Новые встречи с окружностью

Братенкова Эмилия Михайловна,
учитель математики
МОУ «Ижемская средняя общеобразовательная школа»
Ижемского района Республики Коми
Курс по выбору по геометрии
для предпропрофильной подготовки в 9 классе
«Новые встречи с окружностью»
«Высшее проявление духа – это разум.
Высшее проявление разума – это геометрия.
Клетка геометрии – треугольник.
Он так же неисчерпаем, как вселенная.
Окружность – душа геометрии.
Познайте окружность, и вы не только
познаете душу геометрии,
но и возвысите свою душу».
(И. Ф. Шарыгин)
Пояснительная записка
Курс по выбору «Новые встречи с окружностью» рассчитан для изучения во
втором полугодии 9 класса. Окружность, как совершенная фигура, привлекает особое
внимание своей простотой, изяществом и бесконечным таинством. Задачи с
окружностями, сопровождаемые красивыми чертежами, часто содержат неожиданные
факты. В то же время решение их, как показывает практика, является одним из слабых
мест в подготовке учащихся.
Изучая этот курс, учащиеся увидят геометрию с новой, неожиданной стороны:
красивые интересные задачи, новые факты. В этом курсе есть и пропедевтика
стереометрии на задачах с пространственными фигурами, основанных на понимании и
видении геометрических тел и их изображении. При изучении курса предполагается
компьютерная поддержка занятий и вовлечение в творческую деятельность учащихся.
Все это дает возможность подготовить учащихся к переходу на другую ступень
обучения; ориентировать учащихся на профили, связанные с математикой, составной
частью которой является геометрия. Кроме этого, хорошая подготовка по геометрии в
первую очередь развивает логическое мышление, а значит, создает условия
качественного усвоения других предметов школьного учебного плана.
Программа курса по выбору направлена на предпрофильную подготовку
учащихся 9 классов и рассчитана на 14 часов.
Цели изучения курса по выбору, рассчитанного на учащихся 9 классов:
1) создание мотивации на выбор профиля, связанного с математикой;
2) систематизация, расширение и углубление знаний по планиметрии.
3) развитие мышления школьников, их интеллектуальных и творческих
способностей, формирование геометрической компетентности.
Задачи курса:
1
1)
развитие геометрического воображения и образного пространственного,
логического мышления;
2)
формирование умения применять знания и умения в новых ситуациях для
решения задач;
3)
воспитание эстетического отношения к красоте формул, теории, законов
окружающего мира, умения ценить красоту;
4)
формирование навыков выполнения и применения компьютерных
презентаций для усиления наглядности, привлекательности курса и развитию
межпредметных связей;
5)
повторение курса планиметрии;
6)
воспитание личности в процессе освоения математики и математической
деятельности, развитие у учащихся самостоятельности и способности к
самоорганизации.
.Результаты обучения.
Учащиеся должны знать:

определения и теоремы, связанные с окружностью;

утверждения
о
вписанных
и
описанных
треугольниках
и
четырехугольниках;

теоремы синусов и косинусов;

площади фигур;

замечательные точки и линии треугольника.
Учащиеся должны уметь:

выполнять геометрические построения;

применять различные методы решения задач;

решать задачи как связанные с окружностью, так и с окружностью в
сочетании с многоугольниками;

выполнять компьютерные презентации по математике;

выполнять творческие работы.
Оценка работ учащихся.
Оценка – это поощрение и стимул для дальнейшей творческой работы. За устные
ответы, творческие работы и решение задач учащимся выставляются отметки по
пятибалльной системе. Учащиеся также оценивают друг друга (например, на
обобщающем занятии №12). Итог работы учащихся оценивается «зачет» - «незачет» и
поощрение победителей в номинациях (приложение № 6).
Формы контроля
На занятиях учащимся предлагаются задания из приложения № 4 «Проверь свои
знания» для контроля усвоения темы. Задания дифференцированные, среди них есть те,
которые каждый ученик может решить. Предлагается самостоятельное решение
некоторых задач с последующим разбором вариантов решения.
Учащимся предлагается изучение некоторых вопросов курса с последующей
презентацией (программные продукты Microsoft Power Point).
К уроку обобщения учащиеся подбирают задачи, самые красивые на их взгляд.
В ходе изучения курса образуются 3 творческие группы, которые работают над
разными темами (приложение 2). По каждой теме дается историческая справка о
математике, определения, понятия тех или иных точек и линий, построения в разных
видах треугольников.
В конце занятий проводить рефлексию, предлагая ответить на вопросы
(приложение № 5).
2
Учебно-тематический план
№
Тема
1.
Углы и линии в сочетании с
окружностью
Замечательные точки и
линии треугольника
2.1. Медианы, биссектрисы и
высоты и точки их
пересечения.
2.
Количество часов
Контроль знаний
всег теория практи
о
ка
Ответы на
1
1
контрольные вопросы
(Приложение № 3).
Домашнее задание:
разные формулы
площадей всех фигур.
4
1
3
1
2.2
Точка Торричелли, точка
Брокара, окружность девяти
точек (окружность Эйлера)
1
2.3.
3.
3.1.
3.2.
Решение задач
Методы решения задач
«Углы любят счет»
Метод непосредственных
вычислений
Метод опорного элемента
или метод площадей
Дополнительные построения
и метод введения
вспомогательной величины
Окружность, круг, сфера,
шар.
Вдохновение в геометрии
так же необходимо, как и в
поэзии
Геометрические
миниатюры
2
5
1
1
Итого
14
3.3
3.4
5.
6.
7.
1
Подготовка
исследовательских
работ: определить
задания для
коллективной работы
из приложения № 2
1
1
2
4
1
1
Задача № 7 на дом
1
1
2
2
1
1
1
1
Обобщение.
2
2
Итоговое занятие.
Защита
исследовательских
работ
3
11
3
Методические рекомендации
Занятие 1.Углы в сочетании с окружностью.
«Поэзию следует искать не в сочетаниях слов,
а в атмосфере, которую создают эти сочетания».
(Э. Верхарн)
Вписанные и центральные углы, свойства хорд, касательных, секущих,
вписанные и описанные многоугольники.
Урок проводится в виде диалога, беседы. На уроке используются готовые
рисунки к утверждениям, можно в виде компьютерной презентации. Затем ответы на
контрольные вопросы (1) стр. 5-6. Сначала учащиеся делятся на 2 группы, обсуждают
вопросы. Затем одна группа задает другой по их выбору любой вопрос. Группы
набирают баллы.
Занятие 2. Медианы, биссектрисы и высоты и точки их пересечения.
«Поэзия – это разновидность вдохновенной математики».
(Эрза Паунд)
Повторение теории. Решение задач № 7, 8, 9, 10. Эти задачи на одну тему, но
методы их решения разные. Следует рассмотреть их на одном занятии. В задачах № 11
и 12 – замечательные точки треугольника. Задание на дом: исторические справки об
Эйлере, Торричелли, Брокаре, подготовить компьютерные презентации.
Занятие 3. Точка Торричелли, точка Брокара, окружность девяти точек
(окружность Эйлера).
«Быть может, высший класс в математике – когда
понять задачу может любой, но никто не в силах ее одолеть»
(А. Сойфер)
Занятие сообщения новых знаний и развития общеучебных умений.
Исторические справки о математиках, их вкладе в науку.
Точка Торричелли – это такая внутренняя точка треугольника, из которой его
стороны видны под одним и тем же углом. Точками Брокара треугольника АВС
называются такие его внутренние точки P и Q, что углы АВP, ВСP и САP равны между
собой, равны также и углы QАВ, QВС и QСА (для равностороннего треугольника точки
Брокара сливаются в одну).
В 1765 г. Эйлер обнаружил, что середины сторон треугольника и основания его
высот лежат на одной окружности. Впоследствии было обнаружено, что на той же
окружности лежат еще три точки – середины отрезков, соединяющих ортоцентр с
вершинами треугольника. Это и есть окружность девяти точек. Задачи №№ 13, 14.
Занятие 4,5. Решение задач.
«Хорошая задача будит не только наш разум, но и наши эмоции»
(В. Произволов)
Занятия закрепления и развития знаний, практических умений. Вначале следует
повторить замечательные точки и линии треугольников, их свойства. Задачи № 15, 16,
17, 18, среди которых есть задачи на построение. Следует на примере хотя бы одной
задачи рассмотреть все этапы таких задач: анализ, построение, исследование,
доказательство.
Занятие 6. «Углы любят счет».
«…Что числа дают опьянение такое же, как вино или звезды, они не знали…»
(Владимир Казаков)
Урок развития общеучебных умений. Метод подсчета углов часто помогает
решать задачи на окружности. В том случае, когда ни один угол неизвестен, то какойлибо угол обозначается параметром, затем через него выражаются другие углы. Обычно
выбор самих исходных углов составляет одну из важнейших частей решения.
Научиться правильно вводить исходные углы – это один из определяющих моментов
4
математической культуры на олимпиадном уровне. На занятии использовать задачи по
готовым чертежам. Решить задачи № 23, 24, 25.
Занятие 7. Метод непосредственных вычислений.
«Простота – одно из главных качеств красоты».
(Д. Дидро)
Как правило, этот метод используется при решении самых простых задач,
условие которых позволяет непосредственными вычислениями и преобразованиями
получить результат. Задачи № 26, 27, 28.
Занятие 8. Метод опорного элемента или метод площадей.
«Воображение творит красоту».
(Б. Паскаль)
Метод заключается в следующем: один и тот же элемент (сторона, угол,
площадь, радиус и т.д.) выражается через известные и неизвестные величины двумя
разными способами и полученные выражения приравниваются. Очень часто в качестве
опорного элемента выбирается площадь фигуры. Тогда говорят, что для составления
уравнения используется метод площадей. Задачи № 21, 29, 30.
Занятия 9, 10. Дополнительные построения и метод введения вспомогательной
величины.
«Воображение более важно, чем знание».
(А. Эйнштейн)
При решении геометрических задач часто приходится делать дополнительные
построения, например, проведение прямой, параллельной или перпендикулярной одной
из имеющихся на рисунке, удвоение медианы, проведение вспомогательной
биссектрисы. Если речь в задаче идет об окружности, вписанной в треугольник или
четырехугольник, то практически всегда целесообразно провести радиусы в точки
касания окружности со сторонами. Помогает при решении задач и построение
окружности вокруг четырехугольника.
В ряде задач может не хватать величин для записи условий. Тогда эти величины
необходимо ввести и записать условия задачи. Сами величины найти из условия задачи
невозможно, тем не менее, они позволяют найти решение и получить ответ.
Задачи №№ 3, 4, 5, 6. Задачи однотипные, поэтому №3 следует рассмотреть
вместе с учителем, остальные – решить самостоятельно с последующим разбором.
Затем № 31, 33. Задачи №№ 1, 2 – на дом.
Занятие 11. Окружность, круг, сфера, шар.
«Круг – первая, наиболее простая и наиболее
совершенная геометрическая фигура».
(Прокл. Комментарий к «Началам» Евклида)
Рассмотреть аналогию плоских фигур в пространстве. Изображение
пространственных тел на плоскости. Использовать компьютерную обучающую
программу «Математика 5-11» издательства «Дрофа». Ввести понятие фигуры,
вписанной в другую. Рассмотреть задачу № 32.
Занятие 12. Вдохновение в геометрии так же необходимо, как и в поэзии
«Решая задачу, мы в первую очередь должны заботиться о том, чтобы
решение было правильным, особо не заботясь о красоте. Если решение получилось
красивым – это подарок за все наши предшествующие труды».
(И. Акулич)
Урок проводится в виде выставки. Учащиеся предлагают вниманию найденные
ими или понравившиеся на занятиях задачи, самые красивые, на их взгляд. К занятию
готовятся презентации, готовая наглядность. Затем им предлагаются фишки разных
цветов, с помощью которых они «голосуют» за понравившуюся задачу.
Занятия 13, 14. Геометрические миниатюры
5
Заключительные занятия.
«В математике есть нечто, вызывающее человеческий восторг».
(Ф. Хаусдорф)
Урок-конференция: слушание и обсуждение выступлений, подготовленных
группами учащихся. Проводится открытое двухчасовое занятие, на которое
приглашаются учащиеся, учителя. Творческие группы представляют свои творческие
исследования по заданным темам. Подводятся итоги. Делается обобщение, выводы.
Награждения по номинациям.
Информационное обеспечение.
1. Братенкова Э.М., Елизарова Н.Г. Новые встречи с окружностью Сыктывкар: КГПИ, 2003.
2. Елизарова Н.Г., Палкина М.А., Понарядова Р.С. Геометрия. Избранные
разделы стереометрии – Сыктывкар: РОЗЛИ при КГПИ, 2003
3. Жуков А.В. и др. Элегантная математика - М.: Ком Книга, 2005
4. .Коксетер Г.С., С.М. Грейтцер. Новые встречи с геометрией – Москва:
«Наука». Главная редакция. Физ-мат. Литература, 1978
5. Прасолов В.В.. Задачи по планиметрии. Части 1 и 2. – Москва: Наука.
Главная редакция. Физ-мат. Литература, 1991
6. Рурукин А.Н. Пособие для интенсивной подготовки к экзамену по
математике – Москва: ВАКО, 2006
7. Скопец З.А. Геометрические миниатюры. – М.: Просвещение, 1990.
8. Шарыгин И.Ф. Задачник. 9-11 классы – Москва: Дрофа, 1996
9. Шарыгин И.Ф. Геометрия. 7-9 классы. Учебник для
общеобразовательных учебных заведений - Москва: Дрофа, 2001
Приложение№ 1.
Задачи
6
№
Задача
1.
Найти площадь равнобедренного
треугольника, если угол при
вершине 150, а радиус описанной
окружности равен 3 + 1.
Вывести формулы площади
треугольника через радиусы
вписанной и описанной
окружностей
3. Около окружности описана
равнобочная трапеция, одно из
оснований которой равно a, а
боковая сторона равна l. Найдите
площадь трапеции.
4. В равнобочной трапеции, описанной
около окружности, отношение
параллельных сторон равно k.
Найдите косинус острого угла при
основании трапеции.
5. Площадь равнобочной трапеции,
описанной около круга, равна S, а ее
высота в 2 раза меньше боковой
стороны. Найдите радиус
вписанного в эту трапецию круга.
6. К окружности радиуса 5 см из точки
А проведена касательная в точке В.
Расстояние АВ= 12 см. Найти
расстояние от точки А до центра
окружности.
7. В треугольнике из одной вершины
проведены высота и медиана,
которые делят угол на 3 равные
части. Определить углы
треугольника.
8. Докажите, что биссектриса,
проведенная из вершины прямого
угла, делит угол между высотой и
медианой, проведенными из той же
вершины, пополам.
9. В треугольнике из одной вершины
проведены высота, биссектриса и
медиана, которые делят угол на
четыре равные части. Определить
углы треугольника.
10. Докажите, что биссектриса,
проведенная из вершины
неравнобедренного треугольника,
лежит между высотой и медианой,
проведенными из той же вершины.
Указание
Теорема синусов, найти боковую
сторону, затем площадь
2.
Откуда
Взята
задача
2
Стр. 161
2
Стр. 165
3
Стр.344
№3
3
Стр.344
№5
3
Стр.344
№7
Теорема о касательной и
секущей
2
Стр. 167
Высота является и биссектрисой
одного из полученных
треугольников. Применить
основное свойство биссектрисы.
1
Стр. 6
Метод подсчета углов и введение
вспомогательной величины.
1
Стр. 7
Биссектриса и серединный
перпендикуляр пересекутся в
точке на окружности.
1
Стр. 7
1
Стр. 7
7
11. Высоты остроугольного
треугольника АВС пересекаются в
точке Н. Известно, что АВ=CH.
Найдите угол АСВ.
12. В треугольнике АВС проведена
биссектриса СD. Известно, что
центр окружности, вписанной в
треугольник ВСD, совпадает с
центром окружности, описанной
около треугольника. Найдите углы
треугольника АВС.
13. Доказать, что внутри
остроугольного треугольника всегда
существует точка М, из которой
каждая сторона видна под углом
120 0
14. Найти точку внутри остроугольного
треугольника, сумма расстояний от
которой до вершин имеет
наименьшее значение.
15. Дана окружность и точка вне ее.
Найдите геометрическое место
середин хорд окружности, которые
лежат на прямых, содержащих
данную точку.
16. Построить треугольник, если даны:
а) точка пересечения биссектрис
(медиан) и две вершины; б) точка
пересечения биссектрис (медиан),
одна из вершин и середина стороны,
которой принадлежит данная
вершина; в) точка пересечения
медиан и середины двух сторон.
17. Докажите, что высоты треугольника
являются биссектрисами высотного
треугольника (образованного
основаниями высот).
18. Построить остроугольный
треугольник, если даны: а) точка
пересечения высот, вершина при
основании и середина основания;
б) основания его высот.
19. Доказать, что если из точек А и D,
лежащих в одной полуплоскости от
прямой ВС, отрезок ВС виден под
одним и тем же углом α, то около
четырехугольника АВСD можно
описать окружность.
20. Около трапеции АВСD (ВС║ АD)
описана окружность, и в ту же
трапецию вписана другая
окружность, ВС:АD= =1:5, площадь
Провести ВЕ= CH и
перпендикулярный АВ. Около
АВЕС можно описать
окружность.
Обозначить один из углов при
вершине В α, затем применить
метод подсчета углов
1
Стр. 11
Построении на стороне угла
внешним образом праильного
треугольника
1
Стр. 13
Поворот треугольника вокруг
вершины на 60. Метод
спрямления.
1
Стр. 14
1
Стр. 11
1
Стр.9
5
№1
Б) Использовать задачу № 17
5
№4
1
Стр.9
1
Стр.9
8
21.
22.
23.
24.
25.
26.
27.
28.
29.
30.
трапеции равна 3√5/5. Найти высоту
трапеции.
В треугольник АВС, у которого
АВ=5, АС=3, ВС=7, вписана
окружность, М – точка касания этой
окружности со стороной АВ.
Найдите АМ.
Высоты остроугольного
треугольника АВС пересекаются в
точке Н. Известно, что АВ=CH.
Найдите угол АСВ.
В треугольнике АВС проведена
биссектриса СD. Известно, что
центр окружности, вписанной в
треугольник ВСD, совпадает с
центром окружности, описанной
около треугольника. Найдите углы
треугольника АВС.
В треугольнике АВС угол А равен α,
а угол В равен 2 α. Окружность с
центром в точке С радиусом СА
пересекает прямую, содержащую
биссектрису внешнего угла при
вершине В в точках М и N. Найдите
углы треугольника МАN.
В прямоугольном треугольнике АВС
один из острых углов равен 30 0 , М –
середина гипотенузы АВ, о – центр
вписанной окружности. Чему равен
угол ОМС?
Углы треугольника α и β. Найти
отношение его площади к площади
описанного круга.
Площадь кругового кольца равна S.
Радиус большей окружности равен
длине меньшей. Найдите радиус
меньшей окружности.
Медиана треугольника делит его на
два треугольника. Может радиус
окружности, вписанной в один из
образовавшихся треугольников,
быть ровно в два раза больше
радиуса окружности, вписанной в
другой треугольник?
В треугольник вписана окружность с
радиусом 4. Одна из сторон
треугольника разделена точкой
касания на отрезки, длины которых
6 и 8. Найти длины сторон
треугольника.
Стороны треугольника равны 4 см, 6
см и 8 см. Найти длины отрезков, на
1
Стр.10
Провести ВЕ= CH и
перпендикулярный АВ. Около
АВЕС можно описать
окружность.
Обозначить один из углов при
вершине В α, затем применить
метод подсчета углов
1
Стр. 11
Подсчет углов
3
Стр. 348
№49
1
Стр. 11
2
Стр.
170170
3
Стр. 345
№15
Применить формулу S=p∙r, затем
неравенство треугольника
3
Стр. 348
№ 52
Для площади треугольника
использовать формулу Герона и
формулу S=p∙r.
2
Стр.177
№3
Учесть, что отрезки от вершины
треугольника до точек касания
2
Стр.177
9
которые делятся стороны точками
касания вписанной окружности.
31. В прямоугольном треугольнике
катеты равны. Найти отношение
радиусов описанной и вписанной
окружностей.
32. Основанием пирамиды служит
квадрат со стороной а, два
двугранных угла при основании
прямые, два других равны φ. Найти
радиус сферы, вписанной в
пирамиду.
33. На гипотенузе АВ прямоугольного
треугольника АВС во вне построен
квадрат, центр его обозначен О.
Докажите, что СО – биссектриса
угла АСВ.
В каком отношении СО делит
гипотенузу.
33. В прямоугольном треугольнике
радиус описанной окружности в 2,5
раза больше радиуса вписанной
окружности. Найти площадь
треугольника, если его наименьшая
сторона равна 1.
равны.
№7
Ввести вспомогательную
величину а, которая равна длине
катета. Применить формулы
площади треугольника через
радиус описанной окружности и
вписанной окружности, выразить
радиусы и рассмотреть их
отношение.
Рассмотреть плоскость, на
которую спроектируется сфера.
2
Стр. 172
№ 27
Покажите, что вокруг АСВО
можно описать окружность.
Углы АСО и ВСО – вписанные
углы, опирающиеся на равные
дуги.
1
Стр. 16
Приложение № 2.
Темы исследовательских работ учащихся
1. Точки Брокара в разных треугольниках.
2. Точка Торричелли в разных треугольниках
3. Окружность девяти точек.
Приложение № 3
Контрольные вопросы
1. Верно ли, что если хорда делится пополам радиусом, то она параллельна
касательной, проведенной через конец радиуса?
2. Верно ли, что угол между касательной и хордой измеряется половиной дуги,
заключенной между касательной и хордой?
3. Для каких треугольников существуют вписанная и описанная окружности?
4. Какой может быть трапеция, вписанная в окружность?
5. Параллелограмм ABCD описан около окружности. Верно ли, что ABCDквадрат?
10
6. Докажите, что дуги окружности, заключенные между двумя параллельными
хордами, равны.
7. Может ли площадь треугольника, все высоты которого меньше 1 см, быть
больше 1 кв.км?
8. Можно ли вокруг параллелограмма описать окружность?
9. Может ли радиус окружности, описанной около треугольника, все стороны
которого меньше 1 см, быть больше 100 см?
10. Существует ли вписанный четырехугольник, имеющий один тупой угол и
три острых? Сколько прямых углов может иметь вписанный четырехугольник?
11. На плоскости заданы точки А, В, С так, что АВ=АС. Всегда ли существует
окружность, касающаяся прямых АВ и АС в точках В и С соответственно?
12. Из точки А провели касательную к окружности с центром О. Может ли точка
касания, точка А и точка О образовывать треугольник со сторонами 7, 9, 15?
13. Петя утверждает, что множество точек на плоскости, равноудаленных от
данной прямой и данной точки – это окружность. Прав ли он?
14. Верно ли, что около любого правильного многоугольника можно описать
окружность и притом только одну?
Приложение № 4
Проверь свои знания по геометрии
Каждое из ста приведенных ниже утверждений либо верно, либо неверно. В
соответствующей клетке заранее подготовленной таблицы нужно написать «да», если
вы считаете утверждение верным, и «нет», если неверным; если нет уверенности в
ответе — сделайте прочерк.
Сверьте свои ответы с приведенными в конце. За каждый правильный ответ вы
получаете 1 очко, в случае неверного ответа нужно вычесть из набранной суммы 2
очка, за сделанный прочерк – 0 очков. Если набрано больше 85 очков — вы очень
хорошо знаете предмет (оценка 5); 71 – 85 очков — знания можно оценить как хорошие
(оценка 4); 46 – 71 очко — знания удовлетворительные (оценка 3).
На всю работу отводится три часа. Можно сделать несколько перерывов по 5—10
минут. (Время перерывов не учитывается и в сумме не должно превышать одного
часа.)
1. Через любую точку плоскости можно провести прямую, параллельную данной
прямой этой плоскости.
2. Если фигура имеет более одной оси симметрии, то она имеет центр симметрии.
3. Через любую точку плоскости можно провести прямую, перпендикулярную
данной прямой плоскости.
4. Не существует многоугольника, имеющего ровно 15 диагоналей.
5. Пусть А, В и С такие три точки плоскости, что имеет место равенство
ВАС  ВСА . Тогда выполняется и равенство ВА = ВС.
6. Серединный перпендикуляр к основанию равнобедренного треугольника
проходит через вершину этого треугольника.
7. Если в треугольниках АВС и А1В1С1 имеют место равенства АВ =А1В1,
АСВ  А1С1 В1 , ВАС  В1 А1С1 , то эти треугольники равны.
8. Для любого треугольника АВС существует, и притом единственная, окружность,
касающаяся прямых АВ, ВС и СА.
9. Если треугольник можно разрезать на два равных треугольника, то этот
треугольник равнобедренный.
10. Не су шествует треугольника со сторонами 8 , 10 , 6.
11
11. В треугольнике, два угла которого равны
2
2
и
, наибольшей является
5
7
сторона, соединяющая вершины этих углов.
12. Если биссектриса внешнего угла треугольника параллельна противоположной
стороне треугольника, то этот треугольник является равнобедренным.
13. Если для четырехугольника ABCD имеет место равенство АВ+CD = ВС+AD, то
существует окружность, касающаяся прямых АВ, ВС, CD и DA.
14. Не существует треугольника, две биссектрисы которого перпендикулярны.
15. Не существует треугольника, две высоты которого перпендикулярны.
16. Если радиус окружности, описанной около треугольника, равен стороне
треугольника, то угол, противолежащий этой стороне, равен 30°.
17. Треугольник, в котором одна из сторон равна опущенной на эту сторону высоте,
а противолежащий угол меньше 45°, является тупоугольным.
18. В тупоугольном треугольнике квадрат наибольшей стороны меньше суммы
квадратов двух других сторон.
19. В произвольном треугольнике наименьшей является медиана, проведенная к
наибольшей стороне.
20. В любой четырехугольник со сторонами 8, 9, 10 и 12 нельзя вписать
окружность.
21. Трапецией называется четырехугольник, у которого две какие-то
противоположные стороны параллельны.
22. Существует четырехугольник, площадь которого больше половины
произведения его диагоналей.
23. Четырехугольник, все углы которого прямые, — параллелограмм.
24. Если у четырехугольника суммы противоположных углов равны, то в этот
четырехугольник можно вписать окружность.
25. Если у четырехугольника равны диагонали, то этот четырехугольник является
прямоугольником.
26. Если каждая из диагоналей четырехугольника делит пополам два его угла, то
этот четырехугольник является ромбом.
27. Если диагонали четырехугольника делят его на четыре равновеликих
треугольника, то этот четырехугольник является параллелограммом.
28. Если диагонали четырехугольника делят его на четыре треугольника таким
образом, что два противоположных треугольника равновелики, а два других — нет, то
этот четырехугольник является трапецией.
29. Имеется последовательность многоугольников, вписанных в одну и ту же
окружность. Известно, что длина наибольшей стороны этих многоугольников
стремится к нулю. Тогда периметр этих многоугольников стремится к длине
окружности.
30. Если внутри некоторого многоугольника расположен другой многоугольник, то
периметр второго (расположенного внутри) многоугольника меньше периметра
первого.
31. Среди всех окружностей, содержащих данный треугольник (вершины могут
располагаться на окружности), наименьший радиус имеет описанная окружность.
32. Середины сторон произвольного четырехугольника являются вершинами
параллелограмма.
33. Существует треугольник, высоты которого меньше 1см, а площадь больше 1м2.
34. Для любого треугольника АВС имеет место равенство АВ • А1С = АС • А1В, где
А1 — точка, в которой биссектриса угла ВАС пересекает ВС.
35. Нельзя расположить на плоскости пять различных попарно касающихся
окружностей.
12
36. Центр описанной около треугольника окружности всегда расположен внутри
треугольника.
37. Центр вписанной в треугольник окружности всегда расположен внутри
треугольника.
38. Серединные перпендикуляры к сторонам треугольника пересекаются в центре
вписанной в этот треугольник окружности.
39. Если уменьшить все стороны треугольника, то уменьшится и его площадь.
40. Прямые, проходящие через вершины треугольника и делящие пополам его
площадь, пересекаются в одной точке.
41. Если в треугольнике совпадают центры вписанной и описанной окружностей, то
этот треугольник является правильным.
42. Для любого угла α имеет место равенство tg α• ctg α = 1.
43. Геометрическим местом проекций точки А на всевозможные прямые,
проходящие через точку В, есть окружность с диаметром АВ. (А и В — фиксированные
точки плоскости, рассматриваются прямые, принадлежащие этой плоскости.)
44. Расстояние между центрами двух лежащих в одной плоскости и касающихся
окружностей равно сумме их радиусов.
45. Средней линией треугольника называется прямая, параллельная одной из сторон
треугольника и проходящая через середины двух его других сторон.
46. Синус тупого угла отрицателен.
x y
47. Прямые, задаваемые уравнениями 2 x  3 y  1 и   1 , параллельны.
2 3
48. Если отношение любых двух сторон одного треугольника равно отношению
двух соответствующих сторон другого треугольника, то такие треугольники являются
подобными.
49. Расстояние между точками А(-1; 2) и В(2; -2) равно 5.
50. Если две стороны треугольника равны, а один из углов равен 60°, то этот
треугольник – правильный.
51. Треугольник со сторонами 9, 40 и 41 является остроугольным.
52. При любом а уравнение x 2  y 2  ax задает окружность.
53. Скалярное произведение двух векторов всегда положительно.
54. Существует единственный треугольник, у которого две стороны равны 7 и 8, а
угол, противолежащий наименьшей из них, равен 60°.
55. Площадь треугольника с периметром 6 см не может быть больше 2 см2.
56. Угол в три радиана больше, чем угол в 172°.
57. Из высот любого треугольника можно составить треугольник (стороны нового
треугольника равны высотам исходного).
58. Не существует треугольника, у которого одна сторона равна 1, высота,
опущенная на эту сторону, равна 10, а угол, противолежащий данной стороне, равен
30°.
59. Из медиан любого треугольника можно составить треугольник (построить
треугольник, стороны которого равны медианам данного).
60. Сумма внешних углов любого выпуклого многоугольника равна 360°.
61. Радиус вписанной в треугольник окружности меньше половины любой высоты.
62. Существует треугольник, у которого две высоты находятся внутри
треугольника, а одна — снаружи.
63. Пусть О — центр вписанной в треугольник АВС окружности. Известно, что
АОС  135 . В этом треугольнике радиус описанной окружности равен медиане к
стороне АС.
64. Если центр описанной около треугольника окружности лежит на его медиане, то
этот треугольник равнобедренный.
13
65. Если четырехугольник является одновременно и вписанным, и описанным,
причем центры вписанной и описанной окружностей совпадают, то этот
четырехугольник является правильным.
66. Рассмотрим всевозможные выпуклые четырехугольники с соответственно
равными сторонами. Если в один из них можно вписать окружность, то и в каждый
четырехугольник также можно вписать окружность.
67. Центр окружности, описанной около треугольника со сторонами 5, 6 и 8,
расположен внутри треугольника.
68. При изменении угла от 0° до 180° его косинус возрастает.
69. В любом треугольнике квадрат биссектрисы меньше произведения сторон, ее
заключающих.
70. Если радиус описанной около треугольника окружности равен половине одной
из его сторон, то этот треугольник – прямоугольный.
71. Если радиус описанной около треугольника окружности равен какой-то медиане
треугольника, то этот треугольник – прямоугольный.
72. В любом треугольнике с неравными сторонами высота проходит между
биссектрисой и медианой, выходящими из той же вершины.
73. В любом треугольнике высота меньше медианы, выходящей из той же вершины.
74. Скалярное произведение двух векторов всегда меньше произведения их длин.
75. Треугольник, у которого радиус вписанной окружности равен 1, а периметр
равен 6, невозможен.
76. Существует треугольник, у которого сумма двух сторон равна 2, а медиана к
третьей стороне равна 1.
77. Справедливо равенство cos2 45° = cos60°.
78. Прямая, проходящая через точку пересечения диагоналей трапеции и середину
одной из его сторон, проходит и через точку, в которой пересекаются продолжения
непараллельных сторон трапеции.
79. Диагонали четырехугольника, у которого две противоположные стороны равны
8 и 1, а две другие 7 и 4, перпендикулярны.
80. Пусть две окружности пересекаются в точках А и В, М – некоторая точка,
расположенная на прямой АВ вне отрезка АВ. Тогда касательные к данным
окружностям, проведенные из точки М, равны.
81. Проведем через данную точку А произвольную прямую, пересекающую данную
окружность в точках В и С. Произведение АВ • АС постоянно и не зависит от прямой.
82. Площадь треугольника может быть вычислена по формуле S=R2sinAsinВsinС,
где R – радиус описанной окружности, А, В и С – углы треугольника.
83. Если скалярное произведение двух векторов равно нулю, то один из векторов
равен нулю.
84. На плоскости отмечены четыре точки, никакие три из которых не лежат на
одной прямой. Существует единственный четырехугольник, вершинами которого
являются эти точки.
 

85. Пусть а и b - два вектора плоскости. Тогда для любого вектора m существует



пара чисел х и у такая, что m  xa  yb .
86. Площадь круга больше полусуммы вписанного и описанного квадрата.
87. Если все углы вписанного многоугольника равны между собой, то этот
многоугольник является правильным.
88. Если угол одного треугольника равен углу другого, а две стороны первого
пропорциональны соответствующей паре сторон второго, то эти треугольники
подобны.
89. Если все стороны описанного многоугольника равны между собой, то этот
многоугольник является правильным.
90. Отношение длины окружности к ее диаметру больше, чем 3,14.
14
91. Геометрическим местом точек М плоскости, для которых треугольник АВМ
является равнобедренным, где А и В — две фиксированные точки плоскости, есть
серединный перпендикуляр к отрезку АВ.
92. Угол, вершина которого совпадает с центром вписанной в треугольник
окружности, а каждая из сторон проходит через вершину этого треугольника,
обязательно является тупым.
93. При любых а, b и с уравнение x 2  y 2  ax  by  c  0 задает на координатной
плоскости окружность или точку.
94. Уравнения y=kx+b u x+ky=d при любых k, b и d задают на координатной
плоскости пару перпендикулярных прямых.
95. Если высота треугольника равна 6 и делит сторону, на которую она опущена, на
отрезки длиной 4 и 9, то этот треугольник является прямоугольным.
96. Если для треугольника выполняется неравенство p  a  r , где p, a и r –
соответственно полупериметр, одна из сторон и радиус вписанной окружности, то этот
треугольник – тупоугольный.
97. Треугольник, у которого две стороны равны 1 и 2, а угол между ними 59°,
является тупоугольным.
98. Существуют два различных треугольника, в каждом из которых две стороны
равны 10см и 7см, а угол, противолежащий меньшей из этих сторон, равен 45°.
99. Если радиус описанной около треугольника окружности в два раза больше
радиуса вписанной в него окружности, то этот треугольник правильный.
100. Нельзя расположить на плоскости три непересекающиеся окружности так,
чтобы нашлось не менее семи различных окружностей, касающихся этих трех.
Ответы
1 нет
2 нет
3 да
4 да
5 нет
6 да
7 да
8 нет
9 да
10 да
11 нет
12 да
13 да
14 да
15 нет
16 да
17 да
18 да
19 да
20 да
21 нет
22 нет
23 да
24 нет
25 нет
26 да
27 да
28 да
29 нет
30 нет
31 нет
32 да
33 да
34 да
35 нет
36 нет
37 да
38 нет
39 нет
40 да
41 да
42 нет
43 да
44 нет
45 нет
46 нет
47 нет
48 да
49 да
50 да
51 нет
52 нет
53 нет
54 нет
55 да
56 нет
57 нет
58 да
59 да
60 да
61 да
62 нет
63 да
64 нет
65 да
66 да
67 нет
68 нет
69 да
70 да
71 нет
72 нет
73 нет
74 нет
75 да
76 нет
77 да
78 да
79 да
80 да
81 да
82 нет
83 нет
84 нет
85 нет
86 да
87 нет
88 нет
89 нет
90 да
91 нет
92 да
93 нет
94 да
95 да
96 да
97 да
98 нет
99 да
100 нет
Приложение № 5
Вопросы к рефлексии на уроках
-Что нового вы сегодня узнали?
- В чем возникали затруднения?
15
- Что помогло их разрешить?
- Достигли ли мы поставленной цели?
- Кто сегодня хорошо поработал? Кого мы можем отметить?
- Как каждый из вас оценивает свою работу?
- Какова цель нашей дальнейшей деятельности?
Приложение № 6.











Номинации к итоговому занятию
за самую красивую задачу;
за самый лучший чертеж;
за самое изящное решение;
за самый интересный исторический факт;
за волю к победе;
самому активному;
самому инициативному;
за лучший проект;
за оформление проекта;
самому остроумному;
за самые аккуратные записи.
16