эк.в. геом .Лобачевского 2ч

2008-09 учебный год
Экзаменационные вопросы
по дисциплине «Неевклидовы геометрии»
для студентов НовГУ, обучающихся по специальности 032100 Математика
Геометрия Лобачевского
Часть II. Модели геометрии Лобачевского
1. Инверсия и ее аналитическое задание. Круговое свойство инверсии.
2. Конформность инверсии. Построение инверсных образов прямых и
окружностей.
3. Аксиоматика геометрии Лобачевского.
4. Модель Пуанкаре плоскости Лобачевского H 2
полуплоскости. Выполнимость аксиом I – II групп.
на евклидовой
5. Сложное отношение четырех точек в H 2 и его свойства. Выполнимость
аксиом III группы в модели H 2 .
6. Отражения и движения в H 2 . Теорема о композиции отражений.
7. Равенство
фигур.
Серединный
перпендикуляр
отрезка
в
H2.
Выполнимость аксиом IV- YI групп в H 2 .
8. Построение общего перпендикуляра к расходящимся прямым и угла
параллельности данного отрезка в H 2 .
9. Построение окружностей в H 2 .
10.Построение эквидистант в H 2 .
11.Построение орициклов в H 2 .
12.Инвариантность метрики H 2 относительно отражений.
13.Геодезические линии в H 2 .
14.Вычисление мер углов в H 2 . Вывод формулы расстояния
 z, w  ln
zw  zw
zw  zw
.
2
zw
15.Вывод соотношения ch z, w  1 
.
2 Jmz Jmw
16.Теорема Пифагора: chc  cha  chb .
17.Теорема о структуре движений.
18.Круговая модель Пуанкаре плоскости Лобачевского
метрики в B 2 .
B 2 . Вывод
19.Инвариантность метрики B 2 относительно отражений.
20.Вывод формулы расстояния для B 2 : d w1 , wz   ln
1  w1 w2  w1  w2
1  w1 w2  w1  w2
.
21.Геодезические линии в B 2 .
22.Модели Бельтрами и Кэли-Клейна плоскости Лобачевского. Связь
между евклидовой и неевклидовой длинами отрезка в модели
Бельтрами.
23.Псевдоевклидово пространство. Псевдосферические координаты в E13
и их геометрический смысл. Метрика E13 в псевдосферических
координатах.
24.Внутренняя геометрия псевдосферы.
25.Неевклидовы прямые на псевдосфере.
26.Связь между различными моделями геометрии Лобачевского.
27.Метрическая форма плоскости Лобачевского в модели Бельтрами.
28.Вывод формулы площади треугольника в модели H 2 .
29.Вычисление длины окружности и площади круга в геометрии
Лобачевского.