ТОГОУ «Моршанская специальная (коррекционная

ТОГОУ «Моршанская специальная (коррекционная)
общеобразовательная школа – интернат».
Программа элективного курса
«Практикум по планиметрии»
для 10 класса
Выполнила: Л. А. Костенко
Моршанск, 2010 г.
Пояснительная записка.
Элективный курс «Практикум по планиметрии» разработан в рамках
реализации концепции профильного обучения на старшей ступени общего
образования и соответствует федеральному компоненту государственного
стандарта среднего (полного) общего образования по математике. В курсе
школьной программы в 7, 8, 9 классах на уроки геометрии отводится 2 часа в
неделю. Этого недостаточно, чтобы набраться хорошего опыта для решения
любой задачи по планиметрии, тем более, что в 10, 11 классах решаются
только стереометрические задачи, а на единый государственный экзамен
выносятся как задачи по стереометрии, так и по планиметрии. Отличительная
особенность планиметрических задач состоит в том, что по виду конкретной
задачи невозможно сразу понять, простая она или сложная. Вполне может
быть так, что на поиск очень простого решения придется потратить массу
времени. Поэтому данный курс рассчитан помочь обучающимся развить
систему ранее приобретенных знаний, набраться достаточного опыта для
решения планиметрических задач, лучше ориентироваться в них.
Цель курса:
 Вызвать интерес обучающихся к изучению данного курса;
 Создать целостное представление о теме и расширить спектр задач,
посильных для обучающихся.
Задачи курса:
 Развить творческую активность;
 Способствовать сознательному и прочному усвоению материала;
 Научить хорошо ориентироваться в задачах и умению их решать.
Данный курс рассчитан на 34 часа, предполагает компактное и четкое
изложение теории вопроса, решение задач, самостоятельную работу.
Содержание программы.
Тема 1. Треугольники.
На первом занятии обучающимся сообщаются цель и задачи элективного
курса. Дается возможность освоить алгебраический подход к решению
планиметрических задач. Рассматриваются все виды треугольников,
основные формулы. Решаются задачи, которые встречаются на ЕГЭ.
Тема 2. Подобие.
Использование подобия треугольников часто дает решающее продвижение в
планиметрической задаче.
На этом занятии решаются типовые задачи на эту тему. Учимся находить
пары подобных треугольников, даже в порой очень запутанных случаях.
Тема 3. Площади.
На занятиях идет отработка основных формул путем решения более легких
задач. Знакомство с методом поиска площадей фигур путем сравнения с
известными площадями. Решаются задачи, которые встречаются на ЕГЭ.
Тема 4. Четырехугольники.
Решаются задачи на трапеции и параллелограммы с использованием
основных формул, теорем. Особое внимание уделяется задачам, где
используется параллельность.
Тема 5. Окружности.
Решение задач, используя свойства окружностей (вписанных и описанных),
вписанного угла пересекающихся хорд.
Тема 6. Окружности и треугольники.
Решение задач на комбинацию окружности и треугольника. Окружности,
вписанные и описанные около треугольников. Окружности, вписанные и
описанные около прямоугольных треугольников.
Тема 7. Окружности и четырёхугольники.
Решение задач на комбинацию окружности и четырёхугольника.
Четырёхугольники, вписанные и описанные около окружности. Площади
четырёхугольников, вписанных и описанных около окружностей. Теорема
Птолемея.
Учебно-тематический план.
№
1
Тема
Треугольники
Количество часов
всего
лекции
практика
6
1
5
Форма
контроля
С. Р.
 Общие
треугольники
 Равнобедренные
треугольники
 Прямоугольные
треугольники
2
Подобие
3
1
2
3
Площади
4
1
3
С. Р.
4
Четырехугольники
6
1
5
С. Р.
5
Окружности
3
1
2
6
Окружности и
3
1
2
3
1
2
треугольники
7
Окружности и
С. Р.
четырёхугольники
8
Решение задач по всему
5
5
1
1
курсу
9
Итоговый контроль
К. Р.
Требования к уровню подготовки обучающихся.
В результате изучения курса обучающиеся должны уметь:
- точно и грамотно формулировать теоретические положения и излагать
собственные рассуждения в ходе решения заданий;
- уверенно решать задачи на вычисление, доказательство и построение;
- применять аппарат алгебры и тригонометрии к решению геометрических
задач;
- применять свойства геометрических преобразований к решению задач.
Литература.
1. Л.С. Сагателова Геометрия. Решаем задачи по планиметрии.
Практикум: элективный курс Волгоград: «Учитель», 2009
2. А. Н. Рурукин. Пособие для интенсивной подготовки к
экзамену по математике М. «Вако», 2004
3. Э. Н. Балаян. Математика, Ростов – на –Дону. «Феникс»,
2004
4. С. И. Колесникова. Интенсивный курс подготовки к ЕГЭ.
М. «Айрис пресс», 2004
5. Денищева Л. О. и другие. Учебно-тренировочные
материалы для подготовки к единому государственному
экзамену. М. «Интеллект-центр», 2001
5. Г.И. Григорьева. Математика. Задания для подготовки к
олимпиадам 10-11 классы. Волгоград «Учитель», 2005
6. Журнал «Математика в школе» №9 2006 год
7. Журнал «Математика в школе» №2 2007 год
Календарно-тематическое планирование.
№
Тема
Количество
часов
1
Общие треугольники
1
2
Общие треугольники
1
3
Равнобедренные треугольники
1
4
Равнобедренные треугольники
1
5
Прямоугольные треугольники
1
6
Прямоугольные треугольники
1
7
Подобие
1
8
Подобие
1
9
Подобие
1
10
Площади
1
11
Площади
1
12
Площади
1
13
Площади
1
14
Четырехугольники
1
15
Четырехугольники
1
16
Четырехугольники
1
17
Четырехугольники
1
18
Четырехугольники
1
19
Четырехугольники
1
20
Окружности
1
Примерные
сроки
21
Окружности
1
22
Окружности
1
23
Окружности и треугольники
1
24
Окружности и треугольники
1
25
Окружности и треугольники
1
26
Окружности и четырёхугольники
1
27
Окружности и четырёхугольники
1
28
Окружности и четырёхугольники
1
29
Решение задач по всему курсу
1
30
Решение задач по всему курсу
1
31
Решение задач по всему курсу
1
32
Решение задач по всему курсу
1
33
Решение задач по всему курсу
1
34
Итоговый контроль
1
Занятие № 1.
Тема занятия: «Треугольники».
Цель занятия: обобщить и систематизировать знания обучающихся по теме
«Треугольники».
Тип занятия: лекция.
Ход занятия.
I. Организационный момент.
II. Лекция.
1. Основные свойства.
Треугольником называет многоугольник с тремя углами (с тремя сторонами).
Стороны и углы треугольника считаются основными элементами треугольника.
Говорят, что в треугольнике АВС сторона а лежит против угла α и, наоборот,
против стороны а лежит угол α. Аналогично b лежит против β, с – против γ.
В
Треугольник полностью определяется
β
любой из следующих троек своих основных
с
a
элементов: либо тремя сторонами, либо
α
γ
одной стороной и двумя одинаково
А
b
сторонами и углом между ними.
С
расположенными углами, либо двумя
Для существования треугольника, задаваемого тремя сторонами а, b, с,
необходимо и достаточно выполнение неравенств, называемых неравенствами
треугольника:
а + b > с, а + с > b, b + с > а.
Для существования треугольника, задаваемого стороной а и углами α, β,
необходимо и достаточно выполнение неравенства
α + β < 180º,
а для существования треугольника, задаваемого сторонами b, с и углом γ между ними,
необходимо и достаточно выполнение неравенства
γ < 180º.
В качестве тройки элементов, однозначно определяющих треугольник, можно
выбирать и другие наборы элементов.
Не всякая тройка основных элементов треугольника однозначно задает
треугольник. Так, задавая три угла треугольника α, β, γ (они не являются
независимыми и связаны между собой равенством α + β + γ = 180º), можно построить
сколь угодно много треугольников с углами α, β, γ (эти треугольники подобны).
Соотношения между сторонами и углами треугольника:
1) против большей стороны лежит больший угол;
2) против большего угла лежит большая сторона;
3) против равных сторон лежат равные углы, и, обратно, против равных углов
лежат равные стороны.
Соотношение между внутренними и внешними углами треугольника: сумма двух
любых внутренних углов треугольника равна внешнему углу треугольника, смежного
с третьим углом.
Стороны и углы треугольника связаны между собой также соотношениями,
называемыми теоремой синусов и теоремой косинусов.
Теорема косинусов. Квадрат стороны треугольника равен сумме квадратов двух
других сторон без удвоенного произведения этих сторон на косинус угла между ними:
а² = b² + с² – 2bс cosα;
b² = a² + c² – 2ac cosβ;
c² = a² + b² – 2ab cosγ.
Теорема синусов. Стороны треугольника пропорциональны синусам
противолежащих углов:
а
sinα =
b
sinβ =
с
sinγ = 2R.
Треугольник называется тупоугольным, прямоугольным или остроугольным, если
его наибольший внутренний угол соответственно больше, равен или меньше 90º.
Площадь треугольника S может быть вычислена по формулам:
S = ½аhа = ½bhв = ½chс,
S = √p(p – a)(p – b)(p – c) (формула Герона),
S = ½absinγ, S = pr.
Два треугольника называются равновеликими, если их площади равны.
2. Медианы треугольника.
Медианой треугольника называется отрезок, соединяющий вершину треугольника
с серединой противолежащей стороны. Отрезки АD, ВЕ, СF – медианы треугольника.
Медианы пересекаются в одной точке, лежащей внутри треугольника.
А
Основное свойство медиан треугольника:
1) медианы треугольника точкой их пересечения
Е
O
F
делятся в отношении 2:1 (считая от вершин
треугольника);
С
D
В
равновеликих треугольника;
2) медиана делит треугольник на два
3) три медианы треугольника делят треугольник на шесть равновеликих
треугольников (AOE, EOC, COD, DOB, BOF, FOA равновелики).
Медиана треугольника mа, проведенная к стороне а, выражается через стороны
треугольника по формуле
mа = ½√2b² + 2с² – а².
3. Высоты треугольника.
Пусть АВС – произвольный треугольник. Проведем через вершину А
перпендикуляр к прямой а, содержащей сторону ВС. Обозначим основание
перпендикуляра буквой D. Отрезок перпендикуляра АD называют высотой
треугольника АВС, опущенной из вершины А на сторону ВС. Сторона ВС при этом
называют основанием треугольника АВС.
В остроугольном треугольнике все три высоты лежат внутри треугольника. В
тупоугольном треугольнике АВС две высоты (AD, BE) пересекают продолжение
сторон и лежат вне треугольника; третья высота (CF) пересекает сторону
треугольника. В прямоугольном треугольнике катеты являются также и высотами.
А
Три прямые, содержащие разные высоты
Е
F
треугольника, всегда пересекаются в одной
точке, называемой ортоцентром треугольника.
В
С
В остроугольном треугольнике ортоцентр
D
лежит внутри треугольника; в тупоугольном – вне треугольника; в прямоугольном
треугольнике ортоцентр совпадает с вершиной прямого угла. Высоты треугольника,
опущенные на стороны треугольника а, b и с обозначаются hа, hв и hс соответственно.
Высота треугольника hа выражается через стороны по формуле
hа = 2√(р – а)(р – b)(р – с)
а
, где р = ½(а + b + с).
4. Биссектрисы треугольника.
Пусть АВС – произвольный треугольник. Проведем биссектрису угла ВАС; она
пересекает сторону ВС в точке D. Отрезок биссектрисы внутреннего угла
А
треугольника называют биссектрисой треугольника.
Е
F
Три биссектрисы треугольника (АD, ВЕ, СF)
пересекаются в одной точке, лежащей внутри
В
С треугольника и являющейся центром вписанной
D
в треугольник окружности.
Свойства биссектрисы угла треугольника:
1) биссектриса делит противоположную сторону на части, пропорциональные
прилежащим сторонам. Так, для треугольника АВС:
|АЕ|
|АВ|
|ЕС|
= |ВС|;
2) биссектриса треугольника делит площадь треугольника в отношении,
пропорциональном прилежащим сторонам:
SΔАВЕ
SΔВСЕ
|АВ|
=
|ВС|.
Биссектриса треугольника lа, делящая пополам угол α, противолежащий стороне
а, вычисляется через стороны и углы треугольника по формулам
lа = 2abcos(γ⁄2)
a+b
=
2accos(β⁄2)
,
a+c
где b и с стороны треугольника, лежащие против углов β и γ соответственно.
5. Средняя линия треугольника.
Средней линией треугольника называется отрезок, соединяющий середины двух
сторон треугольника (DE, DF, FE – средние линии).
В
Свойства средней линии треугольника:
1) прямая, содержащая среднюю линию треугольника,
D
A
Е
параллельна прямой, содержащей третью сторону
C
D
третьей стороны;
треугольника;
2) средняя линия треугольника равна половине его
3) средняя линия треугольника отсекает от треугольника подобный треугольник.
Площадь отсекаемого треугольника относится к площади треугольника как 1: 4.
6. Равнобедренный треугольник.
Треугольник, у которого две стороны равны, называется равнобедренным.
В равнобедренном треугольнике обычно за основание принимают сторону, не
равную никакой из остальных двух сторон.
Вершину угла, лежащего против основания равнобедренного треугольника,
обычно называют вершиной равнобедренного треугольника.
Свойства равнобедренного треугольника:
1) в равнобедренном треугольнике углы при основании треугольника равны;
2) высота, проведенная из вершины, является также биссектрисой и
медианой.
7. Равносторонний треугольник.
Треугольник, все стороны которого равны, называется равносторонним (или
правильным) треугольником.
Свойства равностороннего треугольника:
1) все углы равны (каждый угол равен 60◦);
2) каждая из трех высот является также биссектрисой и медианой;
3) центр окружности, описанной около треугольника, совпадает с центром
окружности, вписанной в него.
8. Прямоугольный треугольник.
Треугольник, один из углов которого прямой, называется прямоугольным
треугольником. Сторона, лежащая против прямого угла, называется гипотенузой, а
две остальные стороны – катетами. На рисунке ∟ВСА = 90◦, ВА – гипотенуза, ВС
и СА – катеты.
Прямоугольный треугольник, имеющий равные катеты,
В
называется равнобедренным прямоугольным треугольником.
ас
а
В равнобедренном прямоугольном треугольнике острые
углы равны (каждый из них равен 45◦).
bс
С
А
b
Стороны всякого прямоугольного треугольника а, b и с (с – гипотенуза)
связаны между собой отношением, называемым теоремой Пифагора:
с2 = а2 + b2,
которая читается так: квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов.
Свойства прямоугольного треугольника:
1) катет есть среднее пропорциональное между гипотенузой и проекцией
этого катета на гипотенузу:
bс : b = b : с, ас : а = а : с, или
b2 = bсс, а2 = асс;
здесь через ас и bс обозначены проекции катетов а и b на гипотенузу с;
2) высота, проведенная из вершины прямого угла, есть среднее
пропорциональное между проекциями катетов на гипотенузу:
bс : h = h : aс или h2 = aсbс;
3) центр окружности, описанной около прямоугольного треугольника, лежит
на середине гипотенузы.
Площадь прямоугольного треугольника равна половине произведения его
катетов:
S = ½аb.
III. Практическая часть.
№ 1.
Найдите расстояние от точки пересечения медиан прямоугольного
треугольника до его гипотенузы, равной 25, если один из катетов равен 20.
А
Решение.
Н
Из условия задачи следует:
Т
АС2 = АВ2 – ВС2 = 252 – 202 = 225 = 152.
М
С
Отсюда АС = 15. Теперь в треугольнике известны
В
все стороны.
Так как О – точка пересечения медиан, то СО : ОМ = 2 : 1 – по свойству
медианы. А нам требуется найти ОТ – длину перпендикуляра, опущенного из точки
О на гипотенузу АВ.
Проведем высоту СН треугольника АВС. Получили два подобных
треугольника: ΔСНМ ~ ΔОТМ, поскольку ОТ ║СН как два перпендикуляра к одной
прямой. Из подобия следует:
ОТ = ОМ = 1
СН
СМ
3.
Значит, ОТ = ⅓СН. Осталось, зная все стороны прямоугольного треугольника,
найти его высоту, опущенную из вершины прямого угла.
Для этого можно применить метод площадей. А именно, найти площадь
треугольника АВС двумя способами.
SΔАВС = ½СН∙АВ = ½АС∙ВС.
Отсюда СН = АС ∙ ВС : АВ = 20 ∙ 15 : 25 = 12, следовательно ОТ = ⅓СН = 4.
Ответ: 4.
№ 2.
В треугольнике АВС проведены биссектриса АD и прямая СF,
перпендикулярная биссектрисе АD и пересекающая ее е точке Т, а сторону АВ в
точке F. Известно, что DТ = 1, ∟АСF = 50◦, ∟АВС = 20◦. Найдите углы
треугольника АВС и длину отрезка СF.
А
Решение.
В треугольнике АСF АТ – биссектриса и высота.
Следовательно, этот треугольник – равнобедренный и
поэтому ∟АFС = ∟АСF = 50◦. Но сумма углов
треугольника равна 180◦. Значит, ∟САF = ∟САВ =
80◦. Отсюда ∟АСВ = 80◦. Поэтому треугольник АВС
тоже равнобедренный и ВС = АВ.
Для нахождения отрезка СF заметим, что ∟DСТ = ∟АСD - ∟АСТ = 30◦. В
прямоугольном треугольнике СТD катет DТ, лежащий против угла 30◦, равен
половине гипотенузы. Значит, СD = 2DТ = 2. Поэтому СТ2 = СD2 – DТ2 = 22 – 1 = 3.
Поскольку биссектриса равнобедренного треугольника, проведенная из его
вершины, является его медианой то СF = 2СТ. Значит, С F = 2√3.
Ответ: 20◦, 80◦. 80◦, 2√3.
IV. Подведение итогов.
V. Домашнее задание.
№ 1.
Стороны треугольника равны 12 м, 16 м и 20 м. Найдите его высоту,
проведенную из вершины большего угла.
№ 2.
Точка М лежит внутри равнобедренного треугольника АВС с основанием АС
на расстоянии 6 от боковых сторон и на расстоянии √3 от основания. Найдите
основание треугольника, если ∟В = 120◦.