09-04-01b_Metricheskie_sootnoshenija_v_treugolnike

Тема 4. Метрические соотношения в треугольнике
В этой теме Вы узнаете теорему косинусов, теорему синусов для треугольника и новую
формулу для вычисления площади треугольника. Будет показано, как находить
неизвестные углы и стороны треугольника по его известным сторонам и углам.
§3. Решение треугольников
3.1. Основными элементами треугольника называются его стороны a , b , c и
противолежащие им углы  ,  ,  . К неосновным элементам причисляются: высоты,
биссектрисы, медианы, радиусы вписанной и описанной окружностей, периметр и так
далее.
Основные задачи на решение треугольников состоят в нахождении по некоторым
известным основным элементам треугольника его остальных основных элементов.
Выделяют четыре основных случая, которые по очереди разберем.
Случай 1. Даны три стороны a , b и c .
Косинус угла  можно найти из теоремы косинусов:
b2  c 2  a 2
cos  

2bc
Аналогично можно вычислить косинус угла  и косинус угла  .
Задача имеет решение, если большая из сторон меньше суммы двух других.
Единственность решения следует из третьего признака равенства треугольников.
Пример 1. Пусть a  6 см, b  7 см, c  8 см. Найдите sin  .
Решение. Запишем теорему косинусов для квадрата стороны, лежащей против угла  :
a 2  b 2  c 2  2bc  cos  
Подставляя известные значения, получим
62  72  82  2  7  8  cos  
откуда
49  64  36
77
11
cos  

 
2  7 8
2  7  8 16
Поэтому
(16  11)(16  11) 3 15
 11 
sin   1    


16
16
 16 
3.2. Разберем второй случай решения треугольников.
Случай 2. Даны две стороны a , b и угол между ними  .
Сторону c можно найти по теореме косинусов:
c 2  a 2  b2  2ab  cos  
После этого косинус угла  находится, как указано в предыдущем пункте:
b2  c 2  a 2
cos  

2bc
Наконец, можно записать   180     , и тем самым угол  становится
известным.
Таким образом, во втором случае задача всегда имеет решение, и притом только одно.
Пример 2. Пусть a  3 см, b  4 3 см и   150 . Найдите tg  .
Решение. По теореме косинусов
2
 
c 2  a 2  b2  2ab  cos   9  48  2  3  4 3  
3
2
 9  48  36  93 , откуда c  93 (см).
Далее, b2  a 2  c 2  2ac  cos  ,
48  9  93  2  3 93  cos  
54
9
cos  


2  3 93
93
sin   1 
tg  2
3
9
81
12 2 3



93
93
93

3.3. Разберем третий случай решения треугольников.
Случай 3. Даны сторона a и два угла  и  . Тогда   180     . Следовательно,
sin   sin(    ) cos    cos(    )
Запишем теорему синусов:
a
b
c



sin  sin  sin
Отсюда
a  sin 
a  sin 
b


sin 
sin(    )
a  sin 
a  sin 
c


sin 
sin(    )
Таким образом, если в этом случае     180 , то задача имеет единственное
решение.
Пример. Пусть a  6 см,   30 ,   75 . Найдем сторону b .
Решение.   180      75   .
Следовательно, треугольник равнобедренный, а поэтому c  6 см. После этого, как в
случае 2, находим

3
b2  a 2  a 2  2a 2 cos   2a 2 (1  cos  )  2  36 1 
 
2


откуда b  6 2  3 (см).
3.4.** Разберем четвертый случай решения треугольников.
Случай 4. Даны две стороны и угол, лежащий против одной из них, например, даны
стороны a , b и угол  .
Из теоремы синусов можем записать равенство
a
sin    sin 
(1)
b
Стоящее в правой части этого равенства выражение ba  sin  может принимать
различные значения в зависимости от заданных величин a , b и  . При этом возможны
три следующих случая.
I. ba  sin   1 , то есть sin   ba . Тогда равенство (1) невозможно ни при каком
значении угла  , а поэтому треугольника с такими основными элементами не
существует.
Геометрически условие sin   ba означает, что если построить AC  b и с центром в
точке C и радиусом a провести окружность, то луч, проведенный из точки A под углом
 к лучу AC , не пересекается с построенной окружностью (рисунок 1).
II. ba  sin   1 , то есть sin   ba . Тогда равенство (1) возможно лишь при   90 , а
поэтому существует только прямоугольный треугольник с такими основными элементами,
откуда сторона c вычисляется единственным образом.
Геометрически условие sin   ba соответствует рисунку 2.
III. ba  sin   1 , то есть sin   ba . Тогда равенство (1) возможно в двух случаях: угол 
острый и угол  тупой. При     180 мы можем найти угол   180  (   ) и
sin 
вычислить sin   sin(   ) , а затем из теоремы синусов найти c  asin
 .
В третьем случае задача может не иметь решения (например, при a  b и a  120 ),
иметь одно решение (например, при a  b и   90 ) и иметь два решения (рисунок 3).
3.5. Задачи решения треугольников возникают при измерениях на местности. При
этом предполагается, что имеются инструменты, позволяющие с достаточной точностью
измерять расстояние и углы.
В этом пункте разберем наиболее часто встречающийся случай.
Разберем как можно вычислить расстояние от доступной точки A до некоторой
недоступной точки B .
Для вычисления расстояния AB выбирают вторую доступную точку C , из которой
видны точки A и B . Измеряют расстояние AC и углы CAB   и ACB  
(рисунок 4).
Решая треугольник ABC по стороне AC и двум углам  и  , находят сторону AB .
3.6.* Разберем, как можно вычислить расстояние между двумя недоступными точками
A и B.
Для этого выбирают две доступные точки C и D , из которых видны A и B .
Измеряют расстояние CD и углы ADC   , BDC   , ACD   , BCD   (рисунок 5).
Решая треугольник ACD по стороне CD и углам  ,  и треугольник BCD (по
стороне CD и углам  ,  ), находят стороны AC и BC .
Решая треугольник ABC по двум сторонам AC и BC и углу между ними    ,
находят расстояние AB .
3.7.** Разберем, как можно на местности вычислить расстояние между двумя
далекими точками A и B .
Вычисление ведут способом триангуляции, который состоит в следующем.
Соединяют точки A и B сетью треугольников AA1 A2 , A1 A2 A3 , A2 A3 A4 , A3 A4 A5 , A4 A5 B
(рисунок 6), а, возможно и большим числом треугольников.
Вершины треугольников выбирают так, чтобы из каждой вершины треугольника были
видны две другие его вершины, а первый треугольник AA1 A2 выбирают так, чтобы
сторона AA1 была доступна непосредственному измерению.
Измерив сторону AA1 и углы AA1 A2 и A1 AA2 , находят, как в примере из пункта 4.5,
стороны AA2 и A1 A2 у треугольника AA1 A2 .
Затем, зная сторону A1 A2 следующего треугольника A1 A2 A3 и измерив его углы при
вершинах A1 и A2 , вычисляют другие его стороны и так далее.
Найдя все стороны сети треугольников AA1 A2 , A1 A2 A3 ,..., A4 A5 B , переходят к
рассмотрению сети вспомогательных треугольников AA2 A3 , AA3 A4 , AA4 A5 , AA5 B .
В треугольнике AA2 A3 по найденным сторонам AA2 и A2 A3 и углу AA2 A3 , который
равен сумме AA2 A1  A1 A2 A3 , находят сторону AA3 и угол AA3 A2 . Аналогично, в
треугольнике AA3 A4 по сторонам AA3 , A3 A4 и углу AA3 A4 , который равен сумме
AA3 A2  A2 A3 A4 , находят сторону AA4 и угол AA4 A3 и так далее.
Решая таким образом один за другим вспомогательные треугольники, находят,
наконец, сторону AB последнего из этих треугольников (на рисунке 6 – треугольника
AA5 B ).
Задачи и упражнения
1. Решите треугольник, если даны:
а) a  20 ,   75 ,   60 ;
б) a  7 , b  23 ,   130 ;
в) a  27 , b  9 ,   138 ;
г) a  7 ; b  2 , c  8 .
2.* Выразите площадь параллелограмма через его стороны m , n и острый угол 
между его диагоналями.
3. В треугольнике ABC проведены биссектрисы BD и AE . Найдите отношение
площадей треугольников ABC и BDE , если AB  5 , BC  8 , AC  13 .
4. Треугольный участок земли ABC был обмерен так называемым полярным
способом. Из точки O , выбранной внутри участка, были измерены расстояния OA , OB ,
OC и углы AOB , BOC . Найдите длину изгороди для ограждения участка при OA  28 м,
OB  43 м, OC  50 м, AOB  152 , BOC  94 .
5.* Найдите неизвестные стороны четырехугольника ABCD , если известно, что:
а) AB  3 , BC  4 , CD  5 , ABC  110 , BCD  130 ;
б) AB  5 , CD  6 , BAC  40 , ABD  50 , ACD  60 .
6. В окружность радиуса R вписана трапеция. Одно основание совпадает с диаметром
окружности, а другое стягивает дугу с центральным углом в 120 . Найдите площадь
трапеции.
§4. Скалярное произведение векторов
4.1. В восьмом классе мы начали изучение векторов на плоскости. Напомним, что с
помощью прямоугольной системы координат по простым правилам определяются
операции сложения векторов и умножения вектора на число. А именно, если a  ( x1; y1 ),
b  ( x2 ; y2 ) и t - действительное число, то
a  b  ( x1  x2 ; y1  y2 );
ta  (tx1; ty1 ).
Геометрический смысл этих операций удается использовать при решении некоторых
задач планиметрии.
4.2. Для более широкого применения векторов помимо сложения векторов и
умножения вектора на число вводится новая операция - скалярное произведение
векторов}. Определим эту операцию через координаты векторов в прямоугольной
системе координат.
Скалярным произведением двух векторов a  ( x1; y1 ), и
b  ( x2 ; y2 ) называется число, равное x1  x2  y1  y2 .
Скалярное произведение векторов a и b обозначается a  b . Таким образом, если
a  (m; n), , b  ( p; q), то a  b  mp  nq .
Пример 1. Пусть в прямоугольной системе координат с началом O точки и N имеют
координаты
M(-2;3),
N(2;1)
(рисунок
1).
Тогда
OM  (2;3), ON  (2;1)
и
OM  ON  (2)  2  3 1  1.
Обратим внимание на следующее отличие скалярного произведения векторов от
суммы векторов. А именно, если сумма векторов есть также вектор, то скалярное
произведение векторов - это не вектор, а число. Поэтому при действиях с векторами
следует четко различать, где появляются векторы, а где - числа.
4.3. Скалярное произведение векторов имеет следующие основные свойства.
1. a  b  b  a ;
2. (ta )  b  t  (a  b ) ;
3. a  (b  c )  a  b  a  c .
Эти свойства нетрудно доказать. Например, докажем третье свойство.
Пусть a  (m; n), b  ( x1; y1 ) , c  ( x2 ; y2 ) . Тогда
b  c  ( x1  x2 ; y1  y2 ) и a  (b  c )  m( x1  x2 )  n( y1  y2 ).
С другой стороны, a  b  mx1  ny1 , a  c  mx2  ny2 , откуда
a  b  a  c  (mx1  ny1 )  (mx2  ny2 )  m( x1  x2 )  n( y1  y2 ).
Таким образом, равенство a  (b  c )  a  b  a  c доказано.
4.4. Основные свойства скалярного произведения позволяют
преобразования, частично похожие на действия с числами.
Пример 2. Докажем, что (a  b )  (a  b )  a  a  2((a  b )  b  b ).
производить
Доказательство. Разность a  b можно представить в виде
a  (1)  b .
Поэтому (a  b )  (a  b )  (a  (1)  b )  (a  (1)  b ).
Далее имеем (a  (1)  b )  (a  (1)  b ) 
(по третьему свойству)
 (a  (1)  b )  a  (a  (1)  b )  ((1)  b ) 
(по первому свойству)
 a  (a  (1)  b )  ((1)  b )  (a  (1)  b ) 
(по второму свойству)
 a  (a  (1)  b )  b  (a  (1)  b ) 
(по третьему свойству)
 a  a  a ((1)  b )  b  a  (b  ((1)  b ) 
(по второму и первому свойствам)
 a  a  (a  b )  (a  b )  b  b  a  a  2(a  b )  b  b .
4.5. Скалярное произведение векторов имеет большое значение благодаря своим
геометрическим свойствам. Сначала рассмотрим свойства скалярного произведения
векторов, связанных с одной точкой. В этом пункте рассмотрим скалярное произведение
вектора на себя.
Пусть a  AB , где A(m;n), B(p;q). Тогда вектор a имеет координаты (p-m;q-n).
Отсюда по определению скалярного произведения
a  a  ( p  m)  ( p  m)  (q  n)  (q  n)  ( p  m) 2  (q  n) 2 .
Вспомним, что длина вектора a , равная длине отрезка AB, вычисляется по формуле
| a | ( p  m) 2  (q  n) 2
Возведя обе части этого равенства в квадрат, получаем
| a | ( p  m)2  (q  n)2  a  a,
откуда a  a | a |2 .
Таким образом, скалярное произведение a  a - это число, равное квадрату длины
вектора a .
Иногда скалярное произведение a  a для краткости обозначают как a 2 . Это
позволяет, например, записать равенство a  a  a 2 | a |2 .
Пример 3. В координатной плоскости треугольник ABC имеет вершины A(-3;-2),
B(6;1), C(-2;5). Точка D расположена на стороне BC, причем BD:DC=1:3. Найти длину
отрезка AD.
1
1
Решение. Из условия следует, что BD  BC . Поэтому BD  BC . Отсюда
4
4
1
AD  AB  BD  AB  BC . Зная координаты точек A, B, C можно вычислить координаты
4
вектора AD , а затем с помощью скалярного произведения и длину вектора AD :
AB  (6;1)  (3; 2)  (9;3),
BC  (2;5)  (6;1)  (8; 4),
1
1
AD  AB  BC  (9;3)  (8; 4)  (9;3)  (2;1)  (7; 4),
4
4
2
AD  7 2  42  65.
2
Так как AB | AD |2 , то | AD |2  65 .
Ответ: | AD |2  65 .
4.6. Прежде чем установить геометрический смысл скалярного произведения введем
понятие угла между ненулевыми векторами, связанными с одной точкой.
Углом между ненулевыми векторами AB и AC называется угол между
лучами AB и AC.}
В частности, когда векторы AB и AC сонаправлены, точки B и C лежат на одном
луче с началом A. Поэтому угол между такими векторами имеет величину 0 .
В случае, когда векторы AB и AC противоположно направлены, лучи AB и AC
образуют развернутый угол. Величина угла между такими векторами равна 180 .
В остальных случаях величина угла между двумя ненулевыми векторами принимает
значение из промежутка (0 ;180 ) .
4.7. Пусть точки A, B, C не лежат на одной прямой. Рассмотрим треугольник ABC
(рисунок 3) и по теореме косинусов запишем равенство
BC 2  AB 2  AC 2  2 AB  AC  cos BAC.
(1)
После этого рассмотрим векторы a  AB , b  AC и c  b  a. Тогда AB | AB || a | ,
AC | AC || b | , BC | BC || b  a | . Поэтому равенство (1) можно записать в виде
| b  a |2 | a |2  | b |2 2 | a |  | b | cos  ,
(2)
где   BAC есть угол между векторами a и b . Так как | b  a |2  (b  a ) 2 то
используя равенство из пункта 1.4. получаем
| b  a |2  (b  a ) 2  b 2  2b  a  a 2  a 2  b 2  2a  b | a |2  | b |2 2a  b . (3)
Из равенств (2) и (3) следует
| a |2 | b |2 2 | a |  | b | cos  | a |2  | b |2 2a  b ,
откуда
2 | a |  | b | cos   2a  b ,
или
a  b | a |  | b | cos  .
Таким образом, мы доказали, что когда a  AB , b  AC неколлинеарны, скалярное
произведение векторов a и b равно произведению длин этих векторов на косинус угла
между ними.
Пусть теперь ненулевые векторы a  AB , b  AC коллинеарны, то есть b  ta , где t соответствующее число.
При t>0 векторы a и b сонаправлены, величина угла между ними равна 0 и
a  b  a  (ta )  t (a  a )  t | a |2 | a | (t | a |) | a |  | b || a |  | b | cos 0 .
При t<0 векторы a и b противоположно направлены, величина угла между ними равна
180 и
a  b  a  (ta )  t (a  a )  t | a |2  (1) | a | (t  | a |)  (1) | a |  | b || a |  | b | cos180.
В результате рассмотрены все возможные случаи и доказана следующая теорема.
Скалярное произведение двух ненулевых векторов равно произведению длин
этих векторов на косинус угла между ними.
Пример 4. В координатной плоскости треугольник ABC имеет вершины A(-3;4),
B(2;1), C(1;-4) (рисунок 5). Найти косинус угла ABC.
Решение. Обозначим
a  BA  (3; 4)  (2;1)  (5;3),
b  BC  (3; 4)  (2;1)  (1; 5),
  ABC - угол между векторами a и b . Тогда
| a |2  a 2  (5) 2  32  34, |a | 34,
| b |2  b 2  (1) 2  (5) 2  26, |b | 26,
a  b  (5)  (1)  3  (5)  10.
Так как a  b | a |  | b | cos  , то 10  34  26 , откуда
10
5
5
cos   


.
34 26
17 13
221
5
Ответ: cos   
.
221
4.8.* Равные векторы имеют равные координаты. Это свойство позволяет определить
скалярное произведение двух векторов, связанных с различными точками.
Скалярным произведением векторов a  AB и b  CD называется
скалярное произведение равных им векторов, связанных с одной точкой.
Для того, чтобы придать скалярному произведению геометрический смысл,
определяют величину угла между произвольными ненулевыми векторами.
Величиной угла между двумя ненулевыми векторами a  AB и b  CD
называется величина угла между равными им векторами, связанными с
одной точкой.

Иногда величину угла между векторами a и b будем обозначать через (a , b ) .
Из независимости скалярного произведения от выбора начала для векторов, равных
заданным, вытекает и независимость величины угла от выбора начала.
Пример 5. В координатной плоскости треугольник ABC имеет вершины A(2;4), B(4;2), C(-6;0). Найти косинус угла между медианами BK и CL треугольника ABC (рисунок 6).
 26 40
;
Решение. Точка K - середина отрезка AC. Поэтому K имеет координаты 

2 
 2
или (-2;2). Отсюда
m  BK  (2; 2)  (4; 2)  (6; 4).
 24 42
;
Аналогично, середина L отрезка AB имеет координаты 
 или (3;1), откуда
2 
 2
n  CL  (3;1)  (6;0)  (9;1). Далее находим:
m 2  (6) 2  42  52, | m | 52,
n 2  92  12  82, | n | 82,
.
m  n  (6)  9  4 1  50.
Пусть  - величина угла между векторами m и n . Тогда m  n | m |  | n | cos 
откуда
mn
50
25
cos  


.
| m|| n |
52 82
26 41
Так как cos   0 , то угол между векторами m и n - тупой, а поэтому дополняет до 180
угол  между прямыми BK и CL, то есть     180 .Отсюда   180   и
25
25
.
cos   cos(180   )   cos  

26 41
1066
25
Ответ: cos  
.
1066
4.9. В геометрии важную роль играет понятие перпендикулярности. В связи с этим
большое значение имеет связь между перпендикулярностью двух векторов и их
скалярным произведением.
Два ненулевых вектора перпендикулярны тогда и только тогда, когда их
скалярное произведение равно нулю.
Доказательство. Пусть a  0 , b  0 и  — величина угла между векторами a и b . Тогда
 a  0 ,  b  0 и a  b  a    b  cos  . Отсюда следует, что если   90 , то a  b  0 , а если
a  b  0 , то cos   0 , а поэтому   90 . Тем самым данное свойство доказано.
Пример 6. В квадрате ABCD точка M — середина стороны AB , точка K лежит на
диагонали AC и AK  34 AC . Доказать, что угол MKD прямой.
Решение. Обозначим через a длину стороны квадрата. Введем прямоугольную систему
координат с началом A , направив ось Ox вдоль AD , ось Oy вдоль AB . Тогда A(0 0) ,
B(0 a) , C (a a) , D ( a 0) . Так как AM  12 AB , то M  0 a2  ; так как AK  34 AC , то
K  34 a 34 a  . Следовательно,
a
 a  3 3   3
KM   0  a a     a  
4
 2  4 4   4
3 3  a 3 
KD  (a 0)   a a     a  
4 4  4 4 
Поэтому KM  KD    34 a   a4    a4     34 a   0 .
Так как скалярное произведение векторов KM и KD равно нулю, то эти векторы
перпендикулярны, а значит MKD  90 .
Задачи и упражнения
1. На координатной плоскости заданы точки A и B и точка C лежит на отрезке AB .
Найдите координаты точки C , если:
а) A(3 5) , B (6 2) и AC  CB  3  2 ;
б) A(1 7) , B (3 1) и AC  AB  3  7 ;
в) A(52) , B(14) и BC  AC  1  5 ;
г) A(4 2) , B(28) и AC  CB  5  7 .
2. На координатной плоскости заданы точки A , B и C . Найдите координаты точки
пересечения медиан треугольника ABC , если:
а) A(5 2) , B ( 1 3) , C (2 7) ;
б) A(41) , B(33) , C (11 5) .
3. * На координатной плоскости заданы точки A( 21) , B (4 4) , C (1 3) . Точка N —
середина отрезка AC , точка M на отрезке AB расположена так, что AM  MB  2  1.
Найдите координаты точки пересечения отрезков CM и BN .
4.* На координатной плоскости заданы точки A(1 2) , B (1 4) , C (31) . Точка M
на продолжении отрезка AB и N на продолжении отрезка BC расположены так, что
BM  AB , CN  12 BC . Найдите координаты точки пересечения прямых AC и MN .
5. Вычислите скалярное произведение векторов a и b :
а) a  ( 34  12 ) , b  ( 23 3) ;
б) a  ( 3  1 2  3) , b  ( 3  1 2  3) ;
в)  a  (2 2  3 5 3  2) , b  (5 3  2  2 2  3) ;
г)  a  (1  3 2  3 4 1  3 3) , b  ( 3 2  11  3 3  3 9) .
6. * Докажите, что:
а) (a  b )  (a  b )  a 2  b 2 ;


б) a  b  14  (a  b )2  (a  b )2  ;
(a  b  c ) 2  a 2  b 2  c 2  2a  b  2a  c  2b  c .
A(1 2) , B (5 4) , C (32) . Найдите
7. Вершины треугольника имеют координаты
длины медиан треугольника.
8. Вершины треугольника ABC имеют координаты A(5 3) , B (1 2) , C (7 8) . Найдите
расстояния от вершин треугольника до его точки пересечения медиан.
9. Вершины треугольника ABC имеют координаты A(1 2) , B (4 3) , C (2 6) . Точки
M и N на стороне BC расположены так, что BM  MN  NC . Найдите AM и AN .
10. ** Вершины треугольника ABC имеют координаты A(31) , B (52) , C (2 8) .
На сторонах AB , BC и AC выбраны соответственно точки M , N и K так, что
AM  MB  BN  NC  CK  KA  1 2
Отрезки AN и BK пересекаются в точке P , отрезки BK и CM — в точке Q , отрезки
CM и AN — в точке R . Найдите стороны треугольника PQR .
11. В треугольнике ABC найдите косинус угла ACB , если:
а) A(2 3) , B(31) , C (1 5) ; б) A(3 3) , B(51) , C (21) ;
в) A(11) , B(81) , C (4 2) ; г) A(31) , B(11) , C (5 2) .
12. Вершины треугольника ABC имеют координаты A( 1 5) , B (11) , C (5 3) . Найдите
косинусы углов между медианой AM и сторонами AB и AC .
13. Вершины треугольника ABC имеют координаты A( 21) , B ( 1 5) , C (33) .
Точки M и N на стороне BC расположены так, что BM  CN  14 BC . Найдите косинус
угла MAN .
14. * Вершины треугольника ABC имеют координаты A(2 6) , B(8 4) , C (42) . Найдите
косинус угла между медианой AM и стороной BC .
15.** Известно, что  a  3 ,  b  4 и угол между векторами a и b равен 120 . Найдите
угол между векторами m  3a  2b и n  a  2b .
16. ** Внутри прямоугольника ABCD со сторонами AB  2 3 , BC  1 точка M
выбрана так, что треугольник AMD равносторонний. Найдите косинус угла AMB .
17.** Внутри квадрата ABCD точка P bap‘m‘ так, что AP  BP  CP  1  2  3 .
Докажите что APB  135 .
18. Известно, что векторы a , b неколлинеарны и  a  b  . Докажите, что векторы
m  a  b и n  a  b перпендикулярны.
19.* Известно, что векторы m  (1 x) и n  (4 y ) имеют равную длину и
перпендикулярны. Найдите значения x и y .
20.* В квадрате ABCD со стороной a на сторонах AB , BC , CD , AD выбраны
соответственно точки M , N , K , L так, что AM  CK  BN  DL  12 a . Докажите,
что отрезки MK и NL перпендикулярны.
21.* Из точки A к прямой BC проводится перпендикуляр AH . Найдите координаты
основания H перпендикуляра, если:
а) A(2 3) , B(12) , C (1 4) ;
б) A(41) , B(31) , C (5 5) ;
в) A(2 4) , B(15) , C (11) ;
г) A(41) , B(42) , C (03) .