Геометрич тренажер Планиметрия

Курганинский район
МАОУ СОШ № 14
« Геометрический
тренажер. Планиметрия»
Учебно-методические материалы в помощь
учителю математики
Из опыта работы
учителя математики
Шмыковой Т.В.
Вступление
Геометрию считают трудным предметом. Трудным и для учащихся и для
учителя. Наглядность, практическая направленность, красота геометрии
бесспорны. Но и слабые результаты по предмету учащихся - тоже факт.
Выпускники все неохотнее берутся за решение геометрических задач. Процент
решения задач по геометрии на ЕГЭ намного ниже по сравнению с любой задачей
по алгебре.
Одна из причин - несовершенство программы. В результате различных
преобразований со страниц учебников как-то незаметно исчезли многие
замечательные факты геометрии, традиционно изучаемые ранее. Важные
теоремы, в лучшем случае, предлагаются в виде задач. Некоторые
геометрические «жемчужины» вовсе отсутствуют в учебнике. А новые методы –
векторный, координатный, преобразований так и не заняли должного места.
Другая причина заключается в том, что по сравнению с алгеброй
геометрия плохо поддается алгоритмизации. Что ни задача, то «изюминка»,
новый подход к решению. Многие авторы учебников, школьных программ видят
в этом преимущество геометрии, ее развивающий потенциал. С этим никто не
спорит. Но, развитие начинается там, где есть знание. Никакая, даже самая
интересная проблема не привлечет ученика, если знаний для ее решения будет
недостаточно.
В чем проблема наших задачников? Решили задачу в классе, узнали
новую формулу, нашли оригинальный метод решения, а повторить решение
самостоятельно не получается, нет аналогичной задачи в учебнике. Или еще одно
наблюдение. Задачи расположены в порядке возрастания сложности. Самые
трудные задачи – в конце параграфа. Не секрет, что не успеваем мы отработать
решение этих задач со всеми учениками. Однако, именно эти задачи предлагаются
для проверки знаний по геометрии на экзамене.
Данное пособие можно рассматривать, как дополнение к учебнику
геометрии. Акцент сделан на решение задач, которых немного в школьных
задачниках, но именно задачи подобные данным часто встречаются в заданиях
ЕГЭ как 9, так и 11 классов.
Это пособие – тренажер, в котором использованы авторские материалы,
примеры решения задач и дополнительные данные для составления подобных
заданий Правдина А.( «Математика», 1997), дополненные задачами,
тематическими тестами по подготовке к экзаменам. Учитель имеет возможность
составления аналогичных задач по выбранным темам. Таблицы данных позволят
учителю при проверке задач сразу увидеть и оценить правильность результата
решения.
Литература
1 Правдин А. Составляем упражнения по математике. Газета «Математика», 1997
2 3000 конкурсных задач по математике. Куланин Е.Д. и др. – М.:Рольф, 2000
3 Шамшин В.М. Тематические тесты для подготовки к ЕГЭ по математике Ростов-н/Д:Феникс,2003.
4 Математика. Пособие для подготовки к централизованному тестированию и
вступительному экзамену/ Авт.-сост.В.В.Веременюк,В.В.КожушкоМинск:ТетраСистемс,2004.
5 Иванов А.П. Тесты и контрольные работы по математике. - М:Издательство
МФТИ, 2000
Прямоугольный треугольник
В

a-r
a-r
c
r
a
в-r
r
О
r
С
r
S- площадь треугольника
R-радиус описанной окружности
r- радиус вписанной окружности
О - центр вписанной окружности,
точка пересечения биссектрис.
r
в
в-r
А
Задача 1 Найти одну из сторон прямоугольного треугольника, если известны две другие.
Решение. Применить теорему Пифагора.
Задача 2 Найти площадь прямоугольного треугольника, если известны две стороны.
Решение. S= 1/2 а в, где а и в- катеты.
Если известны катет и гипотенуза, то сначала найти второй катет,
затем применить формулу.
Задача 3 Найти острые углы треугольника, если известны две стороны.
Решение. Искать по известным формулам cos, sin, tg угла. Затем с помощью таблиц,
калькулятора или формул тригонометрии определять сам угол.
Задача 4 Найти радиусы вписанной или описанной окружности, если известны все стороны
прямоугольного треугольника.
Решение. Центр описанной около прямоугольного треугольника окружности
совпадаетс серединой гипотенузы. Значит радиус описанной окружности
равен половине гипотенузы.
S
Радиус вписанной окружности можно вычислить по формуле r  ,
p
abc
или использовать формулу r 
.
2
ав
Сумму радиусов вписанной и описанной окружности R+ r =
2
Данные для составления задач
№
а
в
с
S
r
R
Угол А
Угол В
1
3t
4t
5t
6t²
1t
2,5t
36 52
53 8
2
5t
12t
13t
30t² 2t
6,5t
2237
6723
3
7t
24t
25t
84t² 12,5t 2,5t
1616
73 44
4
8t
15t
17t
60t²
3t
8,5t
28 4
61 56
Если менять значеничя t, то можно получать различные треугольники, но с равными углами.
Соотношения в прямоугольном треугольнике
а
в
h
ас
вс
с
а= с  ас
в= с  в с
h= а с  в с
Треугольник Герона
Треугольник, длины сторон которого и его площадь- числа целые, называют треугольник
Герона, так как его площадь можно найти по формуле Герона.
abc
S  p( p  a)( p  b)( p  c) , где a,b,c- стороны треугольника, p - полупериметр p 
2
Задача 1 Найти площадь треугольника, если известны длины сторон.
Решение. Стороны треугольника 5, 29, 30.
5  29  30
p
=32 S  32(32  5)(32  29)(32  30) =72
2
Данные для задач №
Стороны
Ответ
1
5 29 30
72
2
9 73 80
216
3
25 63 74
756
4
29 65 68
936
5
27 30 51
324
6
51 75 84
1890
Задача 2.Найти одну из высот треугольника, если известны его стороны.
Решение. Стороны треугольника 7, 15, 20.Найти большую высоту треугольника.
1)Большая высота треугольника проведена к меньшей
стороне.
15
2)По формуле Герона найдем площадь треугольника
7  15  20
=21,
S  21(21  7)(21  15)(21  20) =42
2
3) S= 1/2ah, h= 2S/a , h=84:7=12
p
7
20
Данные для задач
№
1
2
3
4
5
6
Стороны
7 15 20
9 10 17
9 40 41
10 10 12
35 78 97
40 51 77
Найти высоту
большую
большую
среднюю
меньшую
большую
меньшую
Ответ
12
8
9
8
72
24
Задача 3 Найти радиус, вписанной в треугольник окружности, если известны длины его сторон.
Решение. Стороны треугольника 8; 26; 30. Найти r.
S
r
p
8  26  30
p=
=32, S  32(32  8)(32  26)(32  30) = 32  24  6  2 =96
2
96
r
=3
32
Данные для задач №
Стороны
Ответ
1
8 26 30
3
2
10 17 21
3,5
3
10 35 39
4
4
11 13 20
3
5
11 90 97
4
6
13 37 30
4,5
Задача 4 Найти радиус, описанной около треугольника окружности, если известны длины его
сторон.
Решение. Стороны треугольника 15;15; 24. Найти R.
abc
15  15  24
R
p=
=27 S  27(27  15)(27  15)(27  24) =108
4S
2
15  15  24
=12,5
4  108
Стороны
Ответ
15 15 24
12,5
15 20 25
12,5
14 30 40
25
16 52 60
32,5
17 87 100
72,5
25 52 63
32,5
R
Данные для задач
№
1
2
3
4
5
6
Задача 5 Определить вид треугольника, если известны его стороны.
Решение. Стороны треугольника 36; 48; 60. Определить вид треугольника.
Найдем cos угла, лежащего против большей стороны, для этого применим
теорему косинусов.
3600  1296  2304
 0 ,=90
60²=36² + 48² - 2 ·36 ·48 cos , cos =
 2  36  48
Треугольник прямоугольный.
Данный факт можно было установить с помощью теоремы, обратной
теореме Пифагора. Если 60²=36² + 48², то треугольник прямоугольный.
Поэтому, решая задачи данного типа, можно сначала проверить теорему
Пифагора, а затем, если равенство не выполняется,применить теорему
косинусов для большей стороны.Определяется лишь знак косинуса,
если cos  0, то  - острый, треугольник остроугольный;
если cos  0, то  - тупой, треугольник тупоугольный.
Данные для задач
№
1
2
3
4
5
6
Стороны
36 48 60
40 40 64
48 85 91
10 24 26
15 26 37
17 25 26
Ответ
прямоугольный
тупоугольный
остроугольный
прямоугольный
тупоугольный
остроугольный
Треугольники. Медианы в треугольнике
В  АВС АМ и ВК- медианы, О - точка пересечения медиан, ВН- высота  АВС,
ОD- высота  АОС. Докажем, что площадь  АВС в 3 раза больше площади  АОС.
 ВНК и  DОК- подобны, k=1/3, так как О- точка пересечения медиан, делит ВК в отношении
2:1.Значит, ВН в 3 раза больше ОD, а так как  АВС и  АОС имеют одно и то же основание, то
площадь  АВС в 3 раза больше площади  АОС.
Задача 1 Две стороны треугольника равны соответственно 6 см и 8 см. Медианы, проведеные к
Этим сторонам, перпендикулярны. Найти площадь треугольника.
Решение.  АОК= 90,АС=8 см,ВС=6 см. Пусть ОК=х, ОВ=2х, ОМ=у, АО=2у.
Применяя теорему Пифагора для  АОК и  ВОМ, составим и решим
систему уравнений:
4у2+х2=16,
4у2+х2=16,
-15х2=-20,
2
2
2
2
4х +у =9;
-16х -4у =-36;
х2= 4/3, у2=11/3.
11
1 2
11
2
11
Значит, х =
, у=
. Площадь  АОК равна 1/2 2у х= 
=

3
2 3
3
3
3
Так как АК=4 см, то ОД=2
11
11
11
1
11
:4=
, ВН=
, S=  8 
= 4 11 .
2
2
3
6
2
Ответ: 4 11 .
Задача 2 Основание треугольника равно 26 см. Медианы боковых сторон равны 30 см и 39 см.
Найти площадь треугольника.
Решение. АВ= 26 см, АМ= 30 см, ВК=39 см. Пусть ОК=х, ОВ=2х, ОМ=у, АО=2у.
3х=39, х=13, 2х=26, 3у=30, у=10,2у=20
26  20  26
SАВО = p( p  26)( p  20)( p  26) , где p=
=36/
2
SАВО = 36  10  16  10 =240, SАВC=2403=720(cм2)
Ответ: 720cм2.
Задача 3 В треугольнике АВС медиана АМ перпендикулярна медиане BК. Найти площадь
треугольника АВС, если длина АМ равна 3, а длина BК равна 4.
Решение. АМ=3, ВК=4, АМ ВК. Пусть ОК=х, ОВ=2х, ОМ=у, АО=2у.
2х + х=4,3х = 4,х = 4/3; 2у + у =3, у=1
4 13
52 2 13
В  АОК АО=2,ОК=4/3, АК= 4  16 / 9 =
, АС=

3
9
3
SАОК=4/3, ОД=8/3:
Ответ:8.
2 13
4
1 4 13 12
12


, ВН=
, SАВС= 
=8
3
2
3
13
13
13
Стороны параллелограмма и его диагонали
в
АВСD- параллелограмм
В
С
а
АС=d1, ВD=d 2-диагонали
А
D
Задача 1 Известны длины сторон параллелограмма и длина одной его диагонали.
Найти площадь параллелограмма.
Решение. Стороны параллелограмма 4 и 13, диагональ 15. Найти площадь.
4  13  15
Пусть а = 4, в=13, d1 =15. p 
=16,
2
SАВС = 16(16  4)(16  13)(16  15) =24
SАВСD =2 SАВС =48
Ответ:48.
Данные для задач
№
1
2
3
4
Стороны
4
13
7
15
8
15
10
17
Диагональ
15
20
17
21
Ответ
48
84
120
168
Задача 2 Известны длины сторон параллелограмма и длина одной его диагонали.
Определить, большая или меньшая известна диагональ.
Решение. Стороны параллелограмма 10, 15 диагональ 17.
Определить, большая или меньшая известна диагональ.
Пусть а = 10, в=15, d1 =17.В  АВС определим знак cos В, угла
лежащего против известной диагонали.Применим теорему косинусов.
17² = 10²+15² - 2 ·10 ·15 cos В, cos В= (289-100-225)/(-300)>0.
Так как cos В > 0, то угол В - острый, значит меньший из углов
параллелограмма. Данная диагональ меньшая.
Данные для задач
№
1
2
3
4
5
6
Стороны
10 15
10 23
10 25
10 37
11 12
11 13
Диагонали
17 19
23 27
19 33
33 43
13 19
16 18
Задача 3 Известны длины сторон параллелограмма и длина одной его диагонали.
Найти длину другой диагонали.
Задача 4 Известны длины диагоналей и длина одной его стороны.
Найти длину другой стороны.
Решение. Стороны параллелограмма 6, 7 диагональ 11. Найти длину другой
диагонали. Воспользуемся формулой, связывающей стороны и
диагонали параллелограмма.
d1² + d2 ²=2а² +2в².
d1² +121=72+98, d1²=49, d1=7.
Данные для задач
№
1
2
3
4
5
6
Стороны
6
7
6 13
6 17
7
9
7 11
7 16
Диагонали
7 11
11 17
17 19
8 14
12 14
13 21
№
7
8
9
10
11
12
Стороны
9 19
9 22
9 32
9 38
10 11
10 15
Диагонали
20 22
17 29
29 37
37 41
9 19
11 23
Медианы в треугольнике
Медиану в треугольнике можно найти по известным трем сторонам, используя формулу
2b 2  2c 2  a 2
2
где a,b,c - стороны треугольника, ma -медиана к стороне a
ma 
Данные для задач №
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
a
5
5
6
7
7
7
7
8
8
12
b
5
5
8
8
9
11
11
14
14
17
c медиана
6 mс = 4
8 mс = 3
10 mс = 5
9 mb = 7
14 mс = 4
12 mс =7
14 mс =6
14 mb =9, mс =9
18 mс =7
9
ma =17
Медиана делит треугольник на два равновеликих треугольника.
Три медианы треугольника делят его на шесть равновеликих треугольников.
Медианы треугольника пересекаются в одной точке и делятся этой точкой в отношении
2:1,считая от вершины.
Равнобедренная трапеция
В
С
АВСD- трапеция, АВ = СD
BK, CN - высоты
А
К
N
D
Задача 1 Найти площадь равнобедренной трапеции, если известны длины всех сторон.
Решение, Пусть основания трапеции равны 13 и 7, боковая сторона 5.
Найти площадь равнобедренной трапеции.
1) АК= (13-7):2=3
2) Из  АВК найдем высоту ВК по теореме Пифагора. ВК= 5 2  32 = 4
3) SABCD=(AD+BC):2·ВК, SABCD= (13+7):2·4=40
Задача 2 Найти длину боковой стороны равнобедренной трапеции, если известны длины
оснований и высоты.
Решение. Пусть AD= 54, BC=12, BK= 72.Найти ВА.
1) АК= (54-12):2=21
2) Из  АВК по теореме Пифагора. ВА= 212  72 2 =75
Задача 3 В равнобедренной трапеции известны площадь, длина боковой стороны и
Длина средней линии. Найти длины оснований трапеции
Решение. Пусть боковая сторона 20, средняя линия 28, площадь 336. Найти
основания трапеции
ав
 h , то есть произведению средней линии на высоту,
1) S=
2
Откуда h = 336:28=12
2) Из  СND найдем ND, ND= 20 2  12 2 =16
3) Обозначим основания а и в. Значит а + в =56, а-в =16·2=32.
Откуда а = 44, в= 12.
Ответ. 44 и 12.
Задача 4 Найти диагонали равнобедренной трапеции, если известны длины ее сторон.
Решение. Пусть основания равнобедренной трапеции 66 и 18, боковая сторона
26. Найти диагонали трапеции
1) ND= (66-18):2=24, АN=66-24=42, NC= 26 2  24 2 =10
.
2) Из  АСN, АС= 42 2  10 2 =
Ответ. 1864 .
Данные для составления задач
1
2
3
Примеры данных
AD
d+6t
d+10t
d+16t
BK AB
4t
5t
12t 13t
15t 17t
1864
S
(d+3t)4t
(d+5t)12t
(d+8t)15t
Основания
Боковая сторона Высота Площадь
d=10, t=2
30 10
26
24
480
Основания
Высота
Боковая сторона
d=21, t=2
53 21
30
34
Боковая сторона Средняя линия Площадь Основания
d=9,t=1
17
24
192
39 9
Основания
Боковая сторона Высота
Диагональ
3924
d=7,t=1
29 7
61
60
Окружность, вписанная в равнобедренную трапецию
ВК- высота, ВК=2r, где r- радиус вписанной окружности
Если окружность вписана в четырехугольник, то суммы
противоположных сторон четырехугольника равны.
В равнобедренную трапецию можно вписать окружность, если
боковая сторона равна средней линии.
Задача 1 Известны длины оснований равнобедренной трапеции.
Найти ее площадь и радиус вписанной в нее окружности.
Решение. Пусть ВС=2, АД=8. Найти r и S.
1) ВА=СД=х, 2+8=х+х, 2х= 10, х=5. N Д=(8-2):2=3
2) СN= 5 2  3 2 = 4
3) R= 4:2=2, S=(8+2):2·4=20
Ответ. 4; 20.
Задача 2 Известны длины боковой стороны равнобедренной трапеции и радиус вписанной в нее
окружности . Найти основания трапеции.
Решение. Пусть АВ= 5, r= 1,5. Найти АD и ВС.
1) ВК= 2r = 3
2) АК= 5 2  3 2 = 4
3) ВС= х, АD= х+4+4, АВ+СD=ВС+АD, 5+5= х+ х +8,х =1
ВС=1, АD= 9
Ответ. 1; 9.
Данные для решения задач
1
2
3
4
ВС
2t
1t
8t
1t
АД
8t
9t
18t
25t
АВ
5t
5t
13t
13t
ВК=2r
4t
3t
12t
5t
S
20 t²
15 t²
156 t²
65 t²
Трапеция, вписанная в окружность
Только около равнобокой трапеции можно описать окружность. Ее центр лежит на серединном
перпендикуляре к основаниям трапеции.
Возможны случаи: 1) центр окружности лежит внутри трапеции R - радиус окружности,
S- площадь трапеции, h1 - высота трапеции;
2) центр окружности лежит вне трапеции R - радиус окружности,
S- площадь трапеции, h2 - высота трапеции.
Если окружность описана около четырехугольника, то суммы его противоположных углов
равны.
Задача 1 Известны длины оснований и радиус окружности. Найти высоту, длину боковой
стороны, площадь трапеции в зависимости от положения центра описанной
окружности.
Решение. Пусть R=35, нижнее основание 56, верхнее основание 42.
a )Центр окружности лежит внутри трапеции.
1)КМ = КО+ОМ, КО= 35 2  212 = 56  14 =28,
ОМ= 35 2  28 2 = 7  63 =21. КМ=49- высота.
2) Проведем ВН- высоту, рассмотрим  АВН. АН= АМ-ВК=28-21=7,
АВ= 49 2  7 2 = 2450 - боковая сторона
3) S=1/2(56+42)49=49·49=2401
б) Центр окружности лежит вне трапеции.
1) КМ=КО-МО, КМ=28-21=7- высота (вычисления в первой задаче)
2) АВ= 7 2  7 2 = 98 (рассуждения аналогичны первой задаче)
3) S=1/2(56+42)7=49·7=343
Ответ. 343.
Задача 2 Известны длины оснований и высота трапеции. Найти длину радиуса.
Решение. Пусть длины оснований 60 и 28, высота 88.Найти R.
1) КО=х, ОМ=88-х. ВО= ВК 2  ОК 2  14 2  х 2 ,
АО= АМ 2  ОМ 2  30 2  (88  х) 2
R=АО=ВО, 14 2  х 2  30 2  (88  х) 2 , 196+х²=900+7744-176х+ х²,
176х=8448,х=48
2) R=ВО= 14 2  48 2 =50
Ответ.50.
Задача 3 Известны длины оснований и высота трапеции. Определить положение центра
описанной около этой трапеции окружности.
Решение.Решим задачу для предыдущего случая.
R=50, h=88. R=ВО- гипотенуза  ВКО
Возможен случай, когда центр окружности лежит внутри трапеции, иначе
не будет выполняться неравенство треугольника, гипотенуза наибольшая
сторона в прямоугольном треугольнике.
Ответ: внутри трапеции.
R
Нижнее
основание
1
2
3
4
5
6
7
5
13
10
25
25
25
17
8
24
16
30
40
48
30
Верхнее
основание
6
10
12
14
14
14
16
Центр внутри трапеции
АВ2
h1
S
50
338
200
2000
1690
1250
578
7
17
14
44
39
31
23
Центр вне трапеции
АВ2
h2
S
49
289
196
986
1053
961
529
2
98
8
80
250
578
98
1
7
2
4
9
17
7
7
119
28
88
243
527
161
Прямоугольная трапеция
В
С
В
Е
О
А
Н
D
А
С
К
D
Задача 1 Найти длины оснований прямоугольной трапеции, если известны длина боковой
cтороны и радиус вписанной в трапецию окружности.
Решение. Пусть СD= 10, r = 4.
1) h=АВ=2 r = 8
2) НD = СD 2  СН 2 = 10 2  8 2 = 6
3) ВС= х, АВ+СD=ВС+АD, 8+1 0= х + х + 6, 2х= 12, х = 6
ВС=6, АД=12
Ответ. 6 и 12.
Данные для решения задач а) r=10,с =52; б) r =12, с = 40;
в) r =15,с =34.
Задача 2 Найти радиус вписанной в прямоугольную трапецию окружности, если известны
длины оснований.
Решение. Пусть АD=12,ВС=6.
1) НD=12-6=6,
2) СН=АВ=х, СD= 6 2  х 2
3)12+6= х+ 6 2  х 2 , 18-х= 6 2  х 2 , (18-х)²=36+х², 324-36х+ х² =36+ х²,
36х=288, х=8
4) r = 1/2h=1/2х= 4.
Ответ. 4.
Данные для решения задач
а) 28 и 70; б) 8 и 24; в) 42 и 7.
Задача 3 Найти части большей боковой стороны прямоугольной трапеции, на которые она
Делится точкой касания окружности, вписанной в эту трапецию, если известны
длины большей боковой стороны и меньшего основания.
Решение. Пусть ВС= 10,СD=13. Найти СК и КD.
1) О - центр вписанной окружности, точка пересечения биссектрис,
значит ОКС= ОСЕ по гипотенузе и острому углу
2) ЕС = СК = х, КD=13-х, АD=10-х+13-х=23-2х
3) НD = 23-2х-10=13-2х, СН= 13 2  (13  2 х) 2
4) 13 2  (13  2 х) 2 +13=10+23-2х (свойство сторон описанного
четырехугольника)
13 2  (13  2 х) 2 =20 -2 х, 169- 169+52х-4х² = 400-80х+4х²,
8 х²-132х +400=0, 2х²-33х+100=0, D= 289, х1=12,5, х2 = 4.
Так как 20-2х  0, то 12,5- не подходит
Итак, СК= 4, КD=9.
Ответ. 4 и 9.
Данные для решения задач
основание боковая сторона
6
26
25
21
7
37
Задачи по теме "Прямоугольный треугольник"
(Из сборников Сканави М.И, Куланина Е.Д. и др.)
10.3.2.(МАТИ) Найти площадь круга, вписанного в прямоугольный треугольник, если
проекции катетов на гипотенузу равны 9 см и 16 см.
10.3.3.(МАТИ) Найти стороны прямоугольного треугольника, если точка касания вписанной в
него окружности делит один из катетов на отрезки длины m и n.
10.3.4.(МАТИ)Вписанная окружность касается гипотенузы прямоугольного треугольника в
точке, делящей гипотенузу на отрезки, длины которых 2 см и 3 см. Найти радиус
окружности.
10.3.8.(МГТА) Сумма длин катетов прямоугольного треугольника равна 14 см, а радиус
описанной окружности равен 5 см. Найти площадь круга, вписанного в данный
треугольник.
10.3.21.(МЭИ)Длины катетов прямоугольного треугольника равны 20 и 21. Найти длину
окружности, описанной около данного треугольника.
10.3.27.(МПГУ) Найти радиус окружности, вписанной в прямоугольный треугольник с
катетами 6 см и 8 см.
10.3.37.(ГАУ)Найти катеты прямоугольного треугольника, у которого высота, опущенная на
гипотенузу, делит ее на отрезки длиной 6 и 18.
10.3.40.(МИСиС) В прямоугольном треугольнике высота, опущенная из вершины прямого угла,
делит гипотенузу на отрезки длиной 9 и 16. Найти радиус вписанной в треугольник
окружности.
10.3.47.(МПГУ) В прямоугольный треугольник, периметр которого равен 36, вписана
окружность. Гипотенуза делится точкой касания в отношении 2:3. Найти длину
гипотенузы.
10.3.54. (МГУЛ) Найти сумму длин катетов прямоугольного треугольника, если длина его
гипотенузы 20 см, а радиус вписанной окружности 4 см.
10.3.28.(КПИ) В прямоугольном треугольнике сумма катетоыв равна 17 см, а длина гипотенузы
13 см. Найти катеты и площадь треугольника.
10.3.20.(РЭА) Длина одного из катетов прямоугольного треугольника равна 12. Расстояние от
Центра описанной около треугольника окружности до этого катета равно 2,5. Найти
длину гипотенузы треугольника.
10.3.7.(МАДИ) Периметр прямоугольного треугольника равен 24 см, а площадь его равна 24 см.
Найти площадь описанного круга.
10.226.(Сканави) В прямоугольный треугольник вписана окружность. Точка касания делит
гипотенузу в отношении 2:3. Найти стороны треугольника, если центр вписанной
окружности удален от вершины прямого угла на расстояние 8 см.
10.252.(Сканави) Стороны треугольника относятся, как 5:4:3. Найти отношение отрезков
сторон, на которые они делятся точкой касания вписанной окружности.
10. 271.(Сканави) Найти площадь треугольника, если его высоты равны 12,15 и 20 см.
10.277.(Сканави) Найти биссектрису прямого угла треугольника, у которого катеты равны а и в.
Решения
10.3.2.(МАТИ) Найти площадь круга, вписанного в прямоугольный треугольник, если
Проекции катетов на гипотенузу равны 9 см и 16 см.
а= 16  25 = 4 ·5=20, в= 9  25 =3 ·5=15.
15  20  25
r=S:p,p=
=30, S=1/2 ·15·20=150, r=150:30=5, S=25.
2
Решение.
в
а
9
16
Ответ. 25.
10.3.3.(МАТИ) Найти стороны прямоугольного треугольника, если точка касания вписанной в
Него окружности делит один из катетов на отрезки длины m и n.
Решение.
(n+m)²+(n+x)²=(m+x)²,
x
n²+2mn+m²+n²+2nx+x²=m²+2mx+x,
2n²-2x(m-n)+2mn=0,
x
n²+mn=x(m-n),
n( n  m)
О
m
x=
,
m

n
О r
n( n  m) 2m  n
n
n+ m- одна сторона, n+
=
- другая сторона
mn
mn
n
m
n( n  m)
m2  n2
m+
=
- третья сторона
mn
mn
2m  n m 2  n 2
Ответ. n+m;
;
.
mn
mn
10.3.4.(МАТИ)Вписанная окружность касается гипотенузы прямоугольного треугольника в
точке, делящей гипотенузу на отрезки, длины которых 2 см и 3 см. Найти радиус
окружности.
Решение.
25 = (2+х)²+(3+х)²,
25 = 4+4х+х²+9+6х+х,
2
2х²+10х-12=0,
х²+5х-6=0.
2
х=-6, х=1.
3
По смыслу задачи х= r= 1.
О
х
О
х
r
3
Ответ. 1.
10.3.8.(МГТА) Сумма длин катетов прямоугольного треугольника равна 14 см, а радиус
описанной окружности равен 5 см. Найти площадь круга, вписанного в данный
треугольник.
Решение. R=5,c = 2R =10.
a  b  c 14  10
r
=
=2. S= 4.
2
2
Ответ. 4.
10.3.21.(МЭИ)Длины катетов прямоугольного треугольника равны 20 и 21. Найти длину
окружности, описанной около данного треугольника.
Решение. R=c:2, с= 20 2  212 =29. R=29:2=14,5 C=2R, C=29.
Ответ. 29.
10.3.27.(МПГУ) Найти радиус окружности, вписанной в прямоугольный треугольник с
катетами 6 см и 8 см.
6  8  10
abc
Решение. С = 6 2  8 2 =10, r 
, r=
=2
2
2
Ответ. 2.
10.3.37.(ГАУ)Найти катеты прямоугольного треугольника, у которого высота, опущенная на
гипотенузу, делит ее на отрезки длиной 6 и 18.
Решение.
а
в
с=6+18=24, а= 24  18 =12 3 , в= 24  6 =12
6
Ответ .12; 12 3 .
18
10.3.40.(МИСиС) В прямоугольном треугольнике высота, опущенная из вершины прямого угла,
делит гипотенузу на отрезки длиной 9 и 16. Найти радиус вписанной в треугольник
окружности.
15  20  25
Решение. а= 25  16 =20, в= 25  9 =15, p =
=30, S=1/2 ·15·20=150, r =150:30=5
2
Ответ.5.
10.3.47.(МПГУ) В прямоугольный треугольник, периметр которого равен 36, вписана
окружность. Гипотенуза делится точкой касания в отношении 2:3. Найти длину
гипотенузы.
Решение.
2х
а+в+с = 36, 2х+у+2х+3х+у+3х=36, 10х+2у=36, 5х+у=18,
у=18-5х
2х
а²+в²=с²,
25х²=(3х+у) ²+(2х+у) ²,
3х
25х² =9х²+6ху+у²+4х²+4ху+у²,
О
12х²-10ху-2у²=0,
О r
у
подставив у =18-5х, получим
х²+15х-54=0, откуда х = 3.
у
3х
Значит гипотенуза треугольника 15.
Ответ. 15.
10.3.54. (МГУЛ) Найти сумму длин катетов прямоугольного треугольника, если длина его
гипотенузы 20 см, а радиус вписанной окружности 4 см.
a  b  20
abc
Решение. r 
, 4
, а + в = 8+20=28
2
2
Ответ. 28.
10.3.7.(МАДИ) Периметр прямоугольного треугольника равен 24 см, а площадь его равна 24 см.
Найти площадь описанного круга.
abc
S 24
Решение. r  = =2, r 
, r= a+b-c=4, P=a+b+c=24.
2
p 12
a+b-c=4,
a+b+c=24;
а+в=14, в=14-а. S=1/2ав, (14-а)а= 48, а²-14а+48=0, а=8,а=6.
Катеты треугольника 8 и 6, тогда гипотенуза 10.
R=c/2, R=10:2=5, S=R²=25.
Ответ. 25.
Тест Планиметрия
01.В прямоугольнике диагонали пересекаются под углом в 60, а сумма диагонали и меньшей
стороны равна 36. Диагональ равна
1. 12
2. 24
3. 36
4. 48
5. 12 3
02. В выпуклом четырехугольнике два угла относятся как 3:5, третий равен их разности, а
четвертый больше третьего на 12, Меньший угол
1. 44
2. 64
3. 62
4. 58
5. 36
03. Вертикальный шест высоты 2 м дает тень в 1,2 м. Высота столба, тень от которого
составляет 4,5 м, равна
1.6,3 м
2. 7,5 м
3. 4,8 м
4. 5,2 м
5. 5,25 м
04. В прямоугольной трапеции основания равны 4 и 8, а меньшая диагональ - 65. Площадь
Трапеции составляет
1. 36
2. 45
3. 52
4. 38
5. 42
05.Стороны четырехугольника относятся как 2:4:3:6. Периметр подобного ему
Четырехугольника составляет 150. Меньшая из сторон второго четырехугольника равна
1. 10
2. 15
3. 18
4. 25
5. 20
06. В параллелограмме, периметр которого равен 84, а высоты относятся как 3:4, меньшая
сторона составляет
1. 12
2. 18
3.15
4. 30
5. 8.
07. В трапеции с высотой h боковые стороны и меньшее основание равны половине большего
основания. Площадь трапеции равна
1.h² 2
2.h² 3
3. h² 5
4.h²(3+1)
5. 2h².
08. Площадь параллелограмма со сторонами 5 и 6 составляет 10 5. Большая диагональ
параллелограмма равна
1. 21
2. 9
3. 101
4. 97
5. 42
09. Стороны прямоугольника, вписанного в окружность радиуса R, относятся как a:b. Площадь
прямоугольника равна
2R 4
R4
4abR 2
2abR 2
abR 2
1. 2
2.
3.
4.
5.
a  b2
a2  b2
a2  b2
a2  b2
a2  b2
10. В равнобедренном треугольнике радиус вписанного круга составляет 0,2 его высоты, а
Периметр треугольника равен 60. Меньшая сторона треугольника равна
1. 20
2 .8
3. 12
4. 8 2
5. 24.
11. Площади вписанного и описанного около окружности правильных шестиугольников
относятся как
1. 1:2
2. 2:3
3.3:4
4. 4:5
5. 5:6
12.К окружности радиуса 5 из точки А проведена касательная длины 2 6. Расстояние от точки
А до ближайшей точки окружности равно
1. 1,5
2. 2
3. 3
4. 2,5
5. 3,5
13.В треугольнике основание равно 60, а высота и медиана, проведенные к нему-12 и большая
боковая сторона равна
1. 43
2. 34
3. 35
4.36
5. 37.
14.В окружность вписан квадрат и прямоугольник с углом  между диагоналями. Отношение
Их площадей равно
1.sin 
2.sin

3.tg 
4.tg

5.sin

3
2
2
15.В равнобедренной трапеции, описанной около окружности, основания равны 20 см и 5 см.
Радиус окружности составляет
1.8 см
2.6 см
3. 7,5 см
4. 4см
5. 5 см
16.Высота, проведенная из вершины прямого угла треугольника, делит угол в отношении 1:2.
Площадь треугольника она делит в отношении
1.5 - 2 6
2.3-2 2
3.1:3
4. 1:4
5.7- 4 3
17.Окружности радиусов 2 и 3 касаются внутренним образом. Наибольшая из хорд большей
окружности, касающихся меньшей, имеет длину
1.3 3
2.2,5
3.4 3
4. 4 2
5.2 2
18.Правильный треугольник вписан в единичный квадрат так, что они имеют одну общую
вершину Площадь треугольника равна
1.2 3-3
2.2- 3
3.0,75
4. 4 3-6
5.0,8
19.В трапеции боковые стороны равны меньшему основанию, а диагонали - большему. Острый
Угол трапеции составляет
2
3
4
7
9
1. 
2. 
3. 
4.

5. 
5
5
15
15
16
20. Основания равнобочной трапеции относятся как 2:5, а диагональ делит острый угол
пополам. Тангенс этого угла равен
7
7
7
7
4
1.
2.
3.
4.
5.
6
7
3
4
5
21.В прямоугольном треугольнике катеты составляют 10 и 24. Радиус вписанной в треугольник
окружности равен
1.7
2.2
3.6
4.4
5.5
22. Две окружности касаются друг друга и сторон прямого угла. Отношение их радиусов равно
1.5-4 3
2. 4-2 3
3. 3 2-4
4. 2-1
5.3-22
23.Высота трапеции с основаниями 10 и 30 и сторонами 13 и 3 41 равна
1.6
2.10
3.15
4.14
5.12
24.В круге расстояние между параллельными хордами длины 10 и 24 равно 17. Площадь круга
равна
1.144
2.196 
3.169
4.289
5.225
25.Площадь трапеции с высотой 12 и диагоналями 20 и 15 равна
1.125
2.250
3.150
4.175
5.200
26.В окружности радиуса 1, хорда, стягивающая некоторую дугу, равна 2  2 . Хорда,
Стягивающая вдвое большую дугу, равна
1.1
2.2
3.1,5
4. 2
5. 2 2
01
2
16
3
27.Окружность, вписанная в ромб, точкой касания делит его сторону в отношении 2:3. Синус
Угла ромба равен
2 6
2 3
2 5
2
1
1.
2.
3.
4.
5.
3
5
5
5
5
28. Последовательность квадратов, начиная с единичного, такова, что вершины последующего
Деля стороны предыдущего в отношении 3:1. Сумма площадей всех членов этой
Последовательностей равна
2
1
1
1
2
1. 1
2. 2
3. 2
4. 2
5. 2
3
3
9
2
3
29. Равнобедренная трапеция с острым углом  описана около окружности. Точка касания
Делит боковую сторону, считая от меньшего основания, в отношении

 
 


1. ctg 2
2. tg 2
3. tg 2
4. ctg 2
5.tg
2
4
4
2
4
30.В описанной около круга неравнобочной трапеции диаметр, перпендикулярный основаниям,
Делит площадь трапеции в отношении 1:2. Отношение синусов острых углов трапеции
равно
1.1,5
2.2
3. 1,6
4.4
5.1,2
Ответы
02
03
04
05
06
07
08
09
10
11
12
13
14
15
4
2
5
5
2
2
3
3
3
3
2
5
1
5
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
4
1
1
3
4
5
5
3
3
4
1
2
3
2
Планиметрия
Подготовка к ЕГЭ.
Вариант 1.
А1.Площадь треугольника равна 6, а радиус вписанной окружности удовлетворяет
соотношению r²-21r+20=0, тогда полупериметр треугольника равен
1) 6; 2)12; 3) 4; 4) 3; 5) другой ответ.
В1. В равнобедренном треугольнике АВС высоты АД и СЕ, опущенные на боковые стороны,
пресекаются в точке М, образуют угол АМС=132º , тогда угол АВС(в градусах) равен.
В2. В треугольнике АВС медиана АМ продолжена за точку М на расстояние МД=АМ.
Если АВ=3, то СД равна
В3. В прямоугольном треугольнике АВС из вершины прямого угла А опущена высота
АН=45/5 на гипотенузу ВС. Если АС=4, то площадь треугольника АВС равна
В4.К окружности, вписанной в равносторонний треугольник со стороной 5, проведена
касательная, пересекающая две его стороны. Периметр отсеченного треугольника равен
В5. Боковые стороны трапеции АВСД АВ=7, СД=11, а основания ВС= 5, АД=15. Прямая
ВКСД и отсекает от трапеции треугольник АВК, периметр которого равен
В6. В параллелограмме АВСД высота ВМ=2, опущенная из вершины тупого угла
параллелограмма, делит противоположную сторону пополам, ВАД=30, тогда диагональ
ВД равна
В7. Диагональ ВД четырехугольника АВСД является диаметром окружности, описанной около
Этого четырехугольника. Если ВД=2, АВ=1,  АВД : ВДС= 4:3, то диагональ АС равна
(ответ округлить до ближайшего целого числа)
Вариант 2.
А1. В прямоугольном треугольнике внешний угол при основании равен 120, тогда отношение
Гипотенузы и катета, перпендикулярного основанию, равно
1)0,5; 2) 2/2; 3) 2/3; 4)2; 5) другой ответ
В1. Два угла треугольника равны 10 и 70, тогда угол между высотой и биссектрисой,
проведенными из вершины третьего угла (в градусах), равен
В2. В прямоугольном треугольнике АВС ВАС- прямой, проведена медиана АМ.
Если  ВАМ: САМ=1:2, то угол МВА(в градусах) равен
В3. В прямоугольном треугольнике АВС из вершины прямого угла А опущена высота АН
На гипотенузу ВС. Если СН=1, а АС=2, то  СВА(в градусах) равен
В4. Две окружности касаются друг друга внутренним образом, причем два радиуса большей
окружности касаются меньшей окружности и образуют угол, равный 60. Тогда отношение
радиуса большей окружности к радиусу меньшей окружности равно
В5. Если высота ромба, проведенная из вершины тупого угла, делит противолежащую сторону
пополам, то тупой угол ромба(в градусах) равен
В6. В параллелограмме АВСД высота ВМ , опущенная из вершины тупого угла
Параллелограмма делит противоположную сторону пополам, ВАД=30, тогда СВД
( в градусах) равен
В7. В прямоугольном треугольнике АВС расположен прямоугольник АДКМ так, что его
Сторона АД лежит на катете АВ, сторона АМ- на катете АС, а вершина К- на гипотенузе
ВС. Катет АВ=5, катет АС=12. Если площадь АДКМ равна 40/3, а диагональ меньше 8, то
большая сторона прямоугольника равна
Вариант 3.
Подготовка к ЕГЭ.
А1.Диаметр окружности, описанной около прямоугольного треугольника, равен 2, тогда
длина медианы, проведенной из вершины прямого угла, равна
1)1; 2)2; 3) ; 4) 2; 5) другой ответ
В1.Острый угол прямоугольного треугольника равен 30, а гипотенуза равна 8. Тогда
произведение длин отрезков, на которые делит гипотенузу высота, проведенная из вершины
прямого угла, равна
В2.В прямоугольном треугольнике АВС ВАС- прямой, проведена медиана АМ.
Если ВАМ : САМ=1:2, то угол МВА(в градусах) равен
В3. В прямоугольном треугольнике АВС из вершины прямого угла А опущена высота АН на
гипотенузу ВС. Если СН=1, а АС=2, то ВАН (в градусах) равен
В4. Одна вершина правильного треугольника лежит на окружности, а две другие делят
Некоторую хорду на три равные части. Тогда из центра окружности хорда видна под углом
В5. Периметр ромба равен 8, высота равна 1. Тогда тупой угол (в градусах) равен
В6.Полупериметр четырехугольника, полученного в результате соединения середин сторон
равнобедренной трапеции с диагональю 10, равен
В7.В треугольнике PQR сторона PR равна 3, сторона QP равна 4, а угол при Q равен 45.
Если расстояние от вершины Q до прямой PR меньше, чем 2 3, то площадь треугольника
Равна (ответ округлить до ближайшего целого числа с избытком)
Вариант 4.
А1. В прямоугольном треугольнике гипотенуза равна 2а, а один из катетов в², тогда радиус
Описанной окружности равен
1) а;
2)в²/а; 3) 2а;
4) а/в²;
5) другой ответ
В1. Углы треугольника относятся как 2:3:4, а внешние углы треугольника относятся как ::
Соответственно, тогда число + равно
В2. Прямая АВ пересекает две другие параллельные прямые в точках А и В соответственно.
Биссектриса ВС пересекает одну из параллельных прямых в точке С. Если АВ=5, то длина
АС равна
В3. В прямоугольном треугольнике АВС из вершины прямого угла А опущена высота АН на
гипотенузу ВС. Если СН= 9/ 13, а ВН = 4/ 13, то площадь треугольника АВС равна
В4. К окружности, вписанной в квадрат со стороной, равной 7, проведена касательная,
Пересекающая две его стороны. Тогда периметр отсеченного треугольника равен
В5.Если высота ромба, проведенная из вершины тупого угла, делит противолежащую сторону
пополам, то острый угол ромба ( в градусах) равен
В6. В параллелограмме АВСД высота ВМ, опущенная из вершины тупого угл
а параллелограмма, делит противоположную сторону пополам, ВАД=30, Тогда  АВД
(в градусах) равен
В7. Около трапеции АВСД с основаниями АД и ВС описана окружность радиусом 5. Центр
Описанн окружности лежит на основании АД. Если основание ВС равно 6, тогда диагональ
АС равна
Вариант 5.
Подготовка к ЕГЭ.
А1. Площадь правильного треугольника равна а² 3, тогда сторона треугольника равна
1) 3а; 2) 2а; 3) а; 4) а/2; 5) другой ответ
В1. Две параллельные прямые пересечены третьей, тогда угол (в градусах) между
Биссектрисам внутренних односторонних углов равен
В2. Один из углов прямоугольного треугольника равен 30, а его гипотенуза равна 8. Тогда
Больший из отрезков, на которые делит гипотенузу высота, проведенная из прямого угла,
равен
В3. Высот прямоугольного треугольника, опущенная из вершины прямого угла, равна 1. Если
Один из острых углов треугольника равен 75, то гипотенуза этого треугольника равна
В4. Окружность, построенная на катете АС прямоугольного треугольника АВС, как на
диаметре, делит гипотенузу в отношении 1:3, считая от вершины С. Тогда АВС
(в градусах) равен
В5. Одна из сторон параллелограмма втрое больше другой. Если периметр параллелограмма
равен 24, то сумма квадратов диагоналей равна
В6. Наибольший угол прямоугольной трапеции равен 150, а большая боковая сторона равна
10, тогда разность большего и меньшего оснований трапеции равна
В7. В треугольнике АВС В=30,АВ=4, ВС=6, проведена биссектриса ВД, тогда площадь
Треугольник АВД, увеличенная в 10 раз, равна
Тест 6.
А1. Длина окружности, вписанной в квадрат, равна а, тогда площадь квадрата равна
1) а²/4; 2) 2а²; 3) а²; 4) (а)²; 5) другой ответ
В1. Биссектрисы двух углов треугольника пересекаются под углом 70, тогда третий угол
треугольника(в градусах) равен
В2. В прямоугольном треугольнике АВС ВАС - прямой, проведена медиана АМ. Если
 ВАМ:  САМ=1:2, то угол МСА (в градусах) равен
В3. В прямоугольном треугольнике АВС на гипотенузе АВ взяты точки К и М, причем АК=АС,
а ВМ=ВС, тогда угол МСК(в градусах) равен
В4. Окружность, вписанная в треугольник АВС, касается сторон АВ, ВС и АС соответственно
в точках К,М и N. Если А =70, то угол КМN(в градусах) равен
В5. Периметр треугольника равен 14, тогда периметр фигуры, получившейся в результате
соединения середин исходного треугольника, равен
В6. Диагонали четырехугольника равны 2 и 6. Периметр четырехугольника, вершинами
которого являются середины сторон данного четырехугольника, равен
В7. В прямоугольном треугольнике АВС с равными катетами АС и ВС на стороне АС,
как на диаметре, построена окружность, пересекающая сторону АВ в точке М. Если
ВМ= 2, то квадрат расстояния от вершины В до центра этой окружности равен
Тест 7.
Подготовка к ЕГЭ
А1. Радиус окружности, вписанной в правильный треугольник, равен а 3/2, тогда сторона
треугольника равна
1)3а; 2)2а; 3)а; 4) а/3; 5) другой ответ
В1. В равнобедренном треугольнике АВС АС=20, ДВА= 90, тогда расстояние от вершины
Д
В до АС равно
В
А
С
В2. Медиана АМ треугольника АВС перпендикулярна его биссектрисе ВК. Если ВС=14, то
АВ равно
В3. В треугольнике АВС сторона АВ = 2, А =60,В =80. На стороне АС взята точка Д,
так что АД=2, тогда  ДВС (в градусах) равен
В4. Точка Д - середина гипотенузы АВ прямоугольного треугольника АВС. Окружность,
Вписанная в треугольник АСД, касается отрезка ДА в его середине, тогда  ДАС
(в градусах) равен
В5. Если один из углов параллелограмма на 40 больше другого, то тупой угол
параллелограмма (в градусах) равен
В6. Стороны треугольника равны 1 и 4. Через середину третьей стороны проведены прямые,
параллельные двум другим сторонам. Тогда периметр полученного четырехугольника
равен
В7. Средняя линия равнобедренной трапеции равна 10. Известно, что в трапецию можно
Вписать окружность. Средняя линия трапеции делит ее на две части, отношение площадей
Которых равно 7:13, тогда высота трапеции равна
Вариант 8.
А1. Отношение стороны треугольника к синусу противолежащего угла равно 4, тогда радиус
окружности, описанной около этого треугольника, равен
1) решить нельзя; 2) 2; 3)1; 4)4; 5) 2.
В1. В треугольнике АВС проведены высоты АД и СМ. Если А =70, С=80, то угол АМС
(в градусах) равен
В2. В треугольнике АВС медиана АМ продолжена за точку М на расстояние МД=АМ. Если
АС=2, то ВД равно
В3. В прямоугольном треугольнике АВС из вершины прямого угла А опущена высота АН на
гипотенузу ВС. Если АС=2, а СН= 45/5, то площадь треугольника АВС равна
В4. Окружность, вписанная в треугольник АВС, касается его сторон АВ, ВС и АС
Соответственн в точках К,М и N. Если KMN =50, то угол АВС(в градусах) равен
В5. Периметр треугольника равен 8, тогда периметр треугольника, стороны которого
параллельны сторонам данного треугольника и проходят через его вершины, равен
В6. В параллелограмме АВСД биссектриса тупого угла ВМ делит противолежащую сторону на
отрезки АМ=7 и МД=14. Тогда периметр параллелограмма равен
В7. В прямоугольный треугольник АВС вписан квадрат так, что две его вершины лежат на
Гипотенузе АВ,а две другие - на катетах. Радиус круга, описанного около треугольника
АВС, относится к стороне квадрата как 13:6. Тангенс большего из острых углов
треугольника равен
Тест 9.
А1. Сторона правильного треугольника равна а, тогда его высота равна
1) а3/2; 2) а²3/2; 3) а/2; 4) а3; 5) другой ответ
Подготовка к ЕГЭ
В1. В треугольнике АВС медиана ВД перпендикулярна и равна половине стороны АС.
Тогда угол АВС (в градусах) равен
В2. Один из углов прямоугольного треугольника равен 60, а гипотенуза 16. Тогда меньший из
отрезков, на которые делит гипотенузу высота, проведенная из прямого угла, равен
В3. В треугольнике АВС А=60. Биссектриса АД, медиана ВМ и высота СК пересекаются в
точке О, тогда  ВСА (в градусах) равен
В4. Окружность, построенная на катете АС прямоугольного треугольника АВС, как на
диаметре, делит гипотенузу в отношении 1:3, считая от вершины С. Тогда  ВСА
(в градусах) равен
В5. Стороны прямоугольного треугольника равны 3,4 и 5. Тогда радиус вписанного круга равен
В6.Около круга описана трапеция, периметр которой равен 12, тогда средняя линия трапеции
равна
В7. В прямоугольном треугольнике АВС с прямым углом А биссектриса угла В пересекает
сторону АС в точке Д. Если известно, что АВ=6, ВС=10, то площадь треугольника ДВС
равна
Вариант 10.
А1. Радиус окружности, описанной около правильного треугольника, равен а3, тогда сторона
треугольника равна
1) а2; 2) 3а; 3) а/3; 4) другой ответ; 5) а
В1. В треугольнике АВС MNАС, ВСЕ=140, ВАД=115, тогда MBN(в градусах) равен
В
Д
M
N
А
С
Е
В2. Прямая, проведенная через вершину С треугольника АВС параллельно его биссектрисе ВД,
пересекает продолжение стороны АВ в точке М. Если  АВС= 100, то угол ВМС
(в градусах) равен
В3. В треугольнике АВС сторона АВ=2,  А = 60,  В=70. На стороне АС взята точка Д,
так что АД=1, тогда  ДВС(в градусах) равен
В4. Точка Д - середина гипотенузы АВ прямоугольного треугольника АВС. Окружность,
вписанная треугольник АСД, касается отрезка ДС в его середине, тогда  АВС
(в градусах) равен
В5. Если один из углов параллелограмма на 50 больше другого, то острый угол
Параллелограмма (в градусах) равен
В6.В равнобедренный прямоугольный треугольник с катетом 6 вписан прямоугольник,
Имеющи общий прямой угол с треугольником. Диаметр окружности, описанной около
квадрата, равен
В7.В прямоугольный треугольник вписана окружность. Один из катетов делится точкой
касания на отрезки длиной 6 и 10, считая от вершины прямого угла. Тогда площадь
треугольника равна.
Ответы к тесту "Планиметрия"
№
А1
В1
В2
В3
В4
В5
В6
В7
1
1
48
3
4
5
28
4
2
2
4
30
30
30
3
120
30
4
3
3
12
30
60
120
150
10
3
4
1
47
5
3
7
60
120
415
5
2
90
6
4
30
160
5
24
6
3
40
60
45
55
7
8
5
7
1
10
7
50
60
110
5
8
8
5
150
2
1
10
16
56
3
9
1
90
4
60
60
1
3
15
10
2
75
50
40
30
65
3
240