугольником.
№2. Из центра О окружности, вписанной в треугольник,
восстановлен перпендикуляр ОС к плоскости этого треугольника.
Найдите радиус окружности, если расстояния от точки С до одной
из сторон треугольника и до плоскости треугольника равны 1,2 м и
1,3 м соответственно.
№3. Из одной точки к плоскости проведены перпендикуляр и две
наклонные, длины которых равны 10 м и 11 м. Найдите длину
перпендикуляра, если проекции проведённых наклонных относятся
как 2:5.
Теория: 1) понятие угла между прямой и плоскостью, 2) свойства
параллельных плоскостей.
Вариант 4.
№1. Даны квадраты PQRS и PQAB, не лежащие в одной плоскости.
Докажите, что четырёхугольник BSRA является прямоугольником.
№2. Из центра О окружности, вписанной в трапецию, восстановлен
перпендикуляр ОМ к плоскости трапеции. Найдите радиус
окружности, если расстояние от точки М до одной из сторон
трапеции и до её плоскости равны 3 см и 3,4 см соответственно.
№3. Из одной точки к плоскости проведены перпендикуляр и две
наклонные, проекции которых равны 4 см и 11 см. Найдите длину
перпендикуляра, если наклонные относятся как 2:5.
Теория: 1) понятие двугранного угла, его градусная мера,
2) теорема о трёх перпендикулярах.