Даны три вершины треугольника . медианы

Типовой расчёт по линейной алгебре
(примеры решения некоторых задач)
1. Даны три вершины треугольника ABC: А (6; 0), B(8; 10), C(14; 8).
Найти уравнение и длину проведённой из вершины В:
а) медианы; б) высоты.
1.1. Уравнение и длина медианы, проведённой из вершины В
Напомним, что медиана, проведённая из вершины В, делит противоположную
сторону AC треугольника (к примеру, точкой М) на две равные части. Это значит,
что и проекции точки M на оси OX и OY будут соответственно вычисляться как
C y  Ay 8  0
C x  Ax 14  6

 10.
My 

 4.
2
2
2
2
Отсюда вектор BM  {M x  B x ; M y  B y }  {10  8; 4  10}  {2;  6}.
Mx 
Уравнение прямой, проходящей через две точки, записывается как
x  x1
y  y1

x 2  x1 y 2  y1
Значит, уравнение медианы у нас запишется как
y  By
x  Bx
или

M x  Bx M y  B y
x  8 y  10

.
10  8 4  10
То есть 6( x  8)  2( y  10) или 3x  y  38  0.
Длина медианы BM  ( Bx  M x ) 2  ( B y  M y ) 2  (8  10) 2  (10  4) 2  40
1.2. Уравнение и длина высоты, проведённой из вершины В
Высота треугольника ABC, проведённая из точки B, опускается на сторону AC
под прямым углом. Поэтому решение может состоять в том, что мы определяем
уравнение проходящей через точки А и С прямой, затем – уравнение нормали
(перпендикуляра) к АС, проводим её через точку B и определяем точку H
пересечения высоты и отрезка AC, откуда найдём остальные искомые данные.
Уравнение высоты, проходящей через вершину B:
y  By
x  Bx

С y  Ay Ax  C x
или
y  10  8  x или
y  18  x .
Длина высоты BH 
x  8 y  10

8  0 6  14
или
x  8 y  10

8
8
или
2S
, где S – площадь треугольника ABC.
AC
1
1
( B x  Ax )(C y  Ay )  (C x  Ay )( B y  Ay )  (8  6)(8  0)  (14  6)(10  0) 
2
2
1
1
 2  8  8  10   64  32.
2
2
S
AC  ( Ax  C x ) 2  ( Ay  C y ) 2  (6  14) 2  (0  8) 2  82  82  2  64  8 2 .
Длина высоты из точки B
BH 
2S
2  32
8


.
AC 8 2
2